高考数学专项复习：圆的方程【八大题型】

专题8.3圆的方程【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1求圆的方程】.........................................................................3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】..........................................................4

【题型3圆过定点问题】.......................................................................4

【题型4点与圆的位置关系的判断】............................................................5

【题型5与圆有关的轨迹问题】.................................................................5

【题型6与圆有关的对称问题】.................................................................6

【题型7圆系方程】...........................................................................7

【题型8与圆有关的最值问题】.................................................................7

►考情分析

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2022年全国乙卷（文数）：第

15题,5分

（1）理解确定圆的几何要

2022年全国甲卷（文数）：第从近几年的高考情况来看，高考对

素，在平面直角坐标系中，

14题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

掌握圆的标准方程与一般

2023年全国乙卷（文数）：第填空题的形式考查，难度不大；有时也

方程

11题，5分会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

（2）能根据圆的方程解决

2023年上海卷：第7题，5分复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵

一些简单的数学问题与实

2024年北京卷：第3题，4分活求解.

际问题

2024年天津卷：第12题，5

分

►知识梳理

【知识点1圆的定义和圆的方程】

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心,定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程：方程（工一。）2+3—6）2=/2&>o）叫作以点（0力）为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母（待定），因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

⑴方程+V+6+4+尸=0(。2+片2—4尸>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道,一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F-,

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心-亨)代入圆心所在的直线

方程，求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,对比圆的一般方程3+了2+m+号+尸=0

(Z)2+E2-4F>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

'A=C^O

二元二次方程4%2+3孙+。y2+m+4+/=0表示,圆的条件是《B=0

第+(「(»。

X

5.圆的参数方程

圆(x—aF+S—6尸=/&>0)的参数方程为｛，其中0为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(0,6)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出0,6,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出D,E,斤的值.

【知识点2点与圆的位置关系】

1.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆4有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆/的标准方程为(无一。)2+6—6)2=r2,圆心为43,幻，半径为N「>0)；圆/的一般方程为

x2+y2-\-Dx+Ey+F=0(£>2+E2-4尸>0).平面内一点.

位置关系判断方法

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上\MA\=r(xo-a)2+(yo-b)2=产

xS+yo+Dx0+Ey0+F=0

点在圆内\MA\<r(xo-a)2+(yo-b)2<r2加+循+DXQ+Ey。+F<0

22

点在圆外\MA\>r(XO-Q)2+(yo-b)>r笳+谛+Dx0+Ey0+F>0

【知识点3轨迹方程】

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于

变量之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定

义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；

(2)列出关于x,y的方程；

(3)把方程化为最简形式；

(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【方法技巧与总结】

1.以/(阳,勿)，3(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-Xi)(x—x2)+(y—凹)(y—处)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

►举一反三

【题型1求圆的方程】

【例1】(2024•辽宁大连•一模)过点(一1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为()

A.x2+y2=4B.(%—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(%—2)2+y2=10

【变式1-1](2024•河南•模拟预测)圆心在射线y=，尤QW0)上，半径为5,且经过坐标原点的圆的方程

为().

A.%2+y2—8x—6y=0

B.%2+y2-6x—8y=0

C.%2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6x+8y—0

【变式1-2](2024・北京•模拟预测)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()

A.(x—2)2+(y—I)2=1B.(x+2)2+(y+l)2=1

C.(x—2)2+(y—1)2=5D.(x+2)2+(y+l)2=5

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于4B,C,D四点，其中

4(-2,0),8(0,-3),点C在谢正半轴上，点。在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形4BCD的面积为则圆E

的方程为()

A.久2+y2+%+]=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4%—y=12

D.x2+y2++2y=3

【题型2二元二次方程表示圆的条件】

【例2】(2024•贵州•模拟预测)已知曲线C的方程2x2+2产+4%+8y+尸=0,则“F<10”是“曲线C是圆”

的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-1](23-24高二下•上海•期中)方程%2+y2+47n%一2y+57n=0表示圆的充要条件是()

A.-<m<1B.m>1C.m<-D.THV工或TH>1

444

【变式2-2](23-24高二上•福建厦门•期中)若a£{-2,-1,0,*1],则方程久2+y2+ax+2ay+2a2+a-

1=0表示的圆的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3](23-24高二上・广东•期末)已知方程/+/+2久—2ay+2a+4=0表示一个圆，则实数a

取值范围是()

A.(-co,-1]u[3,+oo)B.[-1,3]

C.(—oo,—1)U(3,+oo)D.(—1,3)

【题型3圆过定点问题】

【例3】(23-24高二上•湖北荆州•期末)圆OY+V+ax-2ay-5=0恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【变式3-1](23-24高二上•浙江温州•期中)点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，

则以。P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【变式3-2](2024高三•全国•专题练习)当加变化时，圆/+/+(机+2)x+y—2=0恒过定点.

【变式3-3](23-24高三上•上海徐汇•期末)已知二次函数/'。)=/+2%+6(久6夫)的图像与坐标轴有三

个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为(其坐标与6无关)

【题型4点与圆的位置关系的判断】

[例4](2024•河北沧州，二模)若点4(2,1)在圆工2+y2-2mx-2y+5=0(爪为常数)外，则实数机的

取值范围为()

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—2,+8)

【变式4-1](2024・甘肃定西•模拟预测)若点(2,1)在圆好+、2一支+y+a=o的外部，则。的取值范围是

()

A.8+8)B.(—8,1)C.(一4，)D.(-8,-4)Ua+8)

【变式4-2](24-25高三上•广东•开学考试)“1<b<2”是“点B(0,b)在圆C:(x-I)2+(y-2)2=2内”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【变式4-3](2024高三・全国・专题练习)若点(2a,a+1)在圆一+①一1>=5的内部，则实数。的取值范围

是()

A.{a|-l<a<l}

B.{tz|0<a<l}

C.{a|a<—1或.>1}

D.{a|-l<a<0}

【题型5与圆有关的轨迹问题】

[例5](24-25高二上•上海•课后作业)点P(4,-2)与圆好+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是

)

A.(%—4)2+(y+2尸=4B.(x+2尸+(y—l)2=1

C.(%+4)2+(y—2>=4D.(%—2/+(y+l)2=1

【变式5・1】（23-24高二上•广东东莞•阶段练习）已知线段ZB的端点8的坐标（4,3）,端点/在圆％2+丫2=4

上运动，求线段的中点M的轨迹所围成图形的面积（）

A.4TTB.V2nC.nD-T

【变式5-2］（2024•山东淄博•一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量瓦5与砺关于x轴对称，向量a=

（0,1）,若满足瓦？+元•荏=0的点/的轨迹为£,贝I］（）

A.E是一条垂直于x轴的直线B.E是一个半径为1的圆

C.E是两条平行直线D.E是椭圆

【变式5-3］（2024•山东德州•三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距

离之比为常数k（k>Q,k大1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,

4(—4,0),B(2,0),点M满足儒=2,则点M的轨迹方程为（）

A.(%+4)2+y2=16B.(%—4)2+y2=16

C.%2+(y+4)2=16D.x2+(y—4)2=16

【题型6与圆有关的对称问题】

【例6】（2024•浙江•模拟预测）圆C（%-+（y-2尸=2关于直线1-y=0对称的圆的方程是（）

A.(%—I)2+(y+2)2=2B.(%++(y+27=2

C.(%—2>+(y—1)2=2D.(%+2)2+(y+1)2=2

【变式6-1］（23-24高二上•安徽黄山・期末）圆”:（％-2）2+（丫-1）2=1与圆义关于直线第一丫=0对称,

则圆N的方程为（）

A.(%+I)2+(y+2/=1B.(%—2)2+(y+l)2=1

C.(x+2)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(y-2)2=1

【变式6-2］（23-24高二下•云南昆明•阶段练习）已知圆M:Q+1）2+（y+1）2=1与圆可：（比一4）2+

（y+3）2=1关于直线/对称，贝!|Z的方程为（）

A.10%-4y-23=0B.10%+4y—23=0

C.2%-5y-7=0D.2%+5y+7=0

【变式6-3](2024•陕西宝鸡•一模)已知圆％2+丫2—2%+4y+4=0关于直线2ax—by—2=0(a>0,b>

0）对称，则必的最大值为（）

A.2B.1C-D

•2-:

【题型7圆系方程】

【例7】（23-24高二下•湖南长沙•阶段练习）过圆/+y2—万+丫―2=。和/+产=5的交点，且圆心在

直线3久+4y—1=0上的圆的方程为（）

A.x2+y2+2x—2y—11—0B.x2+y2—2x+2y—11—0.

C.%2+y2—2x—2y-11=0D.x2+y2+2x+2y—11=0

【变式7-1］（2024高二•辽宁•学业考试）过圆/+产一2y-4=0与/+产一4%+2y=0的交点，且圆

心在直线，:2x+4y—1=0上的圆的方程是.

【变式7-2］（23-24高一下•江西九江•期中）经过两圆/+y2+6x—4=0和/+y2+6y-28=0的交

点，且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程为.

【变式7-3］（2024高三下,全国,专题练习）求过圆:炉+y2一2%+2y+1=0与圆：/+y2+4%一2y-4=

0的交点，圆心在直线：x-2y-5=0圆的方程.

【题型8与圆有关的最值问题】

【例8】（2024•西藏拉萨•二模）已知点M（3,—3）,N（3,0）,动点P在圆。:/+y2=1上，则|pM|+g|PN|

的最小值为（）

V145「V165kV145「V165

AA.-----B.-----C.-----D.-----

3399

【变式8-1］（2024•河南•模拟预测）已知点P（%y）在以原点。为圆心，半径r=V7的圆上，则“+号的

最小值为（）

A.-B.C.-D.1

999

【变式8-2］（2024・湖北黄石•三模）已知在等腰直角三角形4BC中，C4=CB=4,点M在以C为圆心、2

为半径的圆上，则|M8|川的最小值为（）

A.375-272B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【变式8-3］（2024•广西贵港•模拟预测）已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=4,直线I,（m+2）x-my-4=0,

若/与圆C交于4,B两点,设坐标原点为。，则|。川+2|OB|的最大值为（）

A.4V3B.6V3C.4V15D.2V30

A过关测试

一、单选题

1.(2024•吉林长春•三模)经过4(1,1),C(0,2)三个点的圆的方程为()

A.(%+I)2+(y-1)2=2B.(x-I)2+(y—1)2=2

C.%2+(y—l)2=1D.第2+(y+i)2-1

2.(2024・浙江•一模)圆C:%2+y2-2%+4y=0的圆心C坐标和半径7分别为()

A.C(l,-2)/=逐B.C(l,-2),7二5

C.。(-1,2),丁二遮D.。(一1,2),丁=5

3.(2024•江西•模拟预测)若点。1)在圆％2+丫2一%一。=。的外部，则。的取值范围为()

A.B.&1)C.(-oo,l)D.(1,+co)

4.(2024•陕西铜川•三模)已知圆。(比一或2+3-。)2=1经过点力(3,4),则其圆心到原点的距离的最大

值为()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024•河南信阳•模拟预测)已知圆。：+俨=2,点A(m,n)和点B(p,q)在圆。上，满足mp+nq=-1,

则m+n+p+q最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上•广西玉林•期末)若直线/在x轴、y轴上的截距相等，且直线/将圆久2+y2-2%+4y=0的

周长平分，则直线/的方程为()

A.x+y+l=0B.x+y—1—0

C.x+y+l=0或2x+y=0D.x+y-l=0或2x+y=0

7.(2024・四川成都•模拟预测)在平面直角坐标系久0y中，点M(2,0),直线=k。:一2)+1,点M关于直

线I的对称点为N,则△OMN面积的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

8.(23-24高三上•辽宁大连•阶段练习)已知圆的:(x—2)2+(y—3)2=1,圆Q:。一3/+(y-4尸=9,

M,N分别是圆的,。2上的动点，尸为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2迎D.5近一4

二、多选题

9.(2024•广西•模拟预测)若点P(1,O)在圆。刀2+y2+2x—4y+7n=0的外部，则小的取值可能为()

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024•山西临汾・三模)已知E,F是以C