奔驰定理与四心问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1奔驰定理】...........................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................6

【题型3垂心问题】...........................................................................9

【题型4内心问题】...........................................................................12

【题型5外心问题】..........................................................................15

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容,

在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为△48C内一点，且满足九刀十22族+段记=6,则有△/总、△4PC、△3PC的面

积之比为灰4法.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

___>--->--->->

②重心的向量表示：如图，在△NBC中，点尸为△N8C重心-PN+P2+PC=0.

③重心坐标公式：设N(xi,y),3(X2,/),C(X3,g),则△48C的重心坐标为不|+；+%M+?+力).

A

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△4BC中，点尸为△/8C垂心-•丽=森•》=方5•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

AB

②内心的向量表示：如图，在中，三角形的内心在向量+①所在的直线上，点尸为^

R

48c内心0|与卜PC+|^C|-FC+|G1|-PS=6.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△48C中，点尸为△/2C外心0|万=|诟|=|京|.

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

-->-->-->->

(1)0是△45C的重心：S^BOC；S△COA：SAAOB=1：1：10OA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^BOC：S^COA-S^AOB=tanA:tan5:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

—>—>—>->

(3)0是△45C的内心：SABOC：SACOA：S2AOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC—0.

(4)0是△45C的外心：

S/^BOC-S^COA-S/^AOB—sin2A:sin25:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】（2024高三・全国・专题练习）已知点/,B,C,尸在同一平面内，PQ^^PA,QR^^QB,RP^^RC,

则S/\4BC：S/\PBC等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【解题思路】先根据向量的线性运算得到4方+6而+9丽=6,然后再利用奔驰定理即可求解.

【解答过程】由砺若砺可得：而—所=家而—所），

整理可得：而=［而+：所=［而+：而，

由前=1近可得而=（（近-而），整理可得：PR=-|PC>

所以一］玩=］而+：瓦?，整理得：4PA+6PB+9PC=0,

由奔驰定理可得：SAABC&PBC=（4+6+9）:4=19:4,

故选：B.

【变式1-11（23-24高一下•广西南宁•期末）已知。为△ABC内一点，且满足3瓦？+40B+50C=2AB+35C+

~CA,则也3=（）

SAABC

3

C.-D.

45

【解题思路】由题意可得4市+5加+3加=6,方法一：延长而至H点，令丽=3瓦？+,加=:前，从

而可得4”,B三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可.

【解答过程】因为3市+40B+50C=2AB+3BC+CA,

所以3市+40B+50C=2（砺-01）+3（0C-OF）+（OA-OCy

即40A+SOB+30C=0.

方法1：•••4OA+5OB=3CO,ol+=1CO,

延长而至H点，令m=(就+：砺=高加即4”,B三点共线，

则也g.-™-1

、S^ABcHC4

方法2：由奔驰定理，SBOC:SAOC:SAOB=4:5:3,故受丝=鼻=5

JA4BC4+5+34

故选B.

【变式1-2](23-24高一下•湖北•期中)奔驰定理：己知。是△力BC内的一点，△BOC,AAOC,aAOB的

面积分别为〃，SB，SC,则S^DI+SB+Sc•配=。.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形ABC内一

点，且满足：0A+20B+30C=3AB+2BC+CA,则登”=()

S^ABC

D

526-1

【解题思路】直接根据向量的基本运算得到+或+2觉=6,再结合“奔驰定理”即可求解结论.

【解答过程】解：,・・。为三角形力BC内一点，且满足D1+2而+3配=3荏+2就+而，

•-0A+20B+30C=3(OF-0A)+2(0C-OB)+(OA-双)030A+0B+20C=0,

S4,OA+Sg■OB+S(j•OC=0.

.SAAOB_SA4OB_Sc1

f

S/M8CS^AOB+S^BOC+S^AOCS^+SR+S。3

故选：D.

【变式1-3](23-24高三上•河南南阳•期中)奔驰定理：已知。是4ABe内的一点，ABOC,AAOC,AAOB

的面积分别为SB，SC，则〃•瓦？+SB•加+S°•配=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”

若。是锐角/力BC内的一点，A,B,C是A4BC的三个内角，且点。满足•而=历•觉=沆・工5,则必有

()

A.sin4-0A+sinB-OB+sinC-OC=0

B.cosA-OA+cosB-OF+cosC-OC=0

C.tan4-04+tanB-~0B+tanC-OC=0

D.sin2A-OA+sin2S-OB+sin2C-OC=0

【解题思路】利用已知条件得到。为垂心，再根据四边形内角为2兀及对顶角相等，得到乙4。8=兀-C,再

根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到|市|：|砺|：|反|=cosA-.cosB-.cosC,进而求出勾:SB：S。的值,

最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【解答过程】如图，因为瓦？・丽=而•瓦=沆・市，

所以荏•(瓦5-反)=0n赤•％?=0,同理瓦？•近=0,OC-AB=0,

所以。为2L4BC的垂心。

因为四边形DOEC的对角互补，所以4力。8=兀一。，

同理，.•.加•瓦=一|历||而|cos4,

■■.OC-OA=-\OC\\OA\cosB,

\OA\\OB\cosC=\OB\\OC\cosA=|0C||07|cosB.

.西|函cosC_|函园cos4_|闲画cosB

,・\OA\\OB\\OC\_\OA\\OB\\OC\~\OA\\OB\\OC\"

\0A\-.\0B\:\0C\=cosA:cosB:cost,.

又SA=||OB||OC|sin（7r一力）=g|OB||OC|sinX

11

SB=2|函函sin（7i-B）=-\OA\\OC\sinB

11

Sc=2I砺IIa|sin（"-C）=-\OB\\OA\sinC

cccsin/sinBsinCsinZsinBsinC,.,„,「

S4：=——>:——》:——>—---:---:----13ri2i:tanB:tanC.

“L\0A\\0B\\0C\cos>4cosBcosC

由奔驰定理得tan4•OA+tanB•OB+tanCOC=0.

故选C.

【题型2重心问题】

【例2】（2024•贵州六盘水•三模）已知点。为△ABC的重心，AC=MA+nOB,则％+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【解题思路】作出图形，将瓦I砺作为基底，先把前用6I砺，品表示，再将品也用6I砺表示，将等式

整理得到推导出前=-2市-云，结合平面向量基本定理算出兀〃的值，进而算出答案.

【解答过程】根据向量加法三角形运算法知前=方+阮=而+砺+阮（*）；

产为BC中点，则就=2丽=2（丽+赤）（**）；

点。为△A8C的重心，则而=g而，

代入（**）得至lj,BC=2（BO+^AO）=2BO+AO,

代入（*）得至I,AC=A0+0B+2B0+A0=-20A-OB,

结合4C-AOA+fiOB,可得4=—2,〃=—1,所以4+林=-3.

故选：A.

【变式2-1]（2024・陕西西安・一模）已知点P是△4BC的重心，贝I」（）

—>1—>1—>—>1—>1—>

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP^-AC+-BCD.AP=：-AB+-BC

3333

【解题思路】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】设BC的中点为。，连接力D,点P是△ABC的重心，则P在4。上，

S.AP=jAD=^x^AB+AC）=^2AB+BC）=^AB+^BC

=|函+函+=|xc-|BC,

由此可知A,B,C错误，D正确，

故选：D.

【变式2-2］（23-24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为△4BC的重心，D,E分别是力B,4C边上一点，。,G,E

三点共线，F为BC的中点，若而=4而+〃荏，贝4+押最小值为（）

927

A.6B.7C.-D.—

22

【解题思路】根据重心性质可得而=|前，再由三点共线得出F+g=l（4〉0,“>（））,根据“1”的变形技

巧利用均值不等式求最值.

【解答过程】由点G为△4BC的重心，F为BC的中点知，

A----F-->=7Q---G---->=A-A----D-->+fi--A---E--,>

所以15=年而+g幅

因为2Gl三点共线，DE分别是边上一点,

所以三~+=1(a>o,〃>0),即a+〃=5(a>o,〃>0),

包A

等5+2=6,

a%

当且仅当手=:,即"1,〃=泄等号成立,

故选：A.

【变式2-3］（2024高一下•上海・专题练习）设点。是△ZBC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若瓦1+而+击=6,则。为△ABC的重心；

B.若01+砺）•屈=（赤+反）•近=0,则。为△力BC的垂心；

c・若端+焉）•阮=。，品,善/则△由为等边三角形；

D.若市+2时+3瓦=6,则△3OC与△/BC的面积之比为SABOC：SA4BC=1：6.

【解题思路】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判

断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△/BC的面积之比判断选项

D.

【解答过程】对于A,如图，取边中点D,连接4B边上的中线CD,则瓦？+旃=2砺，

又+砺+沆=6,A2OD+OC^0,：.\0C\=2\OD\,

二。为△ABC的重心，故选项A正确；

对于B,如图，取AB边中点。，BC边中点E,连接。。，OE,

则瓦?+4=2而，OB+OC=20E,

'：(OA+OB)-AB=(OB+0C)BC=0,

20D-AB=2OEBC^0,

：.~ODAB=OE-BC=0,：.OD1AB,OEIBC,

：.ODi.AB,OE1BC,

：.OD,OE分别是BC边上的垂直平分线，

AOA=OB=OC,。为△力BC的外心，故选项B错误；

对于C,作角力的内角平分线力E与BC边交于点E,

...黑为荏方向的单位向量，告为前方向的单位向量,

+［竺］=2.AE（A>0），

\AB\胸|

；.（焉+裔）•阮=4族•阮=0（2>0）,

：.AE1~BC,：.AE1BC,：.ACAB,△ABC为等腰三角形,

又:就点=点赢=cosB=3,且BG（0,TT）,，"三，

二△ABC为等边三角形，故选项C正确；

对于D,设。B'=2砺，OC=3OC,

-->-->

由市+2市+3反=瓦得a+OB'+OC'=6,

则由选项A可知，。为△48'。'的重心，设△AB'C的面积S.BV=山

.1

''S^AOC'=SAA0B，=S^BOC，=3a，

又，：0B.OB',OC=|ocz,

.111111

：SS，=a，SB0C=S，=a，

-^AOC=^^AOC，=­a,SAA0B=2AAOB6^6^B0Cw

:*S^ABC=S^AOC+S^AOB+S^BOC=3。，

:•S&BOC；S&ABC=2山,=1：6,故选项D正确.

loJ

故选：B.

【题型3垂心问题】

【例3】（23・24高一下•上海浦东新•期中）。是平面上一定点，4B,C平面上不共线的三个点，动点P满

足加二市+4""B+，c）,26R,贝!|P的轨迹一定通过△ABC的（）

\\AB\cos^BC\AC\cosz.BCAj

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推

出向量垂直即可.

【解答过程】如图所示，过点力作垂足为。点.

则阮.—=他际N一国，

\AB\CQSZ-ABC\AB\COSZ-ABC11

同理品.南号=1园，

•••动点P满足加=市+，（而告而+可餐），

AP=—+—1AeR.

\\AB\cosZ-ABC\AC\COSZ-ACD）

•••AP-BC=4）=2（-|BC|+|BC|）=0,

\\AB\COSZ.ABC\AC\COSZ.ACDJK111"

APIBC,

因此尸的轨迹一定通过aABC的垂心.

故选：D.

【变式3-1］（23-24高一下•广东东莞•期末）已知在△ABC中，。是△4BC的垂心，点P满足：3OP-^OA+

+2OC,则aABP的面积与△ABC的面积之比是

2331

A.-B.-C.-D.-

3452

【解题思路】根据向量加法可得+［丽=。羽，进而根据向量的线性运算可得的=2存，进而判断出

点P的位置，即可求解面积之比.

【解答过程】

如图，设48的中点为M,

A

贝岭瓦5+1OB=W,

故由3炉=]6？+[0^+2泥可得2加=斯一市+2泥，BP2OP-2OC=OM-OP,也即PM=2度,

由向量的共线定理可得C,P,M共线，且MP=：MC,

所以结合图形可得受理=黑=I，

故选:A.

【变式3-2]（23-24高一下•山东•期中）设H是△力BC的垂心，且3沅？+4方豆+5沅=6,则COSNAHB的

值为（）

AV30R花

A.------BcD-T

io--T--T

【解题思路】根据题意，由垂心的向量表达式可得•何=布・近=南•觉，结合条件即可分别求得

\HA\.\HB\,结合向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.

【解答过程】因为H是△4BC的垂心，所以方2•（何一流）=0,即福•南=应•比,

同理可得而•（而一近）=0,即瓦？.而=而.沅，

所以TH-~HB=liA-~HC=~HB-He,

因为3瓶+4HB+SHC=6,所以3应■近+4/7B-HB+5HC-HF=0,

所以忻引=v^,x<o,同理可得

772-775xV6

所以cos乙4HB=

故选：C.

【变式3-3]（2024高三下•全国•专题练习）如图，已知。是△A8C的垂心，且瓦5+2而+3反=6,则

tanzJ9ZC:tan/ZBC:tanziZCB等于（）

C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长C。，BO,4。分别交边ZB,AC,BC于点P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推得

X-dinZ-BAC\\,3.XIZ.ABC\Z-ACB=/^BOC^/\AOC'B/^AOB9从而得解.

【解答过程】。是△ZBC的垂心，延长CO,B0,4。分别交边ZB,AC,8C于点P,M,N,如图，

则BM1AC,AN1BC,乙BOP=AC,^AOP=^ABC,

因此，S&BOC=RC，BP=BP=OPtanNBOP二tan/B—,

'SMOC^OC-APZPOPtanz.AOPtanz.ABCf

同理S^BOC_tanzB4C

SMOBtan44cB

于是得tanz^i4C:tanZTl^C:tanz>lCB=S^B0C:S^A0C:S^A0B,

又瓦?+20B+30C=0

由“奔驰定理，，有S^BOC•OA+SAA0C-OB+SAA0B-OC-O

BP^ABOC:^AAOC-^AAOB=1:2:3，所以tanZ_R4C:tanZ_4BC:tanZTlCB=1:2:3,

故选：A.

【题型4内心问题】

【例4】（2024•四川南充三模）已知点P在△2BC所在平面内，若刀.（告-黑）=丽・（缁-鬻）=0,

v\AC\\AB\\BC\\BA\'

则点P是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得AP平分NB4C,BP平分NHBC,结合

三角形内心定义判断即得.

【解答过程】在△力BC中,由港•备勤=0,得刀.备=可襟,

即族•篁•=1?•空，由丽.（煞—丝）=0,同理得前•空=丽•丝，

14cl\AB\、|BC|\BA\J\BC\\BA\

显然而即P与力不重合，否则COS乙4BC=1,同理前7也

贝!!|力「忙05/^>4。=|4。］（：054「48,BPcosZ.PAC—cosz.PAB,/.PAC—Z.PAB,

于是4P平分NB4C,同理BP平分乙4BC,

所以点尸是△力BC的内心.

故选：D.

【变式4-1］（23-24高一下•四川成都・期末）已知点。是△力BC的内心，AB=4,AC=3,CB=ACA+iiCO,

则4+〃=（）

457

A.-B.-C.2D.-

333

【解题思路】连接4。并延长交BC于点D,连接C。，则由角平分线定理得到CB,CD的长度关系，再由平面向

量基本定理，利用4,0,D三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.

【解答过程】连接4。并延长交BC于点D,连接CO,

因为。是△ABC的内心，所以力。为ZB4C的平分线，

所以根据角平分线定理可得当=*=g

CL/jiCJ3

所以荏=（前，

因为4。,。三点共线，所以设方=兄^+（1-t）加，

则施=-CD=-CA+卫卫而，

333

因为荏=XCA+liCO,

所以4+〃=日+铝=/

故选：D.

B

D

【变式4-2]（2023高三・全国•专题练习）在△ABC中，若sin/B力t>Pl+sin乙4BC•丽+sin/4CB•而=6,

则点P是△力BC的（）

A.重心B.内心C.垂心D.外心

【解题思路】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出P是△ABC的内心.

【解答过程】过点P分别作BC,CA,4B的垂线PD,PE,PF,其垂足依次为D,E,F,如图所示,

由于smZ-BAC-PA+sinZ.ABC-PB+sinZ.ACB-PC=0,

根据奔驰定理就有：

S△BPC：S△CPA：SAAPB=sinz.BAC:sinzylBC:sinZ-ACB=BC:AC:AB,

BpQfiCxPD）:（jACxPE）:（jABxPF）=BC:AC:AB,

因此PD=PE=PF,故点P是△ABC的内心，B选项正确.

故选：B.

【变式4-3]（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，|福|=2,|前|=3,|瓦=4,O是△ABC的内心,

且a5=ZAB+面,贝!M+fi=（）

A.—B.—C.-D.-

101099

【解题思路】根据引理证明定理3,即可定理3的结论求解.

【解答过程】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1,O是△力BC内的一点，△BOC,AAOC,△AOB的面积

分别为力，SB，SC，则L市+SB赤+S0反=在

图1图2图3

证明如图3,延长AO,与BC边相交于点D,

则|BD|_S&ABD_S^BOD_-SABOD_S4ABD-S4BOD_SC

\DC\S^ACDSACOD-S^CODSAACD-S.CODSB

记臀=九则丽=4尻，即砺一砺=4（沉一丽），

所以一（1+A）OD+0B+MC=0,

又而=一曾被=一-^_QA,所以人（1+女）市+加+之旅=6,

\OA\SB+SCSB+SC\SBJSB

从而S^OZ+SBOB+S（jOC=0.

接下来证明定理3。是△力BC的内心oa瓦＜+6赤+c3?=6（其中a,b,c是△ABC的三边长）.

证明设△4BC的内切圆半径为r,0是△ABC的内心，

贝⑸的:与徵“'.=a-.b-.c.

根据引理得，0是△4BC的内心=a瓦？+b赤+c反=6.

由而=AAB+面,可得而=4（砺-0A）+M（OC-OB'）,

即（1-A）O4+（A-〃）砺+nOC=0,

因为0为△ABC的内心，|屈|=2,|前|=3,|阮|=4,

根据定理3,可知与i=.=多解得4=a“=•!，故2+4=（

故选:D.

【题型5外心问题】

【例5】（23-24高一下•天津北辰・期中）。为△ABC所在平面内一点，且满足+砺）•瓦？=（砺+反）・

CB（0C+0A）-AC,则。是△48。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解.

【解答过程】依题意，02+赤）•瓦5=01+而）•02-加）=|0X|2-\0B\2,

（OB+0C）-~CB=（OB+0C）■（OB-0C）=\0B\2-|0C|2,

（OC+0A）-AC=（OC+0A）■（OC-0A）=|0C|2-\0A\2,

贝山市『一|Qg|2=|ofi|2—|而『=|oc|2_|ox|2；于是|市|=\0B\=|QC|,

所以。是△ABC的外心.

故选：B.

【变式5-1]（23-24高三下•新疆•阶段练习）在△ABC中，AC=247,。是△ABC的外心，M为BC的中点，

AB-AO=8,N是直线0M上异于M、。的任意一点，则丽・阮=（）

A.3B.6C.7D.9

【解题思路】根据外心的性质得到。“1BC,设赤=AOM,根据数量积的运算律得到前-BC=-AO-AB+

AO-AC,再由数量积的定义及几何意义求出而•尼，从而得解.

【解答过程】因为。是△力BC的外心，M为BC的中点，设4c的中点为D,连接。D,

所以。M_LBC,OD1AC,设而=4而，

贝丽•BC=(X0+ON)-BC^AO-BC+WM-BC

=AO-BC=AO-(BA+AC)

=AO-BA+AO-AC=-A0-AB+A0-AC,

XO>AABC的外心，所以而-AC=\AO\-|XC|COSZC/1O=(|^4O|coszCXO)•|XC|

=1祠2=N(2仞2=14,

所以而BC=-A0-AB+Ad-AC^-8+14^6.

故选：B.

【变式5-2](2024高三•江苏•专题练习)已知。为△ABC的外心，若4(0,0),8(2,0),4。=1,484。=120。,

且前=AAB+fiAC,贝！U+〃=()

213

A.-B.2C.1D.—

36

【解题思路】由图形在坐标平面内的位置，求出C点和。点的坐标，得前,前,前的坐标，由前=4荏+〃前,

列方程组求出4和4即可；或利用图形关系结合解三角形知识及平面向量基本定理即得.

【解答过程】解法一：

若4(0,0),8(2,0),4?=1,皿C=120。,则有C(—发乎)，如图所示,

设△ABC的外心0(%,y),由|。川=|OB|,得J/+y2=,(八_2)2+y2,解得久=i,

由I。川二|。口，得万仔=J(i+£)2+(y_5j，解得y=苧，

得0(1,苧),则而=(1,竽),

/A^

即M

V3

5

A--

得6

-4

M-

3

故a+jU=—.

6

方法二：

过点力作力G1BC于G,过点。作。H1BC于H,

过点。作EF〃BC交4C的延长线于E,交4B的延长线于F,

因为4(0,0),B(2,0),AC=1,Z.BAC=120。,则=2,

由余弦定理，CB2=AC2+AB2-2AC-AB-cos^BAC=1+4+2=7,贝iJCB=夕，

而三角形4A8C的外接圆的半径为军方x；="，

smlzO23

所以。"盾Ft，

且SMBC=-BC=^AC-AB-sinl200,所以4G=呼，

V21

所以白笔=寿号，得所以"号力EMB=》F,

76

故而=AAB+fiAC=^AF+^AE,

由于O,E,F三点共线，有£+得=1，因此4+〃=弓.

故选：D.

【变式5-3](2024•辽宁抚顺•模拟预测)在锐角三角形中，A=60°,AB>AC,〃为△ZBC的垂心,

AH-AC=20,O为△4BC的外心，且说.而=?|用|•|而|,则=()

A.9B.8C.7D.6

【解题思路】作出辅助线，数形结合，利用向量数量积可求得尻=40,再由。为的外心，可得NBA。=

90°-C,从而可得NOAH=C—N4BC,解方程组cos(C—ZBC)=*与cos(C+NABC)=-1可得

sinCsinN力BC的值，最后由正弦定理即可求解.

【解答过程】

设△4BC的内角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,

如图，延长3"交NC于D,延长//交3C于£,所以BD_L4C,

所以京-AC=|AD|-\AC\=|AB|cos60°•\AC\=20,即be=40.

又。为△ABC的外心，所以N4OB=2C,即NB4O=90°—C,

又在△力BE中，/.BAE=90°-/.ABC,

故N04H=90°-AABC-（90°-C）=C-^ABC,

所以cos（C-乙4BC）=cos^OAH=罂普=3与cos（C+乙4BC）=-相减得sinCsinzXBC=—,

L4H,L4O98249

所以由正弦定理得,（三）2=学,即BC2.[=竽，解得8c=7.

smCsmz.ABCvsin/l/333

故选：c.

A过关测试

一、单选题

1.(2024•全国•二模)点。,P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足加=亍？+而+瓦，则直线OP经

过△A8C的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.

【解答过程】设BC的中点为点D,所以南+左=2加，

则加一市=而=2OD,

若4P,。,。四点共线时，即点O,P都在中线4。上，所以。P经过三角形的重心，

若4P,。,。四点不共线时，AP//OD,S.AP=20D,连结力D,OP,交于点G,

如图，

综上可知，0P经过△4BC的重心.

故选：A.

2.（23-24高一下•河南安阳•期末）已知。是aABC内的一点，若△BOC,△力。C,△力。B的面积分别记为

S1，S2，S3，贝”1・D1+S2•加+S3•玩.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称

其为“奔驰定理如图，已知。是△ABC的垂心，且就+20B+30C=0,则tan/B力C:tan/ABC:tan/ACB=

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【解题思路】延长CO,BO,/O分别交边AC,BC于点、P,M,N,利用同底的两个三角形面积比推

得tan/B力C:tan乙4BC:tanZ_4CB=S1:S2：S3即可求解作答.

【解答过程】。是△4BC的垂心，延长CO,BO,4。分别交边/£AC,BC于点、P,M,N,如图，

贝IJCP1AB,BM1AC,AN1BC,乙BOP=^BAC,^AOP=/.ABC,

于是得tan/BZC:tanzJlBC:tanZTlCB=S1:S2:S3,

又6？+2加+3灰=0,即配=—g五5-1丽，由“奔驰定理”有Si-D1+S2,U^+S3•觉=。，

则配=一雪.01—鲁•砺，而与砺不共线,有兽=30=3即S1：52：S3=1:2:3,

$3S3S33s33

所以tan/BZC:tan/ZBC:tan/ZCB=1:2:3.

故选：A.

3.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）点尸是锐角△力BC内一点，且存在4CR,使方=4（同+就），则

下列条件中，不能判断出△力BC为等腰三角形的是（）

A.点P是△4BC的垂心B.点P是△4BC的重心

C.点P是△ABC的外心D.点P是△力BC的内心

【解题思路】由已知判断点尸在直线力D上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.

【解答过程】记BC的中点为。，则Q=4（四+而）=2元而，

所以，点尸在直线4D上.

A选项：若点P是△4BC的垂心，贝！MD1BC,

所以4B=AC,所以△ABC为等腰三角形，A正确；

B选项：若点P是△4BC的重心，则点P在BC边的中线上，无法推出ADLBC,B错误；

C选项：若点P是△力BC的外心，则点P在8c边的中垂线上，

所以力DJ.BC,所以△A8C为等腰三角形，C正确；

D选项：若点P是△ABC的内心，贝必。为NB4C的角平分线，

所以NB4D=/.CAD,

又SAABD=S^ACD，^AB-ADsinZ.BAD=AC-ADsinZ-CAD,

i^AB=AC,D正确.

故选：B.

4.（2024•安徽•三模）平面上有△力BC及其内一点。，构成如图所示图形，若将△。力B,△OBC,AOCA

的面积分别记作Sc，Sa，Sb,则有关系式Sa-O5+Sb•磴+Sc•灰=0.因图形和奔驰车的/。9。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知△A8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,C,若满足+

OC=0,则。为△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】根据平面向量基本定理可得称=2,*=£,延长C。交2B于E,延长B。交AC于尸，根据面积比

saaSaa

推出博=福，结合角平分线定理推出CE为N4CB的平分线，同理推出BF是N4BC的平分线，根据内心的定

但图\BC\

义可得答案.

【解答过程】由Sa•市+Sb・/+Sc•沈=。得市=-^OB-^OC,

3a3a

由a.DZ+b.加+「泥=6得够=--OB--OC,

aa

根据平面向量基本定理可得一%=—2-主=—二

SaaSaa

所以普=2,各=二

SaaSaa

延长C。交力B于E,延长BO交AC于F,

所以CE为乙4cB的平分线，

同理可得BF是N4BC的平分线，

所以。为△ABC的内心.

故选：B.

5.（23-24高一下•上海奉贤・期中）设。为△A8C所在平面内一点，满足D1+2在+2泥=0,贝也43。

的面积与△BOC的面积的比值为（）

A.6B.-C.—D.5

37

【解题思路】延长OB到D,使。B=BD,延长0C到E,使0C=CE,连接力D,DE,力E,则由已知条件可得。

为△4DE的重心,由重心的性质可得S/^OD=SA40E=SMOE=S,再结合中点可求出SooB,S^aoc,^ABOC

的面积，进而可求得答案

【解答过程】解：延长。B到。，使。8=BD,延长。C到E,使。C=CE,连接

因为豆？+2加+2沈=瓦所以瓦5+彷+DT=6,

所以。为△ADE的重心，

所以设SaA0D=S^MOE=S^DOE=S，=S^Aoc=S/^BOC=：S,

所以SA4BC=：S+?S+；S=JS,

ZZ44

所以受型年=5,

b^BOC-S

故选：D.

6.(23-24高一下・甘肃・期末)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,△力MC,△4MB的面积分别为力，SB,Sc,且

SA•篇+SB•丽+Sc•流=0.若M为△力BC的垂心，3雨+4丽+5标=0,则cos/AMB=()

【解题思路】根据力-MA+SB-MB+SC-MC=0^3MA+4MB+5MC=0得%SB:SC=3:4:5,从而可

以得出嘤=4，*=3,设MD=x,MF=y,得AM=3x,BM=2y,再结合垂心和直角三角形余弦值即可

求解.

【解答过程】

A

如图，延长力M交BC于点D,延长BM交2C于点F,延长CM交2B于点E.

由M为△力BC的垂心，3M<+4丽+5标=0,且2•祈彳+SB•丽+S。•疵=0,

得SA：SB：Sc=3:4:5,所以SB=沁舟=沁，

又S0BC=S4+SB+SC，则泞=4,同理可得注=