高考数学解答题提高第一轮复习：数列求和（倒序相加法、分组求和法）（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：倒序相加法...............................................2

题型二：通项为c,=4土a型求和....................................3

a〃为奇数

题型三：通项为为偶数型求和..............................

三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练..............6

一、必备秘籍

1、倒序相加法，即如果一个数列的前〃项中，距首末两项“等距离”的两项之

和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前〃项和.

2、分组求和法

2.1如果一个数列可写成g=4土〃的形式，而数列也｝,也｝是等差数列或等比

数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

a〃为奇数

2.2如果一个数列可写成为俾物的形式，在求和时可以使用分组求和法.

bn”为偶数

二、典型题型

题型一：倒序相加法

3

例题L（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃尤）=9上.

（1）求证：函数〃元）的图象关于点对称；

⑵求5=”—2022）+4—2021）+.+/（0）++〃2022）+“2023）的值.

例题2.（2023秋•江苏,高二专题练习）设函数〃元）=l+ln——，设q=l,

X

%=N*,〃词.

⑴计算+X）的值.

（2）求数列｛%｝的通项公式.

（2023•全国•高二专题练习）设Aa，%）,*%,%）是函数/（同=；+1呜X

例题3.的图象上任意两点,

i-x

S.OM=^（OA+OB）,已知点M的横坐标为

⑴求证：M点的纵坐标为定值;

(2)若+…eN",且"22求S“；

例题4.(2023秋•山东青岛•高二山东省青岛第五十八中学校考期末)已知函数”元)满足/(尤)+〃1-%)=2,

若数列｛凡｝满足：«„=/(0)+/^++/]—J+AA

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2

例题5.(2023•全国,高二专题练习)已知｛%｝为等比数列，且叱2(m=l，若“无)=津/，求

/(«1)+/(«2)+/(«3)++/(g021)的值.

题型二：通项为%土〃型求和

例题1.(2023•贵州六盘水•统考模拟预测)已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，等比数列他,｝的各项均为

正数，且满足4=4=1,Ss=35,4=仇.

⑴求数列｛4｝与｛〃｝的通项公式；

(2)记cn=an+2bn,求数列匕｝的前〃项和T„.

例题2.(2023春•黑龙江齐齐哈尔•高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习)已知各项均为正数的等差数

列｛%｝的首项4=1,电，为，%+2成等比数歹!J；

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=3。”-3%,求数列也｝的前”项和

例题3.(2023春•吉林长春•高二长春外国语学校校考期中)已知等比数列｛%｝中，/=2,%=骁

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵若〃=练+2"+1,求数列也｝的前〃项和S”.

例题4.(2023秋•江苏无锡・高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习)已知等差数列｛%｝,S,,为其前九项和,

%=10,S7=56.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若。=4+34T,求数列也｝的前〃项和.

例题5.(2023秋,山东济南,高三统考开学考试)等差数列｛%｝满足。$=5,弓+%=8,正项等比数列出｝

满足62=。2，”是和。64的等比中项.

(1)求｛4｝和｛6“｝的通项公式；

(2)记cn=an+b„,求数列｛g｝的前”项和S,,.

［an”为奇数

题型三：通项为"”为偶数型求和

例题1.(2023・海南•统考模拟预测)在①。2，%，%成等比数列，且4S.=匕②2%=q+%,数

列｛邓］是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知各项均是正数的数列｛%｝的前〃项和为S”，且__________.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设勿=(-1)"%,求数列｛二｝的前“项和T„.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例题2.(2023秋•浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)设数列｛%｝的前"项和为S,,,已知

S„=|(3«„-l)(«eN*).

(1)求｛%｝的通项公式；

伍+凡，几为奇数,,/、

(2)设"=小便将，求数列也｝的刖2”的项和凡.

［几•4,"为偶数

n—\

例题3.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足%=2""为奇数，求数列｛4｝的前〃项和S,,.

n,n为偶数.

n1t

例题4.（2023•河南郑州•模拟预测）已知数列｛%｝满足：q=3,a„=a„_1+2-（n>2,neN）.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

（2）令6“=an-1+（-1）"log2（a„-l）,求数列｛bn）的前”项和7”.

4（见+2）

例题5.（2023・全国•高三专题练习）已知正项数列｛%｝的前〃项和S,,,且S“=九wN*）,数列也｝

4

为单调递增的等比数列，4+4+4=13,b、b2b3=27.

⑴求数歹！J｛6｝,｛2｝的通项公式;

为奇数■

(2)设%=%及为偶数'求…+C-

三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练

一、单选题

1.(2023秋•山东潍坊•高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习)已知函数/(x)=(x-ir+2,数列｛4｝为等

比数列，4>0,且4oo9=e,利用课本中推导等差数列前〃项和的公式的方法，则

/(Inq)+/(In4)+…+/(ln«2017)=()

2017

A.----B.2017C.4034D.8068

2

2.(2023秋•江苏•高二专题练习)已知正数数列｛4｝是公比不等于1的等比数列，且44。23=1，试用推导

等差数列前〃项和的方法探求：若"X)=£r，贝厅(6)+/(。2)+…+/(%023)=()

A.2022B.4044C.2023D.4046

二、填空题

3.(2023•全国•高三专题练习)已知正数数列｛凡｝是公比不等于1的等比数列，且％/。|9=1，试用推导等

差数列前w项和的方法探求：若贝lJ/(q)+〃％)++f(«2019)=.

4.(2023・全国•高三专题练习)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对

1+2+3+L+10。的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定

的规律生成.因此，此方法也称为高斯算法.现有函数/(元)=黄工，则

1.”2、3、„2017,„,2018.,,

f(-----)+f(-------)+f(------)++f(z------)+f(-------)的.

20192019201920192019------

三、解答题

5.(2023春・江西萍乡•高二统考期末)已知函数〃力=1+1占关于点对称，其中。为实数.

(1)求实数。的值；

(2)若数列｛%｝的通项满足为=/［忘)，其前〃项和为S",求邑期.

6.(2023秋•广东广州•高三广州市真光中学校考阶段练习)已知数列｛4｝为非零数列，且满足

1+邛+4(1+-

aiAIa„)

⑴求数列｛见｝的通项公式;

（2）求数列的前〃项和S”.

a„

7.（2023春•云南曲靖•高三校联考阶段练习）已知等差数列｛%｝,其前"项和为S”.满足S3=9,且6是出+1

和火的等比中项.

⑴求｛。“｝的通项公式；

（2）设%=2%+4的前”项和为7；,求却

8.（2023・河南•校联考模拟预测）已知数列｛叫的前“项和为加且满足S“=2a"T6“=30-log2（S“+l）.

⑴求数列｛4｝,｛"｝的通项公式；

\a,a>b,、

（2）定义4*6=记％=。"*么，求数列｛%｝的前20项和乙.

9.（2023秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列｛4｝的

前九项和为S",已知2（S“+l）=d+a”.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

()%(〃为奇数)

(2)若数列也｝满足a=［为偶数j'求数列也｝的前〃项和Sa•

13.(2023春•安徽阜阳•高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习)已知数列｛七｝的各项均为正数，前"项和

2

为S"，S”制马.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设2=2°«+(-1)"a：,求数列也｝的前"项和7“.

专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：倒序相加法...............................................2

题型二：通项为c,=4土a型求和....................................3

a〃为奇数

题型三：通项为为偶数型求和..............................

三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练..............6

一、必备秘籍

1、倒序相加法，即如果一个数列的前〃项中，距首末两项“等距离”的两项之

和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前〃项和.

2、分组求和法

2.1如果一个数列可写成g=4土〃的形式，而数列也｝,也｝是等差数列或等比

数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

a〃为奇数

2.2如果一个数列可写成为俾物的形式，在求和时可以使用分组求和法.

bn”为偶数

二、典型题型

题型一：倒序相加法

3

例题L(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃尤)=9上.

(1)求证：函数〃元)的图象关于点对称；

⑵求5=〃-2022)+4-2021)+,+/(0)++〃2022)+“2023)的值.

【答案】⑴证明见解析

(2)5=2023

【详解】(1)因为/(尤)=1二，所以〃l-x)=Y—=*二=3，

所以/(X)+〃17)=1,即函数“X)的图象关于点对称.

(2)由(1)知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.

因为S=/(-2022)+/(-2021)+...+/(0)+/(1)++”2022)+/(2023),

所以S="2023)+〃2022)++/(1)+/(0)++/(-2021)+/(-2022)(倒序)，

又由(1)得〃力+

所以2s=4046,所以5=2023.

例题2.(2023秋•江苏•高二专题练习)设函数"xHl+lnp,设q=1,

%=7mm+4-人N*,让2).

⑴计算+X)的值.

⑵求数列｛4｝的通项公式.

【答案】(1)2

l,n=1

⑵

%=n-l,n>2

1—Xx

【详解】(1)f(-^)+/(I—x)=1+In------F1+In-----=2；

X1-x

(2)由题知，当〃N2时，

又氏=/(与口+/1_]++/1)]，两式相加得

所以=〃T,

又q=1不符合%1,

fl,n=l

所以I-

In-l,H>92

例题3.(2023•全国•高二专题练习)设是函数〃》)=4+1。82户的图象上任意两点，

S.OM=]-(OA+OB),已知点M的横坐标为J.

(1)求证：M点的纵坐标为定值；

⑵若S“=/(5+/W…+eN",且2求S.；

【答案】(1)证明见解析；

(2)Sn=-^(«>2,HeN*).

【详解】(1)证明：设M(x,y),因为OM=g(Q4+OB),故可得尤=土产,y=当比，

由芯=工知尤1+%=1,故玉=1-彳2，々=1一再，

故、，%+%㈤1+至=+晦之l+log,^-+log2-

x2Xj_1

'2222-2

故拉点的纵坐标为定值J.

(2)由(1)知芯+%=1,/(&)+/(>2)=1

s„=/(-)+/(-)++/(——)

nnn

〃一1n—21

S„=/(—)+/(-)+...+/(-),

nnn

两式相加得:

2S“=f=n-l,

故=^—(〃22,〃wN*).

例题4.(2023秋•山东青岛•高二山东省青岛第五十八中学校考期末)已知函数/(%)满足〃x)+/(l-x)=2,

若数列｛%｝满足：氏=/(0)+[£|++/11■J+/6

⑴求数列｛%｝的通项公式；

【答案】⑴。〃=〃+1,〃EN*;

【详解】(1)因为〃%)+/(1-%)=2,

由%=/(0)+4+⑴①,

则氏=")+/(—)++/[£|+/(o)②,

所以①+②可得:2«„-[/(0)+/(1)]++L+[/(1)+/(0)]=2(«+1),

故。“=〃+1,“eN*.

?

例题5.(2023•全国•高二专题练习)已知｛%｝为等比数列，且4％⑼=1，若〃x)=V求

/(01)+/(«2)+/(«3)++/(g021)的值.

【答案】2021

【详解】因为｛%｝为等比数列，«1«2021=1>所以%%020=%/019==«101iai011=1>

0\\22222(1+叫

因为"x)=C^，所以〃2+““诬)_讪+1^烹—a*+二^一下于一，

Q；

同理可得J(H)+J(a2020)=/(H)+19)=…=J(4OU)+“4OU)=2,

所以〃4)+〃“2)+/3)++/(%021)

=1[/(«,)+/(«2021)+/(«2)+/(«2020)++"a*)+"4)]=；x2x2021=2021

题型二：通项为°"=""土"型求和

例题1.(2023・贵州六盘水•统考模拟预测)已知等差数列｛%｝的前〃项和为s“，等比数列｛4｝的各项均为

正数，且满足4=4=1,§5=35,a6=b5.

⑴求数列｛%｝与也｝的通项公式；

(2)记c“=an+2bn,求数列｛c“｝的前”项和T„.

【答案】⑴4=3〃-2,b—T

321

(2)Tn^n--n+2^-2

【详解】(1)记等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为q,

S5=5q+lOd=35

4

则由题可得，-al+5d=biq,

“1=4=1

解得1=3,才=4,

又等比数歹式a｝的各项均为正数，所以q＞。，所以4=2,

1

所以q=1+3(〃-1)=3〃—2,bn=2"-.

(2)由(1)可得，c“=3〃-2+2",

所以北=(1+2)+(4+22)+(7+23)+…+(3〃-2+2")

=[l+4+7+---+(3M-2)]+(2+22+23+---+2n)

=-n2--n+2n+1-2

22

例题2.(2023春•黑龙江齐齐哈尔•高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习)已知各项均为正数的等差数

列｛凡｝的首项％=1,%,%，4+2成等比数列；

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若bn=3册-3%,求数列也｝的前九项和北.

【答案】(1)4="；

CT3"+1-3M2-3H-3

(2)Tn=---------------------

【详解】(1)解：设等差数列｛见｝的公差为d(d>0),

又因为%，为，&+2成等比数列，

所以a；=a2(a6+2),即(q+3d)。=(6+d)(%+5d+2),

整理得：2建-d-q=0,

又因为％=1,

解得d=l或d=_；(舍)

贝I］有an=4+("-l)d=n,

所以数列｛%｝的通项公式为«„=";

(2)解：因为““=〃，

所以优=3%-34=3”-3w,

所以北=3+3・2++3"-3(1+2++n)

n

3(1-3)3x(l+n>

1-3—-*2

3〃+1-3/一3〃一3

2

3向-3〃2_3〃-3

所以为=

2

例题3.(2023春・吉林长春•高二长春外国语学校校考期中)已知等比数列｛4｝中，出=2,%=16

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若“=为+2及+1,求数列也｝的前n项和Sn.

【答案】⑴%=2"也

(2电=2"-1+/+2”

【详解】(1)设公比是4,则/=%=；=8,4=2,因此％=a=1,

〃22q

所以。"=2"T；

(2)由(1)£=2"T+(2〃+l),

S“=(l+2+.+2"T)+[3+5+..+(2H+1)]=l^+W(3+2，?+1)=2n-l+n2+2».

1-22

例题4.(2023秋•江苏无锡・高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习)已知等差数列｛4｝,S“为其前〃项和,

%=10,S7=56.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=an+3。户,求数列｛〃｝的前〃项和.

【答案】⑴4=2”

3(9"-1)

(2)n2+〃+

8

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,

%+4<i=10%+46?=10

，解得a1=d=2,

则74+21d=56'[4+3d=8

所以％=2〃.

(2)2=4+3-=2〃+32i=2〃+3.9i,

数列｛3-9"T｝是首项为3,公比为9的等比数列，

所以数列也｝的前n项和为2+2〃.用+3°-9")=*+“+3(9”-1).

21-98

例题5.(2023秋•山东济南•高三统考开学考试)等差数列｛%｝满足%=5,%+%=8,正项等比数列也｝

满足4=%,%是生和。64的等比中项.

(1)求｛%｝和｛0｝的通项公式；

⑵记c“=an+bn,求数列｛%｝的前"项和S,,.

【答案】⑴4="，b,=2"T；

172+rj

⑵s'=笠累2”一1

【详解】(1)设等差数列包｝的公差为小等比数列低｝的公比为4g>o),

[etc—CL+4d—5

由题意可得：ccQ，

[a[+%=26+6a=8

解得，al=d=\,

所以，q=q+(〃—l)d="；

又2>0且勿=%=2,1=J4a64=8,

所以q$=2,

所以£=%q7=2"T.

(2)因为C,=4+2=〃+2"T,

所以S“=(l+2°)+(2+21)+(3+22)++(〃+2”T)

=(1+2+3++Z?)+(2°+21+22++2”T)

«(1+»)12°(i-r)n2+n

+2n-l-

F1-2-2

\an〃为奇数

题型三：通项为"”为偶数型求和

例题1.(2023•海南•统考模拟预测)在①“2,%,%成等比数列，且4s②2%=q+%，数

列｛#]是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知各项均是正数的数列｛4｝的前〃项和为S",且__________.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设由=(-1)"%,求数列也｝的前”项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴4=21

_f"，”为偶数，

⑵”[f,〃为奇数.

【详解】（1）若选择条件①：

根据题意，由4S"嗫-4"-1,得

当〃22时，4s=片一4（九一1）-1.

两式相减得，4an=a']-aj-4,

化简得a.+i=a”+2或-a,+i=a“+2（:舍），

所以当“22时，数列｛%｝是公差为2的等差数列，

则an=a-,+2（〃一2）=%+2〃-4.

又由抬=/，。14，得（％+6）2=的（％+24）,解得。2=3,

所以=2〃-1（〃22）.

当”=1时，4S]=a；-4-1,解得q=l,满足上式，

故。“=2〃->

若选择条件②：

由题设知腐+（〃一1）、1=苑+〃一1,

则当心2时，a“=S「Sz=（E-瓦）.

（向+7^7）=26-3+2”,

由22=%+生，得2（2^^"+1）=4++3,

解得q=1,

故当〃22时，an=2n-l,

当〃=1时，4=1也满足上式，

故氏=2〃-1.

（2）2=（-1）&=（-1）〃（2几-1）,

VI

当"为偶数时，T=-1+2-3+4+..+2〃一l=2x—=〃，

n2

当n为奇数时,Tn=I-+(-2»+1)=(-2n+1)+2x早=一〃,

..T\耳〃为偶数，

故"一1-〃,〃为奇数

例题2.（2023秋・浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列｛%｝的前九项和为S“，己知

S„=i(3a„-l)(neN*).

(1)求｛4｝的通项公式;

喘般求数列间的前2“的项和1

(2)设4=

【答案】⑴％=3'T

二岛(24〃+032〃—1

(2%

32

【详解】(1)由2s得2s1=3%-1(〃22),两式相减得%=3%(〃22).

令〃=1,4=1,.•.数列｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列,

〃+为奇数

(2)由题意可得"=

九•a〃，几为偶数'

川+吐1

S奇数项=0+3+5++2n-l)+(3°+32+34++32,!-2)=

8

S偶数项=2-31+4-33+6-35++2”・321①，

贝IJ9s偶数项=2々3+4.35+6・37++2^32用②，

3・(1—9〃)

①一②得：偶数项俨+〃2n+1

-85=233++321)-23；2〃+i=2.一--1-2n-3

1-9

(24"-3)-32"+3

一S偶数项二

32

9"-1(24«-3)-32"+3_^(24«+1)-32,,-1

:工"=n'++2+

83232

n-1

"为奇数,求数列｛%｝的前"项和

例题3.(2023,全国,高三专题练习)己知数列｛q｝满足(=.22,S,,.

n,几为偶数.

〃+12v

2^+—w为奇数,

44

【答案】S“=,

22+—+--1,"为偶数.

42

【详解】当〃为奇数时,Sn=(%+/++凡)+(%+&++)

(i-i3-1“-1、

2T+2V++2V+[2+4++(77-1)]

7

n+l

M+12C

>2h5-1)(2+"-1)二2三+土二

-KF+2^244

当〃为偶数时，S〃=(4+%++/_])+(%+。4+-+。〃)

1-13-1(i)T

2T+2v++22+(2+4++〃)

71+12v

2k+---,“为奇数，

44

综上所述，S„=

n2

23+±+乌一1,〃为偶数.

42

例题4.（2023•河南郑州•模拟预测）已知数列｛凡｝满足：q=3,4=0,-+2"T（"N2,〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵令2=an-1+(-1)"log2(an-1),求数列也｝的前L项和看.

【答案】①见=2"+1("eN*)

17-I-1

2"+,-2--,n=2k-l

„2

⑵方=且壮N*

2n+1-2+-,n=2k

L2

1

【详解】(1)«„-«„-1=2"-(n>2),

当“22时=4]+(a2—q)+(%—a2)+...+(an,—an_2)+(。“一应—)

=3+2+22+...+2'-2+2"-1=2+^^=2"+1,检验知：当”=1时上式也成立,

1-2

故%=2"+l(〃eN*).

(2)b„=2n+(-l)nn.

2()+|

当〃为偶数时，7；=2+2?++2"+(-1)+2+(-3)+4++(-1)"w=^~+1=2"~2+^;

nnnn+

当〃为奇数时，Tn=Tn_l+2+(-iyn=2-2+^+2-n=2'-2-^S.n>3,

又”=1时7；=4=2—1=1满足上式，止匕时（=2角一2一号;

2n+'-2--,n=2k-1

2

且AeN*.

2n+l-2+-,n=2k

2

例题5.（2023・全国•高三专题练习）已知正项数列｛4｝的前"项和S,,,且s,=%，（：+2）

(〃eN*),数列也｝

为单调递增的等比数列，bl+b2+b3=13,624=27.

⑴求数歹（］｛%｝,｛优｝的通项公式;

凡，〃为奇数4

⑵设c.=%"为偶数'求q+q+%+

【答案】（1）见=2",bn=3''-'

5+1)1、+g(3"T_l),〃为奇数

2

(2)

n23

为偶数

I28

a

【详解】（1）由"="〃（"〃上9可知,Sn-X

〃4H-1

4(4+2)4|%+2)

则(=S-S,T

4-4

化简可得：（%+%1）（%-q_1-2）=0

・〃〃〉°，••an+an-l>0，即4一。〃—1一2二0,

%一%-1=2("N2)

・二数列｛q｝是以2为公差的等差数列,

=%+(n-l)x2,

由H=q=4（?+2）可知。=2,

%=2〃，

t\b2b3=27b=3

又由出｝为递增的等比数列，且,即2

4+"2+0=134+4=10'

b=1.

解得片}…=尸

2n,〃为奇数

（2）依题意可知q二

为偶数'

因此G+Q+。3++%=2+31+6+3^+10+3,+

=(2+6+10+)+(3'+33+35+

n^-1

当〃为偶数时，原式〃。E3(1-3")3/、

=—x2+—x4+」…d=±+±(3”_1)

2-21-3228、)

n+\(n+1]

((

当，为奇数时，原式=3x2+二231-37)"+1)23

x4++-

221-3228

8苴+3(3"T_1),W为奇数

28V'

综上，Cj+c2+c3++cn

2o

巴+彳3"T，”为偶数

,28V7

三、专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)专项训练

一、单选题

1.(2023秋•山东潍坊•高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习)己知函数/(X)=(X-1)3+2,数列｛〃“｝为等

比数列，«„>0,且即>„9=e,利用课本中推导等差数列前〃项和的公式的方法，贝U

/(Infl,)+/(ln«2)+...+/(lno2017)=()

2017

A.----B.2017C.4034D.8068

2

【答案】C

【详解】用倒序相加法：令)+/(Ina,)+...+/(lna2017)=S①

则也有/(lno20i7)+/(lna2016)+-••+/(ln«2)+/(Inq)=S②

i/W+/(2-%)=(x-l)3+2+(l-x)3+2=4,

2

=a,&oi6=­,=廉09=合,即有Ina,+lna2017=Ina,+ln«2016=•■=Ine=2,

可得：)+/(Ino,)=f(lna210l6)+/(Ina,)=...=4,

于是由①②两式相加得2s=2017x4,所以S=4034.

故选：D

2.(2023秋•江苏•高二专题练习)已知正数数列｛2｝是公比不等于1的等比数列，且%%。23=1，试用推导

等差数列前〃项和的方法探求：若"外=金，贝厅(《)+/•(%)++/(%)23)=()

A.2022B.4044C.2023D.4046

【答案】D

【详解】因为正数数列｛%｝是公比不等于1的等比数列，且q9。23=1，

所以4,。2023=%,,“2022=03.02021=L=^1012=1，

4

文:函数/(%)=;―

4+4x2

=4

1+x2

令T=令q)+f(a2)+•••+f(a2023),则T=f(a2023)+令。2018)+…+令％)，

27=/(2+/(%023)+/3)+/(%018)+…+"%023)+/(4)=4X2023,

T=4046.

故选：D.

二、填空题

3.(2023•全国•高三专题练习)已知正数数列｛%｝是公比不等于1的等比数列，且4生89=1，试用推导等

差数列前〃项和的方法探求：若"x)=士，则"％)+/3)++"%89)=_____.

1+X

【答案】4038

【详解】正数数列｛见｝是公比不等于1的等比数列，^019=1.则。"电。2。一“=l，"eN*,”42019,

144

由7a)=修，当时，/w+/y=i7^+^i7=4.

X

于是/(%)+/(。2020.“)="%)+■/■—K4-令与109=/(%)+/■(出)++/(«2019)-

\an)

则弓19=/(a2019)+/(。2018)++/(4)

因此2。9=[/(4)+八的“9)]+"(出)+"%“8)]++"(的”9)+〃4)]=4X2019,

所以盘19=4038.

故答案为：4038

4.(2023・全国•高三专题练习)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对

1+2+3+L+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定

Ax

的规律生成.因此，此方法也称为高斯算法.现有函数=则

„,1.23,„,2O17.„,2O18,,,

f(------)+f(-------)+f(------)++f(------)+f(-------)的.

20192019201920192019-----

【答案】1009

AxAx41-x4X44X9

【详施军】由函数=---，得/(%)+/(l—%)=-^---F—j---=----1-------=----1----=1,

v74"+24x+241+24尤+24+2x4"4%+22+4、

八「j1、2、-3、-2017、//2018、

令S=于(----)+f(-----)+f(-------)++f(-------)+f(------),

20192019201920192019

e。//2018、//2017、//2016、-2、-1、

贝1]S=/(---)+f(------)+f(-------)++f(-------)+f(------)，

20192019201920192019

两式相加得2s=1x2018,解得S=1得9,

所以所求值为1009.

故答案为：1009

三、解答题

5.（2023春•江西萍乡•高二统考期末）已知函数〃力=1+了七关于点&,曰对称，其中。为实数.

（1）求实数。的值；

（2）若数列｛%｝的通项满足4=（矗）其前〃项和为S,,,求S2g.

【答案】（1）。=—2

⑵S2022=1011

【详解】⑴由题知小）+〃一）=1,即1+/+I+-4

整理得，一+441=24+小4：=_],解得“=-2；

4l+24+2-414+24

（2）由题知，且〃X）+〃17）=1,

则sgU+d'+dj-”—

一022，（2023j（2023）（2023）（2023）

-。/2022）/2021）/2020、/1）

2022_/12023卜^^6^+”2023）+…+，

故2sZ加UZZ=1+1+1+…+1=2022,

即S2022=1°1L

6.（2023秋•广东广州•高三广州市真光中学校考阶段练习）己知数列｛%｝为非零数列，且满足

『却+』ITU）

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列|1]的前〃项和S,「

【答案】（工）。“=\

1-4

⑵邑=$1母+^F

,114

【详解】（1）当〃=1时，1+-=7,解得％=一，

443

当〃22时，由（1+1]]+^-]…（1+，]=（工）"（"包，

（q八a0）aJ2

(1V1)

得1+—1+一

I4八a2j

两式相除得：1+4=（1产=（5"，即4=三，当”=1时,也满足,

d21,13

所“匕4〃

11-4"111

(2)由(1)可知，—=——=--1,所以一