奔驰定理与四心问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1奔驰定理】...........................................................................3

【题型2重心问题】...........................................................................4

【题型3垂心问题】...........................................................................5

【题型4内心问题】...........................................................................5

【题型5外心问题】...........................................................................6

►命题规律

1、奔驰定理与四心问题

奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三

角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用；四心问题是平面向量中的重要问题，是高考的热点内容,

在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问题要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1奔驰定理】

1.奔驰定理

如图，已知P为△48C内一点，且满足九刀十22族+段记=6,则有△/总、△4PC、△3PC的面

积之比为灰4法.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用

平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

【知识点2四心问题】

1.四心的概念及向量表示

(1)重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1.

___>--->--->->

②重心的向量表示：如图，在△NBC中，点尸为△N8C重心-PN+P2+PC=0.

③重心坐标公式：设N(xi,y),3(X2,/),C(X3,g),则△48C的重心坐标为不|+；+%M+?+力).

A

(2)垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心.

②垂心的向量表示：如图，在△4BC中，点尸为△/8C垂心-•丽=森•》=方5•记.

(3)内心的概念及向量表示

①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心.

AB

②内心的向量表示：如图，在中，三角形的内心在向量+①所在的直线上，点尸为^

R

48c内心0|与卜PC+|^C|-FC+|G1|-PS=6.

(4)外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的

距离相等.

②外心的向量表示：如图，在△48C中，点尸为△/2C外心0|万=|诟|=|京|.

2.三角形的四心与奔驰定理的关系

-->-->-->->

(1)0是△45C的重心：S^BOC；S△COA：SAAOB=1：1：10OA+OB+OC=0.

(2)0是△45C的垂心：S^BOC：S^COA-S^AOB=tanA:tan5:tanCtanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

—>—>—>->

(3)0是△45C的内心：SABOC：SACOA：S2AOB=a:b:c0aOA+bOB+cOC—0.

(4)0是△45C的外心：

S/^BOC-S^COA-S/^AOB—sin2A:sin25:sin2Csin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

►举一反三

【题型1奔驰定理】

【例1】（2024高三・全国・专题练习）已知点/,B,C,P在同一平面内，PQ^^PA,QR^^QB,RP^^RC,

则S/\4BC：S/\PBC等于（）

【变式1-11（23-24高一下•广西南宁・期末）已知。为△ABC内一点，且满足3瓦？+40B+50C=2AB+3BC+

CA,则也皿=（）

S^ABC

2133

A.-B.-C.-D.-

5445

【变式1-2]（23-24高一下•湖北•期中）奔驰定理：己知。是△ABC内的一点，ABOC,△HOC,ZkAOB的

面积分别为〃，SB，SC,则S〃C5+SB•屈+Sc•觉=6"奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设。为三角形4BC内一

点，且满足：OA+20B+30C=3AB+2BC+CA,则登％=（）

SAABC

【变式1-3］（23-24高三上•河南南阳•期中）奔驰定理：已知。是4ABe内的一点，ABOC,AAOC,AAOB

的面积分别为L，SB，SC，贝”4•瓦？+SB・加+S。•配=6.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”

若。是锐角44BC内的一点，A,B,C是2L4BC的三个内角，且点。满足•屈=磴・觉=泥•口5,则必有

（）

A.sin4-0A+sinB-OB+sinC-OC—0

B.cosA-DZ+cosB-~0B+cosC-OC=0

C.tanTl-OA+tanB-05+tanC-OC—0

D.sin24-0/1+sin2B-OB+sin2C-OC=0

【题型2重心问题】

【例2】（2024•贵州六盘水•三模）已知点。为△ABC的重心，AC=AOA+fiOB,则;I+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

【变式2-1］（2024•陕西西安•一模）已知点P是△ABC的重心，则（）

----->1----->1----->----->1----->1----->

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

6644

C.AP=-AC+-BCD.AP=-AB+-BC

3333

【变式2・21（23・24高一下•四川巴中•阶段练习）已知点G为△ABC的重心，分别是/BMC边上一点，D,GfE

三点共线，F为BC的中点，若而=4而+〃荏，则与+：的最小值为（）

927

A.6B.7C.-D.—

22

【变式2-3］（2024高一下•上海・专题练习）设点。是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是（）

A.若市+方+泥=6,则。为△ABC的重心；

B.若01+而）•屈=（赤+反）•近=0,则。为△力BC的垂心；

。・若借+都・阮=。喘・言弓则△曲为等边三角形;

D.若瓦5+29+3反=6,则△50。与△Z8C的面积之比为S^OC：SA4BC=1:6.

【题型3垂心问题】

【例3】（23-24高一下•上海浦东新•期中）。是平面上一定点，A,B,C平面上不共线的三个点，动点P满

足赤=瓦？+4（=产〜+方产"），AGR,贝UP的轨迹一定通过△4BC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【变式3-1]（23-24高一下•广东东莞•期末）已知在△ABC中，。是△ABC的垂心，点P满足：30P=+

+20C,则△回「的面积与△ABC的面积之比是

2331

A.-B.-C.-D.-

3452

【变式3-2]（23-24高一下•山东•期中）设H是△4BC的垂心，且3万1+4就+5近=6,则cos/AHB的

值为（）

AV30„VsV6„V70

105614

【变式3-3]（2024高三下•全国•专题练习）如图，已知。是△ABC的垂心，且瓦？+2市+3反=6,贝!]

tan/RAC:tan/ZBC:tan"CB等于（）

C.2:3:4D.2:3:6

【题型4内心问题】

【例4】（2024•四川南充•三模）已知点尸在△2BC所在平面内，若刀.（隽-黑）=丽・（缁-缁）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\'

则点P是△ABC的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

【变式4-1]（23-24高一下•四川成都・期末）己知点。是△力BC的内心，AB=4,AC=3,CB=ACA+^CO,

则4+〃=（）

457

A.-B.-C.2D.-

333

【变式4-2]（2023高三•全国•专题练习）在44BC中，若sin^BAC-PA+sin^ABC-PB+sinzXCfi.PC=0,

贝1J点P是△ABC的（）

A.重心B.内心C.垂心D.外心

【变式4-3]（2024高三・全国•专题练习）在△ABC中，|同|=2,|而|=3,|阮|=4,O是△ABC的内心,

且同=AAB+面,贝!M+fi=（）

9787

A.—B.—C.-D.-

101099

【题型5外心问题】

【例5】（23-24高一下•天津北辰・期中）。为△ABC所在平面内一点，且满足+砺）•瓦？=（砺+浙）・

方=（泥+西•左，贝U。是△48。的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【变式5-1]（23-24高三下•新疆•阶段练习）在△力BC中，AC=2小,。是△力BC的外心，M为BC的中点，

AB-AO^8,N是直线0M上异于M、。的任意一点，则前•前=（）

A.3B.6C.7D.9

【变式5-2]（2024高三，江苏•专题练习）已知。为△ABC的外心，若4（0,0）,2（2,0）,4C=1,NB4C=120。,

且而=XAB+〃前，贝！U+〃=（）

213

A.-B.2C.1D.—

36

【变式5-3]（2024•辽宁抚顺・模拟预测）在锐角三角形45c中，A=60°,AB>AC,以为△ABC的垂心，

AH-AC=20,O为△ABC的外心，且用.而二|丽|•|而|,则=（）

A.9B.8C.7D.6

►过关测试

一、单选题

1.（2024・全国•二模）点0,P是△力BC所在平面内两个不同的点，满足赤=瓦？+砺+浙，则直线0P经

过△ABC的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

2.（23-24高一下•河南安阳・期末）已知。是△ABC内的一点，若△BOC,△40C,△力0B的面积分别记为

Si，S2，S3，则Si•反+S2•砒+S3•沅=。.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似,故形象地称

其为“奔驰定理如图，已知。是△A8C的垂心，且反+20B+30C=0,贝I]tan/BAC:tan/ABC:tan/ACB=

A

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

3.（23-24高一下•安徽合肥•阶段练习）点尸是锐角△ABC内一点，且存在4€R,使而=4（同+就），则

下列条件中，不能判断出△ABC为等腰三角形的是（）

A.点P是△4BC的垂心B.点P是△4BC的重心

C.点P是△ABC的外心D.点P是△4BC的内心

4.（2024•安徽•三模）平面上有△力BC及其内一点。，构成如图所示图形，若将△04B,△OBC,△。乙4

的面积分别记作Sc，Sa，sb,则有关系式SjDl+Sb•历+Sc•觉=0.因图形和奔驰车的log。很相似，常

把上述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a•+b•砧+c・

OC=0,则。为△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.（23-24高一下•上海奉贤•期中）设。为△ABC所在平面内一点，满足市+29+2沈=。，贝!|△力BC

的面积与△BOC的面积的比值为（）

O-1O

A.6B.-C.—D.5

37

6.（23-24高一下・甘肃・期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美

的结论.它的具体内容是：已知M是△力BC内一点，ABMC,△力MC,△4MB的面积分别为〃，SB,Sc,且

Sn•凉+SB•丽+Sc•标=。.若M为△ABC的垂心，3加+4丽+5标=0,则cos/AMB=（）

A

7.（23-24高三上•辽宁沈阳•阶段练习）已知△4BC,/是其内心，内角4B,C所对的边分别a,b,c,则（）

（

A.Al=-AB+AC}JB.AI=—+—

3vaa

c.刃=3+qD.司=逊+皿

a+b+ca+b+ca+ba+c

8.（23-24高一上•安徽黄山・期末）。为三角形内部一点，a、b、c均为大于1的正实数，且满足aDl+b在+

cOC=CB,若S/04B、S404C'S/0BC分别表示/。48、4。4C、4。8c的面积，贝！IS404B：S404C：S/OBC为（）

A.（c+l）:（b—l）:aB.c.b\aC.—:—:—D.c?：b?：a?

二、多选题

9.（23-24高一下•山东枣庄•阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理:

三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直

线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点。、G、〃分别是△N3C的外心、重心、垂心,

且M为3c的中点，则（）

A.OH=0A+OB+OCB.S^ABG—SABCG—S^ACG

C.AH=30MD.AB+AC40M+2~HM

10.（23-24高一下•福建莆田•期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非

常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M

是△4BC内一点，△BMC,AAMC,△力MB的面积分别为S4,SB,Sc,且

SA-MA+SB-14B+SC-MC=0.以下命题正确的有（）

BC

A.若L：SB：Sc=1：1：L则M为△AMC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC•加+HC•施+=6

C.若M为△ABC的外心，则（凉+丽）•屈=（而+祈?）•近=（9+M?）-芯=0

D.若M为△ABC的垂心，3拓？+4丽+5标=6,则cos乙4MB=或

6

11.（23-24高一下•山东枣庄•期中）点。在aaBC所在的平面内，（）

A.若动点P满足碇=瓦5+4（肃井+萨」）。>0）,则动点P的轨迹1定经过△力BC的垂心

\|i4F|smFpclsinc/

B.若动点P满足炉=市+4（/\+高三）（4>0）,则动点P的轨迹一定经过△力BC的重心

431cos3\AC\cosC/

C.若2。4+。8+30C=0,Sanoc，S^ABC分别表示△△4BC的面积，则SAAOC：S^ABC=1：6

D.已知△ABC三个内角4B,C的对边分别是a,b,c,-0A+b-OB+c-0C^0,则点。为△ABC

的内心（内切圆圆心）

三、填空题

12.（23-24高一•全国•课后作业）已知。是平面上一个定点，A,B,C是平面上三个不共线的点，动点尸

满足条件加=0A+4（儡+pj）（A£（0,+8））,则点P的轨迹一定通过^ABC的心.

13.（2024•四川成都一模）己知G为A4BC的重心，过点G的直线与边4B,4C分别相交于点P,Q,若丽=,两

则44BC与2L4PQ的面积之比为.

14.（2024高一下•四川宜宾・竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图

形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，己

知。是△ABC内一点，△BOCAA0C,A40B的面积分别为S4,SB,SC，贝！IS4-OA+SB-~OB+SC-OC=豆若。

是△ABC锐角内的一点，45。是△ABC的三个内角，且。点满足而•布=砺•灰=瓦•雨，则下列说

法正确的是.（填序号）

①。是△ABC的外心；②NBOC+A=TT；

③|。川：|05|:\0C\=cosX:cosB:cosC；@tanX-OA+