高考数学解答题提高一轮复习：数列求和（裂项相消法）（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题06数列求和（裂项相消法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：等差型...................................................2

题型二：无理型...................................................3

题型三：指数型...................................................5

题型四：通项裂项为“+”型.......................................6

三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练..........................7

一、必备秘籍

常见的裂项技巧

类型一：等差型

〃(〃+左)knn+k

特另1J注意攵=1，='—4?次=—L,

n{n+1)nn+1n{n—1)n-1n

C]

(kn-l)(kn+1)2kn—1kn+\

如：67=；(占-占)(尤其要注意不能丢前边的;)

4〃一122〃-12〃+12

类型二：无理型

①/—广—~1

7n+k+\nk

如:/---1=—Jn+l—

类型三：指数型

、(a-l)a"__J_______1__

(an+l+k\an+k)-an+k-an+l+k

2"_11

：(2"T+左)(2"+左)-2"+:-2"i+k

类型四：通项裂项为“+”型

②(-1)'—+----

nn+1

本类模型典型标志在通项中含有（—1）〃乘以一个分式.

二、典型题型

题型一：等差型

例题1.（2023秋•四）11成都•高三校考阶段练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为=3,见=16,"eN,

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设勿=——，求数列也｝的前〃项和小

-4“上12〃一11-

例题2.（2023秋•甘肃白银•高二校考阶段练习）在①」包=亍2=：,②斗=2"+1这三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

⑴已知数列｛%｝的前w项和为I，,求｛4｝的通项公式；

⑵数列出｝满足2求数列也｝的前〃项和T,.

例题3.（2023秋•福建宁德•高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列｛4｝满足4＞。,

log2an,n=2k-l,kGN*

T-+2,n=lk,k^K

⑴判断数列｛/“-｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由;

⑵若数列｛%｝的前10项和为361,记2=而二—二—，数列｛〃,｝的前〃项和为T“，求证：Tn<-.

例题4.（2023秋•陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列｛凡｝的前n项和为,

已知S5=85,且必=7。］.

⑴求4和sn.

⑵设，=二~,求数列出｝的前〃项和1.

题型二：无理型

例题1.（2023•河南•校联考模拟预测）已知等差数列｛七｝的前〃项和为％=1,且4，%，%4成等比

数列.

⑴求数列｛见｝的通项公式；

⑵当数列｛4｝的公差不为。时，记数列/\的前〃项和为T,，求证：

例题2.（2023秋•广东•高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列｛““｝中，%=2,且％,4+1,4成

等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

2n

(2)记“=向_],”eN*,数列色,｝的前”项和为求不等式1。的解集.

例题3.(2023秋•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)设各项均不为零的数列｛%｝的前"项和为S",q=1，

且对于任意〃eN*,满足2s.=4•a,+i.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

,1，、

(2)设"=疯+向[,求数列也｝的前99项和.

例题4.(2023•重庆•统考三模)已知等差数列｛4｝的前"项和为S.,%+%=20,59=27%.

(1)求｛%｝的通项公式；

2

(2)设，=而「西，数列｛〃｝的前”项和为，，证明：当：后3时，27；＞“二.

题型三：指数型

例题1.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈师大附中校考阶段练习)已知数列｛4｝为等差数列，且的+%=1。，

54=16.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)数列也｝满足+1(〃wN*),数列出｝的前”项和为S“，求证：S“<1.

Jan'an+i12

例题2.(2023秋•福建宁德•高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知数列｛凡｝的前，项和为

+1

S„,Sn=2an-T+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

n2+n)-2"

⑵设么=数列也｝的前"项和为(，证明：

例题3.(2023秋•云南昆明,高三昆明一中校考阶段练习)已知数列｛七｝满足

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)设。,=1唯其"，数列L+(。，］的前"项和为S”,求证：

例题4.(2023•广西南宁•南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)已知数列｛%｝满足6+%+…+。“一1-2=-2

(n>2_&neN*),且。2=4.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列求证:T„<1.

题型四：通项裂项为“+”型

2

例题L(2023•浙江嘉兴•统考模拟预测)记S“为数列｛%｝的前"项和，且q=3,Sn=nan-n+n.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设由=(-1)用.%+“用，求数列也｝的前"项和T,.

an'an+\

例题2.(2023春•江苏南京•高二校联考阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为5“，满足％=1,

码+1-(〃+1电="(〃+1)

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)若2=(-1)向詈十，求数列｛£｝的前20项和品.

3“+〃

例题3.（2023秋•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列｛风｝满足：％=1,风=2。,1+1（力22）.

⑴证明：｛%+1｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

⑵令勿=〃黑求同的前〃项和加

例题4.（2023・湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测）设正项数列｛q｝的前”项和为S,,,已知名=5,且

喙i=4Sn+4n+l.

（1）求｛q｝的通项公式；

⑵若6"=（T）'"2",求数列也｝的前w项和却

a

A+i

三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练

一、单选题

1.（2023春•河南周口•高二校联考阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式为

111

=—-b=aa•则广+7+…+）

nx2“2023

n瓦b2

2021202220232024

A.B.c.D.----

2023202320252025

2.（2023秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列｛4｝中，％=2”=2,数列

bn=（a,-1）（«-1）,也｝的前〃项和为则满足的〃的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

3.（2023・全国•高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有〃数学王子〃的称号.用

他名字定义的函数称为高斯函数〃％）=国，其中国表示不超过x的最大整数.已知正项数列｛%｝的前〃

项和为且5〃=（卜〃+一令么=§+s—，则也+32+3+89]=（）

A.7B.8C.17D.18

4.（2023春・辽宁沈阳・高二沈阳二十中校联考期中）已知函数”x）=m+lnx（〃eN*）的图象在点匕"

1

处的切线的斜率为与,则数列的前几项和S“为（

13n2+5n♦3n2+5n

A.——B-2(〃+l)5+2)C-4(n+l)D。8(n+l)(n+2)

〃+1

5.（2023秋•江苏常州•高三校考期末）已知正项数列｛%｝是公差不为0的等差数列，%,a2,%成等比数

241

列•若A=3,则%=()

^=l+Jw+i

八16943

A，VB.——C.一D.-

1634

6.（2023•全国•高三专题练习）等差数列｛q｝各项均为正数，首项与公差相等，£-r―L=&，则出侬

k=l+7%+1

的值为（）

A.9069B.9079C.9089D.9099

7.（2023秋・江苏•高二专题练习）记数列｛%｝前"项和为S"，若1,an,S.成等差数列，且数列

______4+1______

,的前w项和T”对任意的〃€河都有1-22+1»0恒成立，则4的取值范围为（

(%+i-1)(*T)

A.f-ooll.f-00,1

BD.(-℃,1]

I6」I2.

二、多选题

8.（2023春•江苏盐城・高二江苏省响水中学校考期中）己知数列｛%｝的前〃项和S“满足S“-”，weN*,

3〃

且"=------,〃eN*,数列出｝的前"项和为7；,则（）

A.数列｛%+1｝是等比数列B.数列｛氏-1｝是等比数列

s,E-N

C.D.T<-

〃22n〃4

9.（2023春•黑龙江牡丹江•高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列｛q｝满足

24+22%+―+2%=〃（〃eN*）,bn=-------------,S,,为数列也｝的前"项和.若对任意实数4,都有

s.<2成立.则实数4的可能取值为（）

A.4B.3C.2D.1

三、填空题

r-yn

10.（2023•全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，已知凡=2"-1,且2=-------2n+l,则数列也｝的前〃

a

A+i

项和S“=—.

11.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足2%+2"一%+…+22%_1+2a若

1,、

g=疯+了'则数列｛%｝的前〃项和T”=.

22〃-1

12.（2023・河南•校联考模拟预测）在数列｛4｝中，为=/刁尸刁，其前“项和为S",则3S.=.

四、解答题

13.（2023春・陕西西安•高二校考期中）设数列｛4｝满足％=5,2a“+]=%+2〃+7.

（1）计算。2，。3,猜想｛见｝的通项公式并用数学归纳法加以证明；

⑵若数列的前"项和为「"，证明：

aa

[„n+lJ10

14.（2023春•山东德州•高二德州市第一中学校考期中）己知数列｛%｝为等差数列，数列｛〃｝为正项等比数

列，且满足4=4=1,a2=b2+l,a5=b4+l.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式;

（2）设11+bn,求数列上｝的前2n项和S2„.

aa

nn+2

15.（2023•宁夏石嘴山•统考一模）已知臬是数列｛见｝的前〃项和，且S,,=2向-2,eN*

专题06数列求和（裂项相消法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：等差型...................................................2

题型二：无理型...................................................3

题型三：指数型...................................................5

题型四：通项裂项为“十”型.......................................6

三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练..........................7

一、必备秘籍

常见的裂项技巧

类型一：等差型

C1_1.1_____1_,

^n（n+A:）kmn+k，

特别注意舟=!一看；4二—1，而%=止！一：

⑨________1________=1___________

（Jen-1）（kn+1）^kn-1kn+r

如：=!（白-白）（尤其要注意不能丢前边的工）

4n-1Kn-1n+ly

类型二：无理型

0^——---p=-（Vn+k—yfn）

^Vn+fc+Vnkvv7

:

如V一n+l,+V厂n=Vn+1-Vn

类型三：指数型

①空型=_1_____1—

<>(a"+1+fc)(an+fc)an+kan+1+k

n11

如：("+1+/("+的=n+kn+1+k

类型四：通项裂项为“十”型

如：①(一1)叫岛=(一1严(；+9)

本类模型典型标志在通项中含有(-1厂乘以一个分式.

二、典型题型

题型一：等差型

例题L(03秋•四川成都•高三校考阶段练习)已知等差数列｛%J的前〃项和为Sn,a=3,S4=16,nEN

(1)求数列｛5｝的通项公式；

1

()设“=,求数列｛g｝的前〃项和写.

anan+l

【答案】(1)即=n-l(neN*)

%=M

【详解】(1)设等差数列｛即｝的公差为d,因为a=3,54=16,

禽=：6,解得｛‘=1

所以

4al+6a=16Id=

所以。九=1+3(12—1)=72—1?

所以数列｛即｝的通项公式为即=n-l(neN*)

11Ap__LA

()因为耳==f

anan+i(n-l)(n+l)\n-ln+lj

所以&=工x(n

335n-1n+1

所以数列｛5｝的前n项和〃=三.

例题.(。3秋・甘肃白银•高二校考阶段练习)在①十二需

a=|,@Sn=”+1这三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

⑴己知数列｛斯｝的前"项和为无,，求｛4九｝的通项公式;

()数列｛AJ满足勾=an-an+1,求数列｛如｝的前”项和彩.

【答案】（1）答案详见解析

（）答案详见解析

a22〃―11

【详解】（1）选条件①：—，a=g

an2n+\3

解法」由T2n-l11a

2n+l'a1特工一%=1,

CL-nadoCL-n13n-31

当712时,—=—X—X-X=-X-X---X-----=

a

a1a±an-i35n-1n-1

1

所以4=(n＞2),

2n-i

又的=1也符合4=5匕'所以巴=+

a.2n-\

解法二：由y二’[,得（九+l）a九+i=（九一1）册,

所以数列｛5-l）a”｝是常数列，

所以（九—l）an=（x—l）a=1,

所以“"白

nn1

选条件②，sn-+l,nN时，an=Sn-Sn_t=(+1)-("-+1)=nT

又的=Si=3,显然不符合上式，所以an={

0选条件①：bn=anan+1=(…；(…)=二(三一a)，

所以*=±[(i_m+Q_g+…+6^-去)]=三(1一充)=热.

因此bn=anan+1=(n-i：n+i)=工一W)'

所以加=工[(l_g+(1_()+•••+(^―去)1=工(1-去)=热.

选条件②，bn=an-an+1={

当心时，7-6+3+5+...+-=6+^P=?X4n+^

210210

又T]=6,符合＜=§x40+§，所以＜=§x4"+§-

例题3.（03秋•福建宁德,高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列｛&J满足的>0,

log2。〃，〃二2左一1,左£N*

a，1+i~[2a"+\n=2k,keW

⑴判断数列｛册_J是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

711

（）若数列｛%J的前10项和为361,记2二不大―—,数列｛购｝的前几项和为〃，求证：Tn<~.

V°&2a2n+l）,a2n+2

【答案】(1)数列｛即―｝成等比数列，证明见解析

()证明见解析

【详解】(1)数列Sn—｝成等比数列，证明如下：

根据a」log2凡,〃=21,旌N*

根据/一］2i,“=2QN*倚'

n

«n+i=0+3=log册_i+3=an_r=4azi—i；

,・・的>0,an.r>0,=4,即数列｛a九_J成等比数列.

n_1

()由(1)得，an_r=ar-4,a2n=log2a2n_x=2(n-1)+log2ax,

故Si。=。1(4°+41+4+炉+4，)+5log的+3x(°+1+3+3+4)

=341al+5logar+30,

由Si。=361,得341al+5log%+30=361.

令/(%)=341%+5logx4-30,

当％>0时，/(%)=341%+5logx+30单调递增，且f(l)=361=/(aj,

nn

故a1=1,an+1=4=,an+3=loga】+3九二九,

.,_11ii

一b—~rx-7T，Ti=尻=二<一,

na4

(10g2Ct2n+i),2n+24〃

当几之时，bn=^<9

111

T=bi+bH------F<-1--)++…+

nqTi—ln.

综上，知〃V-

例题4.(03秋・陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)记递增的等差数列｛&J的前〃项和为上,

已知S5=85,且%=7%.

⑴求a九和土；

()设“=—求数列｛%｝的前W项和

anan+l

【答案】⑴6=6n—1,Sn=3n+3n

()^-

'，6九+5

【详解】(1)设｛&J的公差为+d(d>0).

因为S5=5(ai+ct5)=5a3=85,所以。3=",

由。6=7al得17+3d=7(17-d),解得d=6,

所以的+1=17,得的=5,

所以%=a3+(n—3)d=17+(n—3)x6=6n—1,

n(a1+an)_n(5+6n-l)

°由⑴得，联;就二=(6H-1X6H+5)

111111

所以一------1-----------------...+---------------------------1--------------

1111176n-76n-l6n-l

n

6n+5

题型二：无理型

例题1.(03•河南•校联考模拟预测)已知等差数列的前〃项和为%，%=1，且。,a5,a”成等比数

列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

()当数列｛斯｝的公差不为0时，记数列I的前”项和为上，求证：Tn<-.

【答案】(1)。九=1或a九=n-1

()证明见解析

【详解】(1)设数列｛即｝的公差为+d,

a

由a,a3,的4成等比数列，得。5=%4，

即(l+4d)=(l+d)(l+13d),

即d—d=0,解得d=0或d=.

当d=0时，an=1；

当d=时,。九=的+(ri—l)d=n—l.

综上所述，an=1或册=n-l.

()由(1)可知，当数列{的J的公差不为。时，・・・a九=九一1,

>1(1+3)1-1)

Sn==n,则Sn_i=(n-1),Sn+1=(n+1),

1i—=_________

y1^n-l^n+l(n-l)(n+l)\n-ln+lJ9

所以〃=工[(-9+GV)+(A9+…+后_击)]

11

4n+3

又neN*,所以6〈工.

例题.(03秋•广东•高三河源市河源中学校联考阶段练习)在等比数列｛厮｝中，弓=2,且的,a3+1,口4成等

差数列.

⑴求数列｛厮｝的通项公式；

2"

()记勿=，“wN*,数列｛.｝的前n项和为心,求不等式七<10的解集.

血-]+也计]T

【答案】⑴厮=n

(){1,,3,4,5}

【详解】⑴解：设数列｛斯｝的公比为q,

因为。1，。3+1，。4成等差数列，所以（。3+1）=%+。4，即2（。4+1）=%+%q3,

又因为％=2,则2(2q-+1)=2+2q3,即/-2/=0,qw0,解得q=,

所以数列｛%J的通项公式为即=n-

O解：由与=n,可得第=“+1二='n_L

所以&=(V-口)+(v3-1-V+…+(vn+i-i-vn-i)

=7n+i-1-1

又由心<10,可得,2角-1<11，即n+1-Kll,neN*,

即n+1<l,nEN*,所以n=1,,3,4,5,所以不等式的解集为｛1,,3,4,5｝.

例题3.（03秋•湖南长沙,高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列｛厮｝的前n项和为S“吗=1,

且对于任意nGN*,满足%=an-an+1.

⑴求数列｛5｝的通项公式；

1

（）设%=师+匹匚，求数列初„｝的前99项和•

【答案】（l）an=n

（）9

【详解】（1）由题知尸0.

当?1=1时，ai=S]=^-,a=；

当neN*时，an=Sn-Sn^=(an+1-a^),所以与+i-a”-=,

所以数列｛a-J是首项为L公差为的等差数列，数列｛&J是首项为，公差也为的等差数列,

则册_1=的+3（n—1）=n—1,an=a+3（n—1）=n,

所以即=n.

（）由（1）得，bn=赤+3^=Vn+1-Vn,

即瓦+6+b3+•■•+bgg=V—-1+V3—V-+…+V100—V99=10—1=9.

例题4.（03•重庆•统考三模）已知等差数列｛an｝的前71项和为Sn,a4+a7-0,S9=7a.

（1）求｛an｝的通项公式；

,2,—

0设''=惠"扇，数列的前几项和为彩，证明：当门23时，21＞向二

【答案】（l）an-n-1

（）证明见解析

a1+3d+%+6d=0(a+9d=0

【详解】（1）设公差为d,则r解得

9alH---d=7(。1+d)(18al=9d

所以为=4+5一l)d=1+2(几-l)=2n-l.

()0二乙____________________(迎+3-­：-1)_______

〃\lan+2+Vn+3+Vn-l(Vn+3+Vn-l)(Vn+3-Vn-l)

_(Vn+3-Vn^l)_Vn+3-Vn-l

7l+3—(7l—1)

所以〃=济+b+仇+…+b九

1_________

二—(V5—1+—V3+V9—V5+…+\TL+3—Vn—1)

=■—(-1—V3+7n+3+7Tl+1),

所以〃=VnT3+VnTl-V3-1,

所以〃—y]an+\=+3++1—V3—1—+1=+3——1,

当九N3时，Nn+3—A/3—12A/X3+3—V3—1=3—V3—1=-y/3>0，

所以当n23时，2Tn>.

题型三：指数型

例题1.（03秋•黑龙江哈尔滨・高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列｛a"为等差数列，且a+a4=10,

S4=16.

(1)求｛an｝的通项公式；

()数列｛g｝满足6n=4+；：+；(neN*),数列｛%｝的前n项和为治,求证：S<i

Jun'un+ln1

【答案】(1)厮=九一1

()证明见解析

【详解】(1)设等差数列｛&J的公差为d,

a+CZ4=<23=的+4d=10_1

C4JX3，,,”，解得：fj—1,

｛S=4alH------a=4al+6a=16(d=

4

•1-an=1+3(n-1)=n—1.

O(1)n+i_=4[_n_(n+l)3"+1]'

由得：bn=3(n1)(n+1)(n1)3

.s_ir_j._____i_____i_____'_____i..._______j________i___1_1[1_11_1_

…n~411X313X3十3x35x33+5x337x34十(九一1)3n(n+1)3n+“一4l_3(n+l)3n+1J-1

1

(8?l+4)3n+1'

..]>0•q<_J_

•(8九+4)3…，."12.

n+1

例题.(03秋・福建宁德•高二福鼎市第一中学校考阶段练习)已知数列｛%J的前几项和为%,Sn=an-+

3.

⑴求数列｛%J的通项公式；

(n2+n)-2"

()设包=7——、「/―不，数列｛5｝的前n项和为荒，证明：-<Tn<l.

【答案】(1)七=n,n

()证明见解析

【详解】(1)当九=1时，Si=%=的一+3,得。1=2,

n-1+1

当九之时，Sn_1=an_r-+3,

n+1

则S九—Sn_i=an—+3—(an_i—九+3),

nan9n

CLn=CLn—a九_1—f即=n-l+两边同时除以>

得=1，即数列｛闻是首项为?=L公差为1的等差数列,

'=1+(九一1)x1=几,即a九=n•

所以数列｛%J的通项公式%i=n-

n

()b=—s+哈n—n(n+l)-n

nnn+1nn+1

(an-n)-[an+i-(n+1)]n(-l)(n+l)(-l)(-D(-lV

11

即为=,

n_]n+l_1

1

n+l-i

=-J--1=1_1

,

1-1九+l_i,n+l_1

即”=1一1为，随着n的增大，T”增大,

所以｛?；｝的最小值为鼠=于随着n的增大，7；无限接近1,

所以§W*<1.

n+1

例题3.(03秋•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)已知数列｛&J满足的=,即+1=an(neJV*).

⑴求数列｛厮｝的通项公式；

()设“=loga-n,数列｛二黑」的前几项和为当,求证：l<S<-.

nn

【答案】⑴即=

()证明见解析

【详解】⑴由已知的=,学="+i(neN*),

an

cccn(n+i)

n1

所以厮=旦•一……—ar=-"-........................=----(n>),

an_ian-«i

当n=l时，q=2满足条件，所以口=四包；

V1rl

()由于.=logan—n=n,

所以—久出——=——比——=_2----------------1--------

n+1n+1nn+lf

加入bnbn+1n(n+l)n-(n+1)

所以％=忌一六)+6?-―+(泮-*)+…+Q,(n+i

所以％=套一记F，显然与在N*上为增函数,sI=专—十==

1_1

lx-'

所以|<s<—；

on

处r帅+1)

纵工'an=

例题4.(03•广西南宁•南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)已知数列｛/J满足的+a+-+an_r-an

-(n2且几6N*),且a=4.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

()设数列｛(…)(；+「)的前，项和为加求证：T"<L

n

【答案】(l)an=

()证明见解析

【详解】(1)因为a1+a+…+Q九—1—CLn=—，所以的+CL+…+CLn—Q/i+i=-，

两式相减得=an(n>),

当九=时，ar—a=―,又a=4,所以的=,a=a1>

所以a九+1—afi€N*),

所以｛a,J是首项为，公比为的等比数列，所以a“=2"UeN*)；

/\ra力_______n____________n_____=1"|■____1__工

U~

^(an-l)(an+1-l)(n—1)(n+1—1)一^-1九+1-1'

所以％=--^)+(士--+-+(^-^71)=<L

因为n+1-1>-l>0,所以〃=1—1为<1,得证.

题型四：通项裂项为“十”型

例题1.(03•浙江嘉兴■统考模拟预测)记分为数列｛即｝的前九项和，且为=3,S"=mzn-n+n.

⑴求数列的通项公式；

()设“=(一1严+1.鬻±1,求数列｛.｝的前n项和二.

un-an+l

【答案】(1)即=n+1

%+喏1

【详解】(1)因为S九=TLCLn-Tl+Tlf可得S九+1=(TL+1)(1rl+i—(H+1)+?!+1，

两式相减得a九+1=(n+l)an+1—(n+1)+n+1—nan+n—九，

整理得册+i-即=,可知数列｛册｝是3为首项，为公差的等差数列，

所以%=3+3(n-1)=71+1.

()由(1)可得：%=(—1尸+1•纪皿=(—1严+1[工+工)=-3+丘丝，

an'an+i^anan+i^anan+l

则r“=b+b+…+g=[—2+d]+1■-d+力]+…+[—a+3]

a

LiaJLaa3JLanan+1」

-1,(-l)n+11,(-l)n+1

=----1------=——I-------,

aran+13n+3

所以%=2+(-1厂

n+3

例题.(03春•江苏南京•高二校联考阶段练习)已知数列｛厮｝的前n项和为%,满足的=1,a=lnc

(1)求｛%J的通项公式；

()若勾=黑，求数列｛加｝的前0项和70.

【答案】⑴6=n-1；

()To=*

【详解】(1)由nS九+1—(n+l)S=TI(TI+1),得-~=19而T=a1=1,

nn+1n1

因此数列曲是以1为首项，1为公差的等差数列，^=l+(n-l)xl=n,即％=n

当?12时，dn=Sn-S九一1=71—(71-1)=72—1,显然的—1也满足上式，

所以%=n—1.

a

()由(1)矢口，Sn=n，n+\=2〃+1,

因此b=(-1产.黑=(-1严飞+击)，

所以叱=(1+工)_(工+\+c+.+…+(1+<_』+9=1-：=*

例题3.(03秋•云南•高三云南师大附中校考阶段练习)已知数列｛5｝满足：的=1,an=an_1+l(n>).

(1)证明：｛5+1｝是等比数歹!J,并求｛%J的通项公式；

(一1产(3n+3)

()令%=求｛%｝的前“项和S”.

n(n+l)(an+1+l)

n

【答案】⑴证明见解析，an=-l

=(W1

(瓦一(n+1)n+1

【详解】(1)证明：由％%1T+1(nN),

所以。九+1=a九-1+3=(%1.1+1),

所以｛。九+1｝是以。1+1=为首项，公比为的等比数歹U,

所以册+1=n,即。九=n—1

()由(1)知：与+1+1="+1,所以

又如=1)叶占+而六4

历以51=一(1+^-)+(▲+—)—(Q+占)+•••+(—1严(占+.+J.n+J

(-l)n1

=(n+1)~~

例题4.(03•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测)设正项数列5｝的前〃项和为无,已知%=5,且厮+1=4S九+

4n+1.

(1)求｛册｝的通项公式;

（）若“=%必，求数列｛加｝的前n项和写.

anan+l

【答案】（l）an=n-l；

'一黑八为偶数，

"n

-鲁，"为奇数

【详解】(1)因为a九+i=4szi+4n+1，所以4szi=cin+1—4n—1①,

所以九之时，4s九_1=七一4（九一1）一1②.

,

由@一（2）得4a九=a九+i—dn—4,即％i+i=（。九+3）.

因为｛%J各项均为正数，所以。九+1=+3,即时+1—。九=，

因为〃3=5,所以的=4(%+a)+9,a=4%+5,解得a=3,at=1,a—at=,

所以数列是公