乘法公式的四种题型大全（解析版）-2021-2022学年人教版八年级数学上册压轴题

专题06乘法公式的四种题型大全

类型一、平方差公式与几何图形综合

例1.乘法公式的探究及应用.

图1图2

(1)如图1可以求出阴影部分的面积是;

(2)如图2若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是

(3)比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式；(用含。，b的式子表示)

(4)小明展示了以下例题：计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1.

解：原式=(2-1)(2+1乂22+1乂24+1)(28+1)(*+1)+1=Q2—1)(2?+1)(2,+1)啰+1)(*+1)+1

在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学.请计算：

2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1.

【答案】(1)a2-b2；(2)a-b,a+b,(a+b)(a-b)；(3)a2-b2-(a+fa)(a-b)；(4)332

【详解】解：(1)大的正方形边长为a,面积为a2,小正方形边长为b,面积为按，

因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，阴影部分面积=。2-按，故答案为：标》2；

(2)拼成矩形的长是a+b,宽是a-b,面积是(a+b)(a-b),

故答案为：a-b,a+b,(a+b)(a-b)；

(3)因为图1的阴影部分与图2面积相等，所以。2一按=(a+b)(a-b),故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b)；

(4)原式=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)+1

=(38-1)(38+1)(316+1)+1

=(316-1)(316+1)+1=332-1+1=332.

故答案为：332.

【变式训练1］下面的图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.把图剪开后,

再拼成一个长方形，可以用来验证公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

将播示意图

（1）（操作）用两种方法对所给图进行剪拼.要求：①在原图上画剪切线（用虚线表示）;

②拼成四边形，在右侧画出示意图；③在拼出的图形上标出已知的边长.

（剪切方法一）

博将示音囱-

（剪切方法二）

（2）（验证）选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程.

（3）（延伸）给你提供数量足够多的长为。，宽为b的长方形，请你通过构图来验证恒等式:

(a-b)2=(a+b)2-4ab.(画出示意图)

b

a

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解

【详解】解：（1）剪切方法一:

b

(2)利用图①证明，

因为拼接前后的两个图形面积相等，拼接前的面积=。2-按，拼接后的面积="b)(a+b),

所以a2-b2—(a-b)(。+b)；

(3)如图所示：

上述图形的面积，可以验证：(a-6)2=(a+b)2-4ab.

【变式训练2】从边长为。的正方形剪掉一个边长为6的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形

(如图2).

图1图2

(1)上述操作能验证的等式是(请选择正确的一个).

A.a2-2ab+b2=(tz-Z?)2

B.Q2―/=(Q+6)(〃

C.a1+ab=a^a+b^

(2)若——9/=12,x+3y=4f求％—3y的值；

⑶计算:(TmT＞，击，就4

【答案】(1)B；(2)x-3y=3；(3)瑞

【详解】解：(1)根据阴影部分面积相等可得：a2-b2=(a+b)(a-b),

上述操作能验证的等式是B,故答案为：B；

(2)vx2~9y2-(x+3y)(x-3y)=12,x+3y=4：.x-3y=3

20202Jc20212J

1K1131425320222020

----1--------=—X—X—X—X—X—X…X----x----

2021A2021J22334420212021

220212021

【变式训练3】(1)如图1所示，若大正方形的边长为。，小正方形的边长为b,则阴影部分的面积是

;若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是

图1图2

(2)由(1)可以得到一个乘法公式是

(3)利用你得到的公式计算：20212-2022x2020.

【答案】(1)a2-b2,(a+b)(o-b)；(2)(o+b)(a-b)=a2-b2；(3)1

【详解】解：(1)图①阴影部分的面积为：。2一按，图②长方形的长为a+b,宽为a-b,所以面积为：(a+b)

(o-b),故答案为：a2-b2,(o+b)(o-b)；

(2)由(1)可得：(o+b)(a-b)=a2-b2,故答案为：(o+b)(o-b)=a2-b2；

(3)20212-2022X2020=20212-(2021+1)(2021-1)=20212-20212+l=l.

类型二、完全平方公式变形

例.已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,求孙与d+f的值.

【答案】xy=4,x2+y2=H

【详解】•・・(x+»=25,(x-»=9,

(x+»-(x-y)2=4xy=25-9=16,

xy=4,

•・•(x+»+(x-»=2(x2+/)=25+9=34,

/.x2+y2=17.

【变式训练1】已知|5-町|+(x+y-7)z=0,求的值.

【答案】34

【详解】解：根据非负性，得：5-孙=0,x+y-7=0,

*1-xy=5,x+y=7,x?+_xy=(x+y)~—3xy-49—15=34,

x2+/-中的值是34.

【变式训练2】已知。+6=3,1=2,求(11/+/的值；(2)。的值.

【答案】(1)a2+b2=5-(2)a-b=+l.

【详解】解：(1)•.・。+6=3,。6=2,又•••(a+6)2=/+2.6+62,

.-.a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2x2=5；

(2)•­,(a-b)2=a2-lab+b2=5-2x2=l,a-b=±1.

【变式训练3】若把代数式x?-2x-2化成(x+机)，左的形式，其中加，左为常数，则机+左=.

【答案】-4

22

【详解】解：■.-X-2X-2=X-2X+1-3=(x-1)2-3,k=-3,

；.m+k=-4.故答案为：-4.

类型三、完全平方公式字母的值

例L当k取何值时，100/一加+49/是一个完全平方式？

【答案】人=±140

【详解】解：rl00x2-kxy+49y2是一个完全平方式，-k=±2xl0x7,

.•.k=±140,

即当k=±140时，100x2_kxy+49y2是一个完全平方式.

【变式训练1】如果V+6x+左2是一个完全平方公式，求k的值.

【答案】k=±3.

【详解】由题意得：X2+6x+/^=(%+3)2,即/+6x+k2=/+6x+9,则左2=9

解得k-+3.

【变式训练2】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负

数.例如：0=02,1=12,4=22,9=32,16=42,25=52,36=62,121=112....

(1)若28+2叫2"是完全平方数,求n的值.

(2)若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整

数.

【答案】(1)"=4或n=10；(2)所有符合的正整数是20、60或300.

【详解】(1)解：■.-a2+b2+2ab=(a+b)2,二若28=标,210=b2,

则a=23b=25,2n=2ab=2w,解得：n=10

若28=。2,2w=2ab,所以b=25,

则2"=b2=2”,解得:n=10,

若21()=。2,28=2。3所以b=22,则2"=b2=24,解得：n=4,

所以n=4或n=10；

(2)解：设正整数为x,则x+61=a2,x-U=b2(a>b,且a,b是正整数),

贝IJ。2-匕2=*+61-x+ll=72,故(a+b)(a-b)=72,

由于a+b与a-b同奇偶，

故;\a+b=lS\a+b=36\a+b=12

入/或入。或者入於，

[a-b=4[a-b=2[a-b=6

当《[〃+b=18(a=11

,A时,解得：\k,."=炉+11=60；

[a-b=4\b=!

当;\a+b=36[a=19

,c时，解得：\,“=按+11=300；

[a-b=2S=17

当,\a+b=\2[a=9

,＜时，解得：,，一”=枕+11=20.所以所有符合的正整数是20、60或300.

a-o=6\b=3

类型四、完全平方公式与几何图形

例1.数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为。的正方形，B种纸片是

边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为。的长方形，并用A种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两

张拼成如图②的大正方形.

（1）仔细观察图①、图②，请你写出代数式（。+6）2,a2+b2,成之间的等量关系是.

（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：

①已知a+b=4,a1+b2=10,求仍的值；

②已知(x—2021?+(x—2019)2=52,求x—2020的值.

【答案】(1)(。+6)2=/+2仍+〃；(2)①3,②±5

【详解】解：(1)(«+b)2=a2+2ab+b2.

(2)①,.,a+b=4,「.(〃+b)2=16.〃+2。6+/=16.

vtz2+Z>2=10,:.ab=3.

②设x-2020=a,贝曦-2021=。-1,x-2019=a+l.

v(x-2021)2+(x-2019)2=52,(a-1)2+(a+l)2=52.

.1.u~—2a+1+ci~+2a+1=52*2a~=50*cT—25"

即(x-2020>=25..-.x-2020=±5.

【变式训练1】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后

用四块小长方形拼成一个"回形"正方形(如图2)

(1)观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是；

,,,9

(2)根据(1)中的结论，右x+y=5,xy=-,则x-y=；

2

(3)拓展应用：若(2021-m)2+(m-2020)=7,求(2021-m)(m-2020)的值

【答案】(1)(a+6)2=(a-6)，4"；(2)4或-4；(3)-3

【详解】解：(1)由图知:(a+6)2=(a-6『+4.6

(2)•••(x+y)2=(x-y^+Axy,•••(x-j)2=(x+j^)2-4xy

9

x+y=5,xy=~,.-.(x-yy7=25-9=16,x-y=4或x-y=-4,故答案为：4或-4

(3)•••(2021一〃z)2+(m-2020)2=(2021-加+加-2020)2一2(2021一机)(加+2020)

且(2021-加)2+(加一2020)2=7,(2021-m)(m+2020)=-3

【变式训练2】数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公

式：+Z>)2=a2+2ab+b1.

(1)如图2(图中各小长方形大小均相等)，请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积(不化简):

方法1：S阴影二；方法2：S阴影=.

(2)由(1)中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？

(3)①已知(冽+〃『=16,mn=3,请利用(2)中的等式，求加-〃的值.

②已知(2加+=13,(2加-〃丫=5,请利用(2)中的等式，求加〃的值.

【答案】(1)4ab,+一(〃一6)2；(2)(Q+6)2-(Q-bp=4〃6；(3)①±2；@1

【详解】解：(1)方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，，阴影部分面积二4"；

方法2：阴影部分面积二大正方形的面积-小正方形面积

・•・阴影部分面积=(a+b)2-(〃-6)2.故答案为：4ab,(a+Z?)2-(a-6)2；

(2)•:(1)中两种方法求得的阴影部分面积相等，.•.(。+6)2-(〃-bp=4融；

(3)①...(机+〃y=16,mn=3,(m+n)2-(m-Amn,

/.(m-〃/=(冽+几丫—4mn=16—12=4,：.m—n=±2；

②(2冽+〃)2=13,(2加-〃y=5,(2m+H)2-(2m-H)2==Smn,

Smn=(2m+n)2—(2m—n)2=8,•••mn=1.

【变式训练3】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.

(1)例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2根据图②能得到的数

学公式是.

(2)如图③，请写出(a+b)、(a-b)、ab之间的等量关系是

(3)利用(2)的结论，解决问题：己知x+y=8,xy=2,求(x-y)2的值.

(4)根据图④，写出一个等式：.

(5)小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形

纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为(3a+b)(a+3b)长方形，请画出图形，并指出x+y+z的值.

类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式.

(6)根据图⑥，写出一个等式：.

【答案】(1)(a-6)2=。2-2岫+按；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ah；(3)56；(4)(a+b+c)2=a2+

b2+c2-\-2ab+