《二次函数与幂函数》教案

二次函数与幂函数适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点二次函数的图像与性质；二次函数在闭区间上的最值；二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；幂函数的概念；幂函数的图象和性质；指、对、幂、二次函数的综合问题教学目标1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝x的图象，了解它们的变化情况．3.掌握二次函数的概念、图象特征．4.掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力.教学重点二次函数的图像与性质；幂函数的概念、图像与性质．教学难点函数性质、二次函数、方程、二次方程、不等式的综合应用

教学过程一、课堂导入以提问的形式复习一元二次方程的一般形式，一次函数，反比例函数的定义，然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案，创设情境：（1）你们喜欢打篮球吗？（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？从而引出课题〈〈二次函数〉〉，导入新课

二、复习预习复习一次函数的相关概念预习二次函数的概念预习二次函数的相关性质预习二次函数的图像

三、知识讲解考点1二次函数的解析式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

考点2二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域X∈R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递减，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－eq\f(b,2a)；②顶点：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))

考点3幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

考点4五种幂函数的图象

考点5五种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减x∈(－∞，0)时，减

四、例题精析【例题1】【题干】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．

【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)·(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.

【例题2】【题干】已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．

【解析】(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝5，,f2＝2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝5，,4a－4a＋2＋b＝2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝2，,f2＝5，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9a－6a＋2＋b＝2，,4a－4a＋2＋b＝5，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上单调，∴eq\f(2＋m,2)≤2或eq\f(m＋2,2)≥4.∴m≤2或m≥6.

【例题3】【题干】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2

【答案】D【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．

【例题4】【题干】当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．

【解析】如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．

五、课堂运用【基础】1．已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A．奇函数 B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数

解析：选A设f(x)＝xα，由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．

2．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是()A．f(－2)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(0)<f(2)<f(－2)D．f(2)<f(0)<f(－2)

解析：选C∵f(1＋x)＝f(－x)，∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c.∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c.∴2＋b＝－b，即b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋c，其图象的对称轴为x＝eq\f(1,2).∴f(0)<f(2)<f(－2)．

3．已知函数f(x)＝x2＋x＋c，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有()A．f(p＋1)＞0 B．f(p＋1)＜0C．f(p＋1)＝0 D．f(p＋1)的符号不能确定

解析：选A函数f(x)＝x2＋x＋c的对称轴为x＝－eq\f(1,2)，又因为f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p＜0，p＋1＞0，所以f(p＋1)＞0.

【巩固】4．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．

解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＜0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋eq\f(a2,4)－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋6＝－a，,mm＋6＝\f(a2,4)－c，))解得c＝9.答案：9

5．已知函数y＝eq\r(mx2＋m－3x＋1)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．

解析：当m＝0时，y＝eq\r(－3x＋1)，显然成立．当m≠0时，要使y∈[0，＋∞)，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m－32－4×m×1≥0，))解得0＜m≤1或m≥9.综上m的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)

【拔高】6．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．

解：∵f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－4a，∴抛物线顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－4a)).①当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1<2(舍去)；②当0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2时，x＝eq\f(a,2)时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4)∈(0,2)；③当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5，或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．综上所述，a＝eq\f(5,4)或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－eq\f(105,16)或f(x)＝－4x2－20x－5.

7．已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．

解：如图所示，函数图象的对称轴为x＝－eq\f(3,2)，(1)当t＋1≤－eq\f(3,2)，即t≤－eq\f(5,2)时，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤－\f(5,2))).(2)当t≤－eq\f(3,2)<t＋1，即－eq\f(5,2)＜t≤－eq\f(3,2)时，h(t)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－eq\f(29,4).(3)当t>－eq\f(3,2)时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.综上可得，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋5t－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤－\f(5,2)))，,－\f(29,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)<t≤－\f(3,2)))，,t2＋3t－5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t>－\f(3,2))).))

课程小结1.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇