北京某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含答案）

北师大附属实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷

高一年级数学

班级姓名学号成绩

1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分,

考考试时间120分钟.

生2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.

须3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.

知4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色

字迹签字笔作答.

第I卷(共100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.已知集合4={—3,—1,0,2,4},B={x\~2<x<3],则AB=

A.{-1,0}B.{0,2}C.{-1,0,2}D.{0,2,4)

2.函数/(%)=31V的定义域为

(x-1)

A.[0,+oo)B.(l,+oo)

C.(-a),l)(1,+s)D.[0,1).(1,+s)

3.若a<b,CHO,则下列不等式恒成立的是

.Clb、,22

A.—<—B.ac<bcC.ac~<bc~D.ac3<be

cc

4.下列函数中，是偶函数且在(0,+oo)上单调递增的是

A.y=x-1B.y=l-x2C.y=--D.y=|x|

x

5.已知函数;•(x)=2«-工，在下列区间中，一定包含零点的区间是

X

A.3C(1，2)D.(2,4)

1/6

_i

6.设〃=2-1,b=”,c=H飞,则

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

7.“a<0”是“关于x的不等式。d—x+工〉。的解集为的

a

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知某商品每件的成本为8元，每月销量y(万件)与每件售价x(元)的

函数关系近似为：丫=更-1,若使每月的净利润最高，则每件售价应定为

X

(注：净利润=销售总额-总成本)

A.10元B.12元

C.15元D.16元

-x2+2x,%W3

9.对于函数/(%)=，下列说法正确的是

一4,%〉3

A.y(x)存在最大值

B./(乃<0的解集为(-8,0)

C./(x)在［1,+⑹上单调递减

D.对任意xwO,有/(-x)wf(x)

10.已知集合A={(x,y)|x+y=a},B={(x,y)\xy=4,bWxW)+2},若存在

匕>0，使得A'B中恰有2个元素，则a的取值范围是

A.(4,275]B.(4,5]

C.[2石,+s)D.[5,+oo)

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二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.命题“mceN,的否定是.

12.计算：21og26-log29=.

13.设实数满足：1W%W2,6wyw8,则）的取值范围是.

X

14.若函数/（幻=炉—6%+5在［0,词上的值域为［-4,5］,则m的最小值为

最大值为.

15.已知/（x）是R上的奇函数，记不等式"（x）-幻》0的解集为S.

给出下列四个结论：

①一定有OeS；

②可能存在玉）eS且—x0eS；

k

③若当XHO时，y（x）=K（左HO）,则一定有S#R；

X

④若当x〉0时，f（x）=x2-ax,且［-则。的取值范围是［0』］.

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题(本大题共3小题，共35分)

16.(本小题满分10分)

设集合A={X|X2+2X-3^0},B=[x\\x-a\>2].

(I)若〃=0,求AB,A(13)；

(II)若A5=A，求Q的取值范围.

17.(本小题满分13分)

已知关于x的方程炉-(2m+4)x+m2=。有两个不相等的或头梨根石,9•

(I)求用的取值范围；

(II)若土+迤=7,求相的值；

x2%

(III)若«"+J^~=2,求小的取值范围.

18.(本小题满分12分)

已知函数/(X)为R上的偶函数，且当无。0时，/(%)=■.

1+x

(I)当x<0时，求/(x)的解析式；

(II)判断/(X)在[0,+00)上的单调性，并依据单调性的定义证明;

(III)若a+Z?=l,且。<匕，试比较/(a)与/(。)的大小，并说明理由.

4/6

第n卷(共50分)

四、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

19.给出能够说明“若a<b,则一一>3”是假命题的一组6的值:

a+1b+1

a=；b=.

20.已知集合。={123,4,5,6,7},=U且满足：AB={1,4},

A{3,5}=0,Q(A3)={2,7},则4=；B=.

2i.已矢口/(龙)=-2+及+1为奇函数.

X

①t=;

②若|/(X)|W根恰有两个整数解，则加的取值范围是.

|x+3|-2,xWa,

22.函数/(x)=«

-x2+ax+f(a),x>a.

①当a=-2时，/(x)的单调递增区间为

②若/(x)恰有三个零点，贝Ua的取值范围是.

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五、解答题(本大题共3小题，共30分)

23.(本小题满分8分)

已知m>0,n>0.

(I)求驷+K的最小值；

nm

(II)对于(I)中取得最小值的每组形,〃，都有*2〃+5恒成立,

左+1

求上的取值范围.

24.(本小题满分12分)

已知函数/(%)=%2一4以+〃.

(I)当〃=1时，求证：/(x)>-x2-2；

(II)若/(%)在［0,2］上的最小值为-3,求。的值；

(III)若存在xU使得1W£W2,求。的取值范围.

［3」%2

25.(本小题满分10分)

对于非空有限数集A,记A*={a|aeA或-aeA},|A|表示A中所有元素

的个数.

(I)若4={-1,0,2},用列举法直接写出A*；

(II)给定上eN"且左>2,设4={1,2,…,左},对于1W/nW左且meN",记

Bm={x\x+meA},求|耳：|的最小值(用左表示)；

(III)设非空有限数集4,4满足以下条件：

①44=0；②(A4)*=44；③*用=；

।a।।1J

求证：IAI=I41.

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北师大附属实验中学2024-2025学年度第一学期期中试卷

高一年级数学参考答案

第I卷（共100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

题号12345678910

答案CDCDBACBDA

二、填空题（每小题5分，共25分）

题号1112131415

答案VxeN,x2>22[3,8]3；6①③④

三、解答题

16,解:(I)A=[-3,1]

B=(-00,-2)I(2,+oo)

AB=(-oo,1](2,+oo)

CRB=[-2,2]

A(CRB)=[-2,1]

(II)B=(-oo,a-2)v(a+2,+oo),AB=A^>B

只需：a-2〉1或a+2<—3

解得：a<-5或a〉3

。的取值范围是(-汉-5)(3,+8)

1/8

17.解:(I)A=(2m+4)2—4m2=16m+16>0m>—1

%i+%2=2m+4>0^>m>—2

2

x1x2=m>0=>mw0

解得：加〉-1且加wO

综上，加的取值范围是(-1,0)(0,+8)

(H)再।，=(再+々)2一2七马

X2再冗1%

(2加+4产一2后

=----------2--------=7

m

整理得5加之一16m-16=0

解得机=4或-经检验合题

(III)(4"+y/x^)2=玉+9+2dxix2

=2m+4+

=2m+4+2|m|

①当一1<加<0时：(J^"+J^")2=2加+4—2加=4

因此J]+J兀—2,合题

②当加〉0时：+=2机+4+2机=4加+4>4

因此J]+JE>2,不合题

综上，用的取值范围是(-1,0)

2/8

1y

18.解：(I)当x<0时，一%>0,/(—%)二——

1-%

因为/'(X)为偶函数，所以7•(x)=f(-x)=l±±

1-x

(II)结论：/(x)在[0,+00)上单调递减

任取x；,x2e[0,+oo),且玉</

]-41一%

/(%2)一/(%)=

1+/1+%

_(1-%2)(1+)-(1-)(1+%2)_2(一一%2)<Q

(1+/)(1+再)(1+%2)(1+玉)

因此/(西)〉/氏)，/(%)在。+8)上单调递减

(III)结论：f(a)>/(/?)

理由如下：a<b-1-a^a<—

2

①当0Wo<g时：a/e[0,+oo)且a<b,/(x)在[0,+oo)上单调递减,

所以/⑷>/3)

②当。<0时：-。,》€(0,+00)且—。<6,/(x)在(0,+00)上单调递减，

所以/(—a)>〃b)

因为/Xx)为偶函数，故/(a)=/(-a)〉/(b)

综上：f(a)>f(b).

3/8

第n卷（共50分）

四、填空题（每小题5分，共20分）

19如：-2；-1（答案不唯一）

20(1,4,6}；{1,3,4,5)

0;[2,|)

21

22(-3,-1)；(-5,-2)一(-2,+8)

注：第22题第一空，两端开闭均可.

五、解答题（共30分）

23.解：（I）因为zn〉0,n>0,所以一^〉0,—>0

nm

4mn八4mn

——+—22--------=4A

nm\nm

当且仅当〃=2相时，等号成立

因此，他+己的最小值为4

nm

（II）由题知：当九=2〃z时，只需」W（疗_2〃+5）1nhi

k+1

即：三7忘（加2—4租+5焉

K+1

m2—4m+5=（m—2）2+1三1

当且仅当根=2时，等号成立，因此（加2—4加+5）1nhi=1

只需：丝wl,整理得：Two,

左+1左+1

等价于：（左一1）（左+l）WO且左+1H0

解得，-1〈左W1

综上，上的取值范围是

4/8

24.解：(I)当a=l时，/(x)=x2-4x+l

/(X)+X2+2=2X2-4X+3=2(^-1)2+1>0

所以/(x)〉—x?-2

(II)①当aWO(2aW0)时，/(x)min=J(O)=a

令/(x)mm=-3na=-3,合题

2

②当0<a<l(0<2«<2)时，f(x)min=f(2a)=a-4a

令/(x)min=—3na=—a或1，均不合题

③当a与l(2。22)时，/(x)min=/(2)=4-7tz

令/(x)min=-3na=l，合题

综上，a=-3或1

(III)解法1：由题知：存在使得X2W/(X)W2X2

-1一,「a(4x—1)WO(1)

即：存在xeR,l],使得

3[%2+4ax-a0(2)

对于⑴，由于元W4%-1>0,故〃>0不合题

即必有QW0

对于(2),记g(%)=f+4a%—a,只需：在[g,l]上g(九)max》。

1?

当—(―时，有g(%)111ax=葭1)=3。+120,合题

当a<—g(―2a〉()时，有g(x)1mx=g(g)=^y^<0,不合题

综上，。的取值范围是[-g,0]

5/8

解法2：由题知：存在xeg,l],使得Yw/OOwZV

〃(4元—1)W0r+人口工

等价于p：“存在xcg,l],使得＜”为真命题

x+4ax-a0

考虑："任意xG[j,l],。(4九一1)〉0或%?+4ax-a<0

“任意九£[；/],。（4九一1）〉0"=〃＞0

t己g(x)=d+4〃%—。，“任意%,x2+4ax-a<0”

13a+1

g(一)=----<01

0《390Q<——

3

[g⑴=3〃+l<0

因此，若F?为真命题，则a＜-g或a〉0

回到原题，若。为真命题，则。的取值范围是[-；,0]

f(x)_4aa

解法3：令/」

XxxX

记^^=//«)=a(〃—4f)+l=a("21+1—4a

x~

由题知：存在刈工3],使得1W/2⑺W2

当a=0时,合题

当。〉0时,/2«)max=人(1)=1—3。<1，不合题

网”0⑵W,解得」w"o

当。＜0时,只需＜

[2）皿=/瑁）=1-3423

综上，。的取值范围是[-50]

6/8

25.解:(I)A*={-2,-1,0,1,2}

(II)当1W〃?W誓时：||=2(左一m)+1=2左一2/篦+1

若左为偶数，I瓦后左+1，当且仅当机时取等

若左为奇数，I或后3当且仅