导数中的同构问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点08导数中的同构问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1同构：利用人x)与x构造函数1.......................................................................................2

【题型2同构：利用兀0与构造函数1......................................................................................3

【题型3同构：利用兀r)与situ,cosx构造函数1..........................................................................3

【题型4指对同构问题】.......................................................................4

【题型5利用同构比较大小】...................................................................5

【题型6利用同构解决不等式恒成立问题】......................................................5

【题型7利用同构证明不等式】.................................................................6

【题型8与零点有关的同构问题】...............................................................7

►命题规律

1、导数中的同构问题

导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出

现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、

解不等式、恒成立等问题，难度较大.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的同构问题的解题策略】

1.导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、

恒成立等问题，主要有以下几种类型：

⑴利用作)与X构造函数

①出现,贸乃+引力)形式，构造函数网x)=x7(x).

②出现犷G)-次V)形式，构造函数刊(尤)=.

(2)利用/(x)与e，构造函数.

⑶利用/(X)与sinx,cosx构造函数.

2.同构式的应用

(1)在方程中的应用：如果方程人。尸0和/(6)=()呈现同构特征，则a,6可视为方程/(x)=0的两个根.

(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而

利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.

【知识点2指对同构问题】

1.指对同构解决不等式问题

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单

调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的

速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.

(1)五个常见变形：

pxYox

xx+lnxxlnxx

xe=e,—=e-,—=*一户+比％=ln(xe),x-lnx=ln—.

(2)三种基本模式:

三种同构方式

三种同构方式

①积型:aea^blnb-------->

同左：aea^(lnb)einb……/(%)=泥，

同右：exlnea&blnb...f{x)—xInx,

取对：a+Ina&Inb+In(In/?)......../(x)=x+Inx.

eab三种同构方式

②商型:<

a'inb

a\nbx

同左：一.../(x)=一，

aInbJx

<同右：鼻wg……〃x)=4，

IneIn/?Inx

取对:a-Ina&Inb—In(Inb)......./(x)=x—Inx.

K

两种同构方式

③和差型：ea±a^b±\nb-------->

J同左：ea±a>einb±lnb……f(x)=ex±x,

1同右：ex±lnea>b±InZ?......./(x)=x±Inx.

►举一反三

【题型i同构：利用加)与刀构造函数】

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知/'(x)是定义在R上的偶函数，且/(2)=0,当无>0时，x/(x)-/(x)>0,

则不等式好。)>0的解集是()

A.(—8,—2)U(2,+8)B.(—2,2)

C.(—8,—2)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+8)

【变式1-1](2024・安徽•一模)已知/(%)是定义在R上的偶函数，且/(2)=1,当％>0时，xf(x)+f

G)>1,则不等式/二<0的解集为()

X

A.(-QO,2)U(2,+oo)B.(-00,2)U(0,2)

C.(-2,0)U(2,+oo)D.(-2,0)U(0,2)

【变式1-21(23・24高二下•天津南开•期中)已知/(%)是定义在(-8,0)1；(0,+8)上的奇函数，若对于任意

的％e(0,+8),都有2/(%)+%/6)>0成立，且/⑵则不等式/(%)—0解集为()

A.(2,+oo)B.(-2,0)U(0,2)

C.(0,2)D.(—2,0)U(2,+oo)

【变式1-3］⑵-24高二下•湖北武汉・期中）/（x）是定义在R上的奇函数，当尤>0时，有好6）+2/（久）>0

恒成立，则（）

A.f⑴>”⑵B./(-I)<4/(-2)

C.4/(2)<9/(3)D.4/(-2)<9/(-3)

【题型2同构：利用{*）与e*构造函数】

【例2】（2024•湖北武汉•一模）若函数/（久）的定义域为R,满足f（0）=2,Vxeft,都有/（x）+/'（x）>1,

则关于x的不等式f（久）>e-x+1的解集为（）

A.{x\x>0}B.{x\x>e}C.{x\x<0}D.{%|0<%<e}

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知f（x）是可导的函数，且（久）</0）对于xeR恒成立，则下列不等

式关系正确的是（）

A.f（l）>ef（0）,f（2023）<e2023f（0）B./（I）<e/（0）,/（l）>e2/（-l）

C./⑴<e/（0）,/⑴<e2/（-l）D./⑴<e/（0）,/（2023）>e2023/（0）

【变式2-2］（23-24高二下・江苏南京•期中）已知函数/O）及其导函数/&）定义域均为R,且/O）-/'（X）>0,

/（0）=e,则关于久的不等式/（久）>研+1的解集为（）

A.{x\x>0}B.{x\x<0}C.{x\x<e}D.{x\x>e}

【变式2-31（23-24高二下•河南驻马店•期末）己知定义在R上的偶函数/（久）满足f（久+/（-%-1）=0,

e4/（2022）=1,若/'（X）>「（—光），则关于x的不等式/（无+2）的解集为（）

A.（4,+oo）B.（-oo,4）C.（-oo,3）D.（3,+00）

【题型3同构：利用外）与sinx,cosx构造函数】

【例3】（2023•重庆九龙坡・二模）己知偶函数八久）的定义域为（-去/其导函数为尸⑺，当时,

有/''OOcos%+y（X）sinx>。成立，则关于X的不等式fO）>2,0•cosx的解集为（）

【变式3-1］（2023•全国•模拟预测）己知定义在（-芳）上的函数人式）满足汽r）=/O）,当比6（0,习时,

不等式/(%)sin%+/(x)cosx<0恒成立(/'(%)为/(%)的导函数)，若acosl=/(—1),bcosj=/(-InVe),

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【变式3・2】（23・24高二上•重庆沙坪坝•期末）已知-（%）是函数f（%）的导函数，/（%）-/（-%）=0,且对于

任意的％C（0弓）有f（%）cos%>/（-%）sin（-%）.则下列不等式一定成立的是（）

C./（-I）<V2/g）cosl

D.

【变式3・3】（2024•河南信阳,一*模）已知函数y=/（%）对％E（0,兀）均满足f'（%）sin%-/（%）cos%=[-1,其

中/'（%）是/（%）的导数，则下列不等式恒成立的是（）

A.V2/Q</QB.

C/©</©D.白肌/管）

【题型4指对同构问题】

【例4】（2024•陕西安康•模拟预测）若存在x€（0,+8）,使得不等式a?—+%2e。/+iMx成立，则实数a

的取值范围为（）

【变式4-1]（2024•广东深圳•模拟预测）已知函数/（%）=ae^+ln总-2,若/（无）〉。恒成立，则正实数

a的取值范围是（）

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

【变式4-2]（2024•江西赣州•二模）已知函数/（x）=px+1,。（久）=（1+：）Inx.若kfQ）2g（尤），则后的

取值范围为（）

A.(0,e]B.[e,+co)c・…

【变式4-3]（2024•甘肃兰州•二模）若关于％的不等式e%+%+21n^2+]mn恒成立，则实数加的最

X

大值为（）

1

」c2D2

-e-e

2B.42

【题型5利用同构比较大小】

【例5】（2024•湖南益阳•三模）若a=21nl.l,b=0.21,c=tan0.21,则（）

A.b<c<aB.a<c<bC.c<a<bD.a<b<c

【变式5・1】（2024•陕西安康•模拟预测）若0V%iV%2VL则（）

%1%2X1

A.e%2+In%1>e+lnx2B.e+\nx1<e+lnx2

e%1X2X1X2

C.x2>xreD.x2e<xre

【变式5-2］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）设a=lnl.01,b=sinO.Ol,c=击，则a,b,c大小关系（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

【变式5-3］（2024・安徽•三模）已知实数叼,如与满足井=£—1=KU=5，则（）

x

A.Xr<X2<%3B.<%3<2

x

C.X2<x3<X1D.%2V<3

【题型6利用同构解决不等式恒成立问题】

【例6】（2024•内蒙古•三模）已知函数/（%）=/一+21n%.

（1）讨论/（%）的单调性；

（2）若a>0/（%）<e。久恒成立，求a的取值范围.

【变式6-1］（2024•广西贵港•模拟预测）已知函数/（久）=ae〃一Ex+：a+i.

（1）当a=1时，请判断了（久）的极值点的个数并说明理由；

（2）若/（%）>2a2-a恒成立，求实数a的取值范围.

【变式6・2】(2024•天津武清•模拟预测)已知/(%)=谈一产(%>0,。>0且。01).

(1)当a=2时，求/(%)在％=。处的切线方程；

(2)当a=e时，求证：/(%)在(e,+8)上单调递增；

(3)设a>e,已知V%E+8),有不等式/(久)20恒成立，求实数Q的取值范围.

【变式6-3](2024•河北•模拟预测)已知函数=—

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)<(丁-1-

【题型7利用同构证明不等式】

【例7】(2024•湖北荆州•三模)已知函数/0)=疣，—a(lnx+口，其中e是自然对数的底数.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线的斜截式方程；

(2)当a=e时，求出函数/(%)的所有零点；

(3)证明：x2ex>(%+2)lnx+2sinx.

【变式7-1](2024•广东广州•模拟预测)已知函数=(a>0).

⑴求/(%)在区间上的最大值与最小值；

(2)当a21时，求证：f(x)>Inx+%+1.

【变式7-2](2024•山东•二模)已知函数f(%)=nrr—In久,上£(1,+8).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若>x2—%恒成立，求实数m的取值范围.

【变式7-3](2024・四川眉山•三模)已知函数/(%)=-。好一2%.

(1)若过点。0)可作曲线y=/(%)两条切线，求。的取值范围；

(2)若/(%)有两个不同极值点久1，%2.

①求Q的取值范围；

②当久1>4到时，证明：%i%2>16e3.

【题型8与零点有关的同构问题】

【例8】(2024•四川自贡•三模)已知函数/(%)=1+[+aln%(a>0)

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)函数/(%)有唯一零点第1，函数g(%)=第一sin%-§在R上的零点为%2.证明：xr<x2-

【变式8-1](2024•广东茂名•一模)设函数/(%)=e*+asin%,%G[0,+oo).

(1)当。二一1时，/(久)2b%+1在[0,+8)上恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若a>0,/（久）在[0,+8）上存在零点，求实数a的取值范围.

【变式8-2]（2024•四川遂宁•模拟预测）已知函数/Xx）=x—：+alnx,其中aeR.

（1）当x6[1,+8）时，/（%）>0,求a的取值范围.

（2）若。<一2,证明：/（X）有三个零点勺，X2,久3（%1（久2<久3），且％1，X2,%3成等比数列•

【变式8-3]（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知函数/（久）=x2lnx-zn有两个不同的零点均，小，且t=*+

用.

（1）求实数爪的取值范围；

（2）求证：t<1；

（3）比较t与:及2机+：的大小，并证明.

►过关测试

一、单选题

1.（2024・陕西安康•模拟预测）已知。=ln[b=gc=贝ij（）

567

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

2.（2024•宁夏银川•模拟预测）已知aeN*,函数/（x）=e3x—%。>0恒成立，贝的最大值为（）

A.2B.3C.6D.7

3.（2024・四川南充・模拟预测）设a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的个数为（）

①log2a+log2b>—2②2a+2h>2V2③a+\nb<0

A.0B.1C.2D.3

4.(2024・四川宜宾・模拟预测)定义在(0,+8)上的单调函数/(%),对任意的第G(0,+8)有/[/(%)-In%]=1

恒成立，若方程/(%)•/6)=血有两个不同的实数根，则实数机的取值范围为()

A.(-co,1)B.(0,1)C.(0,1]D.(-00,1]

5.(2024・四川南充•模拟预测)设。>0乃〉0,且。+/)=1,则下列结论正确的个数为()

①log2a+log2b之—2②2a+2h>2V2③a+In/?<0④sinasinb<|

A.1B.2C.3D.4

1，

6.(2024•河南关B州•三模)设％犯E(0,+8),且e%i+lnx2=1,贝()()

A.若％i=冷，则％1E(H)B.若％62=1，则第1存在且不唯一

C.勺+冷>1D./+lnx2>0

7.(2024•四川•三模)已知关于％的方程e?%-axex+9e2%2=0有4个不同的实数根，分别记为久力上，第3，%4,

贝!1(吧—e)(殁—e)(土一e)(之一e)的取值范围为()

巧%2%3%4

A.(0,16e4)B.(0,12e4)C.(0,4e4)D.(0,8e4)

8.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/'(x)=Inx,g(x)为/(%)的反函数，若f(x)、g(x)的图像与直线y=-久

交点的横坐标分别为修，x2,则下列说法正确的为()

A.x2>ln%iB.x1+x2<0

C.G5)D.-%2e(1,5+ln2)

二、多选题

9.(2024・湖北武汉•模拟预测)对于函数/0)=走，下列说法正确的是()

A.函数/(>)的单调递减区间为(0,1)U(l,e)

B-/⑺<f(2)

C.若方程|〃|久|)|=k有6个不等实数根，则k>e

D.对任意正实数刀1，乂2，且X1力％2，若/'(乂1)=/(%2)，则〉e2

10.(2024•河南郑州•模拟预测)已知函数/(x)=xcosx-sin久，下列结论中正确的是()

A.函数/(%)在％=轲，取得极小值一1

B.对于Vx£[0,n],f(x)<0恒成立

C.若0<久1<久2<n，则生<—

X2sin%2

D.若对于Vxe(o,§,不等式a〈亭<6恒成立，贝I|a的最大值为*b的最小值为1

11.(2024•江苏•模拟