二次函数几何定义-2024年中考数学二次函数压轴题

专题01二次函数几何定义

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1.考向分析：我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这

样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等.这个点称为

抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，本专题将讨论一些与抛物线的焦点和准线相关的

问题.焦点和准线属于高中内容，高中内容下放也是中考中所常见的.

2.定义：二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义：若一个动点M(x,y)到定点4(0,9的

距离与它到定直线y=的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线d=2py(p>0).

3.模型：

(1)已知动点M(x,y)到定点A(0,4)的距离与到定直线y=T的距离相等，请写出动点形成的

抛物线的解析式.

解：由题意得：MA=7(%-0)2+(y-4)2=^2+(y-4)2,

过点M作MB_L直线y=-4,垂足记为B点，贝IMB=|y-(-4)|=b+4|,

MA=MB,即M+(y_q=|y+4|,

两边平方，化简得：y=工.

16

故M点形成的抛物线的解析式为y=—

-16

（2）若点。的坐标是（1,8）,在（1）中求得的抛物线上是否存在点P,使得2+PD最短？若

存在，求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

解：过P点做PQJ_直线y=-4,则PA=PQ,故求PA+PD最短，即求PQ+PD最短.

过点D作直线y=-4的垂线，与抛物线交点即为P点，垂足为Q,此时PQ+PD最短,

PA+PQ=PD+PQ=DQ=8,为最小值,

此时P点坐标为（1,'

4.模型总结：

结论1：对于抛物线>="2,焦点坐标为W准线为直线>=

焦点一般会用字母F表示.而且二次项系数很多时候是工，只是为了焦点坐标便于计算.

4

至于形如、=以2+&C+C的抛物线可化为顶点式y=a(x-/7)2+3然后通过由y=ax1平移来确定焦

点和准线.

证明：设ZNPF=a,ZMQF=/3,贝|&+£=180。，

/.ZPFN+ZQFM=90°-^a+90°=90°,

.\FM±FN.

结论3:取PQ中点E,作EH，x轴交x轴于H点，则PHLQH.

证明：倍长中线证两次全等.

4:记MN与y轴交于点G,+^=—

PNQMFG

二、典例精析

例一：如图，点P为抛物线>=工/上一动点.

'4

（1）若抛物线丫=!/是由抛物线>=工（尤+2）2-1通过图像平移得到的，请写出平移的过程；

■44

（2）若直线/经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N的坐标为（0,-1）,过点P作PM_LZ于V.

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点f，使得=恒成立？若存在，求出点尸的

坐标：若不存在，请说明理由.

②问题解决：如图二，若点。的坐标为（1,5）,求。尸+P尸的最小值.

【分析】

（1）向右平移2个单位，向上平移1个单位；

（2）①直线I即为抛物线的准线，所求F点为焦点.

考虑特殊位置，当P点在顶点时，可得F点坐标为（0,1）或（0,-1）（舍掉）,

以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM：

设P点坐标为[见;病

贝!]"=J（m_0）2+（；m2_]J+1]

=~m?+1，

又PM==lm2+1=，1+1,

4'’44

；.PF=PM,

.,.当F点坐标为（0,1）时，PM=PF恒成立.

②由①可得PQ+PF=PQ+PM,

过点Q作QM_Lx轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点,

M

止匕时PQ+PM=QM=6,

故QP+PF的最小值为6.

三、中考真题演练

1.（2023•湖北鄂州•中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=62（。>0）型抛物线图象.发

现：如图1所示，该类型图象上任意一点p到定点歹［0,：］的距离P尸，始终等于它到定直线/：>=的

I4〃J4a

距离PN（该结论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，y=叫做抛物

4a

线的准线方程.准线/与y轴的交点为H.其中原点。为尸”的中点，切=20尸=3.例如,抛物线y=2Y,

【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线/的方程：____________,_____________；

4

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=；/上一点「伍,为乂%>0）到焦点尸的距离是它到工轴距离的3倍，求点尸的

坐标；

【能力提升】

⑶如图3,已知抛物线y=的焦点为F,准线方程为/.直线%y=；x-3交y轴于点C,抛物线上动

点尸到无轴的距离为4,到直线机的距离为请直接写出4的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线，=62（〃>（））平移至>=。（％一切2+左（〃>0）.抛物线

,直线/过点-0且与x轴平行.当动点尸在该抛物

y=a（九-丸P+M"。）内有一定点尸h,k+

线上运动时，点尸到直线/的距离尸1始终等于点P到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线

y=2（X-1）2+3上的动点P到点F^l,—J的距离等于点P到直线/：y=~的距离.

请阅读上面的材料，探究下题:

(4)如图4,点。是第二象限内一定点，点P是抛物线，=；必-1上一动点，当尸O+PD取最小值时,

请求出_POL>的面积.

【答案】(1)(0,1),y=T；

(3)—^5—1

【分析】(1)根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；

(2)利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得年=8%2+2%-1,然后根据%=：%2,求出%,进而

可得吃，问题得解；

(3)过点P作PEL直线加交于点E,过点P作尸G,准线/交于点G,结合题意和(1)中结论可知

PG=PF=4+1,PE=d2,根据两点之间线段最短可得当尸，P,E三点共线时，4+4的值最小；待定

系数法求直线PE的解析式，求得点P的坐标为(2君-4,9-4班)，根据点E是直线电和直线机的交点，

求得点E的坐标为即可求得4和4的值，即可求得；

(4)根据题意求得抛物线>=；尤2T的焦点坐标为W(0,0),准线/的方程为、=-2,过点尸作尸G,准线/

交于点G,结合题意和(1)中结论可知PG=PF,则PO+PD^PG+PD,根据两点之间线段最短可得当D,

P,G三点共线时，尸O+PD的值最小；求得尸[J，-]即可求得尸OD的面积.

【详解】(1)解：：抛物线y=中。J,

.•.抛物线y=的焦点坐标为(0,1),准线/的方程为y=-l

故答案为：(o,l),y=T；

(2)解：由(1)知抛物线y=的焦点厂的坐标为(0,1),

•.♦点尸(元0，%)(%>0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,

・,.代+（%—1）2=3%,整理得：*=8%2+2%-1,

又＜%=*XQ2,

**-4yo=8%2+2y0-1

11

解得：%二万或%=-［（舍去），

•,XQ—,\/2,

•••点尸的坐标为］应］;

（3）解：过点?作PE，直线机交于点E,过点尸作PGL准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG=PF=dl+\,PE=d2,如图：

若使得4+4取最小值，即Pb+PE—l的值最小，故当尸，P,E三点共线时，PF+PE-}=EF-1,即此

刻4+4的值最小；

,/直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y=-2x+b,

将尸（0,1）代入解得：b=l,

二直线PE的解析式为y=-2x+l,

•••点尸是直线PE和抛物线y=的交点，

令W%2=—2X+1,解得：七=2石—4,x2——2-\/5—4（舍去），

故点尸的坐标为（2--4,9-4石），

4=9-4若，

点E是直线PE和直线m的交点，

1Q

令—2x+1=—x—3,解得：x=—,

故点E的坐标为但，

dx+d2=|若-1.

即4+4的最小值为|石-L

(4)解：,抛物线y=!尤2_1中。=]_,

44

・11121

4a4a

.••抛物线y=；/-1的焦点坐标为尸(0,0),准线1的方程为y=-2,

过点尸作PG_L准线/交于点G,结合题意和(1)中结论可知PG=P尸，则PO+P£>=PG+P_D,如图:

若使得PO+尸。取最小值，即PG+PD的值最小，故当。，P,G三点共线时，PO+PD=PG+PD=DG,

即此刻PO+尸。的值最小；如图：

13

；•点P的横坐标为-1,代入y=；尤2-1解得y=-：,

44

即尸

(24)244

199

则尸8的面积为5?8=彳、：*1=3.

24o

【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一

次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.

2.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究〉=以2(°>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型

图象上任意一点M到定点F(0,1)的距离ME始终等于它到定直线/：y=-j上的距离MN(该结

4。4〃

论不需要证明），他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，y=-3叫做抛物线的准线方程.其

中原点。为77H的中点，FH=2OF=例如，抛物线其焦点坐标为E（0,准线方程为/：

7/7乙乙

（1）【基础训练】

请分别直接写出抛物线y=2N的焦点坐标和准线/的方程：,.

⑵【技能训练】

如图2所示，已知抛物线上一点「到准线/的距离为6,求点尸的坐标；

O

（3）【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y=ax2（a>0）的焦点B的直线依次交抛物线及准线/于点A、B、C.若BC=

2BF,AF=4,求a的值；

（4）【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为

两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段与另一段CB的比例中项,即满足：黑=装=好二1.后

ABAC2

人把逃二£这个数称为“黄金分割，，把点C称为线段AB的黄金分割点.

2

如图4所示，抛物线y=：x2的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点”（0,-1）,E为线段板的黄金分割

点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当粤=0时，请直接写出的面积值.

MF

【答案】⑴（0,1）,丁二一：，

OO

⑵40，4）或（-40,4）

⑶a=!

4

⑷痒］或3-若

【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可;

（2）先求出点P的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

（3）如图所示，过点B作轴于。，过点A作AEJ_y轴于E,证明△FDBs△尸”c,推出ED=J-,

6a

^OD=OF-DF=4-，点2的纵坐标为』一，从而求出2。=走，证明△AEFsag。凡即可求出点A

12a12a6a

的坐标为（-26，2+［）,再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；

（4）如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M作于N,则

先证明△初忸是等腰直角三角形，得到NH=MN,设点M的坐标为（冽，工/），则MN=工疗+i=_m=HN,

44

求出m=-2,然后根据黄金分割点的定义求出HE=若-1,则同理可求当点£

是靠近H的黄金分割点时AHME的面积.

【详解】（1）解：由题意得抛物线y=2N的焦点坐标和准线/的方程分别为（0,1）,>=-:，

OO

故答案为：（0,：）,y=,

oo

（2）解：由题意得抛物线无2的准线方程为y=一;=一2,

•••点尸到准线/的距离为6,

•••点尸的纵坐标为4,

.•.当y=4时，1X2=4,

解得x=±40，

.,.点尸的坐标为（4及，4）或（一4夜，4）；

（3）解：如图所示，过点B作BOLy轴于。，过点A作AELy轴于E,

由题意得点尸的坐标为尸（0,；）直线/的解析式为：y=-

4〃4〃

：.BD//AE//CH,FH=—,

2a

・••△FDBSAFHC,

,BD_FD_FB

**HC-FH-FC?

・：BC=2BF,

：.CF=3BF,

.BDFD_FB_1

**HC-FH-FC-3?

：.FD=—

6a

：.OD=OF-DF=—

12a

・••点B的纵坐标为——，

12a

—=ax2

12af

（负值舍去）,

AE//BD,

：.AAEF^ABDF,

AE=坦EF,

AE2+EF2=AF29

4EF2=AF2=16.

：.EF=2,

AE=2c,

・••点A的坐标为（-2百，2+--）,

4。

**•2H-—12〃,

4a

**•48Q2——1=0>

・・.(12Q+1)(4〃—1)=0,

（4）解：如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点〃作皿，/于N,则

MNMF

•・•在放△MNH中,sinZMHN=——=

MHMH2

・•・NMHN=45。,

・・・AMNH是等腰直角三角形,

:・NH=MN,

设点M的坐标为（m,!疗）,

4

192

MN=-m+l=-m=HN9

4

m=—2,

：.HN=2,

•..点E是靠近点F的黄金分割点，

/.“£=避」“尸=6-1,

2

同理当E时靠近H的黄金分割点点，EF=避二!■HF=41,

2

/.HE=2-A/5+1=3-75,

•••S^ME=gHE-NH=3-下，

综上所述，S5=2也-2或S,E=3-旧

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性

质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.

3.探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面.其原理是过某一特殊点的光线，经

抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点.若抛物线的表达式

为〉="2,则抛物线的焦点为（。，；）.如图，在平面直角坐标系xOv中，某款探照灯抛物线的表达式为

y=\x2,焦点为F.

4

（1）点尸的坐标是;

（2）过点厂的直线与抛物线交于A,B两点，已知沿射线吊方向射出的光线，反射后沿射线AM射出，AM所

在直线与无轴的交点坐标为（4,0）.

①画出沿射线阳方向射出的光线的反射光线3P；

②所在直线与x轴的交点坐标为.

【答案】（1）（0』）

（2）①见解析，②（—1,0）

【分析】（1）根据题意得出;=1,即可确定点F的坐标；

（2）①根据题意确定AM〃y轴，得出A（4,4）,经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，勿〃y轴，据

此作出平行线即可；

②设直线的解析式为了=依+。仕/0）,利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与y=[/联立求

解即可得出结果.

【详解】（1）解：根据题意得y=?/,a=l>

44

---=1,

4a

AF（0,l）,

故答案为：（0,1）；

（2）由题意可知抛物线y=的对称轴是y轴，

经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴,

AM〃y轴

：A”所在的直线与尤轴的交点坐标为(4,0),

点的横坐标为4,纵坐标为y=：x42=4,

4(4,4),

①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，

：.BP//y轴

画出沿射线EB方向射出的光线的反射光线3尸，如下图所示:

②设直线AB的解析式为,=依+。(左/0),把4(4,4)、/(0,1)代入,

「4女+6=4

得,I'

[0=1

[.3

k—_

解得：-4

b=l

3

・,・直线AB的解析式为＞=+1，

4

由题意可知，直线A8与抛物线交于A、8两点,

13

把y=代入y=：x+l

44

整理得/-3x-4=0,

解得：X]=-1,%=4,

:点8在y轴的左侧，

••.B点的横坐标为-1,

,:BP//y轴，

/-3尸所在直线与％轴的交点坐标为(-L0)，

故答案为：

【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合

问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键.

4.已知抛物线方程为丫=依2（。>0）,点尸是抛物线上任意一点.

（1）我们称尸［。，2］为抛物线产加（"0）的焦点，直线为抛物线的准线，连接线段所，作

PHLI于点、H.

求证：PF=PH；

（2）已知抛物线>=办2过点M（T,4）.

①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；

②将M（T,4）绕焦点/顺时针旋转90。，得到点N,求△机周长的最小值；

③直线/：丫=立+机与抛物线交于A、3两点，点。是坐标原点，OA±OB.

求证：直线A5过定点.

【答案】（1）见解析；（2）①y=，点"o,i）；②I1；③见解析

4

【分析】（1）PF2=nf+（am2）2=（am2+—）2,而PH=a"+工=PF,即可求解；

4a4a4a

（2）①将点"的坐标代入抛物线表达式得：4=«（-4）2,解得〃=!，进而求解；

②求出N（3,5）,当N、P、”三点共线时，此时APNF周长最小值=RV+PF+2VP=AW+RV,即可求解；

2

③联立y=6+帆与旷=并整理得：x-4kx-4m=0,则XWB=-4"；再证明tanZAOM=tanNOBN,即

4

筹=黑，得到4乙=-16=-4机，解得加=4,即可求解.

OMBN

【详解】解：（1）如图1,设点P（%a/）,

图1

贝I]PF2=m2+(am2—--)2=(am2+—)2,贝！|PH=anf+—,

4a4a4Q

而尸尸=am2+—=PH,

4a

(2)①将点M的坐标代入抛物线表达式得：4=«(-4)2,解得〃=!，

4

故抛物线的表达式为y=-x2,则点尸(0,1)；

4

②如图2,将图形MFN向下平移1个单位，此时点加(-4,3),对应点N(3,4),

再将该图形向上平移1个单位，则此时点N的坐标为(3,5),即为题干要求点N的位置，即点N(3,5),

V

图2

由(1)知，PF=PH,而KV为常数，故当N、1)、”三点共线时，PF+NP=NH为最小,

此时APNF周长最小值=可+尸尸+心="¥+印=(5+1)+'32~|-(5-1)=11;

③如图3,联立、=区+机与y=工/并整理得：x2—4kx-4m=C

，则xAxB=-4m,

4

过点A、3分别作无轴的垂线，垂足分别为“、N,

Mq^

图3

ZAOM+ZBON=90°,ZBON-^-ZOBN=90°,

.\ZAOM=ZOBN,

…八nnON

tanZAOM=tanZ.OBN,即---=,

OMBN

2

1%

则即殳二=产，

一4力一4lr2

4B

整理得：xAxB=-16=-4m,解得机=4,

故直线I的表达式为y=kx+4,

当x=0时，>=履+4=4,

故直线/过定点(。，4).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移和旋转、

新定义等，有一定的综合性，难度较大.

5.如图，在顶点为P的抛物线y=a(x-〃)2+左(awO)的对称轴1上取人供水+上)，过A作3d交抛

物线于B,C两点(B在C左侧)，点A和点A关于点P对称，过A作〃△/,又分别过B,C作BE1.机,CO，机，

垂足为E,D,在这里我们把点A叫抛物线的焦点，BC叫抛物线的直径，矩形BCDE叫抛物线的焦点矩形.

(1)直接写出抛物线y=^-x2的焦点坐标及其直径；

4

(2)求抛物线y=：(x-3)2+2的焦点坐标及其直径；

3

(3)已知抛物线y=a(x-/z)2+左色20)的直径为/,求a的值；

(4)①已知抛物线了=。1+法+。的焦点矩形的面积为2,求a的值；

②直接写出抛物线>=；(尤-3)2+2的焦点矩形与抛物线〉=/一2必+加2+1有两个公共点时m的取值范围.

2]

【答案】(1)(0,1),4；(2)(3,3),4；(3)±§；(4)①士不；②1一行〈〃仁1或54/<5+0

【分析】(1)根据题意可以求得抛物线y=的焦点坐标及其直径；

(2)根据题意可以求得抛物线y=：(》-3)2+2的焦点坐标及其直径；

(3)根据题意和抛物线>=。。-〃)2+左(力0)的直径为；，列方程即求a的值；

(4)①根据题意和抛物线>=加+法+0=4(*-〃)2+左(分0)的焦点矩形的面积为2,列方程即求。的值；

②根据⑵中的结果和图形可以求得抛物线>=[(龙-3)2+2的焦点矩形与抛物线y=f一2必+加+1有两个

4

公共点时m的取值范围.

【详解】(1)：抛物线y=中，卜=。,k=0,

44

1=1

此抛物线焦点的横坐标是。=0,,纵坐标是：石一户

4X——

4

；・抛物线y=的焦点坐标为(0,1),

将>=1代入y=工X?得：x1=2,x2=-2,

4

此抛物线的直径是：2-(-2)=4；

(2):抛物线y='(x-3)2+2中，a=~,h=3,k=2,

44

,1c1

k_|___—O_i________

此抛物线焦点的横坐标是/2=3,,纵坐标是：4a1

zi4X一

4

・•・抛物线y=：(x-3>+2的焦点坐标为(3,3),

将>=3代入y=：(x—3)2+2得：再=5,x2=1,

此抛物线的直径是：5-1=4；

(3)：抛物线y=a(x-份2+H0)的焦点为A(/>,%+；),

k+-——Q(x—%)+左，

7171

解得：寸〃+丽，9=〃-福，

,1n=1=2

・・・此抛物线的直径是:h-\—；~7—

2问2m\a\2，

2

解得：a—i—，

2

**•a的值是土—;

2

(4)设抛物线角军析式为：y=ax+区+o=〃(九一〃)2+左wo),

1

①由⑶得，BCf,

焦点为A(/I,k+--),顶点为P(/z,k),

4。

CD=A'A^2AP^2k+--k

4a2\a\

根据题章.S=BC,CD=---­：~~7=——=2

怅依0思.问2问2/'

解得：〃=±彳，

**•°的值是±7；

2

②当1-亚＜mWl或5Vzn＜5+虚时，有两个公共点，