高考数学解答题提高第一轮复习：正态分布（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题03正态分布(典型题型归类训练)

一、必备秘籍

1、正态分布

1(A"

若随机变量X的概率分布密度函数为/(x)=—2b2对任意的尤eH,/(x)>0,它的图象

在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称/(%)为正态密度函数,称它的图象为正

态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.

若随机变量X的概率分布密度函数为/(X),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为

XN(〃,O"2).特别地，当〃=0,。=1时，称随机变量X服从标准正态分布，即XN(0,l).

由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点:

(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交。

(2)曲线是单峰的，它关于直线％=4对称.

(3)曲线在％=4处达到峰值一/(最高点)

(7,2万

(4)当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.

(5)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.

2、正态分布的3o■原则

2b3b

*—,68.27%

…95.45%…

…•…99.73%•…•…

P(N-(y<X<4+CF)Q0.6827

尸(〃-2a<%<//+2a)«0.9545

P(N一3b<X<//+3b)p0.9973

二、典型题型

题型一：正态密度函数

1.（2021,陕西宝鸡■统考三模）某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项

并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全

统计该镇约有20%的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年

（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表卜

(X-〃)2

（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布N（〃,〃），其分布密度函数为〃x）=]h,其中

(Jy[27T

〃为样本平均值.若/(x)的最大值为叵，求b的值；

10%

(3)完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台

了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在［〃+。,〃+2可和［〃+25，+3日的人群

愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在［〃+5〃+3日的人中随机抽取3人进行调

查，设X为愿意返乡创业的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

1上

2.(2018•高二课时练习)正态总体当〃=0。=1时的概率密度函数是4"(尤)=/=e2,尤eR

⑴证明以b(x)是偶函数；

(2)求％"(x)的最大值；

⑶利用指数函数的性质说明以。(x)的增减性.

3.(2014•高二课时练习)已知某种零件的尺寸&单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函

数，在(80,+的上是减函数，且“80)=卷/

⑴求概率密度函数；

⑵估计尺寸在72mm〜88mm间的零件大约占总数的百分之几？

题型二：标准正态分布的应用

1.（2023・全国•高二课堂例题）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布N（184,2.5）,

求：（参考数据：Z~N（0,l）,P（Z<0.2）«0.5793,P（Z<2）«0.9772）

（1）随机抽取1罐,其净重超过184.5g的概率；

（2）随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.

2.（2022•河南开封•河南省兰考县第一高级中学校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：2022

年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科

目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、3+、B、C+、C、。+、D、E共8个等

级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%,

选择科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩X,依照¥=岂二幺（〃、。分别为正态

a

分布的均值和标准差）分别转换到［91,100］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］

八个分数区间，得到考生的等级成绩.如果山东省2022年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩

X~N（77.8,256）,Y7V（0,l）.

⑴若规定等级A、B+、B、C+、C、0+为合格，D、E为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟

考试物理合格线的最低原始分是多少；

（2）现随机抽取了该省1000名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记J

为被抽到的原始分不低于65分的学生人数，求J的数学期望和方差.

附：当yN（0,l）时，P（y<1.3）®0.9,p（r<0.8）-0.788.

3.（2022・四川成都•石室中学校考三模）2021年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，

2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小

时,为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：

小时），并绘制如图所示的频率分布直方图.

⑴估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数元和样本方差52（同一组中的数据用该组数据区间的

中间值代表）；

⑵由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布N（〃,a?）,其中〃近似为样本平均数元,

人近似为样本方差52.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X

令丫=^£,则yN（0,1）,且尸=

（i）利用直方图得到的正态分布，求P（X410）；

（ii）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求尸（Z21）

（结果精确到0.001）,以及Z的数学期望（结果精确到0.01）.

参考数据：A/L64®1.28，y/16A»4.05,O.598720~0.000035.0.729120»0.0018,O.782320-0.0074.^

YN(0,l),则P(y40.25卜0.5987,P(r<0.61)«0.7291,P(K<0.78)«0.7823.

4.（2021•广东深圳•统考二模）己知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学

生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.L

（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求X的期望和方差；

（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当"比较大时，二项分布可视为正态分布.此外，如果随机变

量丫~27（〃口2）,令Z2£,则Z~N（0,l）.当Z~N（0,l）时，对于任意实数。，记①（a）=P（Z<a）.已

知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布N（0,l）对应的概率值.例如当。=0.16时,

由于0.16=0.1+0.06,则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位

于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是①（0.16）的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157,0.71900.7224

①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；

②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7,则至少需要添加多少个座位?

题型三：正态分布的实际应用

1.（2024上•湖南衡阳•高三统考期末）已知某超市销售的袋装食用盐的质量X（单位：g）服从正态分布

且P（X<249）=0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为30kg，的值恰好等于这120

袋食用盐每袋的平均质量（单位：g）.

⑴若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于250g的袋数为Z,求Z的分布列；

（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取K（K为正整数）袋，记质量在249g~251g的袋数为y,求满

足。"）<42的K的最大值.

2.(2024上•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习)红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，

耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了

12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径毛(单位：厘米)，如下表：

i123456789101112

28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5

1212

计算得：=360,£x；=10992.

Z=1Z=1

(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值，与样本方差52.

(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.

记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].

①用(1)中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求尸(4);

②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N(30,8z).

在这个条件下，求P(A),并判断护林员的结论是否正确，说明理由.

参考公式：若V

贝I]P(|y-^|<cr)~0.6827,P(|y-^|<2CT)-0.9545,P(|y-//|<3cr)®0.9973.

参考数据.0.682712«Q.01,0.954512«0.57,0.9973“a0.97.

3.(2023•全国•模拟预测)2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双

节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20~9:40这一时间段内通过的车

辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20~8:40记作区间

［20,40),8:40~9:00记作［40,60),9：00~9:20记作［60,80),9:20~9:40记作［80,100］,对通过该收费点

的车辆数进行初步处理，已知机=2〃，8:20~9:40时间段内的车辆数的频数如下表：

时间段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数100300mn

(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取

4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X,求X的分布列与期望；

(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~N(",4),其中刈可用(1)中这1000

辆车在8:20~9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，/可用样本的方差近似代替(同一组中的

数据用该组区间的中点值代表)，已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在8:28~9:22之间通过的车

辆数(结果四舍五入保留到整数).

参考数据：若则①尸(〃一b<TV〃+b)=0.6827；②尸(〃一2b<TV〃+2b)=0.9545；③

尸(〃-3cr<T<〃+3b)=0.9973.

4.(2023上•全国•高三专题练习)某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位:

mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).(参考数据：若X，则

P(〃一b<XV〃+b)=0.6826；尸(〃-2cr<XW〃+2cr)=0.9544；尸(〃一3b<XV〃+3cr)=0.9974)

(1)如果钢管的直径X满足60.6mm:69.4mm为合格品，求该批钢管为合格品的概率(精确到0.01)；

(2)根据(1)的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.

题型四：根据正态曲线的对称性求参数

1.(2023下•广西玉林•高二校考期中)已知随机变量X-Nj。?)，且其正态曲线在(f,80)上是增函数,

在(80,+s)上是减函数，且P(724X488卜0.6827.

⑴求参数〃，的值.

(2)求尸(64VXV72).

附：若X~,贝!］尸(必一crWX4〃+<r)=0.6827,P(/z—2cr<X<//+2<7)«0.9545

2.(2023•江西赣州•统考二模)3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件

为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.中国的3D打印技

术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置.我国某企业利用3D打印技术生产飞机的某

种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得

到下面的检测结果：

质量指标[6,7)亿8)[8,9)[9/0)[10,11)[1U2)[12,13]

频率0.020.090.220.330.240.080.02

(1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值［和方差52(同一组的数据用该组

区间的中点值作代表)；

(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标X~N(〃02),其中〃近似为样本平均数卜/近似为样

本方差52.

①若尸(X2“)=0.9772,求〃的值；

②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可能是

多少？

附参考数据：布它2.45，若X~N(〃,b?),则p(〃-<XW〃+b)=0.6827，尸(〃-2。<XW//+2。)=0.9544,

P(〃一3cr<XV〃+3b)=0.9973.

3.(2022・广东广州•统考三模)为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A

指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图

频率

0.18--------------------——

0.14....................——

6

OS..05

..03

OS.02

O

.0

3579111315A指标值

⑴根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数)；

(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632).

(i)若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数)；

(ii)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该

养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的

值大于12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.

参考数据：

①0.022753«0.00001,0.9772517«0.7；

②若X则P(〃—咸N〃+b)yO.6827;P(〃一2成度/z+2cr)~0.9545.

4.（2022下•云南昆明•高二云南师大附中校考期中）为普及传染病防治知识，增强市民的疾病防范意识，

提高自身保护能力，某市举办传染病防治知识有奖竞赛.现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者

的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如表所示的频率分布表.

竞赛成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数610183316116

（1）求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值元和样本方差52（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

⑵若该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布用样本估计总体，〃近似为样本均值，4近

似为样本方差，利用所得正态分布模型解决以下问题：（参考数据：15）

①如果按照15.87%,34.13%,34.13%,15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特

等奖四个等级，试确定各等级的分数线（精确到整数）；

②若该市共有10000名市民参加了竞赛，试估计参赛者中获得特等奖的人数（结果四舍五入到整数）.

附：若随机变量X服从正态分布则—+20.6827,

P（/z-2CT<X<〃+2b）B0.9545,尸（〃一3cr<X<〃+3cr）比0.9973.

题型五：3b原则

1.（2023上•江西南昌•高二南昌十中校考阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线

教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次

化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（满分100分），将他们的成绩分成以下6组：[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[90,100],统计结果如下面的频数分布表所示.

组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数203040603020

⑴现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试

求这4人中至少有2人来自前2组的概率.

（2）高一学生的这次化学成绩Z（单位：分）近似地服从正态分布N（〃Q2）,其中〃近似为样本平均数"b

近似为样本的标准差s，并已求得s=14.31,且这次测试恰有2万名学生参加.

(i)试估计这些学生这次化学成绩在区间(56.19,99.12］内的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(ii)为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：

方案1：每人均赠送25小时学习视频；

方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在(56.19,84.81］内的

学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台

赠送的学习视频总时长更多?请根据数据计算说明.

参考数据：贝U尸(〃—cr<X4〃+cr)y0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)~0.9545.

2.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转

向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上

有影响的制造企业.我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足

发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指

标值服从正态分布N(64,100),且质量指标值在［54,84］内的零件称为优等品.

(1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01)；

(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量X表示抽取的5件中优等品的个数，求X的分布列、

数学期望和方差.

附：尸(〃一成族〃+(T)Q0.6827,尸(〃一2o^k〃+2<7)仁0.9545,尸(〃一3或度//+3cr)~0.9973.

3.（2023下•江西上饶•高二上饶市第一中学校考阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该

市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类励规则如下：得分在［70,80）内的学生获三等奖，得分在

［80,90）内的学生获二等奖，得分在［90,100）内的学生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识

的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.

忸即

0.034卜v।

8:813--I-

°3040$06070NO（M）1（）0或第/分

若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N（",，），其中M为样本平均数的估计值，利用所

得正态分布模型解决以下问题：

⑴若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）;

⑵若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10。。。）随机取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的

学生数为乙求随机变量占的分布列和期望.

附参考数据，若随机变量X服从正态分布Na。?），则P（〃-bVXV〃+bh0.6827,

尸（〃一2cr4X4〃+2cr）。0.9545,一3b4X4〃+3b）“0.9973.

4.（2023下•福建泉州•高二校考期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数

据如下（单位：cm）：

979798102105107108109113114.

设这10个数据的平均值为〃，标准差为.

（1）求M与b；

（2）假设这批零件的内径Z（单位：cm）服从正态分布从这批零件中随机抽取5个，设这5个零

件中内径小于87cm的个数为X,求矶4X+3）.

参考数据：若X~N（〃,<y2）,贝尸（〃-2b<X<〃+2b）y0.9545,尸（〃一3bWXW〃+3cr）*0.9973,

0.99734«0.99.

三、专项训练

1.（2024上•江西,高三校联考期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环

节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第

一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，

答错不得分.

⑴若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N（60,144）,规定X>72为达标，求进入面试环

节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；

⑵某进入面试的应聘者第一题答对的概率为2:，后两题答对的概率均为三4，每道题是否答对互不影响，求

该应聘者的面试成绩y的数学期望.

附：若X~N（〃,CF2）（>0）,则P（〃-cr<X<〃+CF）Q0.683,P（〃-2b<X<〃+2cr）y0.954,

P（〃一3b<X<〃+3b）a0.997.

2.（2024上•江苏常州•高三统考期末）某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N（6,"）,

其中恰有114根金属棒长度不小于6.04.

⑴求。；

（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95,6.05）,那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多

少根？

说明：对任何一个正态分布X-来说，通过Z=3#转化为标准正态分布Z~N（0,D,从而查标

准正态分布表得到P（X<Xj=①（Z）.

可供查阅的（部分）标准正态分布表①（Z）

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

①（Z）0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8

①（Z）0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

3.(2024上•云南昆明♦高三昆明一中校考阶段练习)某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的

质量均服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.

⑴已知如下结论：若X~N(〃Q2),从X的取值中随机抽取K(KeN*，K22)个数据，记这K个数据

的平均值为匕则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面

包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为匕求P(Y<980)；

⑵假设有两箱面包(面包除颜色外，其它都一样)，已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；

第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求

取出黄色面包个数的分布列及数学期望.

附：随机变量〃月艮从正态分布双(〃,<72),贝!|「(〃—(7<〃4〃+<7)=0.6827,P(〃-2crW〃W〃+2b)=0.9545,

P(//-3cr<77<〃+3cr)=0.9973.

4.(2024•全国•模拟预测)某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一学生进行"消防安全知识测试”，

并且规定测试成绩小于60分的为“不合格"，否则为"合格若该年级"不合格"的人数不超过总人数的5%,

则该年级知识"达标"；否则该年级知识"不达标"，需要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一

学生中随机抽取10名，经统计得，10名学生的平均成绩为74分，标准差为7.

⑴假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布将上述10名学生的成绩作为样本，用样本平均数

元作为〃的估计值，用样本标准差$作为。的估计值.利用估计值估计：高一学生知识是否"达标"？

(2)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但

根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，

可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.假设小明在做某道多项选择题时，

基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为;，选择两个选项的概率为二，选择三个选项的概率为」.已

z36

知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记

X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数，求X的分布列及数学期望.

附:若随机变量Z服从正态分布则P(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.9544,

P(N一3b<Z<〃+3b)=0.9974.

5.（2023•全国,模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），

并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示.

频率/组距

-------1-----1

—I-

---------L__J_

——J——1————J.

o'5060708090100成绩/分

（1）根据I频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数.

（2）若所有学生的初赛成绩X近似服从正态分布其中M为样本平均数的估计值，初赛成

绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数.

⑶复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分.已知某学生已通过

初赛，他在复赛中第一题答对的概率为5,后两题答对的概率均为J，且每道题回答正确与否互不影响,

记该考生的复赛成绩为y,求y的分布列及数学期望.

附：若随机变量X服从正态分布N（〃Q2）,则P（〃-b<XV〃+。）。0.6827,

P（〃一2b<XW〃+2o■卜0.9545,尸（〃一3b<XW〃+3cr）。0.9973.

6.（2023上•四川攀枝花•高二统考期末）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富.其中，"红格脐橙"

已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该

果园的单个"红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布N（68,36）.

⑴一顾客购买了10个该果园的"红格脐橙"，求会买到果径小于56mm的概率；

⑵为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2013

年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：

年利润增量（万元）

45

40

35

30

25

20

15

10

5

6123456789161g资金额岚万元）

该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型；

模型①：由最小二乘公式可求得y与X的线性回归方程：y=2.50%-2.50；

模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：1=Rnx+。的附近.对投资金额》做交换,

10101010

令t=lnx,且有£乙=22.00,£M=230,=569.00,£r,2=50.92.

Z=1Z=11=1z=l

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；

（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测

投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.

回归模型模型①模型②

y=b\nx+a

回归方程9=2.50%-2.50

10。

Z(…)一102.2836.19

i=\

附：若随机变量X~N(4,cr2),则尸(〃一2bVXV〃+2b)=0.9544,P(〃-3crVXV〃+3b)=0.9974；

样本（4，y）（?=1,2,的最小二乘估计公式为B=上—；----------=号--------，a=y-bt

1=1Z=1

Z(X—%)2

相关指数改=「——

E(x-y)2

i=l

8.（2023下•黑龙江大兴安岭地•高二大兴安岭实验中学校考期中）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨

最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地

2000户农户家庭年收入无（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图.

八频率/组距

0.3-------------------------

0.2-----------------------------

0.15---------------

o'4：55：56：57：58：59：565"万元）

⑴求这2000户农户家庭年收入的样本平均数亍（同一组的数据用该组区间中点值代表）.

⑵由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布其中〃近似为样本平均数元，b?近似为

样本方差$2,其中$2=2.3.

①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）

②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取

4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为求P《43）.（结果精确到0.001）

附：①后它1.52；②若XN（〃,〃）2UP（〃—b<X<〃+b）=0.6827，*〃一2b<X<〃+2b）=0.9545；

③0.84135晨0.501.

9.（2023・四川宜宾•四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）为深入学习党的二十大精神，激励青年

学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中

抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.

频率

（1）将此次竞赛成绩J近似看作服从正态分布用样本平均数和标准差S分别作为〃，b的近似值）,

己知样本的标准差SB7.5.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超

过88分的学生人数为随机变量X,求X的数学期望；

⑵从得分区间［80,90）和［90,100］的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3

份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间［90,100］的概率.

参考数据：若J则尸（〃一〃+<7）。0.68,P（〃-2b<jV〃+2b）y0.95,

P（//-3cr<^<//+3cr）~0.99.

10.（2023下•重庆江北•高二重庆十八中校考阶段练习）为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融

合，促进青少年健康发展的意见》，A市共100000名男学生进行100米短跑训练，在某次短跑测试中，从

中抽取100名男生作为样本，统计他们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图，现规

定男生短跑成绩不超过13.5秒为优秀.

⑴估计样本中男生短跑成绩的平均数.（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）根据统计分析，A市男生的短跑成绩X服从正态分布N（〃,L252）,以（1）中所求的样本平均数作为〃的

估计值，求下列问题：

①若从A市的男生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在［12.5,17.5］以外的人数为匕求P（V21）；

②在这100名男生中、任意抽取2名成绩优秀的男生的条件下，将该2人成绩纳入全市排名（短跑周时越

少、排名越靠前），能进入全市前2275名的人数为无，求x的期望.

附：若2~队〃,6,贝!|：p（〃一bVZV〃+b）=0.6827,P（〃一2crVZV〃+2cr）=0.9545,

尸（〃一3crWZW〃+3（T）=0.9973,O.954510«0.6277

专题03正态分布(典型题型归类训练)

一、必备秘籍

1、正态分布

1(>"

若随机变量X的概率分布密度函数为/(x)=--j=e2b2对任意的尤eH,/(x)>0,它的图象

c/2万

在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称/(%)为正态密度函数,称它的图象为正

态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为

XN(〃,cy2).特别地，当〃=0,。=1时，称随机变量X服从标准正态分布，即XN(0,l).

由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点:

(2)曲线在x轴的上方，与x轴不相交。

(2)曲线是单峰的，它关于直线％=4对称.

1_

(3)曲线在％=4处达到峰值—7=(最IWJ点)

(7«2万

(4)当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.

(5)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.

2、正态分布的3o■原则

2b3b

*—,68.27%

…95.45%…

…•…99.73%•…•…

P(N-(y<X<4+CF)Q0.6827

尸(〃-2a<%<//+2a)«0.9545

P(N一3b<X<//+3b)p0.9973

二、典型题型

题型一：正态密度函数

1.（2021,陕西宝鸡■统考三模）某地处偏远山区的古镇约有人口5000人，为了响应国家号召，镇政府多项

并举，鼓励青壮劳力外出务工的同时发展以旅游业为龙头的乡村特色经济，到2020年底一举脱贫.据不完全

统计该镇约有20%的人外出务工.下图是根据2020年扶贫工作期间随机调查本地100名在外务工人员的年

（1）根据样本数据怙计该镇外出务工人员的创收总额（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表卜

(X-〃)2

（2）假设该镇外出务工人员年收入服从正态分布N（〃,〃），其分布密度函数为〃x）=]h,其中

(Jy[27T

M为样本平均值.若/（x）的最大值为叵，求b的值；

10%

（3）完成脱贫任务后，古镇党政班子并不懈怠，决心带领全镇人民在奔小康道路上再上一个新台阶，出台

了多项优惠政策，鼓励本地在外人员返乡创业.调查显示务工收入在［〃+。,〃+2可和［〃+25，+3日的人群

愿意返乡创业的人数比例分别为15%和20%.从样本人群收入在［〃+5〃+3日的人中随机抽取3人进行调

查，设X为愿意返乡创业的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】（1）30000（千元）；（2）（7=5；（3）分布列答案见解析，数学期望：—.

【分析】（1）利用频率分布直方图求出100名在外务工人员的年平均收入，再乘以5000x20%可得结果;

（2）根据概率密度函数的单调性求出最大值，结合已知最大值可得结果；

（3）求出随机变量X的可能取值及其概率可得分布列，根据期望公式求出数学期望.

【详解】（1）由频率分布直可知100名在外务工人员的平均年收入为

0.02x5x17.5+0.03x5x22.5+0.04x5x27.5+0.06x5x32.5+0.04x5x37.5

位01x5x42.5=30(千元)

•••该镇外出务工人员的创收总额为5000x20%x30=30000(千元).

（X-4）2

(2)概率密度函数为/（尤）=寸，在（—,〃）上单调递增，在（〃,内）上单调递减

1

.•.当X=〃时，函数“X）取得最大值为

,1_后

解得CF=5.

CTA/ZT?10%

(3)/z=30,a-5,

•••样本中年收入在［〃+5〃+2可(即［35,40］)和［〃+25〃+3可(即［40,45］)内愿意返乡创业的人数分别为

100x0.04x5xl5%=3AW100x0.01x5x20%=1A.

...样本人群收入在［〃+5〃+3可=［35,45］内共100x（0.04+0.01）x5=25人，其中愿意返乡创业的共4人,

,随机变量X的可能取值分别为0,1,2,3,

l2

c£_665CC420C2cl63

尸(X=0)=P(X=I)=^V^=-^-P(X=2)=*=

可一1150

Cf51150。251150

2

P(X=3)=

41150

「•随机变量X的分布列为

X0123

665420632

P

1150115011501150

八6651420c63。212

/.E（X）=0x----+lx----+2x-----i-3x----=——

v7115011501150115025

【点睛】关键点点睛：掌握利用频率分布直方图求平均数、正确求出离散型随机变量的分布列是解题关键.

1上

2.(2018・高二课时练习)正态总体当〃=0。=1时的概率密度函数是%