导数的概念、运算及几何意义（9题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题11导数的概念、运算及几何意义9题型分类

彩题如工总

题型1:导数的定义

彩先我宝库

一、导数的概念和几何性质

1.概念

函数"X)在X=X。处瞬时变化率是lim学=lim,我们称它为函数y=f(x)在x=%处的导

-0Ax-Ax

数，记作/(%)或y'1,.

注：①增量Ax可以是正数，也可以是负，但是不可以等于o.Axf0的意义：Ax与0之间距离要多近有

多近，即|Ax-01可以小于给定的任意小的正数;

②当8-0时，在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

/(%+Ax)-/(%o)

Ay无限接近;

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的

瞬间变化率，即/'(%)=lim学=lim八%+4―.

2.几何意义

函数y=在x=/处的导数f'(x0)的几何意义即为函数y=f(x)在点p(x0,%)处的切线的斜率.

3.物理意义

函数S=s⑺在点务处的导数Sa）是物体在t0时刻的瞬时速度V,即v=s&）；v=v（?）在点的导数M4）是物

体在（0时亥1J的瞬时加速度a,即a=M（r。）.

二、导数的运算

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

/(x)=c(C为常数)八尤）=。

/(x)=x"(〃£Q)f'(x)=axa~}

/（X）=Q"（。＞。'。W1）f\x)=a"Ina

-(X)=；

f(x)=log。x(a>0,aw1)

xma

f(x)=ex/'(x)=e'

f(x)=lnxf,M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=COSX

/(x)=cosXfr(x)=-sin%

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则："3土g（x）r=7'（x）土g'（x）；

（2）函数积的求导法则："（x）g（x）r=尸（x）g（x）+y（x）g'（x）；

（3）函数商的求导法则：g（x）*O,则〔1荷平--------正不--------

3.复合函数求导数

复合函数V=〃g（x）］的导数和函数V=/（«）,"=g（W的导数间关系为匕'=：

4.导数的几何意义

（1）在点的切线方程

切线方程，-/（%）=/（无。）5-不）的计算：函数＞=/（无）在点4%,/（%））处的切线方程为

%=/(%)

=f'（x）（x-x）,抓住关键

00人"'(无0)

（2）过点的切线方程

设切点为Pg，%),则斜率左=/'(Xo),过切点的切线方程为：y-y0=fXx0Xx-x0),

又因为切线方程过点AO,〃)，所以〃-%=/(%)(根-不)然后解出％的值.(%有几个值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

(一)

导数的定义

对所给函数式经过添项.拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.

题型1:导数的定义

1：.(2024高二下・北京・期中)已知函数丁=〃力的图象如图所示，函数丫=〃力的导数为,=((力，贝底)

A.f,(2)</,(3)</(3)-/(2)B.八3)</''⑵<门3)—/⑵

C.广⑵</(3)-〃2)<八3)D./(3)</(3)-/⑵〈广⑵

1-2.(2024高三上•云南楚雄•期末)已知某容器的高度为20cm,现在向容器内注入液体，且容器内液体的

高度/?(单位：cm)与时间单位：s)的函数关系式为九=53+/，当公办时，液体上升高度的瞬时变化

率为3cm/s,则当f=f0+l时，液体上升高度的瞬时变化率为()

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

13(2024高二下•天津•期中)已知函数的导函数是尸(x),若八%)=2,则八无。+：村-/(%)_

11111—

-Ax

()

A.；B.1C.2D.4

1-4.(2024高二下•重庆•阶段练习)若函数/(%)在』处可导，且lim小。+2Ar)T(x°)=1，则/，(不)=()

-2Ax

A.1B.-1C.2D.；

1-5.(2024高三•全国•课后作业)若〃尤)在毛处可导，则/'(X。)可以等于().

xxAr

A.Iim/(o)-/(o-)B.

-Ax-°Ax

cUm/(%+2Ax)-"/一Ax)口lim/(%+8)-/(%-2祠

-oAx-oAx

彩他题海籍

(二)

求函数的导数

对所给函数求导，其方法是利用和.差.积.商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.

题型2:求函数的导数

2-L(2024•湖北武汉三模)已知函数/。)=尸(0至2'-/，则/(0)=.

2-2.(2024高三下•河南•阶段练习)已知函数〃x)的导函数为广(x),M/(x)=x*12/3456,(l)+x+2,则

/⑴=.

23(2024高三•全国・专题练习)求下列函数的导数.

(1)/(%)=(-2%+1)%

(2)/(^)=ln(4x-l)；

(3"(X)=23A2

⑷〃x)=J5X+4；

2-4.(2024高三•全国•课后作业)求下列函数的导数：

(1)y=(3f+2x+l)cosx；

-3x2+%A/X—5Vx+1

(2)y=------------T=----------;

(3)y=xls+sinx-lnx；

X

(4)y=2cosx-3xlog3x；

x

(5)y=3sinA：-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

彩僻题秘籍（二）

导数的几何意义

函数y=〃尤）在点马处的导数，就是曲线y=/（x）在点尸（X。"5））处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点

处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）己知AM在点（%"（七））处的切线方程为

（2）若求曲线y=/Q）过点（。力）的切线方程，应先设切点坐标为（％,/（%））,由

>-%=/'&）（>%）过点（。,6）,求得与的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.

题型3：在某点处的切线方程

3-1.（2024•广东广州三模）曲线y=（2元-1）3在点（1,1）处的切线方程为

3-2.（2024•全国）函数/（刈=--2丁的图像在点（1,/⑴）处的切线方程为（）

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.J=2x-3D.y=2x+l

3-3.（2024高三上•陕西•阶段练习）曲线>=三在点⑵-2）处的切线方程为（）

A.y=—3x+4B.y=x—4C.y=3x—SD.y=3x-4

3-4.（2024・全国）曲线y=£在点［,处的切线方程为（）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+—

424424

3-5.（2024•全国）曲线y=2sinx+cos尤在点（兀，-1）处的切线方程为

A.X—y—TI-1=0B.2x-y—2n—l=0

C.2%+y—2兀+1—0D.x+y—n+l=0

题型4:过某点的切线方程

4-L（2024.湖南.模拟预测）过点（0,18）作曲线y=V-x+2的切线，则切点的横坐标为,这条

切线在x轴上的截距为.

4-2.（2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）曲线/。）=/（》*0）过坐标原点的两条切线方程

为，.

4-3.（山东新高考联合质量测评2023-2024学年高三上学期9月联考数学试题）过点（3,0）作曲线〃尤）=xe*

的两条切线，切点分别为（％,/（占）），（孙"%2））,则占+*2=（）

A.-3B.-石C.73D.3

题型5：已知切线求参数问题

5-1.（2024・重庆•三模）己知直线丫=以一。与曲线>=x+@相切，则实数。=（）

X

143

A.0B.-C.-D.-

252

5-2.（2024•全国）设曲线y二ax-ln（x+l）在点。0）处的切线方程为y=2x,则a二

A.0B.1C.2D.3

5-3.（2024・全国）曲线丁=（冰+1）3在点（0,1）处的切线的斜率为—2,则〃=.

5-4.（2024•全国）已知曲线丁二恁左+H!!］在点（1,屐）处的切线方程为y=2x+Z?,贝！|

A.a=e,b=-lB.a=e9b=lC.a=e~\b=\D.a=e~\b=-l

题型6：切线平行、垂直、重合问题

6-1.（2024•安徽六安•三模）若函数f（x）=lnx+x与g（x）=2f的图象有一条公共切线，且该公共切线与

x-1

直线y=2x+l平行，则实数加=（）

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

6-2.（2024・湖南长沙,一模）已知直线x-9y-8=0与曲线（7:>=/-R2+3%相交于4,3,且曲线C在A,2处

的切线平行，则实数。的值为（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

6-3.（2024高三上•浙江•期中）若函数，（x）=ox+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数。的值是

A.2B.1C.0D.-1

6-4.（2024高三.江西抚州.开学考试）已知曲线〃x）=p-[（x>-l）在点4（占,〃西））,3（々,〃々》（占<多）

处的切线44互相垂直，且切线44与y轴分别交于点。，£，记点E的纵坐标与点。的纵坐标之差为乙则

（）

2

A.—2</<0B.2—2e</<0

e

2

C.£<—2D.Z>2e—2

e

65（2024高三上•河北邯郸阶段练习）设函数〃x）=ln（x+a）在x=l处的切线与直线y=]+l平行，则。=

（）

A.-2B.2C.-ID.1

4

66（2024高二下•湖南•期中）已知曲线y=x+]x<0）在点尸处的切线与直线x-3y+l=0垂直，则点尸

的横坐标为（）

A.1B.-1C.2D.-2

题型7:公切线问题

7-1.（2024•山东烟台・三模）若曲线y=fcv—（k<0）与曲线y=e,有两条公切线，贝必的值为.

7-2.（2024•全国）若直线>=h+万是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+l）的切线，则6=.

7-3.（2024高二下・浙江杭州,期中）若直线>=匕（尤+1）-1与曲线丫=^相切,直线>=&。+1）-1与曲线、=111元

相切，则左的值为.

题型8:切线的条数问题

8-1.（2024高二下•福建厦门•期中）若曲线y=（x+l）e'过点P（a,0）的切线有且仅有两条，则实数。的取值

范围是.

8-2.（2024・福建厦门•模拟预测）若曲线y=xlnx有两条过（1,a）的切线，则“的范围是.

8-3.（2024高三上•福建漳州•阶段练习）已知函数〃耳=-3+2/-彳，若过点尸（1J）可作曲线y=/（x）的

三条切线，贝卜的取值范围是.

84（2024高三上•河北•阶段练习）若过点（根,〃）可以作曲线>=log2尤的两条切线，贝U（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log2nD.n<log2m

题型9：最值问题

4

9-1.（2024•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线>=无+—（无>0）上的一个动点，则点P到直线x+y=0

x

的距离的最小值是—.

9-2.（2024・山东聊城•三模）若直线>=》+匕与曲线y=ex-0相切，则b的最大值为（）

A.0B.1C.2D.e

9-3.（2024・湖北•模拟预测）已知m>0,n>0,直线y=lx+〃z+l与曲线y=ln尤-〃+2相切，则工+工的

emn

最小值是（）

A.16B.12C.8D.4

9-4.（2024高三•全国•专题练习）设点尸在曲线y=e向上，点。在曲线y=-l+lnx上，贝力尸。|最小值为（）

A.QB.2A/2

C.应（1+历2）D.72（1-//?2）

95（2024高三•全国•专题练习）设点尸在曲线y=e?工上，点。在曲线y=；lnx上，则|尸。|的最小值为（）

A.^（l-ln2）B.V2（l-ln2）

C.5^（1+In2）D.—（l+ln2）

2

9-6.（2024・四川•一模）若点?是曲线y=lnx--上任意一点，则点尸到直线/：%+丁-4=0距离的最小值为

（）

/y

A..2B.>\/2C.2,\/2D.4^/^'

媒习与置升

一、单选题

1.（2024•云南保山二模）若函数〃x）=41nx+l与函数8（力=：/一2元（“>0）的图象存在公切线，则实数

。的取值范围为（）

A.（o,1]B.

「2八「12一

C.不1D.

L3）L33」

2.（2024・海南,模拟预测）已知偶函数/（x）=（aTW-3bx+c-d-1在点处的切线方程为

x+y+l=0,则y=（）

c-d

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024高二下•四川成都•阶段练习）已知M是曲线y=ln尤+：炉+以上的任一点，若曲线在M点处的切

线的倾斜角均是不小于7T:的锐角，则实数，的取值范围是（）

4

A.[2,+8）B.[―1,+oo）C.（-oo,2]D.（-QO,-1]

4.（2024高三・全国•专题练习）若过点（。,力）可以作曲线y=lnx的两条切线，贝|（）

A.a<\nbB.b<]naC.\nb<aD.lna<b

5.（2024・湖南•二模）若经过点（。涉）可以且仅可以作曲线>=lnx的一条切线，则下列选项正确的是（）

A.a<QB.b=\naC.a=\nbD.a<0^b=\na

6.（2024高三上•上海闵行•期末）若函数y=/（x）的图像上存在两个不同的点P,Q,使得在这两点处的切线

重合，则称"%）为''切线重合函数〃，下列函数中不是“切线重合函数〃的为（）

A.y=x4-x2+lB.y=sinx

C.y=x+cosxD.y=J+sin%

7.（2024高二•江苏•专题练习）已知A,B是函数=x^x+a^-^，图象上不同的两点，若函数y=/（x）

[xlnx-a,x>0

在点A、8处的切线重合，则实数〃的取值范围是（）

A.1一B.-3，+0°）C.D.；'+0°]

8.（2024高三・全国・专题练习）设点？在曲线丁=2/上,点。在曲线〉=111彳-1112上,则|尸0|的最小值为（）

A.l-ln2B.72（1-In2）

C.2（1+In2）D.72（1+In2）

9.(2024高三•全国・专题练习)己知实数。，b,c,d满足11nm-l)-b|+|c-d+2|=0,则(a-c>+(6-d)2的

最小值为（）

A.2>/2B.8C.4D.16

10.（2024高三•全国•专题练习）设函数/（%）=（x-〃）2+4（ln%-4,其中尤>0,awR.若存在正数小,使得

/（x0）v［成立，则实数。的值是（）

12

A.-B.一C.；D.1

55

11.（2024•宁夏银川•一模）已知实数满足2x2_51nx-y=0,meR,则旧+外-2g-2阳+2苏的最

小值为（）

.93叵

22

12.（2024•全国）若过点可以作曲线y=e，的两条切线，贝|（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

13.（2024•全国）若直线/与曲线y=&和乂2+产=!都相切，贝心的方程为（）

A.y=2x+lB.y=2x+《C.片gx+1D.片gx+g

72722

14.（2024高二下•四川宜宾•期末）已知尸为函数/（x）=lnx+f图象上一点，则曲线y=/。）在点尸处切线

斜率的最小值为（）

A.1B.72C.272D.4

15.（2024高三•全国・专题练习）函数/（无）=：尤3一V的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值

范围为（）

3兀B.唱U5,兀）

A.0,—

4_

飞兀）

0•匕T兀3兀

D.

124」

16.（2024•全国）曲线y=x3-2x+4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

17.（2024高二下•陕西西安•期中）设函数是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=〃力在x=5处

的切线的斜率为（）

11

A.—B.0C.-D.5

55

18.（2024•山东）若函数y=/（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称

y=/（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是

A.y=sinxB.y=ln无C.y=exD.j=x3

19.（2024高二下河南郑州・期中）若曲线了=*^在（1，一°[）处的切线与直线/：2》-丁+5=0垂直,则实数。=

（）

33

A.1B.—C.-D.2

22

20.（2024•湖南林B州•模拟预测）定义：若直线/与函数y=，（x）,y=g（x）的图象都相切，则称直线/为函

数y=和y=g（尤）的公切线.若函数/■（尤）=。山彳（。>0）和8（力=*2有且仅有一条公切线，则实数°的

值为（）

A.eB.y/eC.2eD.2册

21.（2024•全国）已知函数+2x'x,0,若|/（彳）但依，则a的取值范围是（）

[ln（x+l）,x>0

A.（-oo,0]B.（-oo,l]C.[-2,1]D.[-2,0]

二、多选题

22.（2024,安徽芜湖,模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如

下：设r是函数y=〃x）的一个零点，任意选取与作为『的初始近似值，过点&/（七））作曲线y=/（x）的切

线设4与无轴交点的横坐标为为，并称/为"的1次近似值；过点（xj（xj）作曲线y=〃x）的切线4，

设4与X轴交点的横坐标为巧，称演为r的2次近似值.一般地，过点鼠〃X.））（〃eN*）作曲线y=的

切线加，记射与x轴交点的横坐标为尤向，并称加为厂的〃+1次近似值对于方程尤3_》+1=0,记方程的

根为「，取初始近似值为％=-1,下列说法正确的是（）

A.re（-2,-1）B.切线4：23x-4y+31=0

23.（2024高二下•江苏宿迁•期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿

法.首先，设定一个起始点吃,如图，在苫=尤。处作/（X）图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作为：用巧

替代％重复上面的过程可得演；一直继续下去，可得到一系列的数0，为，演，…，斗，…在一定精确度下，

用四舍五入法取值，当怎一无”（weN*）近似值相等时，该值即作为函数的一个零点若要求充的近

似值「（精确到0.1）,我们可以先构造函数/（力=三-6,再用"牛顿法"求得零点的近似值乙即为我的近似

22

B.若％o^Q,且不。。，则对任意〃EN*，Xn=^Xn-l+^~

C.当4=2时，需要作2条切线即可确定〃的值

D.无论看在（2,3）上取任何有理数都有r=1.8

einx

24.（2024・海南海口•一模）直线x+纱-。=。是曲线y=——的切线，则实数。的值可以是（）

x

兀71

A.3rcB.兀C.—D.一

23

三、填空题

25.（2024・海南•模拟预测）在等比数列｛%｝中，％=2,函数〃%）=；%（犬-4）（了-%）1（尤-%），贝!1

八0".

26.（2024・辽宁大连一模）已知可导函数,g⑺定义域均为R,对任意x满足+2dggx]=x-1,

且"1）=1,求:⑴+g[J=.

27.（2024高三・全国•专题练习）曲线〃尤）=11^+2）+[在点（0"（0））处的切线方程为.

28.（2024高三•全国•专题练习）已知函数/'（xQgY+bY+cos/d，/⑴为的导函数.若尸（x）的

图象关于直线X=1对称，则曲线y=/（x）在点（2J（2））处的切线方程为

29.（2024・湖南•模拟预测）若函数/（x）=Ax3+（2-2）X2（XeR）是奇函数，则曲线y=在点（尢/⑷）处

的切线方程为.

30.（2024•江西•模拟预测）已知过原点的直线与曲线丁=12相切，则该直线的方程是.

31.（2024•浙江金华•模拟预测）已知函数"X）=9-6+1,过点尸（2,0）存在3条直线与曲线y=相切，

则实数。的取值范围是.

32.（2024•浙江绍兴•模拟预测）过点作曲线y=V的切线，写出一条切线方程：.

33.（2024•海南海口•模拟预测）过x轴上一点尸&0）作曲线C:y=（x+3）e*的切线，若这样的切线不存在，

则整数/的一个可能值为.

34.（2024•全国•模拟预测）过坐标原点作曲线y=（尤+2）e*的切线，则切点的横坐标为.

35.（2024•河南商丘•模拟预测）若过点P0,a）（aeR）有〃条直线与函数f（x）=（x-2）e'的图象相切，则当〃

取最大值时，。的取值范围为.

36.（2024.全国•模拟预测）已知函数〃x）=；x3+/⑴£+1,其导函数为尸（x）,则曲线〃尤）过点尸（3,1）的

切线方程为.

37.（2024•河北邯郸三模）若曲线y=e，与圆（x-a）2+V=2有三条公切线，贝I]。的取值范围是—