导数及其应用（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编（解析版）

4<04导檄备感用(解答盘J

五年考情♦探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024全国甲卷I卷

考点1利用导2023II卷乙甲

甲卷卷卷乙卷

数求函数单调2022III

2021甲卷I卷含参的函数利用导数求参数问题

性，求参数

2020I卷III卷是高考中的一个高频考点，也是必

考点，通过函数单调性转化成为恒

成立问题或者存在使成立问题以

2023甲卷

及其他问题，可直接求导或者是利

考点2恒成立2022甲卷I卷II卷

用分离参数去转化。

问题2021乙卷II卷

2020Iinn卷

2023II卷甲卷

考点3与三角2022天津卷与三角函数相关问题随着新高考

函数相关导数2021I卷新结构的出现，这类题目一压轴题

问题2020II卷甲卷出现的频率会变大。

2024北京天津导数综合类问题一直是高考数学

2023乙卷北京I卷天津的压轴题一般牵扯到不等式的证

考点04导数

2022甲卷III卷明问题，极值点偏移问题，拐点偏

综合类问题

2021乙卷I卷移问题，隐零点问题，函数放缩问

2020IIIII卷题。未来也是高考重难点

考点05新定随着高考数学新结构的形式出现。

2024上海卷

义问题导数新定义问题将成为高频考点

分考点•精准练

考点01利用导数求函数单调性，求参数

一、解答题

1.(2024・全国•高考I卷)已知函数〃x)=ln上+办+6。-1)3

2—x

⑴若6=0,且/'(x)20,求。的最小值；

(2)证明：曲线了=/(x)是中心对称图形；

⑶若/(x)>-2当且仅当1〈尤<2,求b的取值范围.

2

【答案】⑴-2⑵证明见解析⑶

【详解】(1)6=0时，f(x)=ln—^—+ax,其中xe(0,2),

2—x

11?

则/'(x)=/：=7孤0+a，xe(0,2),

因为耳2_上广;+[=],当且仅当x=l时等号成立，

故/'(x)mM=2+a,而/'(x)N0成立，故a+220即/-2,

所以。的最小值为-2.,

(2)/(x)=ln——+。尤+6(x-l『的定义域为(0,2),

设尸(私〃)为了=/@)图象上任意一点，

尸(加,〃)关于(1,*的对称点为0(2-加,2°-〃),

因为在y=/(x)图象上，w=In——+am+b(m-l)3,

2—m

而/(2—m)=ln-----ba(2-加)+b(2-加一1)=一In------1-am+b^m-1)+2a,

m[_2—m

=-n+2a,

所以0(2-刃,2a-〃)也在y=f(x)图象上，

由P的任意性可得V=/(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1,。).

(3)因为〃”>-2当且仅当l<x<2,故x=l为/("=-2的一个解，

所以/⑴=-2即。=-2,

先考虑1〈尤<2时，1(力>-2恒成立.

此时/(力>一2即为ln」+2(l-x)+6(x-l)3>0在(1,2)上恒成立，

2-x

设t=x-1e(0,1),贝IJIn詈一2/+从3>0在(0,1)上恒成立，

设g（，）=ln^----2t+bt3,tG（0,1）,

则g"）=*-2+3疗/（=：2+”）

当620,—36产+2+362—36+2+36=2〉0,

故g'G)>0恒成立，故g(。在(0,1)上为增函数,

故g(f)>g(o)=0即/(x)>-2在(1,2)上恒成立.

2

当一时，一342+2+3622+36之0,

故g'«"o恒成立，故g0在(0,1)上为增函数,

故g(f)>g(o)=0即/(X)>-2在(1,2)上恒成立.

当方<-|>贝！I当Oct<Jl+2<1时，g'«)<0

3、%

故在°[1+羡]上g(')为减函数，故g(f)<g(o)=o,不合题意，舍;

综上,/(、)>-2在(1,2)上恒成立时6

2

而当62——时，

3

而时，由上述过程可得g«)在(0,1)递增，故g⑺>0的解为(0,1),

即/(尤)>-2的解为(1,2).

2

综上，b>—.

3

2.(2024•全国•高考H卷)已知函数/(x)=e*-".

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

⑵若/(x)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

【答案】(l)(e-l)x-y-l=：0(2)(1,+oo)

【详解】(1)当°=1时，则〃x)=e*—x-1,/,(x)=ev-l,

可得/(D=e-2,r(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率k=e-l,

所以切线方程为k(e-2)=(e-l"-1),即(e-l)x-y-l=0.

(2)解法一：因为/&)的定义域为R,且尸(x)=e，-a,

若。<0,则/'(x"0对任意xeR恒成立，

可知/(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若。>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/解得x<lna；

可知/(x)在(-8,In°)内单调递减，在(Ina,+8)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)="alna-a3,无极大值，

由题意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,即/+lna-1>0,

构建g(a)=〃+lna-l,a>0,则g'(q)=2q+工>0,

可知g(a)在(0,+8)内单调递增,且g⑴=0,

不等式/+lna-l>0等价于g(a)>g⑴，解得。>1,

所以a的取值范围为(1,+e);

解法二：因为/(x)的定义域为R,且f\x)=e*-a,

若/(x)有极小值,则八x)=e〜有零点,

令/'(x)=e*-a=0,可得e*=a,

可知〉=e*与y有交点，贝

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令f'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-叫Ina)内单调递减，在(Ina,+e)内单调递增，

则/(只有极小值/(111。)=。-。111。-。3,无极大值，符合题意，

由题意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,即Y+lna-l〉。，

构建g(a)=a?+Ina-1,a>0,

因为则V=a2)=lna-l在(0,+s)内单调递增，

可知g(a)在(。,+8)内单调递增，且g(l)=0,

不等式等价于g(a)>g⑴，解得0>1,所以a的取值范围为(1,+8).

3.(2024•全国高考甲卷理)已知函数/(x)=(l-")ln(l+x)-x.

(1)当a=-2时，求“X)的极值；

(2)当尤20时，/(%)>0,求4的取值范围.

【答案】⑴极小值为0,无极大值.(2)a〈-g

【详解】(1)当。=一2时，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故八尤)=21n(l+x)+H^-l=21n(l+x)--—+1,

'1+x1+X

因为>=21n(l+x),y=-」一+1在上为增函数，

1+x

故/(x)在(-1,+8)上为增函数，而/'(0)=0,

故当-l<x<0时，r(x)<0,当x>0时，(尤)>0,

故/(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)(x)=—aln(l+无)+；"_]=_qln(]+@,工>(,

、C/、，/、(Q+1)X

设s(%)=-QIn(1+x)-———,x>0,

,(、-a(Q+1)Q(X+1)+Q+1ax^laW

则S(X)=-----------7=---------2---=--------T~，

LX+1(1+x)2(1+x)2(1+/2

当心-；时，s1x)>0,故5(尤)在(o,+8)上为增函数，

故s(x)>s(O)=O,gpf'[x)>Q,

所以/(x)在[0,+。)上为增函数,故f(x"/(O)=O.

当-，<a<0时，当0<x<-2°+l时,s[x)<0,

2a

故s(x)在(0,-平]上为减函数，故在(0,-誓[上s(x)<s(o),

即在(0,-"|上r(x)<0即/(x)为减函数，

故在，，-号总]上/卜)</(0)=0,不合题意，舍.

当a20,此时s'(x)<0在(0,+e)上恒成立，

同理可得在(0,+⑹上/'(x)<y(O)=O恒成立，不合题意，舍；综上，a<-1.

4.(2023•年全国新高考I卷数学试题)已知函数/(x)=a(e，+a)-x.

⑴讨论/(无)的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+-.

【答案】⑴答案见解析⑵证明见解析

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为/-1-Ina>0的恒成立问题，构造函数

g(a)=/_g_]na(a>0),利用导数证得g(a)>0即可.

方法二：构造函数〃(x)=e*r-l,证得炉。+1,从而得到/(x)Nx+lna+l+a2-x,进而将问题转化为

/-L-lna>0的恒成立问题，由此得证.

2

【详解】⑴因为"x)=a(e，+a)r,定义域为R,所以解(x)=ae-1,

当aWO时，由于e*>0，贝Uae'VO,故/'(尤)=温-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当a>0时，令/''(X)=ae"-1=0,解得x=-lna,

当x<-lna时，/\%)<0,则/(x)在(-co,-Ina)上单调递减；

当x>-lna时，/取)>0,则“X)在(一Ina,+8)上单调递增；

综上：当aVO时，/(x)在R上单调递减；

当a>0时，/(x)在(-no,-Ina)上单调递减，在(-lna,+oo)上单调递增.

(2)方法一：

aa2

由(1)得，f(x)min==a[or'+a)+Ina=1+a+ln«,

331

要证/(%)>21110+5,即证1+。2+lna>21na+Q,即证/一,-in。>0恒成立,

令g(q)=q2>0),贝lj=2Q—工=—~~-，

2aa

令g'(a)<0,则0<〃<¥；令g'(a)>0,则°>等；

所以g(。)在o,]上单调递减，在],+8上单调递增，

\7\7

(历、(万丫£

所以g(〃)min=g-------------In---=Iny/2>0,则g(〃)>0恒成立，

''I2JI2J22

3

所以当〃〉0时，/(x)〉21na+w恒成立，证毕.

方法二：

令/z(x)=e"—%一1,贝U=e"—1,

由于>=e、在R上单调递增，所以"(x)=ex-1在R上单调递增，

又"(O)=e°—1=0,

所以当x<0时，Ar(x)<0；当%>0时，〃'(x)〉0；

所以〃(x)在(-巩0)上单调递减，在(0,+功上单调递增，

故〃(％"〃(0)=0,贝博0+1,当且仅当x=0时，等号成立，

x2x+lna22

因为/(%)=a(e"+a)-x=ae+a-x=e+a-x>x+]na+l+a-x9

当且仅当x+lna=O,即x=—lna时，等号成立,

3.01

所以要证”x)>21na+5,即证x+lna+l+q-x>21na+—即证“2----Ina〉0,

f2

令g(a)="----lna(q〉O),贝Ijg，(。)=2Q—工=—->

2aa

令g[a)<0,则0<.<冬令g<a)>0,则如曰；

所以g(〃)在o,*上单调递减，在十,+8上单调递增，

<7\?

((万丫s

所以g(〃)min=g——=——----M——=In41>0,则g(〃)〉0恒成立,

n'I2JI2J22

3

所以当〃>0时，/(x)〉21na+5恒成立，证毕.

5.(2023年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(x)=］：+41n(l+x).

(1)当a=T时，求曲线了=/(力在点(1,7(司)处的切线方程.

(2)若函数“X)在(0,+“)单调递增，求。的取值范围.

［答案］⑴(ln2)x+yTn2=0；(2)|a|a>|j.

【详解】(1)当a=-l时，/(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),

贝=—^-xln(x+l)+|—1p,

据此可得/⑴=0j(l)=-ln2,

所以函数在(1J⑴)处的切线方程为>-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得/'(x)=(-4]ln(x+l)+t+a]x一1(尤>-1),

满足题意时/'(X)20在区间(0,+司上恒成立.

+++a|—-->0,则-(x+l)ln(x+l)+(x+ax2"0,

XJyXJX+1

令g(x)=M+x-(x+1)lna+1),原问题等价于g(x)20在区间(0,+功上恒成立,

贝！J(无)=2<zr-ln(x+l),

当aWO时，由于2ax40,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,+司上单调递减,

此时g(尤)<g⑼=0,不合题意；

令〃(无)=g'(x)=2办一ln(x+l),贝ljh'(x)=2a———,

当a，,2azi时，由于，<1,所以"(x)>O,〃(x)在区间(0,+司上单调递增，

即g’a)在区间(0,+司上单调递增，

所以g'(x)>g'⑼=o，g(x)在区间(0,+司上单调递增，g(x)>g(o)=o,满足题意.

当0<.<!时，由"(x)=2a--—=0PJ-WX=---1,

2x+12a

当1时，"(x)<0,“x)在区间上单调递减，即g'(x)单调递减，

注意到g'(0)=0,故当时，g,(x)<g,(O)=O,g(x)单调递减，

由于g(0)=0,故当时，g(x)<g(O)=O,不合题意.

综上可知：实数.得取值范围是“I。

6.(2022年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(x)=4x-'-(a+l)lnx.

X

(1)当a=0时，求/(x)的最大值；

(2)若〃x)恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴-1⑵(0,+00)

【详解】(1)当0=0时，f(x)=---lnx,x>0,则r(x)=3-L=r，

XXJCX

当xe(0,l)时，f^x)>0,〃x)单调递增；

当xe(l,+a))时，r(x)<0,〃x)单调递减；

所以〃力2=〃1)=一1；

(2)/(x)=ax---(a+l)lnx,x>0,则八x)=q+二一(⑪¥工D,

当aVO时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，f^x)>0,〃x)单调递增；

当xe(l,+⑹时，r(x)<0,〃x)单调递减；

所以/(x)1mx=7⑴=。一1<°，此时函数无零点，不合题意；

当0<a<l时，!>1,在(0,1),1，上，H(x)>0,单调递增；

ayaJ

在［i'£l上’/'(力<°，/a)单调递减；

又/⑴=。-1<0,

由(1)得一+ln%21,即In’Nl-x,所以lnx<x,ln4<4,lnx<2j^,

Xx

当x>1时，f(x)=ax---(a+V)lnx>ax---2(〃+l)Vx>ax-(2a+3)Vx,

xx

21

则存在m=3+2>-，使得/(使>0,

aa

所以/(X)仅在+8)有唯一零点，符合题意;

三口20,所以/(x)单调递增，又〃1)=。-1=0,

当4=1时，/，(%)=

X

所以/(X)有唯一零点，符合题意;

1时，-<1,在(0-],(1,+⑹上，H(x)〉o,“X)单调递增;

当〃〉

a\)

在上，r(x)<o,/(X)单调递减；此时/■⑴=。-1>0,

由(1)得当0<%<1时，lnx>l—,，InVx>1--,所以lnx〉2

x

1,2(a+l)

小匕f(%)=ax-------(a+1)Inx<ux-------2(〃+1)<—+—/=~,

xxXy/x

存在仁君了使得

所以/(X)在(0,£|有一个零点，在[J+s]无零点，

所以/(x)有唯一零点，符合题意；

综上,a的取值范围为(0,+司.

7.(2022年全国高考甲卷数学(文)试题)已知函数/(尤)=/7,g(x)=/+a,曲线产/(x)在点(再J(xJ)

处的切线也是曲线>=g(x)的切线.

(1)若王=—1,求a；

(2)求a的取值范围.

【答案】(1)3(2)[—1,+8)

【详解】(1)由题意知，/(-I)=-1-(-1)=0,f\x)=3x2-\,r(-l)=3-l=2,则y=/(x)在点(-1,0)处的

切线方程为>=2(x+l),

即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(X2，g(z)),g，(x)=2x,贝ljgU2)=2%=2,解得遍=1,贝!]

g(l)=l+«=2+2,解得a=3；

(2)f\x)=3x2-\,则y=/(x)在点(〃/&))处的切线方程为了-(Mf)=(3dT)(xf),整理得

y=(3x；—l)x—2X13,

设该切线与g(x)切于点(马健马))，g'(x)=2x,则加工2)=2覆，则切线方程为了-(考+勾=2苫2(尤-x?),整理

得y=2X2X一x；+。,

则凰L，整理得。=月-2x；=存一/-2x；=g

,3321

2%-^1+-

9311

令力(x)=aX，-2x3--x2+—,则h\x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x一1),令h\x)>0,解得-]<x<0或x〉l,

令"(x)<0,解得x<-；或0<x<l,则x变化时，”(x)/(x)的变化情况如下表:

H'0)

(0,1)(1,+°°)

X17-301

A(x)-0+0-0+

5£

〃(x)/-1/

274

则〃(x)的值域为［T,+<»),故。的取值范围为［T+s).

8.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设函数/(0二//+ax-3lnx+l,其中a>0.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图象与X轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】(1)/(”的减区间为(o,，)，增区间为(2)a>k

【详解】(1)函数的定义域为(0,+8),

乂仆)=(2办+3)3一1),

X

因为。>0,x〉0,故2ax+3>0,

当0<x<!时，/V)<0；当X>!时，/V)>0:

aa

所以〃X)的减区间为(o,£|,增区间为H，+s|.

(2)因为41)=/+。+1>0且y=/(x)的图与X轴没有公共点,

所以v=f(x)的图象在X轴的上方，

由(1)中函数的单调性可得/(x)min=/1')=3-31nL=3+31n。，

\aja

故3+31na>0即a>L

e

9.(2020年全国高考1卷(文)数学试题)已知函数/(》)=«*-4。+2).

(1)当。=1时,讨论了(X)的单调性；

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)/(X)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8);(2)d,+◎.

e

【详解】(1)当。=1时，/(x)=e，_(x+2),/(x)=e=l,

令/’(x)<0,解得x<0,令/'(x)>0,解得x>0,

所以fM的减区间为(-co,0),增区间为(0,+8)；

(2)若〃x)有两个零点，即蜻-。(尤+2)=0有两个解，

从方程可知，x=-2不成立，即心£有两个解,

Xex(x+2)-exe"(x+l)

令h(x)=----(xw-2)，贝I］有"(x)=2

x+2(x+2)~(%+2)2

令"(x)>0,解得％>一1,令"(x)<0,解得xv—2或一2v%v—l,

所以函数〃(%)在(-%-2)和(-2,7)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增,

且当xv-2时，h(x)<0,

而X——2+时，〃0)f+8,当Xf+8时，〃0)f+8,

所以当a=W-有两个解时，有a>"(-l)=L

x+2e

所以满足条件的。的取值范围是：(A+W.

e

10.(2020年全国新高考I卷数学试题)已知函数/(x)=ae，T-lnx+lna.

(1)当“=e时，求曲线了=/(x)在点(1J。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若不等式/(x)Nl恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)j(2)[1,+QO)

e-1

【详解】(1)Q"x)=ex-lnx+l,f'(x)=exk==e-1.

X

Qf(l)=e+l,切点坐标为(1,1+e),

.♦•函数〃x)在点(V(l)处的切线方程为-l=(e-l)(xT),即了=(e-l)x+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二々,0),

e-1

1-?2

二・所求三角形面积为7；X2X|---|=----.

2e-1e-1

(2)［方法一］:通性通法

xxxl

Qf(x)=ae~-Inx+Intz,f\x)=ae~--,且Q〉0.

x

设g(x)=八x),则gV)=a/T+4>0,

X

：.g(x)在(0,+8)上单调递增,即Ax)在(0,+8)上单调递增,

当a=1时，/'⑴=0,••・〃力加"=/⑴=1,.：〃x)N1成立.

111A-i

当0>1时，—<1，.•.•<1，../(—)/”)-W-1)<0,

a,,匕a

...存在唯一%>0,使得/'(x0)=ae』-C=0,且当尤e(0,尤0)时/'(x)<0,当xe(x°,+8)时/'(x)>0,

%

0-1

ae'=—,Ino+x0-1=-lnx0,

xo

因此/(x)1nhi=/(/)-In.%+lna

=—+lna+x-l+lna>21na-l+2--x=2Ina+1>1,

/0NX。0

.：/(尤)>1,1恒成立；

当0<a<l时，/⑴=a+lna<。<1,/⑴不是恒成立.

综上所述，实数。的取值范围是［1,+8).

［方法二］【最优解】：同构

由/(尤)21得ae*T-Inx+lna21，即e山+Ina+x-12lnx+x,而lnx+x=e"，+Inx,所以

3…i+］na+x-i2e®'+lnx.

令h(m)=e'"+m,则〃'(m)=e"+1>0,所以〃(加)在R上单调递增.

由eiT+lna+x-lZe'+lnx,可知〃(Ina+x-1)2”(Inx),所以Ina+x-l2Inx,所以Ina2(lnx-x+1)

11—Y

令F(x)=Inx-x+1,贝！］F'(x)-——1=-----.

xx

所以当xe(0,l)时，/(x)>0,尸(x)单调递增；

当xe(l,+a))时，/(x)<0/(x)单调递减.

所以［网x)］1mL21)=0,则lna20,即aZl.

所以。的取值范围为。21.

［方法三］:换元同构

由题意知a>0,x>0,令ae'i=f,所以lna+x-l=lnf,所以Ina=lnt-x+1.

于是/(x)=aex~l-lnx+lna=f-lnx+lnf-x+l.

由于/(%)21J—lnx+ln，一x+121=/+ln，2x+lnx,而y=x+lnx在xc(0,+oo)时为增函数，i^t>x,即

Y

…x，分离参数后有〃b

ex-\l-x)

令g(x)=W，所以g，(x)==若二

e2x~2

当0<x<l时，g'(x)>O,g(x)单调递增；当X>1时，g'(x)<o,g(x)单调递减.

X

所以当尤=1时，g(x)=—r取得最大值为g⑴=1.所以。却.

e

[方法四]:

因为定义域为(0,+功，且〃x)21,所以“1)21,即a+lnaNl.

令S(a)=a+lna,贝I]S(a)=1+工>0,所以S(a)在区间(0,+划内单调递增.

a

因为S⑴=1,所以“21时，有S⑷之S⑴,即a+ln〃21.

下面证明当时，恒成立.

令T(“)=aex~l-lnx+\na,只需证当Q21时，T{a}>1恒成立.

因为7'(a)=，1+1>0,所以7(。)在区间口,+⑹内单调递增，则[7⑷。=?。)=#1-Inx.

a

因此要证明时，7(4)21恒成立，只需证明[T(a)]min=ei-lnx21即可.

由ex>x+l,lnx<x-l,得e'T>^,-lnx>1-JC.

上面两个不等式两边相加可得ei-lnxNl,故1时，/(x)Wl恒成立.

当0<a<l时，因为/(l)=a+lna<l,显然不满足/(x)上1恒成立.

所以。的取值范围为。21.

11.(2023•全国乙卷)已知函数/(x)=\+a]ln(l+x).

⑴当a=T时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵是否存在。，b,使得曲线了=/[£|关于直线x=b对称，若存在，求0,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若〃x)在(0,+司存在极值，求。的取值范围.

【答案】⑴(ln2)x+y-ln2=0；(2)存在0=；力=一；满足题意，理由见解析.⑶(o,£|.

【详解】(1)当。=一1时，/(x)=Q-l^|ln(x+l),

则/(x)=-3xln(x+l)+己一据此可得/⑴=0/(1)=-ln2,

XkJCJX+1

函数在(1,/。))处的切线方程为>-0=Tn2(x-l),

BP(ln2)x+j?-ln2=0.

(2)由函数的解析式可得=5++1

1_|_1

函数的定义域满足L+i=rWo,即函数的定义域为(-叫-1)3。,+⑹,

XX

定义域关于直线x=-1对称，由题意可得b=-1,

22

由对称性可知加)=/1_：一加加〉，，

取可得/'⑴=/(一2),

即(a+1)In2=(a-2)Ing,贝!Ja+1=2-“，解得a=；,

经检验a=1,b=-g满足题意，故a=《,6=_g.

2222

即存在”;,6=满足题意.

(3)由函数的解析式可得/'(x)=

由;'(x)在区间(0,+为存在极值点，则/'(X)在区间(0,+。)上存在变号零点;

令(管岫+1)+]*”,

则一(％+1)111(%+1)+(X+412)=0,

令g(x)=以2+x-(x+l)ln(r+1),

/(x)在区间(0,+。)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+。)上存在变号零点,

g'(%)=2ax—In(x+1),g"仅)=2a------

当aWO时,gz(x)<0,g(x)在区间(0,+力)上单调递减,

此时g(%)<g⑼=0,g(x)在区间(0,+。)上无零点，不合题意;

当aw1,2aNl时，由于，<1,所以g"(尤)>0,g'(x)在区间(0,+s)上单调递增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g⑼=0,

所以g(x)在区间(0,+司上无零点，不符合题意；

当0<a<一时，由g"(x)=2a-----=0可得x=-----1,

2x+12a

当时，g"(x)<0,g<x)单调递减，

当无[]一1,+[|时，g"(x)>0,g'(x)单调递增，

故g'(x)的最小值为g[：T)=l-2q+ln2a,

_r1

令加(x)=1—x+lnx(0<x<1),则mz(x)=----->0,

函数加(x)在定义域内单调递增，m(x)<m(l)=0,

据此可得1-工+111%<0恒成立，

贝|J——1]=1-2tz+In2(2<0,

^/z(x)=lnx-x2+x(x>0),则=-2.+x+l,

当X£(0,1)时,Ar(x)>0,/z(x)单调递增,

当X€(1,+co)时，h\x)<o,/z(x)单调递减，

故力⑺”⑴=0,即lnxW%2_%(取等条件为％=i),

所以g'(x)=2“x-ln(x+l)〉2办一[(x+11-(x+l)j=2ax-(^x2+x),

g\2a-l)>2a(2a-l)-[(2tz-1)2+(2a-1)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+。)上存在唯一零点飞.

当％£(0,%0)时,g〈X)<0,g(x)单调减，

当%£(/0，+8)时,g'(x)〉o,g(x)单调递增，

所以g(/)<g(o)=o.

令〃(x)=lnx-«,贝|“，(％)=L--1—=~~~―,

x2<x2x

则函数〃(x)=lnx-G在(0,4)上单调递增，在(4,+co)上单调递减，

所以〃(x)«"4)=ln4—2<0,所以lnx<6，

所以且讨="°"一山"一胃一20+1

2十1

L。」

所以函数g(x)在区间(o,+")上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数.得取值范围是

12.(2022•全国乙卷)已知函数/(x)=ln(l+x)+oxer

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵若/(无)在区间(T0),(0,。)各恰有一个零点，求°的取值范围.

【答案】(l)y=2x(2)(-<»,-1)

【详解】(1)/⑴的定义域为(T+S)

Y11—Y

当a=1Ht/(x)=ln(l+x)+-,/(0)=0，所以切点为(0,0)/(x)=-—+—,/(0)=2，所以切线斜率为2

e1+xe

所以曲线歹=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为y=2x

(2)f(x)=ln(l+x)4——

e

/a—

l+xex(l+x)eA

设g(x)=e"+a(I-x2)

「若a>0,当xw(-l,0),g(无)=e"+a(l-£)>0,即f'(x)>0

所以〃x)在(-1,0)上单调递增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

2。若TWaVO,当xe(0,+oo),贝！|g'(x)=e*-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f\x)>0

所以fM在(0,+s)上单调递增,/(尤)>/(0)=0

故/(x)在(0,+划上没有零点，不合题意

3°若。<-1

(1)当工6(0,+00),则g\x)=ex-2ax>0，所以g(x)在(0,+oo)上单调递增

g(0)=1+a<0,g(l)=e>0

所以存在加£(0,1)，使得g(m)=0,即f\m)=0

当x£(0,m),/(x)<0,/(x)单调递减

当X£(九+8),/(X)>0J(x)单调递增

所以

^xe(0,m),/(x)</(0)=0,

y1—V

令h(x)=-,x>-l,则h\x)=>-1,

ee

所以〃(x)=j在(-1,1)上单调递增，在(1,+切)上单调递减，所以以X)4Ml)=g,

又e1>0'/ee-lR-：+a.：=0,

1/ee

所以/(x)在上有唯一零点

又(0,旭)没有零点，即/⑴在(0,+8)上有唯一零点

出当》€(-1,0)遭0)=铲+。(1一工2)

设〃(x)=g'(x)-ex-2ax

h\x)=ex-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

1,

g(-l)=-+2a<0,g(0)=1>0

e

所以存在〃w(T0),使得g5)=0

当X€(-1,"),g(X)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(X)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=l+a<0

Xg(-i)=->o

e

所以存在te(-1,〃),使得g(O=0,即/'(f)=0

当xe(-l,Z),/(x)单调递增，当xe(Z,0),/(x)单调递减，

当xe(-l,0),A(x)>A(-l)=-e,

又-l<e"e-l<0,/(eae-l)<ae-ae=0

而“0)=0,所以当xe(f,0)J(x)>0

所以/(x)在(-1,?)上有唯一零点,(C0)上无零点

即“X)在(-1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若〃x)在区间(T0),(0,+◎各恰有一个零点，求。的取值范围为(一》,-1)

13.(2021•全国甲卷)已知a>0且awl,函数〃X)=K>。).

(1)当a=2时，求/(尤)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

【答案】(1)。，3］上单调递增；［卷,上单调递减；(2)(l,e)U(e,y).

，/、X2\2x-2x-x2-2xln2x-2x(2-xln2)

【详解】(1)当a=2时，〃"=王，/(切=--------------=----5；-----

令/(x)=0得》=二，当0<x〈二时，川同>0,当x>二时，fr(x)<0,

m2m2m2

・•・函数/(%)在(o，W上单调递增;总+8上单调递减;

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

/(x)=—=lu></=£<=>xlna=alnx上」,设函数g(x)=电二

贝=令g<X)=0,得户6,

在(0,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g'(x)<0,g(x)单调递减；

^(xL=^(e)=7

又g⑴=0,当X趋近于y时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(x)与直线k1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y弋有两个交点的充分必要条

件是0<皿<2,这即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范围是(l,e)U(e,«»).

［方法二］:构造差函数

由>=/(X)与直线y=1有且仅有两个交点知"X)=1,即X。=能在区间(0,+«)内有两个解，取对数得方程

alnx=xlna在区间(0,+oo)内有两个解.

构造函数g(x)="lnx-xlna,xe(0,+oo),求导数得g'(x)=q一Ina=~卫巴

xx

当0<a<i时，lnq<0,x£(0,4w)M-xlnq〉0,g'(x)>0,g(x)在区间(0,+°°)内单调递增，所以，g(%)在(0,+8)

内最多只有一个零点，不符合题意;

当a〉l时，lna〉0,令g'(%)=0得％=■；—，xG|0,-]时，gr(x)>0；当,+°0|时，gf(x)<0；

ina<InaJ〈InaJ

所以，函数g(X)的递增区间为递减区间为(高,+8

由于0<e“e=-1-eaIna<0,

Ina[

当xf+oo时，有a\nx<x\na,即g(x)<0,由函数g(x)=alnx-xlna在(0,+oo)内有两个零点知

所以总〜即a—eIna>0.

构造函数访(a)=a-elna,则“(a)=l_±=U,所以/z(a)的递减区间为(l,e),递增区间为(e,+s),所以

aa

h(a)>h(e)=0,当且仅当a=e时取等号，故恤)>0的解为a>1且"e.

所以，实数a的取值范围为(l,e)u(e,+s).

［方法三］分离法：一曲一直

曲线y=/(x)与y=1有且仅有两个交点等价为5=1在区间(0,+8)内有两个不