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文档简介
重难点06导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】
【新高考专用】
►题型梳理
【题型1函数的切线问题】.....................................................................3
【题型2(含参)函数的单调性问题】...........................................................4
【题型3函数的极值、最值问题】..............................................................5
【题型4函数零点(方程根)问题】............................................................6
【题型5不等式的证明】.......................................................................7
【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】......................................................8
【题型7利用导数研究能成立问题】............................................................9
【题型8双变量问题】........................................................................11
【题型9导数中的极值点偏移问题】...........................................................12
【题型10导数与三角函数结合问题】..........................................................13
【题型11导数与数列不等式的综合问题】.......................................................14
►命题规律
导数是高中数学的重要考查内容,是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看,在解答题中试题
的难度较大,主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不
等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容,考查分类讨论、转化与化归等思想,属综合性问题,
解题时要灵活求解.
其中,对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压
轴题的热点方向.
►知识梳理
【知识点1切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略:
①求出函数在x=xo处的导数,即曲线y寸龙)在点(无0危0))处切线的斜率;
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y=yo+f(xo)(x-xo).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法:
①设出切点坐标T(xo双3))(不出现加);
②利用切点坐标写出切线方程:>=⑥0)+八>0)。-尤0);
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】
1.含参函数的单调性的解题策略:
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因
式分解,则需讨论判别式4的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内.
2.根据函数单调性求参数的一般思路:
(1)利用集合间的包含关系处理:y=/(x)在(0力)上单调,则区间(七。)是相应单调区间的子集.
(2求x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xGQ6)都有/(x)>0(T(x)<0),且在(a,6)内的任一非空子区间
上,了(无)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数八x)极值的一般步骤:
(1)确定函数兀0的定义域;
(2)求导数/(x);
(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
(4)列表检验了(无)在/(元)=0的根沏左右两侧值的符号;
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路:
已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方
程组,利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略:
(1)利用导数求函数/(尤)在[a,句上的最值的一般步骤:
①求函数在(a,b)内的极值;
②求函数在区间端点处的函数值八a),fib);
③将函数五幻的各极值与八①,式6)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤:
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和
极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4导数的综合应用】
1.导数中的函数零点(方程根)问题
利用导数研究含参函数的零点(方程的根)主要有两种方法:
(1)利用导数研究函数1X)的最值,转化为/U)图象与X轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量,即由兀r)=0分离参变量,得。=8(尤),研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.
2.导数中的不等式证明
(1)一般地,要证Kr)>g(x)在区间(a,加上成立,需构造辅助函数F(x)=/(X)—ga),通过分析网x)在端点
处的函数值来证明不等式.若F(。)=0,只需证明尸(x)在(a,6)上单调递增即可;若F(b)=。,只需证明尸(无)
在(a,b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.
3.导数中的恒成立、存在性问题
解决不等式恒(能)成立问题有两种思路:
(1)分离参数法解决恒(能)成立问题,根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数,另
一端是变量表达式的不等式,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题,即可解决问题.
(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题,将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对参数进行分
类讨论,在参数的每一段上求函数的最值,并判断是否满足题意,据此进行求解即可.
4.导数中的双变量问题
破解双参数不等式的方法:
一是转化,即由已知条件入手,寻找双参数满足的关系式,并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式;
二是巧构函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双参不等式,即可证得结果.
5.极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对
称性.
极值点偏移的定义:对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点与,方程/(幻的解分别为
再、x2,且a</<々<沙.
(1)若%;马/X。,则称函数y=/(X)在区间(xpx2)上极值点X。偏移;
(2)若%>x°,则函数y=/(x)在区间(玉,々)上极值点/左偏,简称极值点为左偏;
(3)若生产</,则函数y=/(x)在区间(石,声)上极值点/右偏,简称极值点为右偏.
►举一反三
【题型1函数的切线问题】
【例1】(2023•河南•统考模拟预测)已知函数/(久)=a(e'-1)-In%.
(1)当a=1时,求/O)的图象在点(14(1))处的切线方程;
(2)当a>1时,证明:/(%)>sinx.
【变式1-11(2023・四川雅安・统考一模)已知函数/(%)=aex+bx+c在%=ln2时有极小值.曲线y=/(%)在
点(0厅(0))处的切线方程为%+y=0.
(1)求a,hc的值;
(2)若对任意实数%,/(%)>(e-2)x+TH恒成立,求实数m的取值范围.
【变式1-2](2023・广东・东莞市校联考一模)函数f(久)=|+In久在x=4处的切线方程为y=
⑴求九(%);
(2)已知:<a<1,过(a,b)可作f(%)的三条切线,证明:h(a)<b</(a).
【变式1-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=a\nx—Qa—l^x2—2%+|a+1.
(1)当a=4时,求f(%)的极值及曲线y=/(%)在点(1)(1))处的切线方程;
(2)若函数/(%)有两个零点,求实数〃的取值范围.
【题型2(含参)函数的单调性问题】
[例2](2023・海南•校联考模拟预测)已知函数f(%)=xlnx-ax2.
(1)当a=1时,讨论函数f(%)的单调性;
(2)若不等式/(%)>aex+(1-a)x2-%恒成立,求实数a的取值范围.
【变式2-1](2023•黑龙江•校联考模拟预测)已知函数f(x)=%e\x6R.
(1)求函数/(久)=久e*单调区间;
(2)若过点P(l,t)(tGR)可以作曲线y=/(乃的3条切线,求实数t的取值范围.
【变式2-2](2023•四川成都•统考一模)已知函数/(x)=2e,—ax,aeR.
(1)讨论函数fCO的单调性;
(2)当a=e时,求证:/(x)>e(l—cosx).
【变式2-3](2023•河北邢台・宁晋中学校考模拟预测)已知函数〃x)=a(eX+eT)-l(a是非零常数,e
为自然对数的底数)
⑴讨论函数人久)的单调性;
(2)当a>0时,若f(x)-1N/在R上恒成立,求实数。的取值范围.
【题型3函数的极值、最值问题】
【例3】(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=比Inx+(t-1)(%-t)(teR).
⑴当t=0时,讨论函数f(x)的极值;
(2)若F(x)=/(久)一捺有两个不同的极值点,求f的取值范围.
【变式3-1](2023・陕西西安•校联考模拟预测)已知奇函数/(久)=ax3+bx2+ex在x=1处取得极大值2.
(1)求/的解析式;
(2)求/O)在[-4,3]上的最值.
【变式3-2](2023•宁夏固原•宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测)已知实数a>0,函数/(x)=久Ina-
alnx+(x-e)2,e是自然对数的底数.
(1)当a=e时,求函数/(£)的单调区间;
(2)求证:/(x)存在极值点而,并求通的最小值.
【变式3-3](2023•吉林长春・东北师大附中校考二模)已知函数/'(x)=ni久e-x+x-lnx(meR).
(1)讨论函数f(x)的极值点个数;
(2)若m〉0,/(x)的最小值是1+Inzn,求实数ni的取值范围.
【题型4函数零点(方程根)问题】
【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)=2x+^+a.
(1)当a=1时,求曲线/(%)在点处的切线方程.
(2)若/Q)有两个零点,求实数a的取值范围.
【变式4-1](2023•广东广州•广东广雅中学校考二模)已知函数/(乃=In久+§-1.
⑴求函数/(%)的最小值;
(2)若g(x)=x2[/(x)+1-a]-%+a,求函数g(%)的零点个数.
【变式4-2](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%+1—aln%.
⑴判断函数/(%)的单调性.
(2)若/(%)=1有两个不相等的实根%L%2,且%1<%2,求证:+%2>
【变式4-3](2023•广西•模拟预测)已知函数/(%)=21n(%+1)+-2%+m有三个零点,mER.
(1)求zn的取值范围;
(2)记三个零点为%且%1<x2<x3,证明:x3—<2.
【题型5不等式的证明】
【例5】(2023・四川成都・统考一模)已知函数f(x)=2e%—ex.
⑴求函数/(%)的单调区间;
(2)求证:/(x)>e(lnx+cosx).
【变式5-1](2023•全国•模拟预测)已知函数f(%)=%-77iln%(znER).
⑴讨论/(%)的单调性;
(2)若存在不相等的实数久1,%2,使得f(%1)=/(%2),证明:0Vm<%i+%2・
【变式5-2](2023・四川成都・统考二模)已知函数/(%)=e%—asin%(a>0),曲线y=/(%)在(0,/(0))处的
切线也与曲线y=2x--相切.
⑴求实数Q的值;
(2)若均是f(x)的最大的极小值点,久2是/0)的最大的极大值点,求证:2<f(久1)+f(冷)〈萼.
【变式5-3](2023•河南新乡•统考一模)已知函数fO)=x\nx-mx2-l.
(1)当m>凯寸,讨论/(x)在(0,+8)上的单调性;
2
(2)已知%],久2是/'(久)的两个零点,证明:%1%2>V6e.
【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】
【例6】(2023・四川内江•统考一模)已知函数f(x)=|a/一也久.
(1)当a=l.时,求/(%)的极值;
(2)若不等式/(x)2x恒成立,求实数a的取值范围.
【变式6-1](2023•全国•模拟预测)已知/(乂)=ae*+In(久+1),a为任意实数.
⑴讨论函数/(X)的单调性;
(2)令a=2,对Vx>0,均有f(x)>kx+2恒成立,求k的取值范围.
【变式6-2](2023•云南红河・统考一模)已知函数/(久)=mx—Inx—eR).
⑴讨论函数/(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式e工t+alnx一(a+l)x+a>0恒成立,求实数a的取值范围.
【变式6-3](2023•安徽•校联考模拟预测)已知函数/(X)=ae%—e-,(aGR).
(1)若f(x)为偶函数,求此时f(x)在点(0,/(0))处的切线方程;
(2)设函数g(久)=f(x)-(a+l)x,且存在久口上分别为9(久)的极大值点和极小值点.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)若ae(0,1),且g(Xi)+kg(%2)>0,求实数k的取值范围.
【题型7利用导数研究能成立问题】
【例7】(2023•宁夏银川•校考模拟预测)已知函数/(%)=依01n(l+x)(/c>0).
(1)当k=1时,求曲线y=f(x)在点(0)(0))处的切线方程;
(2)如果存在X。e(0,+8),使得当xe(0,久0)时,恒有/■(>)</成立,求k的取值范围.
【变式7-1](2023・河北•模拟预测)已知函数/(x)=(e-a)e*+久(aeR).
⑴讨论函数/(x)的单调性;
(2)若存在实数a,使得关于久的不等式<4a恒成立,求实数4的取值范围.
【变式7-2](2023•河南郑州•统考模拟预测)已知/(%)=(%-a-l)e*-+口2%一L(aeR)
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a=-1,且存在x6(0,+8),使得/(x)WInx+卷/+(b+1)%,求b的取值范围.
【变式7-3](2023•北京海淀•统考一模)已知函数/(久)=eax-x.
(1)当a=1时,求曲线y=/(久)在点(0)(0))处的切线方程;
(2)求/(X)的单调区间;
(3)若存在的,久2e[―1,1],使得〃久1)"(乂2)29,求。的取值范围.
【题型8双变量问题】
【例8】(2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t—l)x(t6R).
⑴当t=0时,讨论函数/(%)的极值;
(2)已知F(%)=f(x)-ex,函数F(%)存在两个极值点%i,冷,证明:%1+冷<°・
【变式8-1](2023・四川自贡・统考二模)已知函数/(%)=。眇一%2有两个极值点%]、如
(1)求a的取值范围;
(2)若&>3/时,不等式+入%2N2%I%2恒成立,求4的最小值.
【变式8-2](2023•河南•校联考二模)已知函数f(%)=|mx2+(m—l)x—lnx(meR),g(%)=x2—^+1.
⑴讨论/(%)的单调性;
(2)当?n>0时,若对于任意的%ie(0,+8),总存在%2e[1,+8),使得fO。>g(%2),求m的取值范围.
【变式8-3](2023・河南•校联考模拟预测)已知函数f(x)=W+ln%-a%,其中e为自然对数的底数.
(1)当a=l时,求/(%)的单调区间;
(2)若函数g(x)=/(%)-9有两个零点%<%2),证明:•%2>e2.
【题型9导数中的极值点偏移问题】
[例9](2023・贵州毕节•校考模拟预测)已知函数/(%)=(2%+a)\nx-3(%-a),a>0.
(1)当久>1时,/(x)>0,求a的取值范围.
1
(2)若函数/(X)有两个极值点久1,久2,证明:%1+%2>2e~.
【变式9-1](2023•四川绵阳•统考模拟预测)已知函数/(久)=xlnx-^x2-x+a(aeR)在其定义域内有两
个不同的极值点.
(1)求a的取值范围;
1+A
(2)记两个极值点为与,久2,且与<刀2—若%21>证明:e<x1■x^.
【变式9-2](2023•江西景德镇•统考模拟预测)己知函数/(£)="竽也
(1)若函数/(x)在定义域上单调递增,求a的最大值;
(2)若函数/(%)在定义域上有两个极值点%1和%2,若%2>%i,A=e(e-2),求尢r1+外的最小值・
【变式9-3](2023•浙江绍兴•统考模拟预测)已知函数/O)=x2(lnx-|a),。为实数.
(1)求函数/(%)的单调区间;
(2)若函数/(%)在%=e处取得极值,/'(%)是函数/(%)的导函数,且尸(%1)=/'(第2),xi<12,证明:2<%1+
%2<e
【题型10导数与三角函数结合问题】
【例10](2023・四川雅安・统考一模)已知函数/(%)=ax3+2sinx—xcosx.
(1)若a=0,判断f(x)在上的单调性,并说明理由;
(2)当a>0,探究f(x)在(0,兀)上的极值点个数.
【变式10-1】(2023・四川成都・成都七中校考一模)设函数F(x)=(1-4)cosx+4cosa一处土陋其中aG
X-CL
蛇)
(1)若4=1,讨论F(%)在(aj)上的单调性;
(2)当xe(aj)时,不等式F(x)<0恒成立,求实数4的取值范围.
【变式10-2】(2023•四川雅安•统考一模)已知函数f(%)=a/+2sin%—%cos%(其中a为实数)
(1)若a=—|,XG(0,2),证明:/(%)>0;
(2)探究/(%)在(-m用)上的极值点个数.
【变式10-3】(2023•全国•模拟预测)已知函数f(x)=e/cosx+/)一(x+l)sinx,其中e是自然对数的底
数.
(1)求函数的图象在点(04(0))处的切线方程;
(2)若x>-1,求证:/(x)>0.
【题型11导数与数列不等式的综合问题】
IHA,
【例11】(2023•山东济南•校考模拟预测)设函数/(x)=o=Q>-1),已知/(%)21恒成立.
(1)求实数爪的值;
⑵若数列{厮}满足即+1=111/(厮),且的=1—ln2,证明:|ea«-1|<(1)n.
【变式11-1】(2023・海南・海口校联考模拟预测)已知函数与=lnx-也?.
x+lX+1
⑴若函数/(%)在[1,+8)上只有一个零点,求a的取值范围;
f^=l2
(2)若a九=\In,记数列{a九}的前几项和为立,证明:2Sn<ln(n+3n+2).
【变式11-21(2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测)已知函数/(久)=
(1)证明:当x<0时,/(%)<1;当x〉0时,/(x)>1.
Xn+1
(2)正项数列{xn}满足:e==1,证明:
(i)数列{0}递减;
(ii)N2一左.
【变式11-3】(2023.上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)设函数加(x)=-l+x+捺+?+•••+'.
(1)求函数/3(久)在点(1房(1))处的切线方程;
(2)证明:对每个几6N*,存在唯一的为G[|,1],满足加(xn)=0;
(3)证明:对于任意PeN*,由(2)中X"构成的数列{%n}满足0<当一%n+p<:・
1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数“X)=G+a)ln(l+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=/(%)在点(1)(%))处的切线方程.
(2)若函数/(%)在(0,+8)单调递增,求a的取值范围.
2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/Q)=a久-翳,xe(0,f.
⑴当a=1时,讨论/(x)的单调性;
(2)若f(%)+sinx<0,求a的取值范围.
3.(2023・北京・统考高考真题)设函数f(%)=%-x3eax+z?,曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为y=
—x+1.
⑴求a,b的值;
(2)设函数g(%)=尸(%),求g(%)的单调区间;
(3)求/(%)的极值点个数.
4.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(久)=G+a)ln(l+x).
(1)当a=
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