导数的应用-函数的最值问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题14导数的应用-函数的最值问题5题型分类

彩题总

题型1：求函数的最值（不含参）

题型5：不等式恒成立与存在性问题

题型2：求函数的最值（含参）

专题14导数的应用一函数

的最值问题5题型分类

题型4：函数单调性、极值、最值得综合应用

V题型3：根据最值求参数

彩和源宏库

1.函数的最值

函数，="X）最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/（X）最小值为极小值与靠近极大值的

端点之间的最小者.

2

导函数为f(x')=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^)(m<xl<x2<n)

（1）当a>0时，最大值是/（xj与"”）中的最大者；最小值是AX）与/（⑼中的最小者.

（2）当a<0时,最大值是/（>2）与/（⑼中的最大者；最小值是/（再）与/⑺中的最小者.

一般地，设尸/（x）是定义在［"?，加上的函数，尸/㈤在（加，〃）内有导数，求函数尸/（x）在［加，〃］上的最

大值与最小值可分为两步进行：

（1）求了=〃X）在（"，，"）内的极值（极大值或极小值）；

（2）将V=/（x）的各极值与/（⑼和/（"）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是

对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

2.不等式的恒成立与能成立问题

（1）若函数“X）在区间。上存在最小值〃耳皿和最大值/（同而，则

不等式/(X)>。在区间。上恒成立O/(切同>a；

不等式/⑺上。在区间。上恒成立O/(x)1nhi2a；

不等式/(x)<6在区间O上恒成立="XL<b；

不等式〃x)Vb在区间。上恒成立O/(x)max<b.

(2)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，〃)，则

不等式/(x)>。(或f(x)2在区间。上恒成立=m”

不等式/(x)<”或〃尤)46)在区间。上恒成立

(3)若函数在区间〃上存在最小值"xL和最大值/(力2，即/(可«加,可，则对不等式有解问题

有以下结论：

不等式。</(力在区间3上有解oa</(x)1mx；

不等式aV〃x)在区间。上有解oaW/(x)M；

不等式a>/(x)在区间。上有解oa>/(x)mM；

不等式a2〃x)在区间。上有解oa2/(x)1nhi；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(机，”)，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(切(或aW/(力)在区间。上有解="〃

不等式b>/■⑺(或b>/(%))在区间D上有解ob>m

(5)对于任意的再引。，6],总存在/elm,n],使得/(xjWg(z)=〃占第W8(z)帆；

(6)对于任意的国e[a,6],总存在[tn,n],使得)1nhiNg(z)1nhi；

(7)若存在再多[。,b],对于任意的々e[m,〃],使得外刈海区)0/")一"^)"

(8)若存在x】e[a,b],对于任意的々e[m,n],使得/(%)々(々)07(占)皿Ng(z)111ax；

(9)对于任意的可w,,b],x2e[m,〃]使得/(xjvg(x2)o/(xj01ax4g(々)1n

(10)对于任意的玉e[0,b],x2e[m,句使得〃再)2g%)=/(%)111taNg^)111ax;

(11)若存在再引见6],总存在X2«m,n],使得/㈤冠㈤〜/⑺5办⑸鹏

(12)若存在占«鱼，，总存在％e[m,〃]，使得/(%)咕(々)0/(再)皿*(》2"

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩傩题秘籍i

I求函数的最值I

!1.求函数/(x)在闭区间可上的最值时,在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值/伍)，/(6)与/(x)!

i的各极值进行比较得到函数的最值.

i2.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注|

I意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处i

I理.

题型1：求函数的最值(不含参)

1-1.(2024.全国)函数/(无)=|2尤-l|-21nx的最小值为.

【答案】1

【分析】由解析式知/(X)定义域为(0,+与，讨论0<xv[、]<XV1、x>l,并结合导数研究的单调性,

22

即可求人>)最小值.

【详解】由题设知:/(x)=|2x-1|-21nx定义域为(0,+8),

・,・当时，f(x)=l-2x-21nx,此时/(%)单调递减；

1?

当—时，f(x)=2x—1—2Inx,有f\x)=2—<0,此时/(%)单调递减；

2x

2

当x〉l时，/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2——〉0,此时/⑴单调递增；

x

又/(%)在各分段的界点处连续，

・••综上有：0<x4l时，/(%)单调递减，x〉l时，/(X)单调递增；

/(x)>/(l)=l

故答案为：1.

1-2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=e"sinx-2x.

1------

(1)求曲线V=f(X)在点(0,7(0))处的切线方程;

(2)求“X)在区间上的最大值;

【答案】⑴尸一》;

(2)八五=2一岁;

【分析】(1)首先求解切点和此点的导数，然后表示出切线方程.

(2)对函数求导/'(x)=e*(sinx+cosx)-2,然后通过再求导研究导数的单调性，从而分析出导数/'⑺在

［-M］与0的大小关系，从而求解出函数［(x)=e，sinx-2x在［-1,1］的单调性，最后比较/⑴J(-1)的大

小，从而求解出函数的最大值；

【详解】(1)因为/■(力=村$也》一2尤，

所以/'(无)=e，(sinx+cosx)-2,

则/(0)=-1,又"0)=0,

所以曲线在点(0"(0))处的切线方程为了=-X.

(2)令g(x)=/'(尤)=ex(sinx+cosx)-2,

则g'(x)=2eAcosx,

当时,gV)>0,g(x)在上单调递增.

因为g(0)=-l<0,g(l)=e(sinl+cost)-2>0,

所以叫e(0.1),使得g(x0)=0.

所以当xe(-1,尤。)时，r(x)<0,/(x)单调递减；

当xe6,l)时，f'(x)>0,单调递增，

所以函数可能在x=l或x=-l处求得最大值，

又/⑴=esinl-2<e-2<1,/(-1)=2-->1,

所以〃x)m「/(T)=2-岁•

1------

1-3.(2024•江苏)若函数/(x)=2x3-"2+1伍e©在(0,+向内有且只有一个零点，则/(力在门』上的最

大值与最小值的和为.

【答案】-3

【分析】方法一：利用导数判断函数“X)在(0,+«0上的单调性，确定零点位置，求出参数再根据函数

在上的单调性确定函数最值，即可解出.

【详解】［方法一］:【通性通法】单调性法

求导得f\x)=6x2-lax,

当时，函数/(x)在区间(0,+s)内单调递增,且〃尤)>"0)=1,所以函数/㈤在(0,+8)内无零点;

当a>0时，函数〃x)在区间内单调递减，在区间内单调递增.

当X=0时，f(0)=1；当Xf+00时，/(X)—>+00.

要使函数/(X)在区间(0,+⑹内有且仅有一个零点，只需/=解得“=3.

于是函数"X)在区间上单调递增，在区间(0」上单调递减，［/(x)］1Mx=/(0)=1,［/(初.=/(-1)=-4,

所以最大值与最小值之和为-3.

故答案为：-3.

［方法二］:等价转化

由条件知2;?+1=办2有唯一的正实根，于是。=型01=劣+令g(x)=2x+±,x>0,贝I］

g，(x)=2-N=2(［T),所以g(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+«0内单调递增，且g(l)=3,当X-0

'X3X3

时，g(x)T+8;当Xf+00时,g(x)—>+8.

只需直线>与g(x)的图像有一个交点，故。=3,下同方法一.

［方法三］:【最优解】三元基本不等式

同方法二得，a=2x+-^=x+x+~>33x-x~=3,当且仅当尤=1时取等号，

XX\X

要满足条件只需a=3,下同方法一.

［方法四］:等价转化

由条件知2/+1="2有唯一的正实根，即方程2x+3=。有唯一的正实根，整理得［=-2x+a(x>0),即

XJC

函数g(x)=1与直线y=-2x+a在第一象限内有唯一的交点.于是平移直线y=-2x+a与曲线g(x)=3相

%X

1------

切时，满足题意，如图.

设切点上,g],因为g'(x)=-■4，于是-：=-2,解得无0=1,a=3,

下同方法一.

【整体点评】方法一：利用导数得出函数在(0,+3)上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化

为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法；

方法二：利用等价转化思想，函数在(0,+8)上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，

使问题得解；

方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解；

方法四：将函数在(0,+功上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解.

1-4.(2024•辽宁葫芦岛•二模)已知函数/(x)=2sinx(l+cosx),则/(x)的最大值是.

【答案】—

2

【分析】利用导函数分析单调性求最值即可.

【详解】因为/(x)=2sinx(l+cosx),

所以f\x)=2cosx(l+cosx)-2sin2x=2cosx+2cos2x-2sin2x

=4cos2x+2cosx-2=2(2cos2x+cosx-1=2^cosx-1)£osx+l).

当了'(x)〉0时，x£+2左肛?+2左%J,

所以/(%)在§+2左肛]+2左九)单调递增；

当/'(x)<0时，xe^y+2^,^+2^^,

所以f(x)在(§+2左肛y-+2左")单调递减；

所以/OOmax=/(：+2左田=孚•

故答案为：—.

2

1-5.(2024•全国)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2可的最小值、最大值分别为()

7T7T3兀7T7T7U_37r7T.

A.一一，一B.----，一C.——+2D.----,—+2

22222222

【答案】D

【分析】利用导数求得“X)的单调区间，从而判断出/(尤)在区间［0,2可上的最小值和最大值.

【详解】/'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+l)cosx,

所以〃x)在区间(0,j和(：,2兀［上#(x)>0,即/(x)单调递增；

在区间停号)上/'(x)<0,即单调递减，

又〃0)=〃2兀)=2,„=>2,/信;_,+1］+1=_费，

所以〃x)在区间［0,2可上的最小值为一g,最大值为方+2.

故选：D

题型2:求函数的最值(含参)

2-1.(2024高三•全国・专题练习)已知函数/(x)=41nx+；x-a,ae及.讨论函数/'(x)的最值；

【答案】答案见解析

【分析】根据题意，求得了'(无)=与产，分和°<0,两种情况讨论，求得函数“X)的单调性，进而求

得函数“X)的最值.

【详解】由函数〃x)=alnx+；x_a,可得其定义域为(0,+少)，且/⑺=人+；=浮土，

当。20时，可得/(x)〉0,〃x)在(0,+e)上单调递增，无最值；

当a<0时,令〃力<0,可得0<x<-2。,所以/(x)在(0,-20)上单调递减；

令/(x)>：0,可得x>W,所以/(x)在(-2a,+8)单调递增,

所以“X)的最小值为/(-2a)=aln(-2a)-2a,无最大值.

综上可得：

当aNO时,/(x)无最值；当”0时,的最小值为rln(-2a)-2%无最大值.

2-2.(2024高三・全国•专题练习)已知函数f(x)=ln(l+x)+axeT.

(1)当。=-1时，讨论函数/(x)在(0,+e)上的单调性；

(2)当时，求/(x)在内的最大值；

【答案】⑴函数在(0,+助上单调递增.

(2)0

x

Q_1

【分析】(1)根据求导公式和运算法则可得/'(x)=(i+x.x，由x>0可得(l+x)e、>0,e^+x2-l>0,

即可求解；

,、ex+all-X2}orn/、

(2)由题意可得/'x=/'L/翌工，利用导数讨论函数0。)的性质可得。(x>0,进而

(l+x)e(1+x)e

/(无)>0,则/(无)在(-1,0］内单调递增，即可求解.

Ye"+f—1

【详解】(1)当。=-1时,〃x)=ln(l+x)-三，r(x)=-~,且(l+x)e，>0.

e11+xIe

x

当x>0时，e>1fY>o,贝ij//一i>o,

即/可x)>0,故函数/(%)在(0,+功上单调递增.

■…+用e'+q(1-/

(l+x)ex

令0(%)=e"+Q(1-,贝ij°(x)=e"—2办，

由％武T0］且心0,可得—2办20,ex>0,则。'(％)>o,。(％)在(T,0］内单调递增,

所以0(x)>°(-l)3o,

e

又当xe(T0］时，(l+x)e、>0,

所以*(x)〉0,〃x)在(-1,0］内单调递增,

1------

//35=〃0)=0.

11

I2-3.(2024•四川成都・模拟预测)已知函数/(无)=§工3-/(6+<2)%2+(8+6a)x-8aln尤-4a,其中aeR.

i⑴若。=2,求的单调区间；

1

(2)已知〃2)=/(4),求〃x)的最小值.(参考数据：1<3(3_41n2)")

【答案】⑴减区间为(0,4),增区间为(4,+8).

!(2)8

【分析】(1)对函数求导，研究导函数的符号，进而确定其单调区间；

o2

(2)由题意得3a-401112-^=0,即a=一>"⑵町,对函数求导，研究导函数的符号，判断单调性,

33(3-4In2)

|进而求最小值即可.

【详解】(1)由题设/(对=[/-4/+20X一16111X一8,则/'(X)=X2-8X+20-3,且X>0,

3x

I所以/‘(X)=—―—H~~~~—,

XXX

i当居(0,4)时/(x)<0,当X£(4,+S)时八x)〉0,

i所以/(x)的减区间为(0,4),增区间为(4,+8).

OZTJ

(2)由题意§-2(6+〃)+2(8+6〃)-8〃1112-44=-^--8(6+〃)+4(8+64)-841114-4〃,

22

所以3a—4aln2—；=0,即4二,⑵力，

33(3-4In2)

iTI,，/、2〃、、8Q(X-2)(X-6Z)(X-4)口八

!f(x)—x—(6++(8+6(2)--------------------------------,x>0,

XX

\当XE(0,2)或X£(a,4)时f\x)<0,%£(2,4)或工£(4,+8)时f\x)>0,

|所以(0,2)、(凡4)上/(%)递减，(2,4)、(4,+8)上“X)递增，

20

!又极小值〃2)=〃4),故〃x)最小值为/(2)=?+2a(3-4ln2)=8.

।

I2-4.(2024•天津和平三模)已知函数/(x)=4-ahw,g(x)=(cosx-l)e-x,其中aeR.

i⑴若曲线y=f(x)在x=l处的切线<与曲线y=g(x)在处的切线4平行，求“的值；

I⑵若xe(0,7t)时，求函数g(x)的最小值；

⑶若/（X）的最小值为〃（。），证明：当ae（0,+oo）时,A（a）<l.

【答案】（1小

⑵

⑶证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出了'（I）,g'依题意两数相等，即可得到方程，解得即可;

（2）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值;

（3）利用导数说明〃无）的单调性，即可求出“X）的最小值，从而得到的解析式，再利用导数求出

的最大值，即可得证.

【详解】(1)因为/(x)=《-alnx,g(x)=(cosx-l)e-x,

1-1

r-x-x

所以/'（X）=—X2g(x)=-sinx-e+(cosx-l)(-e)=(-sinx-cosx+l)e

所以r（i）=T

因为两条切线平行,所以号=°,解得"

（2）由（1）可知8'（工）=（一5足%-85%+1.，令g〈x）〉O,即sinx+cosxvl,

即行sin（x+£|<l，即sin[x+：|<3，又无«0,兀），解得]<X<无，

令g'（x）<0,解得0<x苫，所以g（x）在（0,力上单调递减，在信,兀]上单调递增,

所以xe（0,7i）时，函数g（x）的最小值为g[]]=-e2.

（3）证明：因为/（x）=6-ahrc,xe（0,+co）,「⑶二氏丁。,

令/能）>0,贝！]五一2a>0,即6>2°,

所以当。>0时解得x>4/,所以“X）在（4/,+动上单调递增，

令/'（x）<0,解得。。〈荷，所以〃x）在（0,4/）上单调递减,

所以/（x）在x=4/处取得极小值即最小值,

所以//(“)=/(4/)=2〃一aln(4q2)=2(7^1-ln(2tz)J,

即/(x)的最小值为〃(。)的解析式为〃(a)=2q[l-ln(2q)],6ZG(0,+OO),

贝ljh，(a)=-2In(2(2),令h，(a)>0,解得0<a<；,

所以当0<“<；时〃(a)>0,即在上单调递增，

当a>；时〃'(a)<0,即在Q,+^上单调递增，

所以人(a)在a=；处取得极大值即最大值，即".)皿*=〃]£|=1,

所以即当ae(0,+co)时，总有/z(a)Vl.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为

不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的

单调性、极(最)值问题处理.

彩偏题秘籍

(二)

根据最值求参数

已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函

数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.

题型3：根据最值求参数

3-1.(2024高三上•广西桂林,阶段练习)已知函数/(x)=46+lnx在x=l处取最大值，则实数。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性即可求解.

【详解】由题意得/(1)=赤+：=竺产，x>0,

当时，/C(x)>0在x>0上恒成立，此时/(x)单调递增，不符合题意，

当a<0时，当时，r(x)<0,函数单调递减，当0<x<][：时，#(x)>0,函数单调递增，故当

x=时，函数”X)取极大值也是最大值，

1------

故H=lna=-2,

故选：C.

3-2.(2024高二下•四川绵阳•期中)已知函数/(x)=Qx+ln%.

⑴讨论函数/(x)的单调区间；

TT

(2)当。=-1时，函数g(x)=/(x)+excosx-lnx-m在［0,5］上的最大值为0,求实数加的值.

【答案】⑴答案见解析

(2)m=l

【分析】(1)求出/(X)的导函数，对。分类讨论分析导函数的符号，可得函数的单调性；

(2)由题意g(x)=-x+e"cosx-加，令/z(x)=g'(x)=-l+eX(cosx-sinx),利用力(%)的单调性可得

心)~(0)=0,从而g(x)在［0申上单调递减，即可确定g(x)在［0申上的最大值，从而得解.

【详解】(1)由题意得了'(%)=。+，,%>0,

X

当时，H(X)>0在(0,+8)上恒成立，故函数〃尤)在(0,+◎上单调递增；

当a<0时，当0<x<-工时，f'(x)>0,函数单调递增，

a

当X>-1时,f'(x)<0,函数“X)单调递减，

a

综上，当。20时，函数/⑴在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，函数/(X)在(0,-与单调递增，(,收)上单调递减.

aa

兀

(2)由题意g(x)=-x+e"cosx-加，xG［0,—］,

gr(x)=-1+e"(cosx-sin,

令/z(x)=g'(x)=—l+e"(cosx-sinx),h'(x)=-2exsinx,

jr

当XE［0,5］时，/zXA：)=-2e%sinx<0,〃(x)单调递减，贝!|〃(x)«〃(0)=0,

7T

则月⑶工。，则g(x)在［o,g上单调递减，

故g(x)在［0,学上的最大值为g(o)=1-〃Z=o，

所以比=1.

।3-3.(2024高三上•河南新乡•周测)若函数/(x)=W-3x在区间(a,6-/)上有最小值，则实数。的取

|值范围是

【答案】［-2,1)

【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数/(%)在区间(°,6-/)上有最小值，所以/G)先小于

jo然后再大于0,所以结合二次函数的性质可得：a<l<5-a2,进而求出正确的答案.

【详解】由题意可得：函数/(x)=X3-3X,

i所以/(x)=3x2-3.

|令/(x)=3/-3=0可得，x=±l；

I，f(x)在(-双-1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,+00)上递增，

!因为函数/(x)在区间(°,6-/)上有最小值，则其最小值必为/'(I),

\le(a,6-4)即a<l<6-4，

|又结合函数的性质可得：/(a)=a3-3a^(1)=-2,且6-序一0>。，

।联立解得：-24<1.

|故答案为［-2,1).

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题.

3-4.(2024高二・贵州贵阳•阶段练习)若函数〃x)=12尤-尤3在区间(加一5,2机+1)上有最小值，则实数加的取

|值范围为.

1【答案】R4

I22」

【分析】

I函数/(x)在区间(加-5,2m+1)上有最小值，即在这个区间上有极小值，而且极小值是开区间的最小值，从而

i列不等式求解即可.

【详解】

；/6)=12-3/=3(2-》)(2+;(:),

;所以在(-甩-2)和(2,+◎上，/V)<0,函数/(x)单调递减；

|在(-2,2)上,八尤)>0,函数/⑴单调递增；

i且/(-2)=12X(-2)+23=-16

1当/(尤)=12x-V=-16时，X3-12X-16=0，

(X+2)(X2-2X-8)=0

(X+2)2(X-4)=0

即/•(一2)="4)=一16,

I

所以f(x)在区间(m-5,2m+1)上有最小值,则：

m—5V-2,

<33

〈2加+1〉-2,解得加£--

2m+l<4,'」

故答案为：卜T，m

i

35(2024•山东一模)若函数/(无)=§/+/-2在区间("4间)上存在最小值，则整数。的取值可以

是.

【答案】1(答案不唯一，2、3均可)

【分析】利用导数分析函数“X)的单调性与极值，作出图形，求出使得〃机)=〃0)(机片0)的根的值，根|

据函数/(x)在区间(。-4,°)上有最小值可得出关于实数。的不等式组，解之即可.

【详解】因为/(xbjx'+r-2,贝!]/'(X)=X2+2X=X(X+2).

3

由/'(x)<0可得一2<x<0,由>0可得x<—2或x>0,

i

所以，函数“X)的减区间为(-2,0),增区间为(—0,-2)、(0,+司，

…〕/i

20

所以，函数“X)的极大值为-2)=-尹4-2=-：，极小值为〃0)=-2,

令/(加)=/(2)=—2,其中加w0,则;加3+加2_2=_2,解得加=—3,

/、/、f—34cl—4<0

因为函数/(X)在区间(a-4,°)上存在最小值，则1>0，解得14a<4,

所以，整数。的取值集合为{123}.

1------

故答案为：1(答案不唯一，2、3均可).

3-6.(2024高三上•吉林长春•开学考试)函数/(x)=/+(a_l)x-31nx在(1,2)内有最小值，则实数。的取值

范围为.

【答案】1|,21

【分析】将函数〃x)在(1,2)内有最小值等价转化成函数“X)在(1,2)内必有极值点，再利用导函数研究极值

点的范围即可求得实数。的取值范围.

【详解】由题意可得，函数的定义域为(0,+/),

a,32x?+(Q—1—3

易知f\x)=2x+a-\--=-----——』——，

XX

若函数/(X)在(1,2)内有最小值，则函数/(X)在(1,2)内必有极值点，

又A=(Q-1『+24＞0,不妨设司,马为方程2/+(q-l)x-3=0的两个不相等实数根，

1—〃

Xj+%2=-----

2

则有3，不妨令王＜0＜务，因此乙武1,2)即可；

再%2=-/＜0

g(l)=a-2<0

令g(X)=2%2+(q_l)x—3,根据零点存在定理可得

g(2)=2Q+3〉0

3

解得-彳＜。＜2；

2

经检验了⑴在(1,2)内有最小值，所以实数。的取值范围为，|,21.

故答案为：

【点睛】方法点睛：函数在某开区间上有最值问题一般情况下是转化成有极值点，再将极值点问题转化成

其导函数在该区间内有零点的问题，利用零点存在定理即可实现问题求解.

3-7.(2024・全国•模拟预测)已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该球的体积为36万，则该四棱锥

体积的最大值是.

641

【答案】y/211

【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四

棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.

【详解】•••球的体积匕=§"*=36万,.•.球的半径尺=3

要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥尸-/BCD,对于底面NBC。所在的小圆中，顶点P到该小圆面距离最

1------

大，也就是高最大，即点P位于小圆圆心O与球心M所在直线与球面的交点(远离小圆圆心的那点)；同时!

要使四棱锥体积最大，底面四边形45a>面积s取最大，

S=S6AOB+S/OD+SBOC+S4cOD

=^AOBO-sm3+^AOOD-sin(^-6»)-02•OCsin(万-6»)一；CO-DOsin(

i

=-AC-BD-sinO(其中。为/C与切□的夹角)

所以当/C、AD取最大即小圆的直径，sin。取最大为1时，即时，底面四边形48CD面积S最大，|

也就是四边形为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥尸-/BCD为正四棱锥时，其体积最大.

22

则8=/a,在RtA”。。中，MD=MO?+o£)2,即32=(访一3)2+2/,,-.a=1［9-(/!-3)］

2

所以正四棱锥的体积/=；S/z=gx4/4=g19一仅一3)1/?=一g/+4小(0<〃<6)

r=-2A2+8A=-2/Z(A-4),故当〃e(O,4)时，V'>0,函数忆单调递增；当〃e(4,6)时，r<0,函数『单|

调递减，

7£4

所以〃=4时，函数/取得最大值曦+4x42=-^

64

故答案为：y.

3-8.(2024高三下•云南昆明•阶段练习)已知函数〃x)=ln尤在区间［l,e］上最大值为跖最小值为小，|

则的值是.

【答案】11

e

【分析】求导，得到函数的单调性，进而求出最值，得到答案.

【详解】由题意，x>0,尸(力=二，在［l,e］上由(0='20,

XX

故函数/(X)单调递增，所以M=/(e)=1,〃z=/(l)=O,=

ee

故加的值是L

e

故答案为：—

e

/、e"+〃一x+2.x2ln(—a)

39(2024・贵州毕节•模拟预测)当a<0时，函数〃x)=,；2,'的最小值为1,贝U

—e—ci—x+2,x<ln(—aJ

Q=.

【答案】-e

【分析】利用导数得到函数单调性，再分-l<a<0和讨论即可.

【详解】当x<ln(-a)时，/'(x)=-e'-l<0,所以在(-*ln(-a))上单调递减，

当xNln(-a)时，/,(x)=ex-l,令/''(》)=0,解得x=0,

若ln(-a)<0,即一l<a<0,此时/(x)在(一oo,ln(-a))和［ln(-a),0)上单调递减，

注意当x=ln(-a)分别代入分段函数的解析式得到的值均为-ln(-a)+2,

故〃x)在(-双0)上单调递减，在(。,+功上单调递增，贝U此时〃尤)而„=〃0)=1+。+2=1,解得"-2,

但不满足-1<。<0,故舍去；

若ln(-a)20,即aV-1,此时〃x)在(-巴皿-切上单调递减，在(ln(-a),+s)上单调递增，

则此时=/(ln(-a))=-ln(-a)+2=1,解得a=-e,满足aW-l,

综上所述，a=­e.

故答案为：-e.

【点睛】关键点睛：本题的关键是通过导数求出当xNln(-a)时尸(x)=e*-l,从而得到导函数零点，然后

讨论ln(-“)与0的大小关系,即对。进行分类讨论得到a值.

彩傩题和籍(二)

函数单调性、极值、最值得综合应用

求函数〃x)在区间［凡目上的最值的方法：

(1)若函数〃x)在区间心力］上单调，则/(a)与/他)一个为最大值，另一个为最小值；

(2)若函数”X)在区间［a,6］内有极值，则要求先求出函数在区间［a,6］上的极值，再与/(。)、/⑻

比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

(3)若函数”X)在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大(最小)值点，此结论在导数

的实际应用中经常用到.

题型4:函数单调性、极值、最值得综合应用

4-1.(2024高三•全国・专题练习)设函数/(x)=ln(q-x),已知x=0是函数弓=犷G)的极值点.

(1)若函数g(x)=/(》)+加X?在(-1,1)内单调递减，求实数加的取值范围；

(2)讨论函数〃(x)=4/(x)-*的零点个数；

⑶求夕卜)=小。在>内的最值.

【答案】⑴-1,2

(2)有2个零点

⑶最大值为夕(-g)=-21n|',最小值为夕(；)=-21n2.

【分析】(1)由已知可得了=xln(叱x),j/=ln(a-x)+上，根据已知可得a=l,所以=In(l-x),

x—a

代入可得g(x)=ln(-力+加2,求导进而根据已知，可推得s(x)=2m？-2M+120在(-1,1)内恒成立,分

m=0,〃z>0,根<0根据二次函数的性质即可得出答案；

(2)由已知可得Mx)=41n(l-x)-f，根据导函数得出函数的单调区间以及极大值力(-1)>0,又力(-3)<0,

根据零点的存在性定理以及40)=0,即可得出函数零点的个数；

(3)由已知求出导函数构造=-x),根据导

函数得出f(x)20恒成立，进而即可得出。'(月<0恒成立，所以9(x)在(一叫1)上单调递减，根据单调性即可

得出答案.

1------

【详解】(1)由已知可得y=V(x)=xln(a-x),y'=].n(a-x]+----.

x-a

因为x=0是函数>=力(x)的极值点，

所以当x=0时，V=0,即lna=O,所以。=1.

止匕时有歹=xln(l—x),/=ln(l-x)+^^.

x—1

令k(%)=In(1-x)H----,x<1,

x-1

j,/\11x—2

则左(')=口一西『=西’<°在(f1)上恒成立，

所以左(x),即j/=In(1-x)H----在(-8,1)上单调递减.

又当x=0时，y'=0,

所以x<o时，y>o,所以函数了=犷(尤)在(-巩0)上单调递增；

o<x<i时，y<o,所以函数丁=#(力在(0,1)上单调递减.

所以，当x=0时，函数了=犷(月取得极小值，所以。=1,

所以/'(x)=ln(l-x).

则g(x)=/(x)+mx2=ln(l-x)+mx2,

所以g'(x)=---+2mx=-------------,-1<X<1.

V'x-1x-1

因为所以x-l<0.

设s(x)=2mx2-2mx+1,

要使g(x)在(Tl)内单调递减，则应有g'(x)W0在内恒成立，

只需s(x”0在(-1,1)内恒成立，只需$(尤)在(-1,1)上的最小值s(xL20即可.

当"7=0时，s(x)=l满足条件;

当加>0时，s(x)=2»?(x-g)+l,

此时，函数s(x)在x=g处有最小值=加+1,

1-------

1-1m+l>0,解得切V2,所以0<%V2；

所以S

2

12

当加<0时,s(x)=2m\x--m+\,

22

此时，要使s(x"O在(Tl)上恒成立,

所以只需S(T)=4"?+120,解得“此一；，所以一:"“<0.

综上可知，实数加的取值范围为-!，2.

4

(2)由已矢口可得力(x)=4f(x)-x2=4111(1—同一/,x<\,

m”,/、4、2(x+l)(x-2)

贝l|〃(x)=-----2x=———△----.

')x-1x-1

因为x<l,所以x-l<0,x-2<0.

当x=-l时，有〃(-1)=0.

当x<-l时，h'[x}>Q,所以%(x)在(-oo,-l)上单调递增;

当-1<X<1时，〃(x)<0,所以A(x)在上单调递减.

故〃(力的极大值为6(—1)=41112—1>0.

又//(-3)=41n4-9<0,

由零点存在性定理知，可知力卜)在(-3,-1)内存在一个零点.

又迎)=0,

故函数”(x)=4/(x)-人有2个零点.

(3)由题可得0(x)=/5」n(lx)(》<1且HO),

XX

则一六一叩7)_Il)ln(i).

中(“)一P—一不可一

设(无)=x-(尤(x<l),贝!Jf'(x)=-ln(l-x),

令中)=0,解得尤=0,

当x<0时,t(x)<0,所以f(x)在(-8,0)上单调递减;

当0<x<l时，，（x）>0,所以f（x）在（0,1）内单调递增.

所以'（x）min=M°）=°，故，GV。恒成立.

又因为当x<l且x/0时，x?（无一1）<0,

所以夕'（x）<0恒成立，所以o（x）在（-叫1）上单调递减，

故9（x