多边形的面积几何模型篇之等积模型-2024-2025学年苏教版五年级数学上册典型例题（解析版）

2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列

第二单元多边形的面积•几何模型篇•等积模型【七大考点】

函【第一篇】专题解读篇

目专题名称第二单元多边形的面积几何模型篇•等积模型

邕专题内容本专题以等积模型为主，其中共包括七种常见问题。

回总体评价★★★★★

京讲解建议几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，

其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，

因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解

部分考点考题。

品考点数量七个考点。

匿匿【【第第二二篇篇】】目目录录导导航航篇篇

【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等积变形问题）.....3

30【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理........................6

30【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型................................9

30【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正方形的联排问题）-10

【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）

..................................................................................................................................................15

【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正方形的联排问题）

【考点七】等积模型问题七：构造平行线构建等积模型.........................21

Qj【第三篇】典型例题篇

30【考点一】等积模型问题一：绘制等积三角形（平行线之间的等

积变形问题）。

，【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

2.解题方法。

（1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

（2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化

计算。

【典型例题】

如图，直线7"〃77,AV3为直线"上的两点，CP为直线加上的两点，如果A、

B、C三点固定不动，点P在加上移动，那么无论P点移动到何处，则图中面积

相等的三角形有：（）。

【答案】APAB与AABC、APAC^APBC

【分析】平行线间的距离处处相等，三角形面积=底、高+2,4PAB与AABC

的面积相等，理由是：同底等高；APAC的面积与APBC的面积相等，根据是

同底等高，据此解答即可。

【详解】图中面积相等的三角形有：4PAB与AABC、APAC^APBCO

【点睛】本题考查三角形的面积、平行，解答本题的关键是掌握三角形的面积

计算公式。

【对应练习11

本学期课本的第92页有一道题如图所示（两条虚线互相平行），你认为三角形

ABE和三角形CDE面积是否相等？请你用学过的知识进行说明。

【答案】相等，说明见详解

【分析】等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，因为三角

形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形，根据三角形面积公式：面积=底

x高一2,确定三角形面积形ABD与三角形ACD的面积之间的关系，进而求出

三角形ABE与三角形CDE的关系（答案不唯一）。

【详解】根据分析可知，三角形ABD与三角形ACD是等底等高的三角形，

所以三角形ABD面积=三角形ACD面积。

三角形ABE的面积=三角形ABD的面积一三角形ADE的面积；

三角形CDE的面积=三角形ACD的面积一三角形ADE的面积；

三角形ABD的面积=三角形ACD的面积，

两个三角形都减去同一个三角形，所以三角形ABE的面积=三角形CDE的面

积。

【对应练习2]

下面两条平行线之间有两个三角形（①号和②号）。

（1）这两个三角形的面积相等吗？（）（选填“相等”或“不相等”。）

（2）请在下面表格中画一个与②号三角形面积相等的三角形。

【答案】（1）相等；（2）见详解

【分析】（1）三角形面积=底义高+2,这两个三角形的底均为2,高均为4,

那么这两个三角形等底等高、面积相等；

（2）可以画一个与②号三角形等底等高的三角形，使它们的面积相等。

【详解】（1）这两个三角形的面积相等吗？相等。

（2）如图：

（答案不唯一）

【对应练习31

（1）下图中，两条虚线互相平行，图中哪几对三角形的面积相等？（至少写两

对）

（2）请你在图中画一个和三角形ABC面积相等的三角形。

（3）在图中和三角形ABC面积相等的三角形能画多少个？你有什么发现？请

你把你的发现写出一条来。

【答案】（1）三角形ABC和三角形BCD；三角形ABD和三角形ACD；（答

案不唯一）

(2)图见详解；

(3)无数；见详解

【分析】(1)等底等高的三角形面积相等，而平行线之间的距离都相等，据此

在图中找出等底等高的两对三角形即可；

(2)在上面的那条虚线上任选一点F,分别把它和点B、点C连接起来，所形

成的三角形和三角形ABC等底等高，则面积相等。

(3)因为上面那虚线上有无数个点，任意找一个点，只要把它与点B、点C连

接起来，那么画出的三角形就会和三角形ABC的面积相等，所以通过画图发

现，只要在两条平行线之间，并且底相等的情况下，它们的面积就会相等。

【详解】(1)根据三角形的面积公式可知，只要满足等底等高，两个三角形的

面积就会相等。

答：三角形ABC和三角形BCD面积相等，三角形ABD和三角形ACD面积相

等。

(2)如图：

(3)答：在图中和三角形ABC面积相等的三角形能画无数个，我发现：两条

平行线间的底相等的三角形，它们的面积也相等。

【点睛】本题需要熟练掌握等底等高的三角形面积相等的特点，根据平行线的

特点，明确图中这些三角形等高是解题的关键。

【考点二】等积模型问题二：等积模型引申与差不变原理。

，【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

D

2.解题方法。

（1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

（2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化

计算。

【典型例题】

下图是由两个完全一样的直角三角形叠在一起而成的，则阴影部分的面积是

解析:

如图:

[(8-3)+8R5+2

=[5+8]x5-2

=13x5+2

=65+2

=32.5(平方厘米)

【对应练习11

如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中涂色部分的面积是

）平方厘米。

解析：

阴影部分面积：（12—4+12）x3+2

=（8+12）x3+2

=20*3+2

=60-2

=30（平方厘米）

【对应练习21

两个完全相同的直角三角形重叠在一起，如图所示，阴影部分的面积是

（）（单位：cm）

【答案】27cm2

【分析】红色部分是个梯形,

15

根据梯形面积=（上底+下底）义高+2,计算即可。

【详解】(15-3+15)x2-2

=27x1

=27（平方厘米）

【点睛】关键是看懂图示，掌握梯形面积公式。

【对应练习31

如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是

）平方厘米。

18

【答案】75

【分析】这两个直角三角形完全一样，它们的面积相同，所以阴影面积等于下

面梯形的面积，只要求出梯形的面积即可。

【详解】(18-6+18)X5-2

=30x5+2

=75(平方厘米)

【点睛】此题考查了梯形的面积公式的灵活应用，关键是把不能直接计算的图

形面积转化为容易计算的图形面积。

【考点三】等积模型问题三：梯形中的等积模型。

A【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

2.解题方法。

(1)等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

(2)当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化

计算。

【典型例题】

如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：AAOD与

△BOC面积相等。

解析：

由等积模型可知，三角形ADC与三角形BDC面积相等，它们都减去重叠部分,

剩下的部分面积仍相等。

【对应练习】

如右图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几

解析：根据同底等高三角形面积相等，梯形左右对角三角形面积相等可得。

答：共有3对，分别为：SAAOD=SABOC；SAABD=SAABC；SAADC

=SABCDo

30【考点四】等积模型问题四：连接平行线构建等积模型（两个正

方形的联排问题）。

■【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

D

2.解题方法。

（1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

（2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化

计算。

【典型例题】

已知图中大正方形和小正方形的边长分别是4厘米和6厘米，阴影部分的面积

是多少平方厘米？

【答案】18平方厘米

【分析】如下图所示，连接FD,三角形AFD的面积是（6x4+2）平方厘米，

三角形FDC的面积是（6x4+2）平方厘米，则三角形AFD的面积等于三角形

FDC的面积。假设AD与FC相交于点0,则三角形AF0的面积等于三角形

0DC的面积。阴影部分三角形的面积就等于大正方形内三角形ADC的面积。

根据三角形的面积=底、高+2,求出阴影部分三角形的面积。

=36+2

=18（平方厘米）

答：阴影部分的面积是18平方厘米。

【对应练习11

两个正方形如图放置，其中D、C、G在同一条直线上，小正方形ECGF的边

长为6,连AE、EG、AG,求图中阴影部分的面积。

【答案】18

【详解】连接AC,

贝USAAEC=SAACG)

SAAEC-SAAHC=SAACG-S^AHC,

即SAAEH=SAHCG,

所以阴影部分的面积=；x6x6,

=3x6,

=18；

答：图中阴影部分的面积是18。

【对应练习2]

如图所示，正方形ABCD边长为10,正方BEFG形边长为6,正方形JIHC面

温馨小提示：连接IC构建平行线IC与DF,5A_=5ADFrO

【答案】20

【分析】连接CI,CF,如下图所示：如果注意到DF为正方形ABCD的对角线

（或者说一个等腰直角三角形的斜边）的一部分，那么容易想到DF与CI是平

行的。所以可以连接CI,CFo由于DF与CI互相平行，两条平行线之间的距

离相等，也就是三角形DFI与三角形DFC的高相等，所以三角形DFI的面积

等于三角形DFC的面积。三角形DFC中，底边DC长10,高长(10—6),根

据三角形的面积=底义高+2,求得三角形DFC的面积，即三角形DFI的面积。

【详解】10x(10-6)+2

=10x4+2

=20

答：阴影部分的面积是20。

【点睛】连接CI、CF,找到平行线间的两个面积相等的三角形是解决此题的关

键。

【对应练习3】

如图，是长方形ADEF和直角梯形ABCD组成的组合图形，已知长方形AFED

的面积是90平方厘米，求阴影部分面积。

【答案】45平方厘米

【分析】利用等积变换思想，将所求阴影部分面积转化成一个规则的易求的几

何图形的面积。首先，4GCD的面积等于AGDB的面积，而ABDE的面积等于

ADEF的面积。

【详解】如图，连接BD,FDo

F

A

B

因为ADIIBC

所以SAGCD=SAGDB

因为FE||AD,

所以SABDE=SADEF=gx90=45（平方厘米）

答：阴影部分面积是45平方厘米。

【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，难度不大，但却是一道经典

好题。巧妙地将所求阴影部分的面积转化成4EFD的面积是解决本题的关键。

【对应练习41

如图，大正方形的边长是5厘米，阴影部分的面积是（）平方厘米。

【答案】12.5

【详解】试题分析：如图所示，因为三角形DHG和三角形DHF等底等高，则

二者的面积相等，于是可知：阴影部分的面积就等于三角形AGD的面积，利

于三角形的面积公式即可求解.

解：5x5-2=12.5（平方厘米），

答：阴影部分的面积是12.5平方厘米.

故答案为12.5.

点评：由题意得出：阴影部分的面积就等于三角形AGD的面积，是解答本题

的关键.

【对应练习51

如图，已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是8厘米和6厘米，那

么阴影部分的面积是()平方厘米。

【答案】18

【详解】试题分析：根据题意，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去三

角形ABE的面积减去三角形EFH的面积再减去三角形ADG的面积，可根据正

方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可得到答案.

解：(8X8+6X6)-(8+6)*8+2-6x6-2-(8-6)x8+2,

=(64+36)-14x8-2-18-2x8+2,

=100-56-18-8,

=44-18-8,

=26-8,

=18(平方厘米)；

答：阴影部分的面积为18平方厘米.

故答案为18.

点评：此题主要考查的是三角形的面积公式和长方形的面积公式的应用.

【考点五】等积模型问题五：多次连接平行线构建等积模型(多

个正方形的联排问题)。

A【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

D

2.解题方法。

(1)等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

(2)当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转化

计算。

如图所示，分两次连接对角线，构建不同的等积模型，最终得到红色阴影部分

与所求阴影部分面积相等。

2x2=4(cm)

S=4x4+2=8(cm2)

【对应练习11

如图，大小三个正方形的边长分别是6cm、4cmv2cm,求S阴影部分。

解析:

如图所示，连接对角线，构建等积模型。

S=6x(6-4)+2=6(cm2)

【对应练习21

如图，大小两个正方形的边长分别是6cm、4cm,求S阴影部分。

解析：

如图所示，连接对角线，构建等积模型。

【对应练习31

如图，大小三个正方形如下排列，其边长分别是3cm、4cm\2cm,求S阴影部分。

【考点六】等积模型问题六：分组平行线构建等积模型（多个正

方形的联排问题）。

A【方法点拨】

1.等积模型。

如图，三角形ABC和三角形BCD夹在一组平行线之间，两条平行线之间的距

离处处相等，且有公共底边BC,那么三角形ABC和三角形BCD面积相等，即

等底等高的三角形的面积相等。

2.解题方法。

（1）等积模型一般用来解决平行线之间三角形的面积问题，首先先找到平行线,

再运用等积模型将图形的面积进行转化，最后运用三角形的面积公式解答。

（2）当然，部分复杂的图形可能需要我们添加辅助线构造平行线，再进行转