2025年中考数学热点题型专项训练：反比例函数与几何综合（解析版）

专题12反比例函数与几何综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01K的几何意义..................................................................................1

题型02特殊几何图形存在性问题......................................................................12

题型03反比例与相似三角形综合......................................................................34

中考练场............................................................................................38

热点题型归纳

题型01K的几何意义

【解题策略】

「应瓦丽荡薮窗豪卫点的巫标痔菱形的强质］廨直备二鬲"舷「与形而砥函函施和恒瓦―反克丽南薇系教了的冗荷

|意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质.

【典例分析】

例1.（2023・江苏宿迁・中考真题）如图，直线y=x+l、＞=x-l与双曲线^=夕左＞0）分别相交于点4B、C、D.若四

边形48co的面积为4,则左的值是（）

V24

C.一D.1

A-1~25

【答案】A

【分析】连接四边形4BCD的对角线/C、3。，过。作。轴，过C作CFLx轴，直线y=x-l与x轴交于点M,

如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形/BCD是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角

形面积求法，确定四边形/BcoulngoMlDE+CF），再求出直线P=xT与x轴交于点M（l,0）,通过联立

y=x—l

＜k求出。、。纵坐标，代入方程求解即可得到答案.

y=-

IX

【详解】解：连接四边形/BCD的对角线4。、BD,过。作Z）EJ_x轴，过。作CF，x轴，直线y=x-1与X轴交于点

如图所示：

根据直线歹=1+1、＞=1与双曲线V=：（左＞0）交点的对称性可得四边形43c。是平行四边形,

SACOD=WS四边形48co=1=2°M-(DE+CF),

•.,直线>=x-l与x轴交于点Af,••・当y=。时，x=l,即M(1,O),

•••y=x-l与双曲线y=g（左＞0）分别相交于点C、D,

y=x-l

「•联立|k即则—左=o,由左＞o,解得、=1±Ji+竺

y=-y2

lX

1—1+Jl+4k—1—Jl+4k)oi-----._zt=t3、小

5><lx--=1,艮PJ4左+1=2,解倚左=a，故选：A.

例2.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点/、5分别在y,x轴上，轴.点、M、N

分别在线段3C、AC±,BM=CM,NC=2AN,反比例函数y='x>0）的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一

X

点，且。P:8P=1:4,的面积为3,则发的值为（）

【答案】B

【分析】过点N作轴于点0,设点A的坐标为4（0⑷（。>0）,点初的坐标为M（56,c）0>O,c>O）,点N的坐

标为（加>0,〃>0）,则C（5仇2c）,OA=a,OB=5b,先求出点N的坐标为N1三,如产［再根据

S^APN=S株彩O4NQ-S^AOP~^NPQ=3可得2斜+6c=9,然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得2a=7c,从而

可得6c的值，由此即可得.

【详解】解：如图，过点N作NQLx轴于点。，

设点A的坐标为/(O,a)(a>0),点M的坐标为M(5b,祖b>0,c>0),点N的坐标为N[m,n)[m>Q,n>0),则C(56,2c),

OA=a,OB=5b,-.■OP:BP=l:4,：.OP=b,BP=4b,

•;NC=2AN,AO\\NQ^CB,

5b

56—机=2(〃z—0)m=——

y-y23"5b2a+2c

ABQ=2OQ,N-cc"-2c=|("2c)‘解得',：.N\——,--------

y-y32a+2cI33

Acn=--------

3

■-OQ=y,NQ=^^,.-.PQ=OQ-OP=y,

•.•春印的面积为3,，片形。32一以。一黑也=3,即:*的(二卢+1-46-、弓二廿=3,整理得:

2ab+bc=9,将点河(5瓦c),N律,网誉〕代入y=&得：k=5bc=--^^,整理得：2a=7c,

V337x33

Q45

将2a=7c代入2ab+bc=9得：7bc+bc=9,解得6。=—,贝!J左=56c=—,故选：B.

88

【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，熟练掌握反比例函数的性质，正确求出点N的坐标是解题关键.

【变式演练】

k

1.(2024•福建泉州•模拟预测)如图，反比例函数y=1(x>0)图象经过正方形O48C的顶点a3c边与y轴交于点D,

若正方形O4BC的面积为12,BD=2CD,则人的值为()

【答案】B

【分析】过点N作轴于点£,过点N作轴于点G,过点2作8〃，/G于点G,过点。作CFLx轴于

点凡过点8作即/，了轴于点M,过点C作。VU轴于点N,,根据已知条件分别证明“。£也A。。尸(AAS),

△丝A/OG(AAS),四边形ONCF,四边形BMGH和四边形AEOG为矩形，即可得出CN=OF=AE=OG=4H,

GH=BM,OE=AG,根据已知条件可以证明ACDNsABDM，得出色=乌=L设点/的坐标为：［加，上］(〃?>0),

BMBD21”，

k

即可得出得出/=3左，根据勾股定理，结合正方形的面积，列出=12,最后将苏=3人代

BMm_k_2UJ

m

入求出发的值即可.

【详解】解：过点N作NELx轴于点£,过点/作轴于点G,过点3作2H，/G于点G,过点C作CFL无轴

于点R过点5作轴于点河，过点。作轴于点N,如图所示:

・・•四边形CUBC为正方形，

JAO=AB=BC=OC,ZAOC=ZOCB=AOAB=ABC=90°,

•—%轴,CF_Lx轴，

JZAEO=/CFO=90°,

•・・ZCOF+ZAOE=180°-90°=90°,ZCOF+ZOCF=90°,

・•・NAOE=ZOCF,

・・.△力O石丝△OCF(AAS),

・•・AE=OF,OE=CF,

VBHLAG,4G_Ly轴,

・•・/BHA=/AGO=90°,

-ZGAO+ZBAH=90°,ZGAO+ZGOA=90°f

ZBAH=ZGOA,

・・・&BAH知AOG(AAS),

OG=AH,

*.*BM_Ly轴，CN_L歹轴，

JZCNO=NCND=ZBMO=90°，

•・•ZCDN=ABDM，

・•・ACDNs丛BDM,

.CNCD1

BM~BD~2"

,：ZCFO=/FON=ZCNO=90°,

・・・四边形ONC尸为矩形,

同理可得：四边形和四边形ZEOG为矩形，

CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

设点/的坐标为：（加（加＞0）,

CN=OF=AE=OG=AH=~,OE=AG=m,

m

:.BM=GH=m~—,

m

m

..•正方形O/BC的面积为12,

OA2=12，

在中，由勾股定理得0/2=/炉+。笛，即m=12,

把加*=3左代入加°勺］=12得：3k+—=12,

Im)3k

1o

解得：k=%.

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几

何综合，相似三角形的性质与判定等等，设出点/的坐标［如找出也与人的两个关系式，是解题的关键.

2.（2023・安徽•二模）如图，A,2两点分别为。。与x轴，y轴的切点.n8=2应，C为优弧48的中点，反比例函

数y=t（x>0）的图象经过点C,则左的值为（）

A.3+2后B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】连接。4。伐。6,过点C作轴于点。，延长交CD于点£,根据切线的性质，等弧所对的圆心角相

等，易得A4。反ACOE为等腰直角三角形，四边形0/2尸为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C的坐标即可.

【详解】解：连接0403,OC,过点C作COLx轴于点。，延长/。交CD于点E,

则：OA=OB=OC,

'-'A,8两点分别为。。与x轴，y轴的切点,

，轴，轴，

/.CM〃x轴，

OA±OB,

四边形/O8b为正方形；

AB=2拒，

：.OA=OB=2,

：.OC=2,BF=2-.

轴，O3J_x轴，OAYOB,

，四边形3DE0为矩形，

ZOEC=90°,DE=OB=2,Z.BOE=90°,OE=BD,

为优弧48的中点，

AAOC=ZBOC=1(360°-90°)=135°,

/.ZCOE=ZBOC-ZBOE=45°,

5

OE=CE=—OC=V2,

2

二CD=CE+DE=1+4i,DF=BF+BD=2+y[l,

Z.C(2+V2,2+V2),

2左=(2+可，

二斤=3+2行，

故选A.

【点睛】本题考查求反比例函数的左值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判

定和性质，勾股定理.解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形.本题的综合性较强，难度较大.

3.（2023・安徽•模拟预测）如图，等腰小3C的顶点分别在反比例函数”=?（%＞0）和%=，（履＞。）的图象上,

AC=BC=W'B-若®。轴，点B的横坐标为3,则…—一.

【分析】本题考查反比例函数的图象与几何综合，勾股定理，以及等腰三角形的性质，过点C作CDL/8于点Z）.设

AB=2a,则/C=8C=V^z,AD=a,CD=2a.设点B的纵坐标为"，表示出A,3,C,£＞的坐标，根据反比例函数

关系式，推出左，质含。的表达式，再求其和，即可解题.

【详解】解：过点C作。8于点D.

设48=2。，贝U/C=2C=a，AD=a,

CD=NAC?-AD。=2a-

设点B的纵坐标为〃，

,D(3,n+a^,A(3,n+2a),C(3-2a,n+a^.

•••点8,C都在外=务的图象上,

X

Q

:.k2=3〃=(3-2)(〃+〃),

3

/.n=—a,

2

9

葭=3n=----3a.

2

•・・点A在必=与的图象上,

X

99

k[=3(〃+2a)=3n+6。=—3。+6。=—F3a,

22

99

..k1+左2=一+3“H----3a=9.

22

故答案为：9.

3

4.（2023・四川成都•模拟预测）如图，直线＞=-+3的图象与V轴交于点A,直线＞=6+左（左〉0）与％轴交于点5,

4

39

与＞=-7x+3的图象交于点M,与歹=一（％＞0）的图象交于点C.当黑河/：S^"c=5:3时，k=_______.

4x

93

【答案】内

【分析】如图所示，过点A作NEL8C于点E,可求出桨=，，如图所示，过点刊作轴于点尸，过点。作CG/X

BC8

轴于点G,根据两直线的交点，直线与反比例函数的交点，分别列方程组，用含左的式子表示出点/，。的坐标，可得

MF,CG的值，由即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作/ELBC于点£,

S&ABM=；BM.AE,S^CM=^MC.AE,

•S^ABM•^AAMC=5:3，

/.{-BM^AE\-MC*AE\=5:3,即典=3,则四=3,

（2八2）MC3BC8

如图所示，过点M作轴于点产，过点。作CG」x轴于点G,

JMF//CG,

.MFBM_5

：.ABMFs&BCG,

*CG-^C-8

3

•.・直线安加碗>。）与尤轴交于点B'与一产3的图象交于点心

3—k12—4左

x———

y=kx+k左+

k+>4312-4左15k]

3r解得,4、4左+3'4左+3）

y=——x+3

415k

y-

41+3

9

•・•直线V=履+左（左>0）与x轴交于点5与》=—（％>0）的图象交于点C,且x>0,

x

yjk2+36k-k

y=kx+kx-------------------

2k

9解得,

y=-18kJ产+361一，

Xy——=------------------

yjk2+36k-k2

,______________15k

f"2+361-左+36左+左)15k“收36k+k.MF=4^=5

(2左2J4左+32CGNH+36k+k8

'2

•t-48左=(4k+3)(J42+36t+左)，45k-4k2=(4左+3)依+36k，960F-1152^+324=0

Q7Q7

80F-96左+27=(204-9)(44-3)=0,.♦.尢=二，k2=-,故答案为：二或巳.

204204

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的面积，相似三角形等知识的综合，掌握求交点坐标的方法,

根据图形面积求出线段的比值是解题的关键.

题型02特殊几何图形存在性问题

【解题策略】

著者亍至馨三而形的甄适而强原「拓旗三鬲形的狗是刘桂康「折叠冗荷在康丁可概蔻逋厂解函曲买键是熊臻孽握三面一

形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

例.(2023•山东•中考真题)如图，直线y=|x与双曲线y=交于A,3两点，点A的坐标为(〃53),点C是

双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点。，且3C=2CD.

备用图

(1)求左的值并直谈写出点B的坐标;

(2)点G是V轴上的动点，连接GB,GC,求G3+GC的最小值；

(3)P是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点尸，。，使得四边形尸。是矩形？若存在，请求出所有符合

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

1317

【答案】(1)k=6,BQ,3)；(2)2A/T7;(3)P(—,0)或(0,—).

T.k

【分析】(1)根据直线y=经过点/(加,-3),可求出点/(-2,-3),因为点力在^=三小片0)图象上，可求出匕

根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；

(2)先根据BC=2CD利用相似三角形的性质求出点C,再根据对称性求出点3关于y轴的对称点夕，连接夕C,即

夕C的长度是GB+GC的最小值；

(3)先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.

T.

【详解】(1)解：因为直线〉经过点A(九-3),

3

所以-3=-XZM,

2

所以m=-2,

所以点/(-2,-3),

k

因为点/在》=口左R0)图象上，

所以上=-2x(—3)=6,

因为y=与双曲线y="(左片。)交于/，8两点，

所以点A和点B关于原点对称，

所以点3(2,3)；

(2)过点5,C分别作BELx轴，CFXxtt,作B关于y轴对称点夕，连接B'C,

因为8E_Lx轴，CF_Lx轴，

所以BE//CF,

所以.BED~ACFD,

r-..BEBD

所r以——=——，

CFCD

因为5C=2cD,

..BEBD3

所cr以——=——=一,

CFCD1

因为2(2,3),所以8E=3,所以CF=1,

所以。点纵坐标是1,

将外=1代入＞可得：x=6,所以点C(6,1),

X

又因为点山是点2关于y轴对称的点，所以点夕(-2,3),

所以2^=^(-2-6)2+(3-1)2=所4+4=768=2,即G8+GC的最小值是2后；

(3)解：①当点尸在x轴上时，

当N4BP=90。，四边形48P。是矩形时，过点8作28_Lx轴,

0HBH

因为/O8P=90。，BH_LOP,所以AOHB~ABHP,所以——=——

BHHP

91313

所以BH?=OHxHP,所以3?=2xHP,所以〃尸=5,所以。尸二万，所以点尸（万，0）；

②当点P在y轴上时，当/4BP=9Q°,四边形48P。是矩形时，过点5作轴,

OHBH

因为NO5尸=90。，BH±OP,所以"HB"HP,所以而=而，所以BH?=OHxHP,

41313

所以2=3x3所以打一s所以。尸=§,所以点尸（。，丁

综合可得：P(913,0)或(0,1―3)

23

【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例

函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.

【变式演练】

1.(2023・湖南邵阳•一模)如图，直线48与x轴交于点A,与P轴交于点5.05是一元二次方程%2一％一30=0的一个

3

根’且tan/。"二点。为神的中点，E为x轴正半轴上一点，BE=2圆直线8与防相交于点儿

(1)求点A及点。的坐标；

⑵反比例函数y=幺经过点尸关于V轴的对称点尸，，求上的值；

X

(3)在直线上是否存在点P,使△/£尸为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴4(8,0)0(4,3)

⑵-生

「25

(3)存在，点P的坐标为(5或或［40+|'715,—24—或(40—：AA~^,—24+.

3__

【分析】(1)先解%,一%—30=0得到两个根,取其正值，可得05=6,再由tan/OZB=—可得04=8,于是可知/(8,0),5(0,6),

4

进而可求得力B的中点0(4,3).

(2)求出直线BE,直线。。的解析式，构建方程组确定交点户的坐标，再根据对称性求出点F的坐标即可.

⑶先运用待定系数法求出直线的解析式为＞=-3+6,设点尸［,-孑+6；分PE=AP,PE=4E和4P=4E三

种情况列式求出f的值即可.

【详解】(1)VX2-X-30=0,

・・再二-5,工2=6,

OB=6,

3

•「tanNO4B——,

4

・OB3

••—t

OA4

J04=8,

・・・4(8,0),5(0,6),

:点。为4B的中点，

...点D的坐标为(，，(；即0(4,3).

(2)在RSOBE中，由勾股定理得：

OE=4BE1-OB2=J40-36=2，

，E(2,0),

设直线班的函数解析式为y=kx+b(k^O),

把8(0,6),£(2,0)代入得：

j2k+b=Q

=6

解得：

［匕=6

直线BE的函数解析式为y=-3x+6,

V。(4,3),

设直线OD的函数解析式为y=mx,

4m=3,解得，^=-,

3

直线8的函数解析式为〉=片，

38

当一3x+6=—%时，x=—

45

止匕时歹=:，

86

555

86

...点尸关于y轴的对称点F'为

555

反比例函数歹=一经过点尸,

x

8648

——x—=-------

5525

(3)设直线48的解析式为＞=ax+b,

将点4(8,0),3(0,6)的坐标代入得,

3

8。+6=0,a=—

6=6'解得：4

n=6

,3

，直线45的解析式为y=-二％+6

4

•・•点P在直线上，

*,*设点尸+6),

/.尸序=«_2)2+[-}+6-0)=||»_13/+40,/炉=色一2)2=36,AP2=(8-+6)=||/2-25/+96

下面分三种情况讨论：

2525

①当尸£=4尸时，—Z2-13/+40=—Z2-25Z+96

1616

解得」=1]4，

314「5

——t+6=——x-----1-6=—

4432

・•・点尸的坐标为

25

②当PE=4E时，一-13？+40=36

16

O

解得：4=81=2

33

——1+6=——x8+6=0,此时点尸不存在,

44

3,38,148

—t+6=—x----F6=------

442525

81481

・•・点2的坐标为

25

③当"时，一〃-257+96=36

16

解得：^=40+|710,?2=4O-|Vio

40+|^0,-24-186

・•・点2的坐标为+-

55

1458148或(40+1而,-24一1^(40-1AA0,-24+|

综上，点尸的坐标为T?2或25,^5"

2.（2023•山东济南•二模）如图，一次函数了=尤+8的图象与反比例函数夕=：（尤＜0）的图象交于/（d6）,3两点.

备用图

（1）求此反比例函数的表达式及点3的坐标；

（2）在y轴上存在点尸，使得4P+BP的值最小，求4P+BP的最小值.

⑶“为反比例函数图象上一点，N为无轴上一点，是否存在点M、N,使是以MV为底的等腰直角三角形?

若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

1o

【答案】（l）y=-上，5（-6,2）

（2）475

⑶存在，M（-4,3）或河’

【分析】（1）先求出点/的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式,

即可求出点8的坐标；

（2）作点A关于V轴的对称点4（2,6）,连接48交V轴于点尸，此时NP+8P的值最小，用勾股定理即可求解；

（3）设丁J,N（〃,0）,根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可.

【详解】（1）解：将4（凡6）带入歹=x+8得：6=。+8,

解得：a=—2

・・・4（-2,6）,

将/（一2,6）代入y=&得：左=孙=一12,

X

12

...反比例函数的表达式为：y=-—,

y=x+8

联立-12,

y=—

二2(-6,2),

17

综上：反比例函数的表达式为：y=-—,8(-6,2)；

X

(2)解：作点A关于V轴的对称点4(2,6),连接43交V轴于点尸，此时4P+BP的值最小,

:A'B=^[2-(-6)]2+(6-2)2=475，

AP+BP=A'P+BP=A'B=4>/5;

(3)解：设1,N(%0),

①M在B点右侧时，过点3作BFLx轴于点尸，过点“作区F,交尸8的延长线于点H,

•/△儿0N是以MN为底的等腰直角三角形,

:.BM=NB,ZMBN=90°,

NHBM+NNBF=90°,

NHBM+NHMB=90°,

ZNBF=NHMB,

在AMHB和RFN中,

ZNBF=ZHMB

</H=ZBFN,

BM=NB

：./\MHB也△BW(AAS),

:・HM=BF,HB=FN,

.Q-(-6)=2-0

="一(一6)'

.•.”(-4,3),

②河在B点左侧时,

同理可得△M/S之△ARV(AAS),

BH=BF,(-6)-a=2-0,

解得：.=一8,

综上：”(-4,3)或

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解

题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想.

3.(2023・四川成都•三模)如图，直线＞与x轴交于点/,与V轴交于点8,与反比例函数＞=—在第一象限内

2X

的图象交于点

⑴求反比例函数的表达式；

⑵点。在点。上方的反比例函数y="的图象上，△48D的面积为9,求点。的坐标；

X

k

⑶在(2)的条件下，点M在x轴上y=公的图象上，若以点M,N,8为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.

【答案】⑴T

X

⑵。(4,2)

(3)(-137,。)或(12,0)或仔12,0)

【分析】

(1)把C(机,1)代入y=卜-3得到C(8,l),由于点C在双曲线＞=人上，求得左=1x8=8,于是得到反比例函数的解析

2X

式为V；

(2)由》=夫-3可知8的坐标为(0,—3),得到A的坐标为(6,0),求得。4=6,OB=3,过。作DF_Ly轴于b，DELx

QQ

轴于E,设。(外上)，则尸(0,2),£(m,0),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

mm

(3)分当BN,DM为平行四边形的对角线时，当BD,是对角线时，当BM,OV是对角线时，三种情况讨论，

Q

设M(a,0),N(n,~),根据中点坐标公式得方程：即可得到结论.

n

【详解】(1)

解：把c(私1)代入y=；x-3,得1=:机一3,

解得：m=S,

/.C(8,l),

•・•点C在双曲线^=工上，

X

「"=1x8=8,

O

，反比例函数的解析式为丁=2；

(2)

解：由丁=；x-3可知B的坐标为(0,-3),

当"0时，0=4-3,

2

x=6,

厂./的坐标为(6,0),

OA-6,OB—3,

过。作_Ly轴于尸，。石_Lx轴于£,

QQ

设。(冽,一)，则/(0,一),£(m,o),

mm

・・・的面积为9,

1Q11Q

-(m+6)--+-x6x3——(3+—)•加=9,

2m22m

解得加=4(负值舍去)，

，。(4,2)；

(3)解：：点M■在无轴上，点N在反比例函数y=勺的图象上,

x

.,.设M(a,O),JV(W,-),

n

•••以点M,N,B,。为顶点的四边形是平行四边形，

・•・当以BN,DM为平行四边形的对角线时，

由中点坐标公式得：

n=4+a

7=2，

、n

12

解得：a=~.

12

即点河(―《，0)；

当AD,MN是对角线时，由中点坐标公式得：

4=a+n

<_.8,解得：。二12,

—3+2=一

、n

即点”的坐标为：(12,0),

当BM,是对角线时，由中点坐标公式得：

。=4+〃

13=2+加

、n

12

解得〃=

171?

综上，点M的坐标为（请，0）或（12,0）或（三，0）.

【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，分类求

解是本题解题的关键.

4.（2022•山东济南•一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+6与反比例函数y=：（x>0）的图象交于点

A（3,〃），与y轴交于点巩0,-2）,点尸是反比例函数y=：（x>0）的图象上一动点，过点P作直线尸。〃了轴交直线

y=》+方于点0,设点P的横坐标为且0<f<3,连接/尸，BP.

（1）求左,6的值.

⑵当A4B尸的面积为3时，求点尸的坐标.

⑶设尸。的中点为C,点。为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以比C,D,£为顶点的四边形为正方形时,

求出点尸的坐标.

【答案】（1）笈=3；b=-2

⑵户（独网

⑶尸(2,|］或(1,3),(273-3,273+3)

【分析】（1）将点3代入>=x+6,求得6,进而求得y=x-2,将/点坐标代入求得“

（2）表示出尸。的长，根据;P0•（猫-/）=3求得进而得出点尸的坐标；

（3）分为8C是边，点£>在x轴正半轴上和在负半轴上，以及3C为对角线.当8c为边时，点£>在x轴正半轴上时,

过点C作C广，V轴，作。GLCB,证明ABCF/CG。，进而得出C尸=OF,从而求得f的值，另外两种情况类似方

法求得.

【详解】(1)•.•直线y=x+6过点3(0,-2),

1>.0+Z)=—2，

b=—2,

・・•直线)=x-2过点4(3,〃),

〃=3—2=1,

・•・4(3,1),

k

=£过点4(3,1),

X

k=xy=3x1=3；

(2)•.•点P的横坐标为K

Q(tj，-2)

3

***PQ=：-(，-2)，

・.・4(3,1),5(0,-2),

=；尸。，（孙-乙）,

又S"PBS/PQ+S_PQ

iQ

--------(t-2)x3=3,

2tV7

•t=A/3,

：.P

(3)如图1,

当5。是边，点。在x轴正半轴上，

作CF_LO5于E作。G_LW于G,

・・・NBFC=NG=90。,

：./FBC+/FCB-

*.*/BCD=90。,

：.ZDCG+ZFCB=90°f

：.ZFBC=ZDCG,

BC=CD,

：・ABFCMACGD(AAS),

：.CF=DG,

;OF=DG,

：.OF=CF,

.-+t-2

----=tf

2

Zj=1,t2=-3（舍去），

/.尸(1,3)

如图2,

当点。在x轴的负半轴上时,

由上知：BG=DF=2,

；"=2,

当3C是对角线时,

图3

当2C是对角线时，点。在x轴负半轴上时,

可得：CF=OD,DF=OB=2,

,t=1,

/.尸(1,3),

如图4,

CG=DF=2,DG=BF,

-+t-2

t+2^1--------

2

：.£=2也-3,t2=-2-\/3-3(舍去)，

当二26一3时,y=J=2A/3+3

P（2百-3,2百+3）,

综上所述：尸（2,|］或（1,3）,（2百-3,2月+3）.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知

识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系.

3k

5.（2023•山东济南•二模）如图，在直角坐标系中，直线了=-^%与反比例函数>=\的图像交于加，3）、8两点.

(1)求反比例函数的表达式；

3

(2)将直线＞向上平移后与V轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点。，如果的面积为16,求

直线向上平移的距离；

(3)£是y轴正半轴上的一点，尸是平面内任意一点，使以点N,B,E,尸为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件

的点£的坐标.

【答案】⑴一上12

x

⑵4

(3)用(。胃)，石2(。，5)

【分析】(1)用待定系数法求反比例函数解析式即可；

(2)连接NC、BC,设平移后直线CD的解析式为y=+得出点。(0力)，

根据直线CD平行直线得出S△.=S，根据点/、点8关于原点对称，得出点/4,-3),根据

Sac=；℃•(马-均)=16,列出关于6的方程，解方程即可；

(3)设矶0,冽),4(-4,3),3(4,-3),得出/衣=(4++(3+37=100,AE2=(-4-0)2+(3-m)2^m2-6m+25,

5£2=(4-0)2+(m+3)2=/M2+6m+25,分两种情况，当NB为边时，当43为对角线时，分别求出用的值即可.

33

【详解】(1)解：令一次函数＞=中》=3,则3=-1X

解得：工=_4,即点4的坐标为(-4,3),

•.•点A(-4,3)在反比例函数的图像y=:上，

左=—4x3=—12,

・••反比例函数的表达式为歹=-上12；

(2)解：连接力。、BC,如图所示:

3

设平移后直线CD的解析式为歹=-+6,

4

...点C(O,6),

•.•直线CD平行直线

••S&ABD=S&ABC，

,/△28。的面积为16,

:点/、点2关于原点对称，

•••点8(4,-3),

SZUBC=5OC-(^xB-XA)=\6,

—&x8=16,

2

Z?=4,

.-.C(0,4),

...直线向上平移的距离为4.

(3)解:设矶0,冽),/(-4,3),5(4,-3),

则/京=(4+4丫+(3+3)2=100,

=(-4-0)2+(3-m)2=/M2-6m+25,

=(4-0)2+(w+3)2=m2+6m+25,

①如图，当48为边时，止匕时满足482+/£2=区片,

即：100+m2-6m+25=m2+6m+25，

解得根=三25，

②如图，当48为对角线时，此;时满足=/»!,

即m2—6m+25+m2+6m+25=100，

解得机=±5（-5舍去），

旦（。，5）；

【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平