2025年中考数学思想方法复习【分类讨论】不等式（组）中的分类讨论思想（解析版）

不等式（组）中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号和y分别比和各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

2.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

3.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

4.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

一.选择题(共1小题)

1.(2021春•鼓楼区校级期末)解不等式(x-2)(x-l)>0时，我们可以将其化为不等式组

:::或I：：；得到的解集为E或用，利用该题的方法和结论，则不等式

(x-3)(x-2)(无-1)>0的解集为()

A.x>3B.1<x<2C.x<1D.x>3或l<x<2

【考点】解一元一次不等式组

【分析】根据已知不等式得出不等式组，求出不等式组大的解集即可.

【解答】解：(x-3)(x-2)(x-l)>0,

x-3>0或Jx-3<0

原不等式化为:(x-2)(x-l)>0i3X[(x-2)(x-l)<0

解得：x>3或l<x<2,

故选：D.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能求出符合的所有情况是解此题的关键.

二.填空题(共7小题)

^+26

2.(2021春•涪城区校级月考)若关于x的不等式组二^^的所有整数解的和是-12,

x<m

则〃?的取值范围为―-3<际42或2<加？—.

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为-12,可以确定整数解为-5,-4,-3或

-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,再根据解集确定他的取值范围.

^+26

【解答】解：解不等式组3得:-5Vt<"，

x<m

•••所有整数解的和是-12,

二.不等式组的整数解为-5,-4,-3或-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

/.—3<2或2<rrr^B；

故答案为：—3<忻―2或2<.

【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范

围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确.

3.（2021春•郸都区校级期中）若关于x的不等式组[一'”>°的所有整数解的和是15,则加

[13-2xW

的取值范围是—3pw<4或-纭初<—3—.

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为15,可以确定整数解为6,5,4这四个

数，再根据解集确定〃?的取值范围./

【解答】解：解不等式组【“一'",。得：m<E

[13-2xd

•・・所有整数解的和是15,15=6+5+4,

:.x=6,5,4,因此不等式组的整数解为①6,5,4,或②6,5,4,3,2,1,0,-1,-2,

—3,

/.<4或—4^n<—3；

故答案为：3G切<4或-<—3.

【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范

围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确.

4.（2020•拱墅区一模）己知关于x的不等式组的所有整数解的和为7,则0

的取值范围是_7骨<9或-上之<-1—.

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的

解集即可.

【解答】解：①,

[2x-lQ②

•••解不等式①得：x>—,

解不等式②得：益4,

，不等式组的解集为M9,

2

•.•关于X的不等式组产一。>3（"T）的所有整数解的和为7,

12—

...当=>0时，这两个整数解一定是3和4,

2

/.2^^<3,

2

<9,

当仁12<0时，整数解是—2,-1,0,1,2,3和4,

2

/.—<—1,

a的取值范围是<9或-3-Q<—1.

故答案为：7宜<9或-3P<-1.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于〃的不等式组是

解此题的关键.

5.（2021秋•让胡路区期末）若关于x的不等式组/Ex+1,恰有2个整数解，则”的取

—4<0

值范围为

【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案.

【解答】解：解不等式3『Kx+l,得：火J1,

解不等式x-a<0，得：x<a,

则不等式组的解集为

•••不等式组的整数解有2个，

故答案为：0<9.

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟

知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

f3Y+"7<"0

6.（2020秋•芙蓉区月考）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为-9,加的

x>—5

取值范围是—3Pz<6或<-3_.

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解

【分析】解不等式组得出-5<x<--,根据不等式的所有整数解的和为-9知不等式组的整

3

数解为-4、-3、-2或-4、-3、-2,-1,0,1,据止匕可得一2V一%―1或1<一丝等，

33

解之即可得出答案.

【解答】解：解不等式3x+冽<0,得：

3

,/x>-5,

不等式组的解集为-5<x<--,

3

•••不等式的所有整数解的和为-9,

二.不等式组的整数解为-4、-3、-2或-4、-3、-2,-1,0,1,

贝心2〈-竺01或1<-『，

33

解得3PM<6或<—3,

故答案为：3pH<6或-<—3.

【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组

的能力，并根据不等式组的整数解情况得出关于机的不等式组.

2x+1

+3>-1

7.若关于x的不等式组2的所有整数解的和是-7,则加的取值范围是

x<m

—3<2或2<.

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的和为-7,知不等式组的

整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2,据此求解可得.

【解答】解：解不等式生人+3>-1,得：x>-4.5,

2

•••不等式组的整数解的和为-7,

二.不等式组的整数解为-4、-3或-4、-3、-2、-1、0、1、2,

则-3<nr^-2或2<,

故答案为：-3<"PF-2或2<.

【点评】本题考查的是解L元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

Y—n7>f）

8.若关于x的不等式组的所有整数解的和是18,则切的取值范围是_29?<3或

[13-2%昌

—2n^n<—2_.

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为18,可以确定整数解为6,5,4,3这四

个数，再根据解集确定俏的取值范围.

【解答】解：解不等式组得：

[13-27

•••所有整数解的和是18,18=6+5+4+3

:.x=6,5,4,3,因此不等式组的整数解为①6,5,4,3,或②6,5,4,3,2,1,0,-1,

-2

<3或—<—2；

故答案为：2pn<3或<-2.

【点评】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范

围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确.

三.解答题（共12小题）

9.（2021秋•西城区校级期中）阅读下列材料：

根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点产、

。表示的数为X],X2时，点尸与点。之间的距离为PQ=|X]-X2I-

根据上述材料，解决下列问题：

如图，在数轴上，点N、3表示的数分别是-4,8（/、3两点的距离用48表示），点M是

数轴上一个动点，表示数

（1）AB=12个单位长度:

（2）若|加+41-81=20,求切的值；（写过程）

（3）若关于x的方程|x-l|+|x+l|+|x-5|=a无解，则°的取值范围是.

」？耳

【考点】绝对值；数轴

【分析】（1）用两个点所表示的数的差的绝对值进行计算即可；

（2）分三种情况讨论，m<-4,,m>8；

（3）分四种情况讨论，x<-\,-1二:<1,19<5,,

【解答】解：⑴|-4-8|=12,

所以48=12,

故答案为：12；

（2）分三种情况：

当机<-4时，

|m+4|+|m-8|=20,

-m-4+（8—冽）=20,

解得：冽二—8,

当-4y加班时，

|m+4|+|m-8|=20,

m+4+（8-m）=20,

此方程无解，

当冽>8时；

|m+4|+|m-8|=20,

冽+4+加一8=20,

解得：m=12f

答：冽的值为-8或12；

（3）分四种情况：

当时，

|x-l|+|x+l|+|x_5|=t2,

1—x—x—1+5—x—a，

解得：x=三，

解得：a>8,

当一1二<1时，

|X一1|+|X+1|+|X—5j—4Z，

1—x+x+1+5—x—ci，

解得：x=1-a,

/.-—〃<1,

解得：6<a-^,

当上盘<5时，

|x—11+1x+11+1x—5|=q,

x—1+x+1+5—x—a，

解得：x=a—5J

l-^—5<5,

解得：6~Q<10,

当3时，

|x—11+1x+11+1x_5|=q,

X—1+X+1+X—5—6Z,

3

解得：外40,

综上所述：以区时方程有解，

所以：6时方程无解，

故答案为：a<6.

【点评】本题考查了数轴和绝对值的意义，同时渗透了分类讨论的数学思想.

10.（2021秋•平谷区校级期中）若分式一^值为正，求俏的取值范围.

2m-1

关于这道题,某同学根据分式即除法,根据除法处理符号的原则，同号相除得正,得2a-1>0,

求得加>」.

2

根据这位同学的做法，<0,求〃?的取值范围

—J

若立2>o,求用的取值范围_.

2m+3

若％zl<0,求〃7的取值范围_.

3-m

【考点】解一元一次不等式；分式的乘除法；分式有意义的条件

【分析】根据所给例题，结合分式的性质进行解题即可.

【解答】解：

-5

3-m>0,

解得m<3；

2

...m+2>0,m+2>0

2m+3

2m+3>0,

解得冽>--；

2

[m-1>0—Im-1<0

<或<，

[3-m<0[3-m>0

解得冽〉3或冽<1；

故答案为：m<3；m>——；冽>3或加<1.

2

【点评】本题考查分式不等式的解法，理解题意，利用分式的性质，并能根据情况分类讨论

解不等式是解题的关键.

11.(2021春•薛城区期末)例:解不等式(x-2)(x+3)〉0

解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”

]x—2>0fx—2<0

得①，或(V②，

[x+3>0[x+3<0

解不等式组①得，x>2,

解不等式组②得，x<-3,

所以原不等式的解集为x>2或x<-3.

阅读例题，尝试解决下列问题：

(1)平行运用：解不等式/-9>0；

(2)类比运用：若分式±±1的值为负数，求x的取值范围.

x-2

【考点】实数的运算；多项式乘多项式；分式的值；解一元一次不等式组

【分析】(1)根据题目所给信息，进行计算X2=9,X=±3,当x>3或x<-3时即可得出答

案；

⑵根据两数相除‘异号得负’可得①[二/或②口博解不等式组即可得出答案・

【解答】解：(1)根据题意可知，VX2=9,X=±3,

，不等式的解集为x>3或x<-3；

（2）由实数的运算法则：”两数相除，异号得负”,

x+l>0小x+1<0

得①,或②

x—2<0x-2>0

解不等式组①得，-l<x<2,

解不等式组②得，无解,

所以若分式值为负数，则x应满足

所以原不等式的解集为-l<x<2.

【点评】本题主要考查了分式的值及解元■次不等式组，正确理解题目所给的信息进行计

算是解决本题的关键.

12.（2021春•西城区校级月考）阅读材料：解分式不等式义出<o.

x-1

解根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转

3x+6<0:了。解不等式组①得无解，解不等式组②得—所以

化为：①或②1

x—1>0

原不等式的解集是-2<x<l.

请仿照上述方法解下面的分式不等式:

(1)^^>0；

x+2

Y—4

(2)--.

2x+5

【考点】实数的运算；解一元一次不等式；解一元一次不等式组

2x-6>0

【分析】（1）将不等式转化为①或②再分别求解即可;

x+2>0

;二或②二工’再分别求解即可.

（2）将不等式转化为①

【解答】解：（1）原分式不等式可转化为下面两个不等式组:

2x-6>02x-6<0

①或②

x+2>0x+2<0

x>3

解不等式组①得

x>—2

所以该不等式组的解集为X>3.

解不等式组②得尸<3,

[x<-2

所以该不等式组的解集为x<-2.

所以原不等式的解集为x>3或x<-2.

(2)原分式不等式可转化为下面两个不等式组:

①二，x—4-1^0

或②

2%+5<0

解不等式组①得5)

I2

所以该不等式组的解集为-*<2.

2

解不等式组②得5，

x<——

I2

所以该不等式组无解.

所以原不等式的解集为-2Vz.

2

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是将原不等式转化为一元一次不等

式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和依据.

13.(2021春•三元区校级月考)先阅读理解下面的例题，再按要求完成后面的问题：

例：解不等式(x-2)(尤+1)>0.

解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”得：

I.①或x—2<0

②,

x+1<0

解不等式组①，得：x>2；

解不等式组②，得：x<-l.

所以(x-2)(x+l)>0的解集为x>2或x<-l.

根据上述方法解答下列问题：

(1)解一元二次不等式f-4>0；

(2)解不等式&±1<0.

2x-3

【考点】有理数的乘法；解一元一次不等式；解一元一次不等式组

【分析】(1)利用因式分解法得到(x+2)(x-2)>0,则原不等式可转化为①仃+2>°或②

x—2>0

:二;’然后解两个不等式组即可;

(2)利用分式的性质，把原不等式可转化为①或②+,然后解两个不

[2%-3<0[2%-3>0

等式组即可.

【解答】解：(1)(x+2)(x-2)>0,

ry八、rfx+2>0fx+2<0

原不等式可转化为①4或②4,

解不等式组①，x>2,

解不等式组②，x<-2,

即一元二次不等式/-4>0的解集为x>2或x<-2；

/、j八、rz-xf5x+l>0f5x+l<0

(2)原不等式可转化为①或②，

-3<0-3〉0

解不等式组①，-1<x<3,

52

解不等式组②无解，

即分式不等式<0的解集为-<x<之.

2x-352

【点评】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相

乘(除)，同号得正，异号得负的取符号法则.

14.(2021•商河县校级模拟)阅读下面材料，根据要求解答问题：求不等式(2xT)(x+3)>0

的解集.

解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②「“一1<°

[x+3>0[x+3<0

解不等式组①得：%>-.解不等式组②得x<-3.

2

不等式(2x一l)(x+3)>0的解集为x>；或x<-3.

请你仿照上述方法解决下列问题：

(1)求不等式(2尤-3)*+1)<0的解集.

-x-1

（2）求不等式^—W的解集.

【考点】多项式乘多项式；解一元一次不等式组

【分析】（1）将不等式转换为两个不等式组①（2、一3：0或②J2X-3<0,分别求解;

x+1<0x+1>0

⑵将不等式转换为两个不等式①.或②—分别求解;

x+2>0x+2<0

【解答】解：（1）（2x-3）（x+l）<0可得：

f2x—3>0.[2x—3<0

①或r②，

[x+1<0[x+1>0

解不等式①得：无解；

解不等式组②得：-l<x<-;

2

.♦.不等式（2X一3）（》+1）<0的解集为：-l<x<|；

LT

（2）——袅）可得：

x+2>0[%+2<0

解不等式①得：Xp;

解不等式组②得：x<-2；

-X-1

...不等式J—样的解集为：内2或x<-2；

【点评】本题考查二元一次不等式的解法；能够将二元一次不等式转化为一元一次不等式组

是解题的关键.

15.（2021秋•龙凤区期中）先阅读理解，再解答问题.

解不等式：-^>1

解：把不等式进行整理，得一―-1>0,即上三>0.

1-x<0

则有（1）

2x—1<0

解不等式组(1),得

2

解不等式组(2),得其无解.

所以原不等式的解集为-<x<l.

2

请根据以上解不等式的方法解不等式：八~<2.

3x+2

【考点解一元一次不等式；解一元一次不等式组

【分析】利用题中的解法，把原不等式化为心二盘<0.再利用有理数的性质得到

3x+2

fJ-7-5x<0或f-7.-:5Y二>0，然后解两个不等式组即可.

[3%+2>0[3x+2<0

【解答】解：原不等式进行整理，得三即米"

-7-5x<0—7—5x>0

则有(1),或(2)

3x+2>03x+2<0

7

解不等式组(1),得%>-士，

3

解不等式组(2),得了<-工，

5

所以原不等式的解集为或

53

【点评】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：

同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

16.(2021春•丰台区校级期末)已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

-2x+3声3①

,1,、1并依据。的取值情况写出其解集.

-(x-2a)+-x<0@

【考点】解一元一次不等式组

【分析】先分别解两个不等式得到火5和尤<a,然后通过讨论。与3的大小确定不等式组

的解集.

【解答】解：解不等式①得第范，

解不等式②得x<。，

因为实数。是不等于3的常数，

所以当。>3时，不等式组的解集为样；当a<3时，不等式组的解集为x<a.

【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式

的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集

的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

17.(2021春•西秀区期末)阅读理解题：

阅读：解不等式(x+l)(x-3)>0

解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：『/或[二黑

解不等式组卜+1>°得：x>3

[x-3>0

解不等式组尸+1<°得：x<-l

[x-3<0

所以原不等式的解集为：x>3或x<-l

问题解决：根据以上阅读材料，解不等式。-2)0+3)<().

【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组

【分析】根据阅读材料可得：当x-2和x+3异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问

题求解.

【解答】解：解不等式组F-2>°,不等式组无解；

[x+3<0

解不等式组「一2<°,解得一3<X<2.

[x+3>0

总之，不等式的解集是：-3<x<2.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大

中间找；大大小小找不到.

18.(2021春•武城县期末)感知：解不等式9>o.根据两数相除，同号得正，异号得

x-1

负，得不等式组①(x+2>0,或不等式组②+解不等式组①，得x>1；解不

等式组②，得x<-2,所以原不等式的解集为x>l或x<-2.

探究：解不等式生心<0.

X+1

应用：不等式(x-3)(x+5)W的解集是-—只右5_.

【考点】解一元一次不等式组

【分析】(1)先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式;

(2)先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求不等式.

【解答】解：探究：原不等式可化为不等式组①，虫<°或不等式组②，川>0

解不等式组①，得无解.

解不等式组②，得：-1<X<2.

所以原不等式的解集为-l<x<2.

应用：原不等式可化为不等式组：①或②

解不等式组①得：不等式组无解，

解不等式组②得：-5K3.

故答案为：-5W.

【点评】本题考查了一元