高考数学专项复习：椭圆离心率及其范围11类题型（解析版）

专题3-3椭圆离心率及其范围11类题型汇总

总览4题型解读

【题型1】结合正余弦定理求离心率

【题型2】利用对称性补成平行四边形

【题型3】双焦点三角形模型之导边

【题型4］余弦定理用2次型

【题型5】结合几何性质求值

【题型6】与向量结合求离心率

【题型7】由齐次式方程求离心率

【题型8】点差法与离心率

【题型9】椭圆的第三定义与离心率

【题型10］设点运算求值问题

【题型11］求离心率范围

题型汇编、知识梳理与常考题型

【题型1】结合正余弦定理求离心率

核心•技巧

若已知焦点三角形中某个角可以考虑结合正余弦定理求其它量

/“典型例题/

22

1.已知椭圆C：A+当=1（。>6>0）的左、右焦点分别为《，月，点p为c上一点，/尸建居=120。，△

ab

片2心的内切圆与外接圆的半径分别为小飞若弓=6个则C的离心率为（）

AA/3R后c12D2

242010

【答案】D

【解答】解：设|月月|=2c,则2马=一!而

sin120°J3

因为|「耳|+|巡|=2a,

所以|耳耳『=（|/耳|+1P玛I?—21/耳|||（1+cos120°）,

22

则4c2=4a-\PFl\\PF2\,则|PR||PF2\=4b.

由等面积法可得］（2a+2c）4=-X4Z?2Xsin120°=后（片-c2）,

整理得rx=6（。-。），

因为弓=6q,所以定=6百（a-c）,故e=£=\.

fv27

2.已知椭圆c：/+方=1（〃〉"0）的左、右焦点分别为％F2,p为C上一点,且cos4PK=§,若片

关于/£尸工平分线的对称点。在。上，则C的离心率为.

【答案】B

3

【解析】设匕关于/月产居平分线的对称点为Q,

则尸,工,。三点共线,

设|夕耳1=根，则I尸。|=力,

7

又cos/£PK=§,所以在△尸耳。中，由余弦定理有：

|f；2|2=m2+m2-2m2x1=^m2,即|f；Q卜与

由椭圆定义可知|尸团+|尸。|+|。制=相+根+==4〃，可得m=

3，

31

所以|p周=5。,|尸周=5。

在△尸£耳中，由余弦定理可得：

忸闾:PF：+尸疫_2P耳,PF2-COSNFFB,

0429212c32742",212

即4c——a~\—Q—2x—ax—=—a所"以c——〃

444933

所以e=£=走.

a3

/“巩固练习/

22

【巩固练习1】如图所示，已知椭圆的方程为上+乙=1,若点尸为椭圆上的点，且/尸的丹=120。，则APKE

43一一

的面积是.

【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得|正片|,|耳用，从而求得4尸耳氏的面积.

【详解】由已知a=2,>=g,得c==J"3=1，

则国阊=2c=2,\PFl\+\PF2\=2a=4,

在“耳尸中，由余弦定理，得忸耳『=|Pf；「+|£g『—2|P£||f；g|cosl20。，

所以|尸耳「=|Pf；『+4+2]尸团，

由忸耳|+|尸阊=2°=4,得忸闾=4—|P£|,

所以（4一|P娟丫=|%『+4+2]P娟，化简解得|尸耳|=[,

所以AP耳巴的面积为力与卜阳周sinl20o=；x?x2x'=¥.

【巩固练习2】已知耳，尸2是椭圆G「■+卷=1（。>>>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点尸在过A且

斜率为正的直线上，鸟为等腰三角形，/片工尸=120。，则C的离心率为

6

A.-B.1C.-D.-

3234

【答案】D

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为月名为等腰三角形，/月鸟尸=120。，所以PF2=FIF2=2C,

由"斜率为洛得，tan/PAE=

sin/PAE,=cos/PAE,=,

6713V13

PFsinZPAF

由正弦定理得22

AF2~sinZAPF2'

11

2c而_而_2

所以

a+csin(--ZPAF.)且.也一L—L5

3-27132V13

22

【巩固练习3】设椭圆C:J+与=l（a>6>0）的焦点为耳，居，直线/过k且和椭圆C交于4B两点，且

ab

|A周=3山用,3忸闾=5|然|,则椭圆C的离心率为

【答案】显

2

【分析】利用椭圆的定义列方程，再利用余弦定理求得离心率.

〔IiiiiII13〃+3机=2。n

【详解】设|然|=3〃，田可=〃,忸闾=5叫A闾=3根，由椭圆的定义得|,解得根=〃=可

IYI十DrTZ—NQj

222222

人a+a-（2c）4a）+a-（|«）

令椭圆焦距为c,在△4耳月和AAB工中，由余弦定理得cosA=------甘一-=--------------,

2ac4

2'—a-a

3

整理得°2=2/,£=变,

a2

所以椭圆C的离心率为也.

2

故答案为：也

2

【题型2】利用对称性补成平行四边形

生心•技巧’

椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平

行四边形来解题

///典型例题/

22

3.已知产是椭圆E:=+多=1（。>6>0）的左焦点，经过原点。的直线/与椭圆E交于P,。两点，若

ab

\PF\=3\QF\,且NPbQ=120。，则椭圆E的离心率为（）

【答案】A

【解答】解：设椭圆的右焦点一，连接尸尸，QF',根据椭圆对称性可知四边形PEF。为平行四边形,

则1。91=1尸尸'1,且由NP尸。=120。，可得NFPF=60°,

13

所以|「尸|+|尸产'|=4|P尸|=2a,则|尸尸|=；。，\PF\=^a

由余弦定理可得(2c)2=|PF|2+1PF'i1-21PF||PF'\cos60°=(|PF|+1PF'\)2-3\PF||PF'\,

r2v23b

4.已知椭圆C:=+当=l(0<8<aV当的左，右焦点分别为片，鸟，过原点的直线与C相交于M,N两

ab2

点，若丽•福=0且闪个刊网，则椭圆C的离心率为.

【答案】JL

3

【详解】因为过原点的直线与C相交于M,N两点，砺・访'=(),故四边形峥叫为矩形，故阊=|百N|,

又IEM|+|gAf|=2a,|砒,2|丽

2

所以2a—|印0|22|gM|,^\F2M\<-af

222

又|£M|+1F2M|=4C,

即(2a-|6")2+|K〃|2=402,且2c2〉片,

解得17yli=a-J2c2—〃2,IEM|=a+J2c2—〃2(由于区g。，故舍去)

2吉合'|F2M区§〃，古攵a—J2c之—储<]Q,即—tz2<c2

火aW生na?<—(a2-c2}^>—a2>c2,

24V79

因此3/=02,故/=?,解得e=好，

993

故答案为：旦

3

22

5.己知椭圆C:1y+%=l(a>6>0)的右焦点为尸，过坐标原点。的直线/与椭圆C交于A,B两点.在

△AEB中，NAEB=120。，且满足鼠,=技0,则椭圆C的离心率为

［答案］其二2

2

【分析】设椭圆C的左焦点为尸，连接4尸，BF',根据对称性可知四边形AFBF为平行四边形，即可得

到ZE4F=60°,再由余弦定理及椭圆的定义求出斗|4厂［,即可求出S^F.AF,最后由

'AF'BF=S"HF得到关于e的方程，解得即可.

【详解】设椭圆C的左焦点为广，连接AF,BF',根据对称性可知四边形AFBF为平行四边形,

又/AFB=120°,所以/E49=60°,

又S^ABF=3^aAF,BF=c.F,AF=石℃,

5^\AF\+\AF'\=2a,\AFf+\AF'[-2\AF\-\AF'\cosZFAF'=\FF'^,

Fp|AF|2+\AF'^+2\AF\-\AF'\=4a2,

lAF^+lAFf-\AF\-\AF'\=A：c-,

所以14斗IAF[=4（aj）=号1,

./?

2

所以5raF=-|AF|-|Ar|sinZFAF'=^b,

即扃。=立〃，

3

诉V/"。一—c-1.部\/13—3—A/13—3

所以一=------=——e=3,解仔e=-------或e=------------.

acace22

又因为0<e<l,所以6=如-3.

2

故答案为：U

2

/“巩固练习/

【巩固练习1】己知产为椭圆C：r+/=l（a>0）的右焦点，过原点的直线与C相交于A,3两点，且

a

轴，若3|明=5|AF|,则C的长轴长为（）

A.竿B.乎C26D.空

【答案】B

【分析】根据椭圆的对称性可知，怛口就是A到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求

a的值.

【详解】设厂（G。），如图，记尸为C的左焦点，连接A尸,

则由椭圆的对称性可知|AF'|=忸刊,由3忸尸|=5|AF|,设〔AFI=3词3同=5%,JJi]\AF'\=5m.

又AR_Lx轴，所以|尸尸[=，3尸'「一|=4%=2C,即C=2〃Z,

2A/3

\AF'\+\AF\=Sm=2a

所以21242，解得

a-l=c=4m

m二——

6

所以C的长轴长为2a=延

3

22

【巩固练习2】（高二下・广东深圳•期末）已知椭圆C:=+当=1（。>6>0）的右焦点为尸，过原点的直线/与

ab

C交于AB两点，若AFJLM,M|AF|=3|BF|,则C的离心率为（）

【答案】A

【分析】设椭圆的左焦点为月，由椭圆的对称性可得四边形AEB6为矩形，再根据椭圆的定义求出

|A耳|,仙耳，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.

【详解】如图，设椭圆的左焦点为耳，

由椭圆的对称性可得|明|=忸耳，忸=|AF|,

所以四边形AFBFt为平行四边形，

又尸，所以四边形AF8月为矩形，所以AK_LAP,

由|AF|=3|阿,^\AF\=3\AF.\,

又|4耳|+|4刊=2许所以|A耳|=会4刊=当，

在RSAF耳中，由L+M旧产图2,

得《+叱=402,即至=4H，所以£=巫，

442a4

即C的离心率为®.

4

【巩固练习3】（2024•辽宁•一模）已知尸为椭圆C:=+丁=1伍＞0）的右焦点，过原点的直线与。相交于

a

A3两点，且AELx轴，若3忸川=5|AF|,则C的长轴长为（）

A.正B*C.2+D,也

333

【答案】B

【分析】根据椭圆的对称性可知，怛司就是A到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求。

的值.

【详解】设尸（c,0）,如图，记尸'为C的左焦点，连接49，

则由椭圆的对称性可知|4川=忸司,由3怛同=5|AF|,it\AF\=3m,\BF\=5m,则|AF[=5〃z.

又AF_Lx轴，所以|尸=J|4-「_|A/『=4〃?=2c,即c=2m,

2A/3

Cl=-----

\AF'\+\AF\=8m=2a3

所以解得

a2-l=c2=4m2百.

m=—

6

所以C的长轴长为2°=逑

2

【巩固练习4]设椭圆C:「+%=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳，工，点在C上（M位于第一象

a

限），且点M,N关于原点0对称，若丽•丽=0,后闾=|N闾，则C的离心率为（）

715R行「2岳-2V15-2

AA.--D.----C.-------nL）.---------

4774

【答案】C

【分析】根据对称以及垂直可证四边形片是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解

,才艮据上|5|=|叫|得2c=4（°——/一26],即可求解离心率.

【详解】点M,N关于原点对称，所以线段MNX玛互相平分，故四边形峥叫为平行四边形，

又砺•砒1=（）,故/不陷=],所以四边形岬”是矩形，故|MN|=|耳司，其中|N胤=|M局，

i^\MF2\=x,则|町|=24—x,由|肛『+眼名「=山闾2,得（2"尤）2+/=公2,整理得/一2分+2〃=0,

由于点M在第一象限，所以x=q节，

由而眼段=|N段，^\MN\=4\MF2\,即2c=4（a-J/-262）,

整理得7c2+4“c-8/=0,即7e2+4e-8=0,解得e=R氏2.

7

故选：C

【题型3】双焦点三角形模型之导边

逢心•技巧7

若椭圆中出现了过焦点的弦这类条件，可以分成2个焦点三角形来分析，进而找出4条焦半径之间的关系,

再结合其它条件求出离心率

/“典型例题/

22

6.己知小B分别是椭圆C：|y+}=l（a>6>0）的左、右焦点，M,N是椭圆C上两点，且2两=3而,

底.丽=0,则椭圆C的离心率为（）

75

,3

【答案】B

【分析】设1阳=2〃，结合椭圆定义得I年|=2a-3〃，\NF2\=2a-2n,在RIAMN玛中由勾股定理得〃=光,

再结合求解.

【详解】连接黑，设|N£|=2w,则|叫|=3〃，\MF2\=2a-3,n,\NF2\=2a-2n,

在RtzJVW八中，|MN『+|M&|2=|NK「，即（5”）？+Qa-34=（2。-2/1）2,

所以〃=||,所以|M4|=1,|忆言，

在RtZXM片工中，|西『+|/鸟|2=|月8|2,即25c2=174,所以e=平.

故选:B.

22

7.已知椭圆斗+2=l（a>b>0）,耳，F?分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线A乙交椭

圆于另一点P,若忸胤=|以|,则椭圆的离心率为

【答案】县

3

Q1

【分析】由题意结合椭圆定义可得|「团=£,|尸耳|=］，在△"月中，由余弦定理可得cos/PAK=§,再

利用二倍角的余弦公式可得sin=-,从而求出椭圆的离心率.

【详解】如图,

点尸在椭圆上,所以|尸耳|+|尸闾=2a,

由|尸制=|"|=|尸耳+|然|,M用=。代入上式得，|「剧=^，|尸用=£

…耳二国D尸父

在J_

2\AF^\AP3

2

又cos/PAf；=1-2sin2/OA耳=；,所以sinNOA月=乎，

即sinZOAF=-=e=—

1a3

8.已知椭圆C:江+亡=1(。>6>0)的左、右焦点分别为片，居，过点F?的直线/与椭圆C交于P,。两

/b2

点.若忸耳|=|尸耳|，且2A瓦=3月。,则C的离心率为.

【答案】|

【分析】取线段PF2的中点忆连接耳M,由题意可得优。|=g(2a-2c),阳口=笥土，进而求得

2222

\MF2\=a-c,|^M|=3c-a+2ac,\MQ^=(\MF2\+\F2Q^=^-(a-c),

49i

利用Rt△耳MQ,可得3/—/+2"+豆5―C)2=,(2Q+4c>,求解即可.

【详解】由题意知，比闾=|P娟=2c,由椭圆定义，

2

得|尸闻=2a-2c,则|gQ|=§(2a_2c),

国Q|=2a_g(2a_2c)=2号£取线段PF?的中点M,连接耳M,如图所示.

易知也|=a-c,闺M「=（2c）2-{a-c）2=3c2-a2+2ac,

——2

I匡。『=（<2-c）+|（2t7-2c）=y（a-c）2.

在Rt△耳MQ中，得国叫2+|M2『=|居

491

即3c2-储+2ac+（a—c）2=—（2a+4c）2,得5c2—Sac+3/=o,

3

即5/-8e+3=O,又0<e<l,解得e=1.

22

9.已知椭圆石：3+a=1（八匕>0）的上、下焦点分别为G、F2,焦距为2石，与坐标轴不垂直的直线/过

居且与椭圆E交于A、8两点，点P为线段A&的中点，若乙48工=/2尸8=90。，则椭圆E的离心率

为.

【答案】76-73

【分析】作出图形，分析可知△AB鸟为等腰直角三角形，设|AB|=|%|=机（兀：>0）,则恒耳|=鬲，利用

椭圆的定义可得出根=（4-20）0,怛耳|=倒0-2）“，在RL%居中，利用勾股定理可得出关于。、c的齐

次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.

【详解】因为点P为线段AB的中点，ZABF2=ZF2PB=90°,贝盟

所以，△AB8为等腰直角三角形，

il|AB|=\BF2\=m（m>0）,则卜周="〃，

由椭圆的定义可得|人国+忸周+|A闻=（|4居|+|4巴|）+（忸浦+忸图）=4a=（2+0）〃z,

所以，m=（4-2点）a,

所以，=2a-m=2q_（4_2&）a=（20-2）a,

由勾股定理可得「+解「=|即『，即（2夜-2）Z+（4-2⑹2a2=布，

整理可得,式几-也”,因此，该椭圆的离心率为e=£=卡―道.

a

/u巩固练习/

22

【巩固练习。如图所示，点/是椭圆三+2=1（。>6>0）的右焦点，AC是椭圆上关于原点。对称

ab

的两点，直线"与椭圆的另一个交点为B,若4=3忸同，则椭圆加的离心率为（）

【答案】D

【分析】作片为椭圆M的左焦点，连接A£,CE，B耳.设|BF|=根，则仙尸|=3加，再利用椭圆的定义及对

称性建立方程组求出离心率.

【详解】令片为椭圆M的左焦点，连接入月,玛,3月，由A,C是椭圆上关于原点O对称的两点，

知四边形A尸C片是平行四边形，又AF，"，则DAPC耳是矩形，

令|月_F|=2c,|BF|=m,贝|||4/|=3根，|AF；|=2a—3〃z,|BF1|=2a-mt

团即(3m)2+(2a-3m)2=4c2_72

于是(2a-3m)2+(4m)2=(2a-in)2牛仔’2a

\AEI2+\AB^\BEI2'

所以椭圆M的离心率为—

2

22

【巩固练习2】已知椭圆C:3+4=1的左、右焦点分别为耳，B，过点冗的直线与椭圆C交于A,B两点,

ab

若［4£|=耳|£8|,且44区3=90。，则椭圆的离心率为（）

A.立B.也C.好D.交

2353

【答案】C

【分析】设耳8二2乙根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出，和。的关系，分别在

△耳人耳和直角△A5&中表示cosA,建立等量关系求椭圆离心率.

【详解】设耳3二2乙则=3%,AB=5/,

由椭圆的定义得，AF2=2a-3t,BF2=2a-2t,

222222

由ZAF2B=900得AF2+BF2=AB,即Qa-3z)+(2〃-2t)=(5t),

整理得3户+5R-2a2=0,解得/=，或,=一2。(舍去)，

AB=^a,AF=a,AF=

2xa,故点A在丁轴上.

如图，在直角△ABK中，COSA=4^=3,

AB5

在A与A玛中，cosA=^t菠葛度_a2+a2-4c2_3

2A与黑鸟2a?a5'

化简得］=L；•椭圆的离心率e=、5

a'55

22

【巩固练习3】设大，鸟是椭圆C:=+当=1（a>b>0）的左、右焦点，过K的直线/与C交于A,8两

ab

点，若4鸟，86，|AB|=y,则C的离心率为（）

A.垣B.-C.-D.好

5555

【答案】D

【分析】设|A4I=x,忸4|=y,（0<x<y）,根据椭圆的定义及勾股定理求出x、y,即可求出忸阊、|然|,

再由余弦定理求出〃与c的关系，即可求出离心率.

［详解］不妨设|A耳|二x,\BFx\=yf（0<x<y）,贝［人耳|=2〃_%,\BF2\=2a-y.

又AK_L3弱，所以（2々一1）2+（2々一»=（1+»,化简得孙+2〃（X+,）=4片，

显然x+y=|AB|=?，所以孙=手，解得x=g,y=a,所以|A用=：,忸阊=a,

(町+(2靖/44

故C的离心率为逝.

故cosNA耳F2=--=--------,解得a=&,

02x”5

22

【巩固练习4】设片，F,分别是椭圆E:二+多=1(。>。>())的左、右焦点，过招的直线交椭圆于A,B

ab

__,>.HULLULUl

两点，且伍・M=0,AB=4F2B,则椭圆E的离心率为()

A,-B.我C.好D.五

2234

【答案】B

［分析】设愿=x,根据椭圆定义结合勾股定理解得x=|,进而可得=|A闾=々，在△Rtz^AF；鸟中,

利用勾股定理列式求解即可.

【详解】设此=X,

势

ULUUUU....

因为AB=4EB,则|4月|=3彳，但8|=》,

由椭圆的定义可得|AF；|=2a-3x,怛制=2a-x,

因为丽・亚'=(),即N£AK=5，

在RtZ\AK3中，则|A£「+|A/球=忸£「，即(2a-3无产+(4x)2=(2a-无产,

解得x=］,可得|A司=|A月|=a,

在ARSA月月中，可得/+/=(2C)2,整理得/=202,

所以椭圆E的离心率为e=£=走.

a\a22

22

【巩固练习5］已知椭圆£:=+当=1(a>A>0)的左、右焦点为耳、B，圆一+旷=/一〃与E的

3

一个交点为夕，直线P8与石的另一个交点为。，tanZ^e^=-,则石的离心率为（）

A.-B.正C.-D.立

5242

【答案】B

【分析】由题意可得尸耳，「工，设|尸耳|=》，由椭圆的定义可知，|尸阊的表达式，再由tanN耳空的值，可

4

\PQ\=-x,在RtA尸。居中，可得x=a,可得点尸为短轴的端点，在△内;£中，由余弦定理可得“，c的关

系，即求出椭圆的离心率的值.

【详解】由题意知，圆Y+V=/一匕2=c2过椭圆的两个焦点，

因为尸为圆与椭圆的交点，所以尸身,尸巴，

因为tan4QK=f^=],

4

设IWI=x,可得|%|=2a-x,\PQ\=-x,

47

所以|Q&\^PQ\-\PF2\=-x-（2a-x）=-x-2a,

7

所以磔1=2。-磔|=4。-丁，

在RtA尸。鸟中，I。耳『=|尸。『+I阳2,

2575（7

即「+/=4〃——x解得§%=4。_丁或§尤=_14〃_-X

33

解得X=Q或X=6。（舍去），

此时点尸为椭圆短轴的顶点,

sinZFiQF23

tanZEQF2=--------,一”=—4

又〈一cos/耳Q64,解得cos4QB=m（负值舍去）,

22

sin/耳QF2+cosZFtQF2=l

且31=$,\QFt\=^a,

1252_A2

I。耳『+|。工|2_|耳月2+§"一_4

在△⑪;g中，由余弦定理可得cosNKQK=

2\QF\\QF\1~~5-5

l292x-ax-a

33

£=@.故选：B.

整理可得〃2=202,所以e

a2

【题型4】余弦定理用2次型

核心•技巧

若椭圆中三点组成的三篇形孑看一条边过椭圆焦点，可以*捻用邻补前余弦值和有次纸得到一个等式.

//典型例题/

22

10.椭圆C:=+2=l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过点片的直线/交椭圆C于A,B两点，若

ab

|FtF2HAF21,通=2卷，则椭圆C的离心率为（）

R0

AD

-72-I

【答案】D

【解析】因为I片鸟|=|A岛|=2c,由椭圆定义知|AGI=2“-2c,

又丽=2陌，所以|8月|=a-c,再由前有圆定义|2£：|=20-（4一＜?）=。+0,

因为ZAFlF2+ZBFlF2=兀，所以cosNA£鸟=-cosZBFtF2,

|4片『+|下月『一月『二|3百|2+|大月|2一|3月|2

所以由余弦定理可得

2\AF1\-\FlF2\2|34|.|片8I

(2a-2c)2+(2c)2-(2c)2(a-c)2+(2c)2-(«+c)2

即

2(267-2c)-2c2(。-c)-2c

化简可得/+3c2—4ac=0,即3e2-4e+l=0,

解得e=；或e=l（舍去）

22

11.已知我|,歹2分别为椭圆C：=+与=1（。＞。＞0）的左、右焦点，过月的直线与C交于尸，。两点,

ab

若|正耳|:归耳］:闺Q|=6:3:2,则椭圆C的离心率为.

【答案】交4百

33

【分析】设|「耳|=6.，|尸闾=3叫耳Q|=2根,由椭圆定义得到怩0=7%分别在△尸耳鸟和A通g上,利

用cos/PKE+cos/QKE,=0,求出机=冬叵。，故|「引=述。，|PF,|=—c，从而得到

9113113

|「耳|+|尸闾=2&=2a,求出离心率.

【详解】设|尸耳|=6"?,则归玛|=3加，闺0=2加，

由椭圆定义知|P周+俨闾=|耳。|+优0,故国0=7机，

其中国局=2c,

在APK鸟中，由余弦定理得

22222

=\PF^+\FXF^-\PF^=36m+4c-9m=27m+4c

C°S12=—2|.团•闺工|—=-2x6m-2c-=24mc'

在△例［中，由余弦定理得

=1d山.『一|°「『=4疗+4c2-49疗=-45疗+•

C0S

QI2一2|°周.阳国―_2x2m-2c-

因为=兀，所以cos/尸耳工+cos/QGK=0,

Z.PFXF2+AQFXF2

2

即27m+4c2+-45加2+4c?=。,故27/+4c?+3（T5〃+4c?）=0,

24mc8mc

解得m=2近/

9

故忸耳上华c，1尸周=子c，

由|尸团+户段=殍c+半C=2A/§C=2“，

/“巩固练习/

22

【巩固练习1】己知椭圆C：二+多=1（。>6>0）的两个焦点为耳，月，过F1作直线与椭圆相交于A,B两点,

ab

若|A周=2忸周且忸叫=|AB|,则椭圆C上的离心率为（

A.-B.-C.且D.正

3433

【答案】C

解析：设阳用=/，则|A/=2f,优，=3力,

由椭圆定义：区川+叵川=4”2〃，耳A|+优山=〃+怩川=2〃，.•.优山二〃，

a2429/

222------|——

cosNA耳居=—cos/B耳月，.”+4厂-.=_/一----二，化简3c2=",.,=也，故选C

2-a-2cc1。3

2•一a,2c

2

22

【巩固练习2]（2024•河北沧州・二模）已知可心为椭圆E:?+3=1（Q〉。〉。）的左、右焦点，过冗的直线

ab

与E交于M,N两点，若|肛|=3|叫|=4|岫|,则E的离心率为.

【答案】巫

5

【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于的等式，即可求出离心率.

【详解】由|9|=3|叫|=4|岫|及|岫|+|年|=24,得阿国=9,眼耳卜£,口娟=当，

228

又|g|+|四|=2°,则囚用=史，设/M/但=仇闺阊=2c,

在△A/耳骂中，由余弦定理得，|"写（=闺引2+|”G「-2阿盟.闺闾8$6,

在△”耳中，由余弦定理得，

〒日。之29/3a八门169片/29/3a八

于—=4cH--------2x2cx—cosg,-EL---------=4cH--------F2x2cx—cos。，

44264648

22

整理得2c之+々2=3accos。，A5a—8c=3accos0,因此g=2,—=

a5a5

所以月的离心率为6=强.

5

故答案为：叵

5

22

【巩固练习3】设斗月分别为椭圆C：3+2=im>b>0）的左、右焦点，点A3均在C上,若不=2”,

2闺a=5阳A|,则椭圆C的离心率为（）

A.正B.立C如叵

234~5~

【答案】B

解析：设闺A|=f,则同理=；,忸耳|=$,

2

4a彳216〃2225〃

---+4c------——+a4c-4--2------

99二99化简9。2=5〃，.、=好，故选B

c2c一「1C

2--a-2c2•一〃•2c3

33

V2V2

【巩固练习4】已知椭圆C=+与=1（。＞“0）的两个焦点为％工，过月作直线与椭圆相交于A,5两点,

ab

若|4娟=2忸用且忸工|=则椭圆c上的离心率为（

A-1

【答案】C

解析：设闺同=，,则|44|=2/，|工回=31,

由椭圆定义：出