高考数学核心知识与技巧速记手册（含答案及解析）

高考数学核心知识与技巧速记手册

目录

技巧01权方和不等式的应用

技巧02普通型糖水不等式的应用

技巧03对数型糖水不等式的应用

技巧04基本不等式链的应用

技巧05“奇函数+常函数”的最大值+最小值

技巧06“奇函数+常函数”的/（a）+/（-a）

技巧07已知函数解析式判断函数图象

技巧08已知函数图象判断函数解析式

技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系

技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系

技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系

技巧12函数对称性的应用

技巧13解不等式（含分段函数）的应用

技巧14整数解的应用

技巧15零点的应用

技巧16切线与公切线的应用

技巧17端点效应（必要性探索）

技巧18函数凹凸性

技巧19洛必达法则

技巧20导数中的极值点偏移问题

技巧21半角公式的应用

技巧22万能公式的应用

技巧23正余弦平方差公式的应用

技巧24三角函数异名伸缩平移

技巧25“爪子定理”的应用

技巧26系数和（等和线）的应用

技巧27极化恒等式的应用

技巧28奔驰定理与三角形四心的应用

技巧29角平分线定理的应用

技巧30张角定理的应用

技巧31点对称问题

技巧32圆中的切线问题

技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用

技巧34圆锥曲线中中点弦的应用

技巧35复数的模长及最值的应用

技巧36柯西不等式的应用

技巧01权方和不等式的应用及解题技巧

权方和不等式的初级应用：若a,b,x,y>Q则—+,>二十勾当且仅当—=-时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀）

1.已知且2a+b=3,则」不+—彳的最小值为（）

2a—12b—1

Q1

A.1B.yC.9D.y

27/22

2.已知正数y,z满足力+p+z=1,则一%—H--H----------餐一的最小值为

y+2zz+2xx+2y------

3.已知力+2g+3z+4u+5。=30,求/+2y2+3z2+4n2+5d的最小值为

技巧02普通型糖水不等式的应用

1.糖水不等式定理，若a>b>Q,m>0,则一定有-^22L>—

a+ma

通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜;

2.糖水不等式的倒数形式，设a>b>0,m>0,则有：与〉？±%

bb+m

1.（2020•全国•统考高考真题）已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=logi38M（）

A.a<b<cB.bVaVcC.bVcVaD.c<Za<b

技巧03对数型糖水不等式的应用

（1）设nEN+,且则有logn+in<logn+2（n+1）

（2）设a>b>l,m>0,则有logab<loga+m（6+m）

（3）上式的倒数形式:设a>b>l,m>0,则有log6a>log6+m（a+rn）

1.（2022.全国.统考高考真题）已知9m=10,a=10m-ll,b=8M—9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

技巧04基本不等式链的应用

基本不等式链：小仪济〉2Tg>0,b>0）,当且仅当a=b时，等号成立.

•••

1.(2022.全国•统考高考真题)若名,0满足3?+/一绚=],则()

A.x+y^lB.x+2C./+/42D.x2+1

技巧05”奇函数+常函数”的最大值+最小值

在定义域内，若F(rc)=/(力)+/.,其中于(x)为奇函数,幺为常数，则最大值A1,最小值7n有M-\-m=

2A

即M-\-m=2倍常数

1.(2023上・江苏•高三模拟)已知分别是函数=-bx+sin.x+1的最大值、最小

值，则M+m=

2.已知函数/(%)=ax3—In(Vrr2+1+x)+3sin力+7,cG[—2023,2023]的最大值为AT'，最小值为m,则

M+m=.

3.函数/(⑼=等』：,/©[—5,5],记/(力的最大值为河，最小值为zn,则M+m

e+e

加)=^±^=^^+2

1+efe°+e-"

技巧06“奇函数+常函数”的/(Q)+/(-a)

在定义域内，若斤(c)=/3)+4,其中/(乃为奇函数，A为常数，有/(a)+/(—a)=24

即/9)+/(—&)=2倍常数

1.(全国•高考真题)已知函数/⑺=111(/1+72—力)+=4,则/(—Q)=.

2.已知函数/㈤=In产+上工，则/(2)+/(—工)=____.

J.ee

技巧07已知函数解析式判断函数图象解

特值与极限

©72=1.414,V3=1.732,V5=2.236,V6=2.45,77=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,e2=Ve=1.65

③Ini=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=l,lnVe=]

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42

特别地：当力一0时sinx=x

例如：sinO.l=0.099~0.1,sin0.2=0.199~0.2,sin0.3=0.296~0.3

当力一＞0时cosrc=1

cosO.l=0.995xl,cos(—0.2)=0.980〜1

1.函数y=（3“一3-"）cos/在区间［―的图象大致为（）

B.

兀X

2

D.

技巧08已知函数图象判断函数解析式

1.（2022•全国.统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数

是（）

-2sina;

技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系•••

+ex^ex,1——Inx4力-1,In力W—

xe

1.已知。=襦,匕=一瑞,0=111需，则a,b,c的大小关系为()

A.a<b〈cB.a〈c〈bC.c<a<bD.b<aVc

技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系

常见函数的泰勒展开式：

23nn+1

⑴e』l+言+言+而+…+枭+"其中

个2丁3nn+1/i\i

nnn+

(2)ln(l+6)=x--+--H(-l)-嬴+兄,，其中Rn=(-l)———(y—7—)；

2!3!n!(n+1)!'1+ux)

352fc-l2fc+l

(3)sina:=a;--+—------卜㈠尸侬_])!+兄，其中心=(-1)*^fc+l)!C°S'

242fc-22k

⑷COSA1—了+方—…+(-L尸91+其中&=(—1》西7cos%;

(5)—^—=1+x+re2H---Fa;n+o(rcn);

1—x

(6)(1+x)n=l+nx-\-0/+o(a:2);

(7)tanx=x+^-+磊力5H---bo(x2n);

O-LO

(8)〃1+力=1+-^-X---1力2+--------\-O(Xn).

2o16

由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：

D1+力,1+7+,sinre>7—,

乙o

cosx>1—^-x2,\nx《c-1,e^-1>x,

tana;>%力,〃1+力41+■力，ln(l+a;)Wx,

o/

常见函数的泰勒展开式:

结论1ln(l+x(x>—1).

结论2ln/4%—1(%>0).

结论31——\nx(x>0).

x

结论4<In--------=>-----<ln(l+rc).

1+x1___J1+x

1+x

结论51+x^ex;ex^—^—(a:<l);——Wln(l+a;)Wx(x>—l).

1—x1+2

结论6e*>1+x(xER)；

结论7e-x>l-x(xER)

结论8-^—>ex(x<l).

1—x

结论9-^<6'(2：>1).

1—x

1.(2022年新1卷高考真题第7题)设&=0.卜°」，6=1，°=—1110.9贝1」()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<(z<&D.a<c<6

2.(2022.全国.统考高考真题)已知。=击力=(3051,(2=45111：,则()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

技巧口不等式放缩合集比较函数值大小关系

sinrc<re<tanrc,xE(0号)

Ina:<Vx---力>1),Ina?>Vx------^(0<rr<1),

y/Xy/X

Inx<](/一▲)(2>1),Inx>-^-^——)(0<rc<1),

Ina?>—^"*2+2c—>1),In/V—^~£c2+2力—^-(0VcV1)

2(6-1)/、i2(%—1)zr、

Inx>----：一(力>1),Inx<----；一(0V/V1)

x+1x-\-l

放缩程度综合

1——<!(力——)<Vx---VInxV~<--^-x2+2x—T—1(0V%V1)

x2'x7y/xx+122

1——<--^-x2+2x—~<Inrr<-----—)<x—1(1V/V2)

x22x+1^/x2'x7

--^-x2+2x—1-V1——<—^―~~VIn/<Vx---V—<x—l(rc>2)

22xx-\-lJx2'xJ

1.(2022•全国•统考高考真题)设a=0.1e°”=(，c=—ln0.9,贝I](

y

A.a<6<cB.cVbVaC.cVaVbD.a<c<6

2.(2022.全国.统考高考真题)已知a=~|^~,b=cos],c=4sin；,则)

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

技巧12函数对称性的应用

1.(全国・高考真题)设函数夕=/3)的图像与夕=2计。的图像关于直线夕=—3;对称，且/(—2)+/(—4)=

1,则a=()

A.-1B.1C.2D.4

技巧13解不等式(含分段函数)的应用

[(全国・高考真题)设函数/(/)=ln(l+㈤)——J,则使/Q)>/(2x-l)成立的x的取值范围是

1+x

A.(y,l)B.(-oo[)U(1,+oo)

C-(一(4)D.(—00,一3)U(p+◎

技巧14整数解的应用

1.已知关于力的不等式皿化―坳4+k］3>。恰有一个整数解,则实数卜的取值范围为()

ln31ln3ln2

A，JB.C.-3D.

L548/8

技巧15零点的应用

L(全国•高考真题)已知函数/Q)=X2-2X+a(e，T+e-^1)有唯一零点，则a=

A.玛1B.f1C.11D.l

技巧16切线与公切线的应用

1.(2021.全国.统考高考真题)若过点(a,b)可以作曲线夕=^的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<e6D.0<b<ea

2.(全国•高考真题)若直线y=kc+b是曲线y=lnc+2的切线，也是曲线y=InQ+1)的切线，则b=

技巧17端点效应(必栗性探索)

端点效应的类型

1.如果函数/(久)在区间［a,b］上，/(2)>0恒成立，则/(a)>0或f⑹>0.

2.如果函数/(c)在区问［a,b］.h,f(x)>0恒成立,且/(a)=0(或/(b)=0),则f<a)>0(或((6)W0).

3.如果函数/3)在区间［a,b］上,/(/)>0恒成立，且/(&)=0,尸3)=0(或/0)=0,/(»40)。则尸

(a)>0(或/ff(fe)<0).

1.(2023•全国•统考高考真题)已知函数为r)=ax-史呼口G(0,丹

cosx'2

(1)当a=8时，讨论/(%)的单调性；

(2)若f(x)<sin2/恒成立，求a的取值范围.

技巧18函数凹凸性解题技巧

凹函数：对于某区间内都有幺吟号&).

凸函数:对于某区间内V.,g,都有以吟以叨＜/("&).

1.在△ABC中，求sinA+sinB+sinC的最大值.

2.丹麦数学家琴生(Jense⑴是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家,特别是在函数的凹凸性与不

等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数/(尤)在(a,b)上的导函数为((±),r(c)在(a,b)上的导函数

为尸㈤,若在(a,b)上/㈤V0恒成立，则称函数/(土)在(a,b)上为“凸函数”.已知/(⑼=ex-xlnx

-松川在(1,4)上为“凸函数”，则实数小的取值范围是()

4

A.(e-1,+8)B.[e-l,+oo)C.[e-^,+oo)D.廿一0+8

技巧19洛必达法则

法则1若函数和gQ)满足下列条件:

(1)更?/(C)=。及1期。(C)=0；

⑵在点a的去心邻域内，/(力)与g(力)可导且g'Q)WO;

SB广⑸一

⑶盘g，⑸一

那么lim邛?=lim^Y=1白型

EQg(x)①-。g'(力)0

法则2若函数f（a）和g（c）满足下列条件:

（1）1四/（2）=0°及更剧（立）=%；

（2）在点Q的去心邻域内，/（3?）与g（力）可导且g'Q）WO;

广⑺j

⑶吟西j

那么=心=生型

「。g（x）…g，（x）00

L（全国高考）已知上<+->白+-恒成立，求k的取值范围

X-\-LXX—1X

2.（全国高考）VcG（0,+oo）,e“-1一/一。力2>0恒成立，求a的取值范围

技巧20导数中的极值点偏移问题

1.（2022•全国•统考高考真题）已知函数/（/）=-Inx-\-x-a.

（1）若/（力））0,求Q的取值范围；

（2）证明：若/（名）有两个零点处22,则力巡2VL

技巧21半角公式的应用

sina1—cosa

s.ma=±.上『8S六土丐型,tan(=±1—cosa

T1+cosor1+cosasma

1+A/5^mil•a(

1.（2023•全国•统考高考真题）已知a为锐角，cost?——，则sm万=()・

A3一左-1+V5c3—孤n—1

B.。4

88T~

技巧22万能公式的应用

2tanyl-tan2f2tan-1-

sin/=-------C--O-SC=--------------------tanrc=----------

l+tan2yl+tan2yl-tan2f•••

1.在OBC中，tanf=3tanA,则焉+焉的最小值为()

A.4B.2V5C.4V5D.16

技巧23正余弦平方差公式的应用

正弦平方差公式：sin2A—sin2B=sin(A+B)sin(A—B)

余弦平方差公式：cos2A—sin2B=cos(A+B)cos(A—B)

1.已知sina=《,sin0=贝!Jsin(a+6)sin(a—£)=

/o

技巧24三角函数异名伸缩平移

通常用sinx=cos力一^)进行正弦化余弦，用cosx=进行余弦化正弦

1.若要得到函数/(1)=sin(^2j;+-|-)的图象，只需将函数g(c)=cos(2力+小的图象()

A.向左平移食个单位长度B.向右平移食个单位长度

C.向左平移当个单位长度D.向右平移等个单位长度

OO

技巧25“爪子定理”的应用

L(全国・高考真题)设。为△ABC所在平面内一点，且瑟=3司，则()

A.AD=-^AB+^ACB.AD=^-AB-^-AC

OOoo

C.AD=^-AB+^-ACD.AD=^-AB-^-AC

oooo

BCD•••

技巧26系数和（等和线）的应用

1.（全国•高考真题）在矩形ABCD中，48=1,40=2,动点P在以点。为圆心且与相切的圆上.

若前=1荏+〃屈，则1+〃的最大值为

A.3B.2V2C.V5D.2

2.边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1,圆心在线段CD（含短点）上运动，P是圆Q上

及其内部的动点，设向量=存+nCA）,则小+h的取值范围是（）

A.（1,2]B.[5,6]C.[2,5]D.[3,5]

技巧27极化恒等式的应用

1.（全国•高考真题）设向量落不满足根+同=根一同=述,则4=（）

A.1B.2C.3D.5

2.（2023•全国•统考高考真题）正方形ABCD的边长是2,E是的中点，则正•面5=（）

A.V5B.3C.2V5D.5

技巧28奔驰定理与三角形四心的应用

1.（宁夏•高考真题）已知O,N,P在ZVLBC所在平面内，且|》|=\OB\=|兀而+而+旃=0,且

闻•而=屈•无=无•百，则点O,N,P依次是AABC的（）

（注:三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）••

A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心

2.(江苏・高考真题)。是平面上一定点，4、B、。是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+

"e[0,+8),则p的轨迹一定通过△ABC的）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

技巧29角平分线定理的应用

角平分线定理

(1)在AABC中，AD为ABAC的角平分线，则有恶AC

JDL)CD

2b义cxcos/乌。

⑵40=..........———

b+c

（3）AL>2=ABXAC-BDXCD（库斯顿定理）

⑷ABS^BD

ACS^ACD

1.(2023•全国•统考高考真题)在△ABC中，ABAC=60°,AB=2,BC=V6,的角平分线交BC

于。，则AD=.

技巧30张角定理的应用

张南定理s’11』!sinasin（a+'）

ABACAD

1.如图，已知40是kABC中ABAC的角平分线,交边于点D.

•••

A

H

（1）用正弦定理证明：*=黑；

jT-CyjLxCy

（2）若/BAC=120°,AB=2,4C=1,求的长.

2.在△ABC中，角所对的边分别为a、b、c,已知点。在BC边上,

AD±AC,sinABAC=AB=3^2,AD=3,则CD=

o

技巧31点对称问题

上/、丫工去碇AI-c认q4G上队J•-/2A（Ax+By+（7）2B（Ax-\-By-\-C）\

点（企,y）关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标力---—,y------------------

VA2+B2A2+B2）

L点（6,—1）关于直线21—g+4=0的对称点的坐标是.

技巧32圆中的切线问题

1.经过点（1,0）且与圆4+才—丘—2g+3=0相切的直线方程为

2.过圆/+才=1上点P（—与，亨）的切线方程为

3.过点P（2,1）作圆/+/=4的两条切线，切点分别为人、B,则直线方程是,

技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用

1.过双曲线式—靖=4的右焦点尸作倾斜角为150°直线，交双曲线于48两点,求弦长|人日.

2.（山东・统考高考真题）斜率为心的直线过抛物线C：y2=

C交于4，3两点，则\AB\=.

•••

技巧34圆锥曲线中中点弦的应用

22

1.（全国•高考真题）已知椭圆（+7/.=1（。9。）的右焦点为F（3,。）,过点尸的直线交椭圆于

两点.若4B的中点坐标为（1,—1）,则E的方程为（）

力2

A尤+尤=12y「人〜Ig—1DU

4536C27+18-1

十189

2.（重庆・高考真题）直线，与圆/2+娟+2c—4,+a=0（aV3）相交于两点4,弦的中点为（0,1）,

则直线，的方程为

3.（江苏•高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为尸（。,0）,直线y=x-l与其相交于M,N

两点，若AW中点的横坐标为■，则此双曲线的方程是（）

O

A//R/2;2-1Cy1_n22y2_

B-T-yD-T-y-1

技巧35复数的模长及最值的应用

1.（全国高考）设2="7,则卜|=（）

1+22

A.2B.V3C.V2D.1

2.已知z满足|z+5—12i|=3.则|z|的最大值是（）

A.3B.10C.20D.16

技巧36柯西不等式的应用

1.函数/（力）=AA?+4+/a?—47+5的最小值为.

2.已知名,y,z满足c+g+z=l,则力,+4靖+9/的最小值为.

•••

高考数学核心知识与技巧速记手册

目录

技巧01权方和不等式的应用

技巧02普通型糖水不等式的应用

技巧03对数型糖水不等式的应用

技巧04基本不等式链的应用

技巧05“奇函数+常函数”的最大值+最小值

技巧06“奇函数+常函数”的/（a）+/（-a）

技巧07已知函数解析式判断函数图象

技巧08已知函数图象判断函数解析式

技巧09两类经典超越不等式比较函数值大小关系

技巧10泰勒不等式比较函数值大小关系

技巧11不等式放缩合集比较函数值大小关系

技巧12函数对称性的应用

技巧13解不等式（含分段函数）的应用

技巧14整数解的应用

技巧15零点的应用

技巧16切线与公切线的应用

技巧17端点效应（必要性探索）

技巧18函数凹凸性

技巧19洛必达法则

技巧20导数中的极值点偏移问题

技巧21半角公式的应用

技巧22万能公式的应用

技巧23正余弦平方差公式的应用

技巧24三角函数异名伸缩平移

技巧25“爪子定理”的应用

技巧26系数和（等和线）的应用

技巧27极化恒等式的应用

技巧28奔驰定理与三角形四心的应用

技巧29角平分线定理的应用

技巧30张角定理的应用

技巧31点对称问题

技巧32圆中的切线问题

技巧33圆锥曲线中焦点弦的应用

技巧34圆锥曲线中中点弦的应用

技巧35复数的模长及最值的应用

技巧36柯西不等式的应用

技巧01权方和不等式的应用及解题技巧

权方和不等式的初级应用：若a,b,x,y>0则—+—>^a+b^当且仅当—=—时取等.

xyx+yxy

（注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀）

1.已知且2a+6=3,则占+J的最小值为（）

_Q

A.1B.-C.9D.

【详解】因为2a+6=3,所以4Q+2b=6

由权方和不等式上+殳当9+4可得

xyx-ry

1।1—41_22俨(2+iy

a—126—14a—42b—14a—42b—14a—4+26—1

当且仅当/^=白彳，即a=1,b=,时，等号成立.【答案】C

4a—426—163

2.已知正数*,“z满足x+"+z=L则恚+春+备的最小值为——

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数了，0满足/+g+z=l,

所以/+—+京〉」

y

当且仅当一--人即―之时取等号，故答案为《

v+2zz+2x

3.已知为+2g+3z+4“+5。=30,求/+2寸+3k+4u2+5/的最小值为

【分析】应用权方和不等式即可求解.

/+2#+3/+4/+5/=¥+字+卑+1+雪

12345

【详解】,v

O+2g+3z+4“+5”)_301

-1+2+3+4+5~1F~

当且仅当x—y—z—u—v时取等号，故答案为：60

技巧02普通型糖水不等式的应用

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,则一定有EZL>_L

a+ma

通俗的理解：就是a克的不饱和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖，则糖水更甜;

2.糖水不等式的倒数形式，设a>b>0,m>0,则有：告>与±2&

bb+m

45

1.（2020•全国•统考高考真题）已知55V8。13<8.^a=log53,b=log85,c=log138,JJllJ（）

A.a<fe<cB.bVaVcC.b<eVaD.c<a<6

【详解】•••

In3ln3+ln卷In誉in5ln3ln3+ln卷In罟ln8

n=------------=----<7---=h乂n=---<5---------=----<7----=C

ln5ln5+in|ln8ln8'ln5ln5+ln^,lnl3lnl3

用排除法，选Ao

技巧03对数型糖水不等式的应用

(1)设nEN+,且？1>1,则有logn+in<logn+2(n+1)

(2)设Q>b>l,m>0,则有log/Vloga+m(b+m)

(3)上式的倒数形式:设a>b>l,m>0,则有logba>logb+m(a+m)

1.(2022•全国•统考高考真题)已知9m=10,Q=1(T—11/=8小一9,则()

A.a>0>feB.a>fe>0C.b>a>0D.6>0>a

【详解】对数型糖水不等式

因为9M=10,所以m=log910.在上述推论中取a=9,6=10,可得m=log910>log10ll=Igll,且m

=logglO<10g89.

所以a=10m-11>10lgn-11=0,fe=8m-9<8log99-9=0,即a>0>b,选4

技巧04基本不等式链的应用

基本不等式链：yj。>Vab>12](a〉Q,fe>0),当且仅当a=b时，等号成立.

~a+~b

1.（2022.全国.统考高考真题）若，，“满足/+靖一（）

A./+yWlB.x+y2C.d+/W2D.x2+y2^l

【详解】由基本不等式链:

可得ab《（义乎『W9五（a,b£7?）,

对于

由a?+才一,夕=1可变形为，（2+9）2-1=3wgW3（工；」）,

解得一2&力+g<2,当且仅当*=y=—1时，力+0=—2,当且仅当c=g=l时，力+g=2,所以71错误,

石正确；

对于。

212

【法一】由/+/—图=1可变形为（^+娟）—1=曲&'2",解得力2+才42,当且仅当力=0=±1时取

等号，所以。正确

【法二】由小+才>2（当）2,叼&（坐）2,得/一致+/>2（三『一（坐）2,

又因为小一唱+才=1,所以即?(/+g)Yi，%+g02.

【法三】x2-xy+y2=(x+g)2—3xy>(i+y)2-=!(/+疗,

又因为22—力0+#=1,所以《(力+g)241,力+gW2.

【答案】：

技巧05“奇函数+常函数”的最大值+最小值

在定义域内，若_F(%)=f(x)+/.,其中f(x)为奇函数，A为常数，则最大值JVf,最小值7n有M+m=

2A

即M+772=2倍常数

1.(2023上・江苏•高三模拟)已知分别是函数施如;题幽•陵+sin.v+1的最大值、最小

值，则M+m=

M+772=2倍常数=2

2.已知函数/(力)=ax3—In(Vrc2+1+x)+3sinx+7,xG[—2023,2023]的最大值为Af,最小值为m,则

M+m=

【法一】M+m=2倍常数=14

【法二】M+m=2/(0)=14

3.函数/(⑼=里士:，2；6[-5,5]，记/(/)的最大值为最小值为馆,则M+m=

e+e

oxI^—xx^-x

/(T)=3e+e=e—e2

e"+eFe"+ef

【法一】M+m=2倍常数=4

【法二】M-\-m=2/(0)=4

技巧06“奇函数+常函数”的*a)+/(—a)

在定义域内，若F(工)=/(/)+力,其中于(x)为奇函数，A为常数，有/(Q)+/(—Q)=2A

即/(Q)+/(—Q)=2倍常数

2

1.(全国•高考真题)已知函数/(力)=ln(Vl+x—x)+1,/(a)=4,则/(—Q)=.

In(SL+，—力)在定义域内为奇函数

所以/(Q)+/(—Q)=2倍常数=2,解得/(—Q)=—2

【答案】-2•••

2.已知函数/（c）=In冲至+上攵,则/（二）+/（--）=

J.xxee

于（x）=In+——1,In和工在定义域内为奇函数

1—xx11+—-xx

【答案】-2

技巧07已知函数解析式判断函数图象解

特值与极限

①2=1.414,笆4=1.732,75=2.236,76=2.45,"=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,/=Ve=1.65

@lnl=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=l,lnVe=

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=—0.42

特别地：当名一0时sinx=x

例如：sinO.l=0.099右0.1,sin0.2=0.199~0.2,sin0.3=0.296~0.3

当名―0时cos/=1

cosO.l=0.995xl,cos（—0.2）=0.980七1

1.函数0=（3工一3f）cosx在区间的图象大致为（）

三'_7C兀X

7"T2

三o

令/（力）—