复数章节复习讲义-2025届高三数学一轮复习

章节复习2-7《复数》（4页，含答案）

典型例题:

1.（2023年鲁J02济南三模）已知复数40是关于x的方程f一2了+3=0的两根，则AZ2的值为（®）

A.-3B.-2C.2D.3

2.若复数z满足2+zi=2—2i(i为虚数单位)，I为z的共轨复数，则，+1]=(②)

A.A/5B.2C.A/3D.3

3.(2023年湘J54永州三适)若复数z满足z+3i=＞则复数z的虚部为(⑧)

333.3.

A.—B.C.一iD.i

2222

4.在复平面内，复数z满足z(l+i)=l—2i,则三对应的点位于(④)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

随堂练习：

1.(2023年湘J53怀化二模)若复数z是/+%+1=0的根，则目=(®)

A.y/2B.1C.2D.3

2,已知复数Z=(3+Z)2,则口=(®)

(A)4(B)6(C)8(D)10

3.若复数z满足2z+1=3—i,其中i为虚数单位，则|z|=(©)

A.2B.A/3C.A/2D.3

4.如图在复平面内，复数4/2对应的向量分别是丽丽，则复数五的值是(⑥).

Z2

A.-l+2iB.-2-2iC.l+2iD.l-2i

B

知识点2：

高次方处理：

••?21:3•2411?4n+l•：4〃+2i•4n+3•

1=1,I——1fl——I,1=1;I=1,Z—IJI——1,I——I;

熟记以上结论，可以使运算更加快。

复数的三角形式：

a+bi=y/a2+Z?2-(cos^+zsin^),其中tan0,即。为直线与x轴的夹角。如图：

a

若〃+Z?2=l,则Q+b，=cose+isine

棣莫佛定理：/(。力)

若：Zi=ri(cos0i+isin0i),Z2=r2(cos02+isin02),/；

则：ZiZ2=riC2[cos(0i+02)+isin(0i+02)]。---1—^—1---L-

[r(cos^+isin0)^=rn(cosn^+isinnO^

若r=l,贝1J

n

(cos0+ismO)=(cosn0+isinn0)f可以理解成复数在平面上的点围绕着原点转圈。转的角度是原来

角度的n倍。(推导过程略)

推论：若Z="cos(e)+，sin(e)],则Z=r[cos(-^)+isin(-6^)],-Z=r[cos(^+^)+zsin(^+^)]

zzzz

Ir2|=|i|-|2|-旨'

复数的几何意义：

把复数理解成直角坐标系上面的点，然后分析长度、斜率等即可。

典型例题2：

-2+i—

1.已知复数2=三二(i为虚数单位)，则复数Z的共辗复数Z的虚部为(®)

A.iB.-iC.1D.-1

2.（2023年粤JOI顺德北洛）工=（⑩）

22

13^3.「33A/3.

A...........-iB.1C.—+——iD.-

8822

3.（2023年粤J96三月模拟）在复平面内，已知复数z满足|z—U=|z+i|。为虚数单位），=2+i

对应的点为点Z（,,z对应的点为点Z,则点Z。与点Z之间距离的最小值为（U）

A.4B.72C亭D.2A/2

随堂练习2：

1.已知复数Z满足Z（l+i）=i2023,其中i为虚数单位，则z的虚部为（12）

A.--B.1C.--iD.—

2

222

2.（2022年湖北华师附中J61）著名数学家棣莫佛（Oenw汕r,16677754）出生于法国香槟,他在概

率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：

[r（cosd+isin。）]“=r"（cos〃e+isin〃e）,其中r>0,“eN*.已知r（cos：+isin?）=—16,

根据这个公式可知r=_13.

3.如果复数Z满足|z+3z]+|z—3力=6,那么|z+l+z]的最小值是14

4.（2023年鲁J43日照三模）复数Z满足|z—5|=|z-l|=|z+i|,贝"z|=（15）

A.V10B.V13C.372D.5

【答案】D；答案：A；【答案】B；答案：B；【答案】B；

答案：D；答案：C；答案：A；答案：C；【答案】D；

【答案】C；【答案】A；【答案】2；答案：1；【答案】C；

®【答案】D

【解析】

【分析】解方程可得与与Z2,利用乘法运算直接计算，或者利用韦达定理即可.

【详解】解法一：由尤2一2彳+3=0,得马=1+",z?=l-岳,

所以ZjZ2=(1+721)(1-6)=3；

3

解法二：方程X2-2X+3=0,由韦达定理可得Z]Z2=1=3.

故选：D

®答案：A；

®【答案】B

【解析】

【分析】设2=。+历(。力eR),利用共辗复数的定义、复数的加法以及复数相等可求得b的方程，解出

6的值，即可得解.

【详解】设2=。+历(a力eR),则』=a—bi，

因为z+3i=z，则a+(〃+3)i=a—历，所以，b+3=—b,解得。=—],

3

因此，复数z的虚部为--.

2

故选：B.

®答案：B；

®【答案】B

【解析】

【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.

【详解】Vx2+x+l=O-

・•・由求根公式得：元二二1±'亘=二1虫受，即：z=T±",

222

；•当z=」+3

i时，|z|==b

22

z=_L_^4时，|z|=

当

22

综述:Iz述1.

故选：B.

⑥答案:D；

⑦答案:C；

⑧答案:A

⑨答案:C；

⑩【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算即可化简求解.

/7

A/3jK+3i+打16.

【详解】-+----1----1

(242422

77k

故选：D.

11【答案】C

【解析】

【分析】设出复数,代入|z-1卜上+1，整理得点Z在直线上，Z。与点z之间距离的最小值即Z。到直线

的距离，再利用点到直线的距离公式即可求得.

【详解】设z=x+yi(x,yeR),代入到|z—igz+i1,

得肛—1)+川=,+('+1)m，

整理得y=—%,

即点z在直线y=一%上,

所以点Z0(2,l)到Z(x,y)之间的距离的最小值，即zo(2,l)到直线x+y=0的距离,

由点到直线的距离公式可得d=三工=—,

V1+12

所以点Z。与点Z之间距离的最小值为述.

2

故选：C.

12【答案】A

【解析】

【分析】先由虚数单位的性质求得12。23,再利用复数的四则运算求得Z,从而得解.

【详解】因为i2023=i505x4+3