对数函数（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第08讲对数函数

（12类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2022年天津卷，第5题,5分对数的运算、对数的运算性质的应用

2021年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第7题,5分运用换底公式化简计算

2020年天津卷，第6题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质

2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题

4.能结合图像与性质解决综合型问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。

12.考点梳理*

知识点一.对数的定义考点一、对数函数的解析式

1.定义I考点二、对数函数的求值、求参问题

知识点二.对数函数的定义

2.对数函数的图象与性质]考点三、对数函数的定义域与不等式

考点四、对数函数的值域问题

考点五、对数函数的定义域与值域求参问题

对数函数

知识点三.对数函数图象的特点考点六、对数函数过定点问题

考点七、对数函数的单调性

考点八、对数函数的图像

考点九、对数模型实际应用

考点十、对数函数比较大小

知识点四.指对函数性质的比较考点十一、对数函数综合应用

考点十二、对数函数的奇偶性与对称性

知识讲解

知识点一.对数的定义

1.一般地，如果a（a〉O,a#1）的6次幕等于“即那么称6是以a为底”的对数，记作6=10gsM

其中，a叫做对数的底数，”叫做真数.

2.底数的对数是1,即log«t=l,1的对数是0,即logsl=0.

知识点二.对数函数的定义

L形如y=logax（a〉0,aWl）的函数叫作对数函数,其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

2.对数函数的图象与性质

a>l0〈水1

yy

1

图象0L_.

0

定义域：（0,+°0）

值域：R

性质

过点（1,0）,即当x=l时，y=0

在（0,+8）上是单调增函数在（0,+8）上是单调减函数

知识点三.对数函数图象的特点

1.对数函数y=logax（a>0且aWl）的图象过定点（1,0）,且过点（a,1）,一1）,函数图象只在第一、四

象限.

2.函数y=logaX与y=Zo^?（a>0且a#l）的图象关于x轴对称.

3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

注意：

1.在运算性质10ga"=〃10ga〃中，要特别注意粉0的条件，当刀£N*,且〃为偶数时，在无〃>0的条件下应

为10ga/=7710ga|M.

2.研究对数函数问题应注意函数的定义域.

3.解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对於1及0〈水1进行分类讨论.

4.对数函数的图象与底数大小的关系

—y=logx

一n*：

°——r=log*

'尸hg产如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0

<c<d<l<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

知识点四.指对函数性质的比较

图像特征函数性质

共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

函数图象都在X轴上方函数的值域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1)过定点(0,1)

0<a<l自左向右看，图象逐渐下降减函数

在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x〉0时，0<y<l;

在第二象限内的图象纵坐标都大于1当xO时，y>l

图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快到了某一值后减小速度较

慢；

a>l自左向右看，图象逐渐上升增函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x〉0时，y>l;

在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x〈0时，0〈y〈l

图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢

到了某一值后增长速度极快；

考点一、对数函数的解析式

典例引领

1.(23-24高三上•江苏•期末)满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数〃久)可以为f(x)=—.(写出一个即

可)

【答案】ln|x|(答案不唯一)

【分析】对数函数均满足要求，考虑到定义域需要加绝对值

【详解】可令/。)=令|洲,满足要求.

故答案为：/(x)=ln|x|.(答案不唯一)

2.(22-23高三上•江苏泰州•期中)已知函数f(x)同时满足(l)f(nm)=f(m)+f(n)；(2)(m--

f(n)]<0,其中m>0,7?>0,?n力n,则符合条件的一个函数解析式/(x)=.

【答案】logix(答案不唯一)

2

【分析】由已知函数性质，结合函数的单调性定义和对数函数的运算性质得/(X)=logaX且0<a<1,写

出一个符合要求的解析式即可.

【详解】由(2)知：f(%)在(0,+8)上递减,

由(1),结合对数的运算性质知：loga(mn)=logaM+log/，则/'(x)=loga%，

综上,/(%)=loga%且0<a<1,故/(x)=logpr满足要求.

2

故答案为：log”(答案不唯一)

2

♦♦眼举w

1.(2023高三上•全国•专题练习)已知/(%)是定义在R上的偶函数，且当X>0时，/(x)=loga(x+1)(a>

0,且atl),则函数/(%)的解析式是—.

・田上.“、(lOgqO+I)/N0

【答案】/(NX]:/、…

(loga(-x4-l),x<0

【分析】先利用函数奇偶性求出％V0时的解析式，进而可得函数/(%)的解析式.

【详解】当第V0时，一%>0,

由题意知f(一汽)=loga(-x+1),

又/(%)是定义在R上的偶函数，所以/(-久)=/(%),

所以当％<0时，/(%)=loga(-x+1),

所以函数的的解析式为3)=[]之二<*0・

故答案为：的=优打仁。°.

2.(2024•河北沧州•模拟预测)直线久=4与函数/(%)=logax(a>l),g(x)=log”分别交于两点，

2

且[48|=3,则函数h(x)=/(*)+g0)的解析式为()

A./i(x)=—log2xB.h(x)=—log4x

C.h(久)=log2xD./i(x)=log4x

【答案】B

【分析】根据对数函数的单调性及|4B|=3得a=4,代入化解即可.

【详解】由题意可知，定义域为(0,+8),

函数f(x)在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减,

则=loga4-logi4=loga4+2,

所以log04+2=3,

解得a=4,

所以h(x)=log4x+logix=log4x—log2x=log4x—21og4x=—log/.

故选：B.

3.(2024•北京东城•一模)设函数/0)=a+1，则()

A-/«+/©=2B./«-/©=2

C./(%)/Q=2D.f(x)=2fg)

【答案】A

【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.

【详解】函数f(久)=*+1的定义域为(0,1)U(1,+8),

对于A,/(x)+

对于CD,当x=e时，/(X)=-+l=£+1=0,故CD错误.

故选：A.

4.(23-24高三上•北京•阶段练习)定义域为R的函数f(x)同时满足以下两条性质:

①存在XoCR,使得

②对于任意久eR,有/'(久+1)=2f(%).

写出满足上述性质的一个增函数/(久)=—.

【答案】2工(答案不唯一)

【分析】取f(x)=2,验证满足条件，得到答案.

【详解】/(%)=2%/(I)=2力0,满足存在X。6R,使得/(出)丰0；

/(%+1)=241=2x2"=2/(x),满足条件.

故答案为：2，

考点二、对数函数的求值、求参问题

1.(2024•湖北.模拟预测)已知函数/(X)=m；；'：1则/(log212)=(

A10D13八35n37

A.D.C.L).

3366

【答案】A

【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.

【详解】/(log212)=/-(log212-1)=/(log26)=/(Iog26-1)=f(log23),

故选：A

2.(23-24高三下•重庆•阶段练习)已知定义在R上的函数“X)是奇函数，且当x20时，/(%)=

log2(x+3)+a,贝！1/(一3)=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】定义在R上的函数/O)是奇函数，所以«0)=0，由此可得a的值，进而由"3)可得/(-3)的值.

【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=log23+a=0,

解得a=-log23,则/1(x)=log2(x+3)-log23,

/(3)=log26-log23=log22=1,

所以f(-3)=-/(3)=-1.

故选：B.

即■测L

1.(2024•四川遂宁•模拟预测)下列函数满足/Qog23)=一/。og32)的是()

1

A./(%)=1+InxB./(%)=x+-

C./(%)=%—1D./(%)=1—x

【答案】C

【分析】令t=log23>1,贝4=log32,结合各选项代入验证，即可判断答案.

【详解】令t=log23,t>1,则:=log32G(0,1),由/(log23)=-/(log32)pJW/(t)=一f(J

对于A,f(-^)=l+ln^=1—Int—f(t)f故A错误；

对于B,/(》=3+「=/«)，不满足f«)=-/6}B错误；

对于。/G)=3一力=一/⑴，即/©=一"»W/0og23)=-/(log32),C正确；

对于D,/(|)=1一}w-/(t),BP/(log23)=一/(log?2)不成立，D错误.

故选：C.

(步』

2.(2024•山东济宁•三模)已知函数f(久)=,财(屋))=

log4x,%>0

【答案】V2

【分析】利用已知的分段函数，可先求人》=—|，再求/(/&))=/(—3=夜即可.

［详解】因为f(x)=|(9，X-°,所以“|)二10g4._10g42=W.

Ilog4x,%>0,

故答案为：V2.

3.(2024•河北•三模)已知函数/(%)=|lg%|,若f(a)=/(b)(aWb),则当2a•3”取得最小值时，

a_

b--------■

【答案】log23

【分析】根据题意，由条件可得Qb=l,令2=2。・3%结合基本不等式代入计算，即可得到结果.

【详解】由f(a)=/(b)得-Iga=1g=lg6,即ah=1,令z=2。•3》，

贝ijlnz=a•ln2+b-ln3>2yJa-ln2•b-ln3=2Vln2-ln3

当且仅当a,ln2=b•ln3,即g=粤=log??时，Inz取得最小值，此时z也取得最小值.

bln20”

故答案为：10g23.

4.(2024•四川•模拟预测)4知函数/(%)=cos、•ln«%2+i一%)+i,若/(7n)=3,则/(―租)=

()

A.-1B.-3C.-5D.3

【答案】A

【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得/(-血)的值.

【详解】/(%)定义域为R,令9(%)=/(%)-1=cosx-ln(Vx2+1-%),

贝1g(-%)=cosx-ln(Vx2+1+%)=cosx•-=-g(%),

是R上的奇函数，

+g(m)=/(—m)—1+f(m)—1=0,

即f(—TH)=2—f(m)=2—3=—1,

故选：A.

考点三、对数函数的定义域与不等式

1.(2024•青海海南•二模)函数f(x)=里的定义域为()

A.(-VIo.VTo)B.(―co,—V10)u(VTo,+00)

c.[-VTo,VTo]D.(-Vio,o)u(o,VTo)

【答案】D

【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.

【详解】•..函数=蚂詈嗔，

♦,—/>0,解得xG(-V10,0)U(O,V10).

I%H0

故选：D.

2.(23-24高三上•天津河东•阶段练习)函数的定义域为.

【答案】(1,4)

【分析】利用函数有意义，列出不等式求解即得.

【详解】函数/(%)=、等有意义，则｛;二；j：，解得1<%<4,

所以函数f(x)=、箸的定义域为(1,4).

故答案为：(1,4)

即时啰!)

1.(2022高三上•河南•专题练习)函数f(%)=皿4之的定义域为()

smxvx-1

A.(1.)呜4)B.(l,n)u(n,4)C.[l,=)U(=,4]D.[1,it)U(ir,4]

【答案】B

【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.

x-1>0

【详解】要使/(%)有意义，需满足4一%>0,

、sinxH0

解得1V%V4且％W兀.

所以定义域为(l，mu(71,4).

故选：B.

2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数f(x)的定义域为[-2,刀，则函数尸(久)=端*的定义域为

()

A.[-3,1]B.[-3,0)U(0,1]

C.(-1,0)U(0,1)U(1,3]D.[-3,-1)U(-1,0)U(0,1)

【答案】D

【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意可知，要使F(x)有意义，

1-2<X+1<2-3<x<1

只需要kl>0,解得x^O,

.|x|41(x十-1,且x*1

所以xE[—3,—1)U(—1,0)U(0,1),

所以函数F(x)的定义域为[-3,-1)U(-1,0)U(0,1).

故选：D.

3.(2024•北京通州•二模)已知函数/(久)-x2+lg(x-2)的定义域为

【答案】｛x|x>2｝

【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.

【详解】根据题意可得(:H0，解得x>2

故定义域为｛xlx>2].

故答案为:(x\x>2]

4.(23-24高三下•上海•阶段练习)函数/(%)=lg(4x-2尢—2)的定义域为—

【答案】(1,+8).

【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得.

【详解】由题意4方-2x-2>0,即(2,-2)(2X+1)>0,

：.2X>2,x>l,...定义域为(1,+8).

故答案为：(L+8).

考点四、对数函数的值域问题

典例引领

1.(23-24高三上•北京•期中)下列函数中，值域为(1,+8)的是()

A.y=B.y=Vx+1C.y—lg(|x|+1)D.y=2X+1

【答案】D

【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.

【详解】因为—14sinx<1,且sinxW0,所以一—W—1或一―21,A错误；

sinxsmx

因为近>0,所以+1>1,B错误；

因为团+121,所以Ig(|x|+1)2Igl=0,C错误；

因为2*>0,所以2，+1>1,即y=2工+1的值域为(1,+8),D正确.

故选：D

2.(2024高三•全国•专题练习)函数/'(x)=Inx+久,xe[l,e]的值域为.

【答案】[l,e+1]

【分析】

利用函数的单调性可求函数的值域.

【详解】函数/■(*)=Inx+%,%€[l,e]为增函数，故其值域为[l,e+1].

故答案为：+

即时检测

1.(23-24高三上•上海黄浦•期中)函数y=log3x+痴念在区间(1,+8)上的最小值为.

【答案】2V2-1

【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.

【详解】y=logx+-~=logx+—，

003003

’log9(3x)l+log3x

因为％e(E，+8),所以log3%E(―1,+8),故1+log3%E(0,+8),

故y=(1+1嗝为+京嬴-1>zjd+loga%).^^-1=2/-L

当且仅当1+log3%=1+京3久，即％=3‘T时，等号成立.

故答案为：2V2-1.

2.(23-24高三上•河南•期中)已知函数/(©={i：；：4：)；彳：；；,贝次(e+l)=,函数的

值域为.

【答案】2[-1,+8)

【分析】根据分段函数解析式代入计算即可求得“e+1)=2；利用二次函数单调性以及对数函数单调性分

别求出对应函数值域即可求得f(x)的值域为[-1,+8).

【详解】易知e+1>2,所以f(e+1)=Ine+1=2；

当久<2时，/(x)=x2+4x+3=(%+2)2-1>-1；

当》22时，/(%)=ln(x-1)+1,易知/(%)在[2,+8)上是单调递增函数，

所以/(%)=ln(x—1)+1>ln(2—1)+1=1,

综上可知/(%)的值域为[-1,+8).

故答案为：2；[-1,+8)

(|logx|,x>a

3.(23-24高三上•重庆•期中)已知。>0,函数/(%)=卜-22口当。=2时，/(%)的值域

1%-3

为；若不存在%1，%2(%1。%2)，使得/(%1)=/(%2)，则实数a的取值范围是

【答案】(0,+00)[2,3]

X>2

【分析】由a=2得到/(x)=]一；二'再分x<2和x>2,分别利用反比例型函数和对数函数的性质

---,%V2.

x-3

求解；画出函数/(X)的图象，利用数形结合法求解.

|logx|,x>2,

【详解】解：当a=2时，/(x)=।2।r

当x>2时，/(%)=|log2x|=log2xe[1,+oo),

所以当a=2时，f(%)的值域为(0,+8).

画出f(x)每段的图象，如图所示：

由图象知：当a<2或a>3时，存在x2(xr%2)>使得f(/)=/(&)，

xx

当2WaW3时，不存在石,x2(i*2)>使得/'(/)=7'(久2).

故答案为:(0,+8),[2,3]

4.(23-24高三上•福建莆田•阶段练习)函数/0)=log2x-21og2(x+1)值域为

【答案】(—8,—2]

【分析】确定函数定义域为(0,+8),变换f(x)=]og2―利用均值不等式计算最值得到答案.

x-\■x―1-2

【详解】函数/(%)=log2x-21og2(x+1)的定义域为(0,+8),

工11

/(X)=logx-21og(x+1)=log(1、2=log2-----i------wlog—j=-----

222()F+222n+2

=lo§2；=-2,

当且仅当x=3即x=l时等号成立，故值域为(-8,-2].

故答案为：(—co,—2].

考点五、对数函数的定义域与值域求参问题

典例引领

1.(23-24高三下•四川雅安•阶段练习)若函数f(x)=logo5(，—ax+2a)(a>0)的值域为R,则/(a)的

取值范围是()

A.(—00,—3]B.(—00,-4]C.[—4,+oo)D.[—3,+8)

【答案】B

【分析】利用对数函数的定义，结合二次函数性质求出a的范围，再利用对数函数性质求解即得.

【详解】依题意，ax+2a取遍所有正数，则△=a?-8aN0,而a>0,解得a28,

所以/'(a)=log0.5(2a)<log0516=-log216=-4.

故选：B

2.(22-23高三•全国•对口高考)若函数y=馆(比2―5+9)的定义域为R,则a的取值范围为；

若函数y=lg(x2-ax+9)的值域为R,则a的取值范围为.

【答案】(-6,6)(-co,-6]U[6,+oo)

【分析】第一空，由题意可得/-依+9>。对于xGR恒成立，结合判别式小于0即可求得答案；第二空，

由题意可得/-ax+9能取到所有正数，结合判别式大于等于0即可求得答案；

【详解】函数y=lg(x2—ax+9)的定义域为R,贝！1——ax+9>0对于xGR恒成立，

故4=(-a)2-4x9<0,解得一6<a<6,即ae(-6,6)；

若函数y=lg(x2-ax+9)的值域为R,即久2一ax+9能取到所有正数，

故A=(-a)2-4x920,解得a26或aW—6,即aG(—oo,-6]U[6,+8),

故答案为：(—6,6)；(—co,-6]U[6,4-00)

即时检测

1.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知/(X)={(:8与，若函数V=的值域为R，则实数a的

取值范围是.

【答案】[1,4]

【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.

【详解】由对数函数的定义和单调性可知a>0,且当x<a时，/(%)<log4a,

当x>a时因为一元二次函数(％-3)2的对称轴为x=3,

所以当0<aW3时，/(x)=(%-3/>/(3)=0,

若函数y=/(%)的值域为R,则log4a>0解得1<a<3；

当a>3时,/(%)=(%—3)2>/(a)=(a—3)2,

若函数y=/(%)的值域为R,则log4az一3)2,

令g(a)=log4a-(a-3)2(a>3),所以g'(a)=*-2(a-3)=叫

令九(a)=1—2a(a—3)ln4=(—21n4)a2+(61n4)a+1,h(a)表示对称轴为a=3,开口向下的抛物线，

因为九(3)=1>0,h(4)=-81n4+1<0,所以存在劭G(3,4)使得九(a)=0,

所以当a€(3,a。)时，"(a)>0，g(a)单调递增，当。€(劭,+8)时，“(a)<0,g(a)单调递减，

又因为g(3)=log43>0,g(4)=log44-1=0,所以由g(a)>0解得3<a<4,

综上1<a<4,

故答案为：口4]

2.(2023•全国•模拟预测)若“V久e[3,27],log3x<m"是真命题，则实数机的一个可能取值为.

【答案】3(答案不唯一)

【分析】由题意可得出"久6[3,27],不等式log3%W巾恒成立，求出y=log3》的最大值即可得出答案.

Kn

【详解】由VxG[3,27],log3x<m是真命题，

得V%£[3,27],不等式log3*<m恒成立.

而Vxe[3,27],Iog3%的最大值为log327=3,最小值为logs?=1,

所以m的取值范围是m23,所以m的一个可能取值为3(答案不唯一).

故答案为：3(答案不唯一)

3.(2023•江西景德镇•模拟预测)若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,则在函数/(久)=ln(x2+ax+b)

的值域为R的条件下，满足“函数。(久)=卢等为偶函数”的概率为()

(a+b)x

2233

A.—B.—C.—D.—

17191719

【答案】D

【分析】根据函数的值域为R可得a,b之间的关系，再根据g(x)为偶函数可得a=b,最后根据条件概率的

概率公式可求题设中的概率.

【详解】设事件2为‘了(%)=ln(x2+ax+6)的值域为R”，

设事件B为“函数g(x)=卢等为偶函数，

。(a+b)x

掷两枚骰子出现的点数分别为a,b,所得基本事件(a,b)有：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

故基本事件的总数为36.

因为/'(%)=IM/+ax+b)的值域为R,所以a?—4620,故a?N46,

而9(乃=端为偶函数，故91)=一弑=寝好

xxxx

所以a，-b=-a-+b-,整理得到(〃-b)[1-74d=°(无力°)，1一W4°，

所以a”=b工即a=b.

故4对应的基本事件(a,b)有：

(2,1)，

(3,1),(3,2),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

故共有基本事件的个数为19,

又4B对应的基本事件有(4,4),(5,5),(6,6),

故P©⑷=需=宝4

36

故选：D.

考点六、对数函数过定点问题

典例引领

1.(,山东•高考真题)函数y=loga(x+3)-l(a>0,aW1)的图象恒过定点若点/在直线mX+ny+

1=0上，其中小、n>0,则工+2的最小值为

mn-----------

【答案】8

【分析】求出定点4(一2,-1),可得出2m+n=l,将代数式工+三与2巾+n相乘，展开后利用基本不等式

mn

可求得工+2的最小值.

mn

【详解】对于函数y=loga(%+3)-l(a>0,aH1),令％+3=1,可得久=-2,则y=log。一1=一1,

故函数y=loga(x4-3)-l(a>0,aW1)的图象恒过定点4(-2,-1),

因为点/在直线m%++1=0上，则一2m-几+1=0,可得2zn+九=1,

因为m、n>0,所以，—+-=(2m+n)f—+-)=4+—+—>4+2/—•—=8,

mn\mn/nmyjnm

当且仅当n=2rn时，等号成立，故工+?的最小值为8.

mn

故答案为：8.

x

2.(23-24高三上•陕西•阶段练习)函数/(%)=loga(x+1)+2(a>0,且aHl)的图象过定

点.

【答案】(0,1)

【分析】根据logal=0,令久+1=1即可求出定点.

【详解】令汽+1=1，则第=0,此时。在(0,1)U(l,+8)上无论取何值，/(%)的值总为1,故函数/(%)的图

象过定点(0,1).

故答案为：(0,1)

即时啊」

1.(23-24高三上•陕西咸阳•期中)已知函数y=loga(x-1)+4(a>0且aW1)的图象恒过定点P,点P在

幕函数y=/(%)的图象上，则lg/(2)+lg/(5)=.

【答案】2

【分析】令X-1=1可求得定点P的坐标，从而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.

【详解】令x—1=1得y=4,则定点P(2,4).

设塞函数=将点P代入可得4=2%则a=2,即/'(%)=/.

因此Igf(2)+lg/(5)=lg22+lg52=21g2+21g5=2(lg2+lg5)=21gl0=2.

故答案为：2.

2.(2023•江西赣州•一模)已知函数y=1+loga(2-x)(a>0且a丰1)的图像恒过定点P,且点P在圆广+

y2+mx+爪=0外，则符合条件的整数m的取值可以为.(写出一个值即可)

【答案】5(不唯一，取小>4的整数即可)

【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得小的取值.

【详解】因为函数y=l+loga(2-x)的图像恒过定点(1,1),所以

因为点P在圆/+y2+mx+m=。外，

2

所以M+I+m+m>0且爪2_4m>o,解得—i<m<0或m>4；

又加为整数，所以小的取值可以为5,6,7,….

故答案为：5(不唯一，取小>4的整数即可).

3.(2023•青海西宁•二模)已知函数y=loga(3x—2)+2(a>0且a#1)的图像过定点A,若抛物线y?=

2Px也过点A,则抛物线的准线方程为.

【答案】x=T

【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可.

【详解】因为函数y=loga%经过定点(1,0)，所以函数y=loga(3x-2)+2经过

定点2(1,2),将它代入抛物线方程得22=2pxl,解得p=2,

所以其准线方程为%=-1；

故答案为：x=-l.

4.(2023高三•全国•专题练习)已知数列｛厮｝为等比数歹！J,函数y=loga(2x-1)+2的图象过定点(由,a2),

bn=log2an,数列｛aJ的前n项和为却，则S1。的值为.

【答案】45

【分析】先求出函数过定点(1,2),则等比数列｛aj确定，由g=1。82厮，得出数列｛,｝通项，再利用等差

数列求和公式可得.

【详解】由已知y=loga(2x-1)+2,令x=1,得y=2.

所以函数y=loga(2x-1)+2的图象过定点(1,2),

所以a】=1,a2=2,

由数列为等比数列，则理=2f

而1于是M—1,

所以数列｛g｝是以0为首项，1为公差的等差数列，瓦=0,瓦0=9,

则Sio=等x10=45.

故答案为:45.

考点七、对数函数的单调性

典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)函数/(*)=log式—2/+3*+2)的单调递减区间为.

5

【答案】(春)

【分析】求出函数的定义域，确定f(%)=logi(-2%2+3%+2)由y=login,u=-2x2+3%+2复合而成，

55

判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.

【详解】由题意知函数“X)=10gi(-2x2+3%+2),

5

令〃=—2x2+3%+2,则〃=—2x2+3%4-2>0,1<x<2,

则f(%)=logi(—2%2+3%+2)即由y=login,u=-2x2+3%+2复合而成,

55

由于y=log工〃在(0,+8)上单调递减，

5

故要求函数“X)=10gi(-2x2+3x+2)的单调递减区间，

5

即求〃=—2%2+3%+2,(―1<%<2)的单调递增区间，

而〃=-2x2+3%+2的对称轴为％=

4

则a=-2x2+3x+2,(-i<x<2)的单调递增区间为(一发)

则函数/'(X)=logi(-2%2+3x+2)的单调递减区间为(一会)

故答案为：(—[，：)

2.(2024•黑龙江•模拟预测)设函数/(X)=ln|x-a|在区间(2,3)上单调递减,贝必的取值范围是(

A.(—8,3]B.(—8,2]C.[2,+oo)D.[3,+8)

【答案】D

【分析】由复合函数的单调性分析得〃=|%-可在(2,3)上单调递减，根据〃=|%-研单调性即可得到答案.

【详解】设〃=\x-a\,易知函数y=In〃是增函数，

因为/(%)=ln|%-可在区间(2,3)上单调递减，

所以由复合函数单调性可知，〃=|%-。|在(2,3)上单调递减.

因为函数〃=\x-a|在(一8,a)上单调递减，

所以3<a,即aG[3,+8).

故选：D.

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1.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数/(%)=也9%+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数。的取值范

围是()

A.a<0B.-1<a<0C.-1<a<0D.a之一1

【答案】B

【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足［a；］20即可，从而可求出实

数a的取值范围.

【详解】令t=a%+2,则y=Int,

因为函数/(%)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，

且y=lnt在定义域内递增，

所以、解得一1Wa<0,

12a+2>0

故选：B

2.(•天津•高考真题)若函数/O)=loga(x3—ax)(。>0且。力1)在区间(―3。)内单调递增，则a的

取值范围是()

A・［消B.［|,1)C.©+8)D.(啕

【答案】B

【分析】分a>1和0<aV1分析函数内外层的单调性，列不等式求解

【详解】函数/(%)=log。(二一>0,aH1)在区间(一支。)内有意义，

则(-,)3+>0,a>p

ZZ4

3r2

设力=x—a%,贝！Jy—logat,t=3x—a

(1)当a>l时，y=log/是增函数，

3

要使函数/(%)=loga(x-ax)(a>0,a1)在区间(一30)内单调递增，

需使t-x3-ax在区间(，0)内内单调递增，

则需使t'=3尤2-a20,对任意x€(-］0)恒成立，即aW3/对任意xe(-表。)恒成立；

因为xe(-go)时，0<3/所以a<0与a>］矛盾，此时不成立.

(2)当0Va<1时，y=lo外力是减函数，

3

要使函数/(%)=loga(x-ax)(a>0,aH1)在区间(一30)内单调递增，

需使£=/一a%在区间(一表0)内内单调递减，

则需使F=3x2-a<0对任意》G(一表0)恒成立，

即a>3/对任意汽e(一30)恒成立，

因为汽e0)财0<3/<

所以Q》；，

4

o

又a<1,所以-<a<1.

4

综上，。的取值范围是:《aVl

故选：B

3.(2024•陕西铜川•三模)若函数丫=[(30]1).+2；，：(1，在7?上单调递减，则实数a的取值范围是

()

【答案】C

【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.

【详解】•••函数y=产笃<1，在R上单调递减，

3a—1<0,

.・.0<a<1,解得工<a<-.

3a-1+2a>logal,

故选：C.

考点八、对数函数的图像

典例引领

1

1.(2024•湖北•模拟预测)函数/(%)="—底—In/的图象大致为()

【答案】A

【分析】根据x<0时/。)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

[详解]fix)=吩—£一In%2=/一战；21n(-x),x<0,

QX_e-_21nx,x>0

i

因为当工<0时，y=ex,y=-e^y=一21n(-％)都为增函数，

所以，y=e%-放一21n(-％)在(一8,0)上单调递增，故B,C错误；

1

又因为/(—%)=e~x—e~x—In%2W—/(%),

所以/(第)不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性可排除B,利用函数值正负可排除A,再根据单调性排除D,得解.

【详解】令f(x)=空，Xe(-00,0)u(0,+00),

因为/(—%)=追詈=一萼=一〃>),所以f(x)是奇函数，

排除B,

又当%>1时，/(%)>0恒成立，排