第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第16讲：第三章一元函数的导数及其应用章节总结

目录

第一部分：典型例题讲解...................................1

题型一：求切线问题....................................1

题型二：公切线问题....................................2

题型三：已知切线条数求参数............................3

题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）..............3

题型五：借助单调性构造函数解不等式....................4

题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）............5

题型七：利用导数研究函数的极值........................7

题型八：利用导数研究函数的最值........................8

题型九：利用导数解决恒成立问题.......................10

题型十：利用导数解决有解问题.........................11

题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题........12

第二部分：新定义题......................................15

第一部分：典型例题讲解

题型一：求切线问题

1.（2024・陕西西安・二模）己知直线＞=履+》与曲线/（x）=/+2+lnx相切于点尸（1,4）,则

a+b+k=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高二下•陕西西安•阶段练习）曲线〃x）=e'+ln（2x+l）在点（0,〃0））处的切线的

方程为.

3.（2024高二•全国•专题练习）已知直线/为曲线/。）=（丁+；过点尸（2,4）的切线.则直

线/的方程为

4.（23-24高二下•四川南充•阶段练习）已知函数"r）=L

X

（1）曲线y=/（x）在点尸处的切线与直线y=4x-u互相垂直，求点p的坐标.

⑵过点Q（T,3）作曲线＞=/（元）的切线，求此切线的方程.

5.（23-24高二下•江西南昌•阶段练习）已知函数〃同=*3+环点A（0,0）在曲线y=/（x）

上.

⑴求曲线y=/（可在点（1,1）处的切线方程；

⑵求曲线y=〃尤）过点（1,0）的切线方程.

题型二：公切线问题

1.（23-24高二下,湖北武汉•阶段练习）若直线/既和曲线G相切，又和曲线C?相切，则称

/为曲线G和C?的公切线.曲线G：y=/和曲线C?：y=4e-的公切线方程为（）

A.4x-y-4=0B.x-2y-4=0

C.%-y+l=0D.2x—y—2=0

2.（多选”23-24高二上•山西运城,期末）若直线y=r+7〃是曲线、=2/+3了+4与y=-e"+"

曲线的公切线，则（）

A.m=-lB.m=2

C.n=3D.n=—3

3.（23-24高二下•重庆•开学考试）已知函数/⑴=ln%,g（x）=xa（x>0,〃。0）,若存

在直线/,使得/是曲线y=与曲线y=g。）的公切线,则实数。的取值范围是.

4.（23-24高二上•重庆・期末）若函数/（x）=rlnx与函数g（x）=f的图象存在公切线，则

实数f的取值范围为.

5.（2024高二下■全国,专题练习）已知曲线G：y，曲线C?:y=g（x）=1—,

X

求证：G与c,相切，并求其公切线的方程.

题型三：已知切线条数求参数

1.（23-24高二下•浙江•阶段练习）若过点（。力）可以作曲线y=ln尤的两条切线，则（）

A.e4>0>aB.Ino>0>Z?C.eb>a>0D.ina>b>0

2.（23-24高二上,广东深圳•期末）过点（1,a）可以做三条直线与曲线>=北相切，则实数。

的取值范围是（）

A.CC.T，TD.卜川

3.（23-24高二下•辽宁•期末）已知过点入（0力）作的曲线>=平的切线有且仅有两条，则6

的取值范围为（）

/\

A.（°，—[B.C.（0,e）D.0,—

4.（2023•陕西宝鸡•二模）若过点（0,2）可作曲线y=V+3/+办+。一2的三条切线，则。的

取值范围是（）

A.（-3,-1）B.（-2,2）C.（4,5）D.（4,6）

题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）

1.（23-24高二下•河北张家口•阶段练习）若函数〃x）=尤-在（1,3）上单调递减，则

X

实数a的取值范围是（）

A.[「20,司10]B.门[丁0+叼）C.5[2,+oo）\D.[「1石0，+刃）

2.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知函数〃元）=ae'-gx2在区间（1,2）上单调递增，则a

的最小值为（）

A.eB.1C.e-2D.J

3.（23-24高二上•福建福州•期末）已知函数〃x）=ae「Inx在区间（1,3）上单调递减，则实

数。的最大值为（）

1111

A.B.—C.—rD.—r

e3e3e3e3

4.（23-24高三上•福建泉州•阶段练习）若函数〃（%）=1皿-；办2-2%在［1,4］上存在单调递

增区间，则实数。的取值范围为（）

A.B.（-1,+co）C.（D.f

5.（2023高三・全国•专题练习）若函数“力=加-3/+彳+1恰有三个单调区间，则实数。

的取值范围为（）

A.［3,+co）B.（-<x>,3）C.（-oo,0）u（0,3）D.（-8,0）

6.（22-23高二下•湖北•阶段练习）若函数/（元）=2X2-1M在其定义域的一个子区间

（2左-1,2%+1）内不是单调函数，则实数人的取值范围是（）

-13>「3）「1Q（13、

L24；L4）L2）（24；

7.（21-22高三上•河南•阶段练习）已知函数〃x）=d+（x-1），在区间［1,3］上不是单调函

数，则实数。的取值范围是（）

题型五：借助单调性构造函数解不等式

1.（23-24高二下•河北保定•阶段练习）若函数/（X）的定义域为R,且/'（力>1,则不等式

“力―〃2）>x—2的解集为

A.(1,+℃)B.(fl)C.(2,+co)D.(-oo,2)

2.(23-24高二下•河南•阶段练习)设。=6,8=3eln2,c=2eln3,则()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

3.（23-24高二下•河北张家口•阶段练习）若。=华,6=上。=华，则以下不等式正确的是

2e3

(

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

4.(23-24高二下•重庆•阶段练习)已知函数的定义域为(-8,0),=其导

函数((x)满足矿⑺―2/(力>0,则不等式/(元+2025)+(x+2025y<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(-oo,-2025)

5.(2024•陕西•模拟预测)设a=0.9,b=sinIc=e«,9,则()

4

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

6.(23-24高三上•浙江杭州•期末)已知定义在R上的函数〃x)满足sin4*(x)+cosxfr(x)>0,

贝IJ()

题型六：利用导数研究函数单调性(含参讨论)

1.(2024高二・上海•专题练习)已知函数/(x)=lnx+ox+l.

⑴当。=—1时,求的最大值.

(2)讨论函数“X)的单调性.

2.(23-24高二下•四川南充•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+加+(2a+l)x.

⑴当a=-l时，求/(%)的单调区间；

(2)若〃尤)在［3,5］上是增函数，求。的取值范围；

⑶讨论/(x)的单调性.

3.(23-24高二下•四川广元■阶段练习)己知函数/(x)=-gox2+a+。)尤-1n尤(”eR).

(1)当。=0时，求函数一⑺的最小值；

(2)当。=1时,XG[1,3],证明不等式〃%)>-41nx；

⑶当aeR时，求函数的单调区间.

4.(23-24高二下•河北石家庄•阶段练习)已知函数〃尤)=(l-a)lnx+依+J,aeR.

(1)当a=2时，求函数y=/(x)在1,e上的值域(皿2.718)；

(2)讨论函数y(无)的单调性.

5.(2024高三・全国•专题练习)已知〃%)=(无2+如+2,*(;〃€11),讨论/'(x)的单调性.

题型七：利用导数研究函数的极值

1.(2024,辽宁•一模)已知函数/(x)=21nx-2(a-l)x-ox2(a>0).

(1)当。=1时，求曲线y=/(尤)在点(2,，(无))处的切线/的方程；

⑵讨论Ax)的极值.

2.(23-24高二下•湖北武汉•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+l-2a-x+@有两个不同的极

X

值点占,工2,且X]>0,工2>。.

(1)求。的取值范围；

⑵求/(x)的极大值与极小值之和的取值范围.

3.(2024•山东济南•一模)已知函数〃x)=e2*+e*-口.

(1)当。=3时，求〃尤)的单调区间；

(2)讨论极值点的个数.

4.(2024,广东深圳,模拟预测)已知函数/(幻=2厂”+」,其中qeR.

ex

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在(。,〃0))处的切线方程；

⑵求证：“X)的极大值恒为正数.

5.(23-24高二下•上海•阶段练习)设函数/'(x)=xlnx—or2+(2a—l)x,aeR.

⑴若。=0,求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)令g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；

⑶已知/(x)在x=1处取得极大值，求实数。的取值范围.

题型八：利用导数研究函数的最值

1.(23-24高二下•河北保定•阶段练习)已知函数+b在x=5处取得极

小值，且极小值为-33.

⑴求〃涉的值；

⑵求〃尤)在［-2,0］上的值域

2.(2024・海南•模拟预测)已知函数〃x)=x2-alnx+l,aeR.

⑴当4=1时，求曲线y=/(x)在点(L〃1))处的切线方程；

(2)当。＞0时，若函数/(X)有最小值2,求。的值.

3.(23-24高二下•河南•阶段练习)已知函数/(尤)=/+不一f一依.

(1)若x=-2是〃x)的极值点，求实数。的值；

(2)若。＞0,求/(%)在区间［0,2］上的最大值.

4.(23-24高二下•江苏无锡•阶段练习)已知函数/(x)=ln尤+四,qeR,

X

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数八尤)在［l,e］上的最小值为3,求实数a的值.

5.(23-24高二下•北京•阶段练习)设函数“力二"-力炉，aeR.

⑴当a=l时，试求〃x)的单调增区间；

(2)试求〃x)在［，2］上的最大值.

题型九：利用导数解决恒成立问题

1.(23-24高二下•北京丰台•阶段练习)已知函数/(彳卜％3—6加+9/x+l(aeR).

(1)当4=1时，求函数“X)的零点个数；

(2)当ail时，若对任意无目0,3］都有〃龙)428,求实数。的取值范围.

2.(23-24高二下•河北张家口•阶段练习)已知函数/(x)=xe*,g(x)=x+lnx+M.

⑴求函数〃x)的极值；

(2)若g(x)W"x)恒成立，求实数机的取值范围.

3.(2024•贵州黔东南•二模)已知函数/(x)=G?—lnx-ln(3a).

(1)当时，求的单调区间；

⑵若/(力＞0恒成立，求。的取值范围.

4.（2024•北京•模拟预测）已知函数/（无）=。1+：-2yV-hu]

⑴求〃x）的图象在点（1,〃1））处的切线方程；

⑵讨论的单调区间；

⑶若对任意都有〃力。112-1,求。的最大值.（参考数据：ln2yQ7）

题型十：利用导数解决有解问题

1.（23-24高三上•青海西宁・期末）已知函数〃x）=e，r-l.

（1）证明:/㈤20.

（2）若关于x的不等式6+21nx+12尤2/有解，求。的取值范围.

2.（23-24高三上•福建莆田•期中）已知函数=

⑴当时，求函数仆）的最小值；

⑵若g（x）=W-/+3x-a,且对％e（0,外，都3x,e[0,2],使得/&）"&）成立，求实

eI2_

数〃的取值范围.

3.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)="^+alnx,其中参数a<0.

x

(1)求函数f(x)的单调区间；

⑵设函数g(x)=2//(X)-对'(x)-3a(a<0),存在实数3e[l,e],使得不等式

2g(占)<g(%2)成立，求。的取值范围.

4.(2023高三•全国•专题练习)已知函数/'(x)=Mnx,(x>0).

⑴求函数/(X)的极值；

⑵若存在尤e(0,+8),使得+23成立,求实数机的最小值.

题型十一：利用导数解决函数零点(方程根)问题

1.(2024•全国•模拟预测)已知函数g(x)=fe*—xe'—e)若方程g(x)=%有三个不同的实

根，则实数上的取值范围是.

2.(23-24高二下•山东枣庄•阶段练习)己知函数/(耳=。+笈-丁，在尤=2处取得极值为20.

⑴求:口、值;

⑵若/(x)=f有三个零点，求r的取值范围.

3.(23-24高二下•贵州黔西.开学考试)已知/(x)=一法+4,/(x)在x=2处取得极小值-1.

⑴求〃尤)的解析式；

(2)求“X)在尤=3处的切线方程；

⑶若方程/(x)+左=0有且只有一个实数根，求上的取值范围.

4.(2024•江苏南通,二模)设函数/3=5皿5：+9)(0＞0,0＜。＜兀).已知的图象的两

IT7TI

条相邻对称轴间的距离为1,且/(一a=-耳.

⑴若/(X)在区间(0,加)上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；

(2)设/为曲线y=/(x)在彳=-2处的切线，证明：/与曲线＞=/(x)有唯一的公共点.

5.(2024,陕西西安•二模)设函数/。)=：加+(1-x)e\

(1)当。＜1时，讨论了3的单调性；

⑵若xe[-2,2]时，函数〃尤)的图像与尸^的图像仅只有一个公共点，求。的取值范围.

6.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数〃x)=(x-1户-依2,aeR.

(1)当时,求〃x)的单调区间；

(2)若方程/(%)+。=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

题型十二：利用导数解决双变量问题

1.(23-24高三上•广东广州•阶段练习)设函数f(x)=xlnx-x-；依2的两个极值点分别为4,

%(%<x2).

(1)求实数。的取值范围；

⑵若不等式J〈区恒成立，求正数力的取值范围(其中e=2.71828为自然对数的底数).

尤！e

2.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/。)=生1+。山》，其中参数a<0.

x

(1)求函数“X)的单调区间；

⑵设函数g(x)=2x2/(x)-¥(x)-3a(a<o),存在实数占,马€口1],使得不等式

2g(占)<g(%)成立，求a的取值范围.

3.(23-24高二下•广东揭阳•阶段练习)设函数/(x)=lnx+x2-ax(aeR).

⑴当。=3时，求函数的单调区间；

⑵若函数〃x)有两个极值点为，三，且々«0』，求/(花)-〃/)的最小直

4.(23-24高三上•福建龙岩•阶段练习)设函数/(x)=lnx+3(aeR).

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)若了⑺有两个零点4三，

①求。的取值范围；

②证明：2a<%；+x2<1.

第二部分：新定义题

1.(23-24高三上•上海•阶段练习)已知函数"x)=e'-x,g(x)=eA+x,其中e为自然对

数的底数，设函数尸(xb4c^-ga),

⑴若。=e,求函数y=F(x)的单调区间，并写出函数y=b(x)r”有三个零点时实数加的

取值范围；

(2)当0<“<1时，09分别为函数y="x)的极大值点和极小值点，且不等式

“石)+方(9)>0对任意a«0,1)恒成立，求实数r的取值范围.

⑶对于函数y=/(x),若实数与满足//)=。，其中尸、。为非零实数，则无称

为函数/(X)的"尸-O-笃志点

ex,x>0

①已知函数〃尤)=1,且函数“X)有且只有3个“1-1-笃志点”，求实数a的取

----,x<0

、X+Q

值范围；

②定义在R上的函数“X)满足:存在唯一实数山，对任意的实数无，使得〃m+X)=/(〃LX)

恒成立或〃7〃+X)=-恒成立.对于有序实数对(£0,讨论函数“X)"尸—。―笃志

点"个数的奇偶性，并说明理由

2.(2023,上海嘉定,一模)对于函数y=