弹簧模型（解析版）-动量守恒的十种模型解读和针对性训练

动量守恒的十种模型解读和针对性训练

模型一弹簧模型

模型解读

”原长静止

----->V最短--->V

0WP©

条件9模型

VI原长V2

V最长V

0WWWW

情况•:从原长到最矩（或最长）时

2

®mAv0=（mA+mB\：+mB）v+

规律与公式

情况：：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时

①miv0=mAvl+mBv2：②；机力'：=|加/'；+1心；

【典例分析】

【典例】（2024高考辽吉黑卷）如图，高度〃=0.8m的水平桌面上放置两个相同物块A、B,质量

、

mA=mB=0.1kgoAB间夹一压缩量Ac=0.1m的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B,

弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程XA=0.4m；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距

离小=0.25m后停止。A、B均视为质点，取重力加速度g=10m/s2。求：

（1）脱离弹簧时A、B的速度大小以和力;

（2）物块与桌面间的动摩擦因数出

（3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能AEp。

AB

~|vwwj-

I

,，/'h

II

'>

【答案】(1)Im/s,Im/s；(2)0.2；(3)0.12J

【解析】

(1)对物块A,由平抛运动规律，h=；g〃，xA=vAt,

联立解得：vA=lm/s

弹簧将两物块弹开，由动量守恒定律，mAvA=mBvB,

解得vB=vA=lm/s

(2)对物块B,由动能定理，-RHBgXB=0-；机NJ

解得：n=0.2

(3)由能量守恒定律，整个过程中，弹簧释放的弹性势能

22

△Ep=^msgX—△X+R/VAgX—Ax+—mAvA+—mBvB=0.12J

【针对性训练】

1.(2024年3月江西赣州质检)如图甲所示，光滑水平地面上有A、B两物块，质量分别为2kg、6kg,B

的左端拴接着一劲度系数为—N/m的水平轻质弹簧，它们的中心在同一水平线上。A以速度。向静止的

B方向运动，从A接触弹簧开始计时至A与弹簧脱离的过程中，弹簧长度/与时间t的关系如图乙所示，弹

1,

簧始终处在弹性限度范围内，已知弹簧的弹性势能综=5区2(X为弹簧的形变量)，则()

A.在0~2to内B物块先加速后减速

B.整个过程中，A、B物块构成的系统机械能守恒

C.v0=2m/s

D.物块A在to时刻时速度最小

【答案】C

【解析】

在0~2to内，弹簧始终处于压缩状态，即B受到的弹力始终向右，所以B物块始终做加速运动，故A错误;

整个过程中，A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒，故B错误；

由图可知，在t。时刻，弹簧被压缩到最短，则此时A、B共速，此时弹簧的形变量为

x=0.4m-0.1m=0.3m

则根据A、B物块系统动量守恒有

m1v0=（Wj+m2）v

根据A、B物块和弹簧三者构成的系统机械能守恒有

1,17

2机1%=5（㈣+加2"+Ep

联立解得

%=2m/s

故C正确；

在0~2to内，弹簧始终处于压缩状态，即A受到弹力始终向左，所以A物块始终做减速运动，则物块A在

2to时刻时速度最小，故D错误。

2.（2024河南新郑实验高中3月质检）如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为例、外的两物块力

、方相连接，并静止在光滑水平面上。现使4获得水平向右、大小为3m/s的瞬时速度，从此刻开

始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像提供的信息可得（）

4B

A[W^WWWWVWV4^2

7777777/7777777777777777777/7777/7'

甲乙

A.在右、4时刻两物块达到共同速度lm/s,且弹簧都处于伸长状态

B.从与到右时刻间弹簧由压缩状态恢复到原长

C.两物体的质量之比为得：以2=1：2

D.在右时刻4、6两物块的动能之比为弱：蜃=8：1

【答案】C

【解析】.从图象可以看出，从0到右的过程中弹簧被压缩，右时刻两物块达到共同速度lm/s,此

时弹簧处于压缩状态，A错误；

由图象可知，友时刻速度相等，弹簧处于伸长状态，从右到％时间内4做加速运动，刀做减速运

动，弹簧由伸长状态恢复到原长，B错误；

由图象可知，。时刻两物体速度相同，都是匕=lm/s,4、6系统动量守恒，以/的初速度方向为正

方向，由动量守恒定律得知%=（外+加2）匕，解得必1：色=1：2,C正确；

由图象可知，在时亥U，4、方的动能之比为品：蜃=5加"：5加2Vl=5x加|x（-1）~:5x2叫x2~=1：8

,D错误。

3.（2024山东济南期末）如图甲所示，物块A、B用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B左侧与竖直墙壁

接触。物块C以速度%向左运动，与A相碰后立即粘在一起后不分开并开始计时。A、B运动的图像如

图乙所示，耳、星分别表示。到时间内A、B的。-/图线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量

均为加，下列说法正确的是（）

A.a2=2%

B.邑=25

C.0〜4内墙对B的冲量大小为2mv0

1,

D.在乙时刻弹簧的弹性势能为§加%

【参考答案】BC

【名师解析】

二者碰撞过程中动量守恒，可得mv0=（m+m）v

解得v=-v

20

在0〜。内对AC研究，设水平向左为正方向，由动量定理可得

I=-2mv-2mv=~2mv0

而B处于静止状态，墙壁对B的冲量大小等于弹簧弹力对A的冲量大小，故0〜。内墙对B的冲量大小为2机%,

故C正确；

a-t图线与坐标轴所围的面积表示速度的变化量，AC物体初速度为V,根据对称性可知，。时刻AC的速度

为v,AC的加速度为0,此时弹簧恢复原长,B开始离开墙壁，到时刻加速度均达到最大，此时弹簧的伸

长量达到最大，速度相同，即2掰v=3%匕，S2=vl,E=v-匕

故$2=2，，故B正确;

」〃“二村

A的加速度为为时弹簧压缩量最大，即丸22

221

m

解得寸什%

根据牛顿第二定律可得q=竺=%

121n2m

1,1,

在L时，三者共速，则根据能量守恒定律可知一―2机=一0加片+纥

22p

1919

解得Ep=12mv°=3%

]m

解得x26kV°

Ik

根据牛顿第二定律可得

m

故故A错误;

B离开墙壁后整体机械能守恒，则2mv=3mv{

19219

故在14时刻，根据能量守恒定律可知-2mv=-3mv^Ep

1,

解得£p=T2WV°,故D错误。

4.(2024广西桂林质检)如图(a)所示，轻弹簧的两端分别与质量为和牝的两物块4B相连接，静

止在光滑的水平面上若使A以3m/s的速度向B运动，A、B的速度图像如图(b)所示，己知m1=2kg,则

图(b)

A.物块n?2质量为4kg

B小4时刻弹簧处于压缩状态

C.从与到。时刻弹簧由压缩状态恢复到原长

D.弹簧的最大弹性势能为6J

【参考答案】AD

【名师解析】

两物块组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得:

机F/O=(机1+机2)匕

由图示图象可知，。时刻两者的共同速度：％=lm/s,代入数据解得：m2=4kg,故A正确。

BC.由图示图象可知，两物块的运动过程，开始时牝逐渐减速，g逐渐加速，弹簧被压缩，h时刻二者速

度相当，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩最厉害，然后弹簧逐渐恢复原长，m2依然加速，mi先减速

为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大,

两木块均减速，当t3时刻，二木块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t3到t4过程中弹簧由伸长

状态恢复原长，故B、C错误。

D.弹簧压缩量最大或伸长量最大时弹簧弹性势能最大，当弹簧压缩量最大时两物块速度相等，如匕时刻,

对系统，由能量守恒定律得:

1,1,+E

-«1^0=-(Wl+m2)KP

代入数据解得:

£P=6J

故D正确。

5.（2024湖南永州重点高中质检）如图所示，水平面上有一质量加=3kg的小车，其右端固定一水平轻质

弹簧，弹簧左端连接一质量机o=2kg的小物块，小物块与小车一起以%=4m/s的速度向右运动，与静止

在水平面上质量河=1kg的小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦阻

力。则下列说法中正确的是（）

A.小车与小球碰撞后小球的速度大小2m/s

B.当弹簧被压缩到最短时小车的速度大小为2.8m/s

C,从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短的过程中，弹簧弹力对小物块的冲量大小为2N-s

D.若从碰后瞬间到弹簧被压缩至最短用时2s,则小车在这2s内的位移X与弹簧最大形变量/的关系式为

【参考答案】BD

【名师解析】

设小车与小球碰撞后瞬间的速度分别为匕、V2；小车与小球碰撞过程中，根据动量守恒与机械能守恒可得

mv=mv+

mv0=mvx+MV2,~o~^i~^

解得

%=2m/s,v,=6m/s

故A错误；

BC.当弹簧被压缩到最短时，根据动量守恒定律有

movo+mvx=+m)v3

解得

v3=2.8m/s

设碰撞后瞬间到弹簧最短的过程，弹簧弹力对小物块的冲量为/,根据动量定理有

/=mov3-movo

解得

/=—2.4N-s

负号表示方向向左，故B正确，C错误；

小车碰撞结束到弹簧被压缩最短的过程中，设小物块速度为耳，小车速度为V；,由动量守恒可得

movo+mv{=mov'o+mv[

任取一段极短时间加均有

（movo+mvx）=mov'o^,t+mv[At

累加求和后，有

（movo+MV]）/=机（）x物+mx

又

X物_X=/

联立解得

28-2//、

故D正确。

6.（2024高考名校学术联盟押题卷）如图，质量为m的小球A和质量为3m的小球B用长为L的弹性绳连

接，小球B静止在光滑水平面上，小球A在小球B正上方高为0.72L处以一定的初速度水平向右抛出，小球

落地时弹性绳刚好拉直（第一次处于原长），小球A落地时，与地面碰撞过程，竖直方向的速度减为零，水

平方向的速度保持不变，弹性绳始终处于弹性限度内，重力加速度为g,不计小球大小，则（）

A.小球A抛出时的初速度大小为1衣

B.小球A抛出时的初速度大小为*JiE

6

25

c.弹性绳具有的最大弹性势能为”加g£

96

53

D.弹性绳具有的最大弹性势能为正加g£

【答案】BC

【解析】

A球从抛出到落地过程

1

29

0.72Z=—gt9L=vot

可解得

%=3必

O

A错误，B正确；

A球落地后到与B球速度相同时，弹簧弹性势能最大

1?1?

mv0=4mv,Epm=-mv0--x4mv

解得

Epm=||加g£

C正确，D错误。

7.（2024重庆缙云教育联盟一诊）如图所示，质量M=0.5kg带有光滑弧形槽的滑块放在足够长的水平面。

处，弧形槽上圆弧对应的圆心角分60。，半径R=0.8m,与其处于同一竖直平面内的光滑半圆轨道cd的半径

7-0.5m,轨道与水平面相切固定于c点，已知水平面be段粗糙且长度Z=2m,其余光滑。质量分别为

机i=lkg、加2=0.5kg的物块P、Q静置在水平面上，两者之间有一压缩并用细线锁定的轻弹簧（弹簧与两物

块均不拴接），弹簧此时储存的弹性势能稣=6L某时刻将细线烧断，两物块与弹簧分离时均未从成之间滑

出，随即撤去弹簧。物块Q与水平面6c段间的动摩擦因数11=0.25,重力加速度g=10m/s,两物块均可视为

质点且滑上圆弧时均无能量损失。

（1）求物块P与弹簧分离时的速度大小；

（2）判断物块P能否从M左端冲出；并求出P的最终速度；

（3）求物块Q最终静止的位置距离6点的距离。

d

2

【答案】（1）2m/s；（2）-m/s；（3）0.8m

3

【解析】

（1）弹簧恢复原长的过程中与两物块构成的系统动量守恒、机械能守恒，设物块P、Q与弹簧分离时速度

分别为用、v2,有

0=加］匕-m2v2

。12,12

Ep=~m^\+~m2v2

解得

%=2m/s,v2=4m/s

物块p与弹簧分离时的速度大小2m/s；

（2）设物块P沿滑块上升高度为4时与滑块达到共速v,两者水平方向动量守恒，机械能守恒有

(机+加1g%

解得

y，1nzs

3

4=m<7?(1-cos60°)=0.4m

即物块P将从滑块右侧滑离，设滑离时物块P与滑块的速度分别为为、匕，物块P在滑块上滑动的整个过

程中，两者系统水平方向动量守恒、机械能守恒，有

OTJVJ=机］匕+1加4

^miVl=|W1V3+1^4

解得

v3=ym/s,v4=—m/s

2

即物块P最终向左匀速运动，速度为一m/s；

3

（3）设物块Q能沿半圆轨道最高上升高度为色，由动能定理有

1,

-/um^gL-m?gh2=0--m2v2

解得

h,=0.3m<r=0.5m

即物块Q将沿圆轨道返回水平面

设物块Q未与物块P碰撞，最终静止在粗糙水平上，其在粗糙水平面滑行的路程为x,由动能定理有

1,

一〃m2gx=0--机2V2

解得

x=3.2m<2L-4m

故物块Q最终静止的位置距离b点的距离

5=2Z-x=0.8m

8.（2024浙江台州期末）如图所示，水平地面上固定着一足够长的木板，板上静置枚C两小球。一轻质弹

簧的左端固定在球6上，右端与球。接触但未连接。一带有圆弧轨道的小车〃紧靠木板放置，其轨