等边三角形压轴必考题型归纳-2024-2025学年浙教版八年级数学上册

等边三角形压轴必考题型归纳

国1垄其■邕雪史眄

【题型01:等边三角形中动点与全等三角形综合问题】

【题型02：平行法法构造全等三角形】

【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】

国满合於珠

【方法点拨】

类型一、平行线法构造全等三角形：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形

相关的性质时非常有用。

类型三、截长补短法：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另

一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。

【题型01:等边三角形中动点与全等三角形综合问题】

【典例1】如图1,点P、。分别是等边△48C边8c上的动点(端点除外)，点尸从顶点/、点。

从顶点8同时出发，且它们的运动速度相同，连接/0、W交于点

(1)求证：AAB。空ACAP；

(2)当点尸、。分别在AB、3c边上运动时，N0MC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它

的度数.

(3)如图2,若点尸、0在运动到终点后继续在射线AB、3c上运动，直线/0、CP交点为则NQMC

变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.

1

【变式1-1】如图，△/AD和△CAD都是边长为6c加的等边三角形，点E是边D4上的动点，点F是边DC

上的动点.

(1)如果点E从点。出发，以lc%/s的速度沿边。4向点/方向运动；点厂从点C出发，以lcm/s的

速度沿边向点。方向运动.当点E到达点/时，两动点均停止运动.试判断运动过程中/£5厂的大

小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由.

(2)如果点E从点。出发，以low/s的速度沿边。/向点N方向运动；点尸从点。出发，以2c%/s的

速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回.当点E到达点/时，两动点均停

止运动.问当点£运动多少秒时/即尸=60°?

【变式1-2］如图(1),等边△48C中，。是N3边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接

AE.

(1)△O8C和△£1/(?会全等吗？请说明理由.

(2)试说明N£〃8C的理由.

(3)如图(2),将(1)中的点。运动到边A4的延长线上，所作仍为等边三角形.请问是否仍有NE

//BC1请说明理由.

(4)将(1)中的点。运动到边N2的延长线上，仍向上作等边△成)C,连接/£请按要求画出图形,

请问是否仍有/£〃3C?请说明理由.

2

【题型02：平行法法构造全等三角形】

【典例2】如图，在等边三角形4BC中，点E在4B上，点。在CB的延长线上，且ED=EC.

⑴如图1，当E为AB的中点时，则4EDB(填"><"或"=").

(2)如图2,当E为4B边上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由.

(3)如图3,当点E在4B的延长线上时，若△ABC的边长为2,AE=3,求CD的长.

【变式2-1］如图，在等边△ABC中，点M为48上任意一点，延长BC至点N,使4M=CN,连接MN交

AC于点P.

(1)求证：MP=NP；

(2)作MH14C于点X,设力B=a,请用含a的式子表示P”的长度.

3

【变式2-2】如图所示，在△4BC中，AB=AC,在4C的延长线上取点E,使得BD=CE,求证:

DG=GE.

【变式2-3］如图，在△4BC中，D是边BC的中点,

⑴提出问题：

①请用无刻度的直尺和圆规过点C画直线CE,使CEII4B,交力D的延长线于点E.（保留作图痕迹，不写

作法，标明字母）

②试猜想ED与4D的数量关系，并证明你的猜想.

（2）解决问题：

@AB+AC2AD（填“或.

②若4B=3,AC=5,贝以。长度的取值范围为.

⑶拓展应用：

如图②，CE,CB分另!］是△ABC和△4DC的中线，AB=AC,直接写出CD与CE的数量关系.

4

【变式2-4】某学习小组遇到了如下的数学题目：

“在等边△ABC中，点E在边4B上，点。在CB的延长线上，且ED=EC,试确定线段4E与DB的大小关系,

并说明理由.”学习小组进行了如下探究：

⑴特殊情况，探索结论:

当点E为48的中点时，如图1,确定线段4E与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE_DB（填

或"="）；

⑵特例启发，解答题目：

当点E不是边力B的中点时，如图2,可过点E作EFIIBC,交AC于点尸，构造等边三角形和全等三角形，通

过转化思想解决问题.请你判断4E与DB的大小关系，并完成解答过程；

⑶总结方法，解决新题：

在等边△ABC中，点E在直线48上，点。在直线BC上，且ED=EC,若△力8C的边长为1,AE=2,直

接写出CD的长.

5

【变式2-4】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种"挑战"几何图形

更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步"从特殊到一般”进行探索，思路和方法

自然就会显现出来.下面是一道探索几何图形中线段4E与。B数量关系的例子：

己知，在等边三角形ABC中，点E在4B上，点。在CB的延长线上，且ED=EC.

图1图2图3

小星的思路是：

（1）【特殊情况，探索结论】如图1,当点K为4B的中点时，确定线段4E与DB的大小关系，请你直接写

出结论：AE_DB（填“>",或"="）；

（2）【特例启发，解答题目】如图2,当点£为力B边上任意一点时，确定线段4E与DB的大小关系，请

你写出结论：AE_DB（填“或"="）；理由如下：（请你将理由补充完整）

证明：过点E作EFIIBC交AC于点F.

⑶【拓展结论，设计新题】如图3,在等边三角形力BC中，点£在直线48上，点。在线段C8的延长线

上，且ED=EC,若△ABC的边长为2,AE=4,求CD的长.

6

【变式2-5］（综合与实践）已知，在等边三角形ABC中，点£在4B上，点。在C8的延长线上，且

ED=EC.

⑴【特殊情况，探索结论】如图1,当点£为4B的中点时，确定线段4E与DB的大小关系，请你直接写

出结论：AEDB（填">"、"<"或"="）；

（2）【特例启发，解答题目】如图2,当点£为4B边上任意一点时，确定线段与D8的大小关系，请你

直接写出结论，AEDB（填">"、"<"或"="）；理由如下，过点E作EFIIBC,交2C于点

F.（请你完成以下解答过程）：

⑶【拓展结论，设计新题】如图3,在等边三角形2BC中，点E在直线ZB上，点。在线段CB的延长线

上，且ED=EC,若△4BC的边长为1,AE=2,求CD的长（直接写出结果）.

【变式2-6】已知：△ABC中，AB=AC点。是8c的中点.

图1图2图3

（1）如图LDE1AB,DFLAC.垂足分别为£、F.求证:DE=DF；

⑵若BC=4C.点£在力B的延长线上.=120°

①如图2,若点尸（恰好在AC上），求证：DE=DF；

7

②如图3,若点尸在C4的延长线上，BC=5,BE=4,直接写出4F的长.

【变式2-7】已知在等边三角形ABC中，点£在AB上，点。在CB的延长线上，ED=EC.

⑴如图1,当点£为4B的中点时，确定线段2E与D8的大小关系：AEDB(填">""("或"=")

(2)如图2,当点E为力B边上任意一点时，确定线段2E与DB的大小关系，并说明理由.

⑶如图3,在等边三角形ABC中，点£在线段的延长线上，点。在线段C8的延长线上，且ED=EC,

若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.

【变式2-8】已知，在等边△力BC中，点E在射线上，点。在边CB的延长线上，且ED=EC.

DB

fflci图②图③

【特殊情况】

(1)如图①，当点E为边4B的中点时，线段4E与线段DB的数量关系是：AEDB(填

或"=")；

【特例引路】

(2)如图②，当点E为4B边上任意一点时，过点E作EFIIBC,交AC于点F,试确定线段4E与线段DB的

数量关系，并说明理由；

【拓展延伸】

(3)如图③，当点E在边的延长线上时，若△4BC的边长为1,AE=2,求CD的长.

8

【变式2-9］数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

如图1,边长为6的等边△ABC中，点。沿线段4B方向由/向8运动，点/同时从C出发，以相同的

速度沿射线BC方向运动，过点。作0E14C,连结OF交射线AC于点G.求线段力C与EG的数量关系，并

说明理由.

图I图2

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

⑴特殊情况,探索结论

当点。恰好在点3处时，易知线段AC与EG的关系是：（直接写出结论）

⑵特例启发•解答题目

猜想：线段4c与EG是（1）中的关系，进行证明：

辅助线为"过点D作DHIIBC交2C于点H",请你利用全等三角形的相关知识完成解答；

⑶拓展结论•设计新题

如果点。运动到了线段48的延长线上（如图2）,刚才的结论是否仍成立？请你说明理由.

9

【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】

【典例3】已知在△48C中，AB=AC,过点B引一条射线BM,。是上一点.

期1图2图3

【问题解决】

(1)如图1,若乙4BC=60。，射线BM在N4BC内部，乙4D8=60。，求证：N8DC=60。.小明同学展示的

做法是：在BM上取一点E使得4E=4D.通过已知的条件，从而求得ABDC的度数，请你帮助小明写出

证明过程.

【类比探究】

(2)如图2,已知N&8C=N4DB=20。.

①当射线BM在内，求NBDC的度数；

②当射线在8c下方，如图3所示，请问乙BDC的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请

求出NBDC的度数.

【变式3-1］如图，△ABC为等腰直角三角形，ZB4C=90°,AB=AC,。是AC上一点.CE1BD于点

E,连接4E.

⑴求4EB的度数;

⑵若BE=10,CE=4,求△4EC的面积.

10

【变式3-2]