甘肃省兰州某中学2024-2025学年高一年级上册11月期中考试 数学试卷（含解析）

2024年兰州市一中高一级第一学期期中学业质量检测卷

数学

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1设集合Af={加£Z|-3<加<2}TV={nGZ|-1<n<3},则AfcN=

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知集合〃={—1,0},则满足MUN={—1,0,1}的集合N的个数是（）

A.2B.3

C.4D.8

3.不等式Q——%+c>0的解集为{x|—2<X<1},则函数yuaV+x+c的图像大致为（）

4.设。＞0,b〉0,若2a+b=l,

A.272B.8C.9D.10

5.以下函数在R上是减函数的是（）

A.j=-x2B.尸I"「C.j=1D,J=

（2019•吉林高一期中）

6./（x）=log2X+x-5的零点所在区间为（）

A.。，2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时,

发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用H，S2分别表示乌龟和

兔子所行的路程（方为时间），则下图与故事情节相吻合的是（）

45

8.若出力为锐角，sina=y,cos（tz+/7）=—,贝！Jsm〃等于（

9.已知当xe（l,+◎时，函数尸一的图象恒在直线尸x的下方，则a的取值范围是（）

A.0<a<lB.a<0C.a<\D.a>\

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

10.x2<1的一个充分不必要条件是（）

A.-l<x<0B.x>lC.0<%<1D.-1<X<1

11.已知正数。，b,则下列不等式中恒成立的是（

1

A.ct+b+.——>2V2B.（a+b）>4

7ab1b

Q2+/1—2abI—~

C.—I-—N2VabD.---->7ab

y/aba+b

/\—x—1

12.若函数/（x）=在R上是单调函数，则。的取值可能是（）

QX+4,X>—1

3

A.0B.1C.-D.3

2

13.下列函数中，既是偶函数又在（0,3）上是递减的函数是（）

A.y=-x2+1B.y=x3

Cy=-\x\+lD.y=y[x

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14,不等式——一4》+5<0的解集为.(用区间表示)

15.已知集合幺=卜|》<1},B={x\x>a\,且幺u8=R,则实数a的取值范围是

16.定义在(-s,0)U(0,+8)上的奇函数f(x)若函数/(久)在(0,择)上为增函数，且/(1)=0则不等式

2H<o的解集为.

X

17.若关于x的不等式必一iog,x<0在(0,字)内恒成立，则。的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.设集合4={x|-24x<5},B={x\m-l<x<2m+l}.

(1)若4nB=0,求加的范围;

(2)若/U5=Z,求机的范围.

19.(1)设口〃。二一工，求1

的值;

2sin2a-sinacosa-2cos1a

(2)已知cos(75°+a)且-180°VaV-90°,求cos(15°-a)的值.

3

20.设集合/=/—3、+2=0},集合8=X?+("1)%+。2-5=0}.

(1)若/。3={2},求实数Q的值；

(2)若=求实数。的取值范围.

2r_1

21.已知函数=

(1)求函数的定义域；

(2)试判断函数在(-1,+。)上的单调性；

(3)试判断函数在xe[3,5]的最大值和最小值.

-2X+a

22.已知定义域为R的函数/(x)=是奇函数

2X+1

(1)求。的值

(2)判断并证明该函数在定义域五上的单调性

(3)若对任意的reR,不等式/(〃—2/)+/(2〃—左)<0恒成立，求实数左的取值范围.

23.设函数/(x)=/+(b-2)x+3(aH0).

(1)若不等式/(x)>0的解集(-1,1),求凡6的值;

(2)若/⑴=2,

14

@a>0,b>Q,求一+：的最小值；

ab

②若/(x)〉l在R上恒成立，求实数。的取值范围.

2024年兰州市一中高一级第一学期期中学业质量检测卷

数学

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是符合题目要求的.

1设集合/=eZ|-3（机<2}={«eZ|-1<«<3},则AfcN=

A,{0,1}B.{-1,0,1}C,{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：依题意/={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},MnA^={-1,0,1}.

考点：集合的运算

2.已知集合M={-1,0},则满足MUN={-1,0,1}的集合N的个数是（）

A.2B.3

C.4D.8

【答案】C

【解析】

【详解】因为由MUN={-1,0,1},得到集合MUMUN,且集合NUMUN,又乂={0,-1},所以元素1CN,

则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.故选C

3.不等式办2—x+c〉0的解集为同一2<%<1},则函数yuaV+x+c的图像大致为（）

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得>=-/+%+2,根据该形式可得正确的选项.

【详解】因为不等式办2—x+c〉O的解集为同一2<%<1},

a<0

故<-2xl=£,故a=-l,c=2,^Ly=ax2+x+c=-x2+x+2,

a

1

-2+1=

a

-^-x2+x+2=0>解得x=-l或x=2,

故抛物线开口向下，与x轴的交点的横坐标为-1,2,

故选：C.

4.设a>0,b>0,若2a+b=l,则2+工的最小值为

ab

A.2A/2B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将2+：化为（Z+：）（2a+»,展开再利用基本不等式，即可

abab

求解出答案.

【详解】由题意知，a>0,6>0,且2a+b=l,贝|

当且仅当一时，等号成立，一+,的最小值为9,故答案选C.

abab

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条

件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.

5.以下函数在R上是减函数的是（）

A.j=-x2B,N=bg「C,j=1D,J=

【答案】D

【解析】

【分析】借助基本初等函数依次对四个选项判断.

【详解】选项4在R上先增后减；

选项8：定义域为：（0,+oo）,在（0,+oo）上是减函数，不满足在尺上是减函数；

选项C：定义域中就没有0,不满足在R上是减函数；

选项。正确.

故选D

【点睛】本题考查了基本初等函数的单调性，属于基础题.

（2019・吉林高一期中）

6./（x）=log2X+x-5的零点所在区间为（）

A.。，2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.

【详解】因为/（X）=log2X+X—5在（0,+e）上单调递增,

且〃3）=1幅3—2<0,/（4）=2-1=1〉0,

所以函数零点所在区间为（3,4）.

故选：C

7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，

发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用S],S2分别表示乌龟和

兔子所行的路程（方为时间），则下图与故事情节相吻合的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率变化即可.

【详解】解：对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不

断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；

对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快，即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其

路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快;

但是最终是乌龟到达终点用的时间短.

故选：B.

【点睛】本题考查利用函数图象对实际问题进行刻画，是基础题.

45

8.若出力为锐角，sin«=y,cos（a+/7）=—,贝！Jsm〃等于（）

16568

A.—B.—C.—

656565

【答案】A

【解析】

【分析】根据所给两个角的形式，发现，=[（々+夕）-a],进而利用正弦的和角公式可以计算出结果.

【详解】由角的关系可知

.4

因为名，为锐角,sina=—.cos(a+/3)=—

5v)13

312

根据同角三角函数关系式，可得cosa=《,sin（a+分）=

sin,=sin[(a+/3^-a^

=sin（a+尸）cosa—cos（o+〃）sina

12354

=-X------------X—

135135

16

~65

所以选A

【点睛】本题利用整体配凑法求三角函数值，根据所给函数角的特征，配出所求角，进而利用三角函数式

化简求值，属于常考题.

9.已知当x£（l,+8）时，函数尸》。的图象恒在直线尸x的下方，则a的取值范围是（）

A.0<a<lB.a<0C.a<lD.a>l

【答案】c

【解析】

【分析】

根据塞函数图象的特点，数形结合即可容易求得结果.

【详解】当。＞1时，了=/与＞=、的图象如下所示:

当a=l时，y=x"=%与^=x的图象重合，故舍去;

当a＜0时，了=/与〉=》的图象如下所示：

综上所述：a<1.

故选：C.

【点睛】本题考查幕函数图象的特征，属简单题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

10.x2<1的一个充分不必要条件是（）

A.-l<x<0B.x>lC.0<x<lD.-1<X<1

【答案】AC

【解析】

【分析】

由不等式一41，求得-结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式/4I，可得-结合选项可得：

选项A为«1的一个充分不必要条件；

选项B为％2V1的一个既不充分也不必要条件；

选项C为«1的一个充分不必要条件；

选项D为V1的一个充要条件，

故选：AC.

11.已知正数。，b,则下列不等式中恒成立的是(

A.ct+b-^-I——>2V2B.

7ab

Q2+//—

C.—,——22"vabD.

y/ab

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由正数a,b,结合基本不等式依次判断选项，即可得结果.

【详解】对于A,a+b+拓+J22J2J茄•一7L=20,当且仅当a=b=Y2时，等

7ab7ab、7ab2

号成立，故A正确；

对于B,(a+Z?)|-+-|=2+-+->2+2.---=4,当且仅当a=6=l时，等号成立，故B正确；

\ab)ab\ab

2,r2Q1

对于C,—1—C]—=2jab,当且仅当〃=Z)时，等号成立，故C正确；

7ab\ab

,—lab/labi—r

对于D,,.,Q+b22«K，-----丁卜.=Jab,当且仅当。二人时，等号成立，故D错误；

故选：ABC

/\——1

12.若函数/(x)=在灭上是单调函数，则。的取值可能是()

[ax+4,x>-1

3

A.0B.1C.-D.3

2

【答案】BC

【解析】

【分析】根据函数的单调性求出。的取值范围，即可得到选项.

【详解】当时，/("=一/+2。为增函数，

所以当x〉—l时，/(x)=ax+4也为增函数，

a>05

所以〈,C,，解得0<。<；・

-l+2a<-a+43

故选：BC

【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值

辨析导致产生增根.

13.下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是()

A.y=-x2+1B.j=x3

C.y=—\x\+1D.y=y[x

【答案】AC

【解析】

【分析】根据事函数的性质依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：A：y=-Y+1是偶函数，且在(0,3)上递减，，该选项正确；

B：y=x3是奇函数，.•.该选项错误；

C：y=-|x|+l是偶函数，且在(0,3)上递减，.•.该选项正确；

D：>=«是非奇非偶函数，二该选项错误.

故选：AC

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

14.不等式—必一4x+5<0的解集为.(用区间表示)

【答案】(-oo,-5]U[l,+oo)

【解析】

【分析】先将不等式变形为X2+4X-5>0.然后解出该不等式可得出其解集.

【详解】不等式一一一4x+5<0等价于丁+4%一520,解该不等式得xW—5或xNl,

因此，不等式一/_4》+5<0的解集为(-8,-5]U[1,+CO),故答案为(一双―5]U[1,+CO).

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，要熟悉一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础

题.

15.已知集合幺="|》<1},B=[x\x>a},且/u8=R,则实数a的取值范围是

【答案】a<\

【解析】

【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.

【详解】在数轴上表示出集合A和集合8,要使/u8=R,只有

9【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属

ax

于基础题.

16.定义在(T»,O)U(O,+℃)上的奇函数f(x)若函:数f(x)在(0,择)上为增函数，且/(1)=0则不等式

2H<0的解集为____.

X

【答案】

【解析】

x<0fx>0

【分析】首先将题意转化为{、八或{、O,再画出函数的图象，根据图象解不等式即可.

UW>0[/(止

)fx<0fx>0

【详解】由题意得到/(X)与X异号，故不等式工&<°可转化为伍力>0或仇力<0'

X

根据题意可作函数图象，如图所示：

J/

-/丫/I~X

由图象可得：当/(x)>0,x<0时，一1<%<0；当/⑴<0,x>0时，

则不等式13<o的解集是(To)3°，i)-

X

故答案为：(-l,0)o(0,l)

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，属于简单题.

17.若关于x的不等式/—log”》<0在(0,弓)内恒成立，则。的取值范围是.

【答案】［1,1)

【解析】

【详解】由Y—10g/<0,得/<log/，在同一坐标系中作y=X?和y=bg“x的草图，如图所示

要使必―k)g“x<o在0,-^-内恒成立，只要y=log,x在0,学内的图象在y=V的上方，于是

0<Q<1.

61

因为％=注时，y=—

22

所以只要X=Y2时,y=log

2a22

1111

所以一4口2,即—.又0<。<1,所以一即实数。的取值范围为一Wa<L

2222

答案为：

【点睛】本题考查函数的函数与方程及函数的零点个数问题，还涉及导数的几何意义，难度较大.解决此

类问题的方法是先求出函数在所给区间上的解析式，画出函数的草图，利用数形结合的方法进行求解.解

题时先得到参数取值的临界值，然后结合图象再确定参数的取值范围.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.设集合/={x|-2<x<5},B={x\m-l<x<2m+\}.

(1)若zriB=0,求机的范围；

(2)若=求加的范围.

3

【答案】(1)机>6或加<——；(2)加<一2或一14加《2.

2

【解析】

【分析】(1)分8=0和两种情况讨论，使得/门3=0即可；

(2)分8=0和两种情况讨论，使得5口/即可.

【详解】(1)已知/={引一2VxV5},B={x\m-\<x<2m+\}.

当8=0时，有加一1>2m+1,即加<一2,满足AC\B=0.

当5w0时，有冽一1<2m+1,即加2—2,

3

又/03=0,则加一1>5或2m+1<-2,即加〉6或一24加<—,

3

综上可知，加的取值范围为冽>6或加<--；

2

(2)\9A\JB=A,：.B^A.

当5=0时，有加一1>2m+1,即加<一2,满足题意.

m—12—2

当有加一142m+1,即加2-2,且〈八1厂，解得一14加(2.

2m+1<5

综上可知,m的取值范围为加<-2或-14加工2.

【点睛】本题考查了集合的交集与并集的性质，注意空集是任何一个集合的子集，属于基础题.

19.(1)设口加7=---，求——J--------------------厂的值；

2sina-sinacosa-2cosa

(2)已知cos(75°+a),且T80°<a<-90°，求cos(15a)的值.

【答案】(1)-1；(2)—

3

【解析】

【分析】(1)将分子的1化成siMa+cos2a,然后将分子、分母都除以cos，a,得到关于tana的分式,

代入题中数据即可得到所求式子的值.

(2)根据a的取值范围，利用同角三角函数的关系算出sin(750+a)=—逑，再由互为余角的两

3

角的诱导公式加以计算，可得cos(15°-a)的值.

【详解】(1)Vl=sin2a+cos2a,tana=—.

原式=一(75。+々)=_2f；

(2):由-180°<a<-90°,得-105°<a+75°<-15°,

Asin(75°+a)=—Jl—痴(75。+0=—半,

Vcos(15°-a)=cos[90°-(75°+a)]=sin(75°+a)

Acos(15°-a)=_其1.

3

【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数与诱导公式等知识，属于基础题.

20.设集合N={xlX?-3x+2=0},集合8=|x|x2+(a-l)x+o2-5=01.

(1)若zn5={2},求实数。的值；

(2)若ZU8=Z,求实数。的取值范围.

【答案】(1)a=-3,a=1

/i7、

(2)〈QQ«—〉一>.

[3J

【解析】

【分析】(1)根据交集先将元素2代入集合8,求出。的值再逐一验证；

(2)对2进行分类讨论，分成空集，单元素集和双元素集.

【小问1详解】

由题意得/={x|X2-3X+2=0}={1,2}.

・「={2}./.2G5,

+(〃—l)x2+a?—5=0即4+2Q—2+/一5=0,化简得：4+2a—3=0，

即(。+3)(a—1)=0,解得：ci——3,ci=\,

经检验当a=-3,5={x|——4%+4=o}={2},满足ZPl8={2}

2

当Q=1]=WX-4=0}={-2,2},满足4。5={2}

a——3,(2=1

【小问2详解】

CUU5=N,故

①当2为空集，则A<0,即(a—I)?—4(6—5)<0,得a<—3或a>§；

②当8为单元素集，则△=(),即("厅―4(1—5)=0,得a=g或a=—3,

当a=g,8={—iJaZ,舍去；当a=-3,8={2}之幺符合；

③当8为双元素集，则8=2={1,2},则有{2,无解，

[1x2=Q—5

’7

综上：实数a的取值范围为ja。三一3或a〉]>.

2x-1

21.已知函数/(%)=-----.

x+1

(1)求函数的定义域；

(2)试判断函数在(-1,+。)上的单调性；

(3)试判断函数在xw[3,5]的最大值和最小值.

【答案】(1){x\x^-l}；

(2)函数/(x)在(-1,+动上是增函数；

35

(3)最大值是二，最小值是二.

24

【解析】

【分析】(1)利用函数的定义域概念求解；

(2)利用函数单调性的定义判断并证明；

(3)利用函数的单调性和最值关系求解.

【小问1详解】

要使函数有意义，则X+1H0,解得XW-1,

所以定义域为{x|xw-l}；

【小问2详解】

2x—12（x+l）-3

由题，f(X)=

x+1x+1x+1

判断函数/(X)在(T+")上是增函数,

证明如下:

\/xx,x2G(-1,+8),石<x2,

/(石)―/(%)=—吃+告=(3(；广)

玉+1X2+1(再+1)(%2+1)

因为占,％2£(-1，+8)，石<12，

所以3+1>0,%2+1>°，/一％2<0，

所以言”(0,所以/&)</(%),

所以函数/(X)在(-1,+8)上是增函数.

【小问3详解】

由(2)知,函数/(x)在xe[3,5]单调递增,

53

所以/(X)mm="3)=Z，/(x)max=/(5)=3

22.已知定义域为R的函数/(x)=]一>£+/7是奇函数

(1)求。的值

(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性

(3)若对任意的/eR,不等式/仁―2/)+