2025年中考数学热点题型专项训练：二次函数与几何综合（解析版）

专题13二次函数与几何综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01二次函数与相似三角形综合.....................................................................1

题型02特殊几何图形存在性问题.......................................................................4

题型03最值问题....................................................................................53

中考练场............................................................................................62

热点题型归纳

题型01二次函数与相似综合

【解题策略】

「三次菌薮囱豪壬点的巫标痔厄一菱形的桂庙厂廨直第三函舷「三隔形而彳式笛的兔和性质「反庇的南薮系教工的冗荷意

I义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质.

【典例分析】

例.（2023・湖北随州•中考真题）如图1，平面直角坐标系工⑪中，抛物线＞="2+为+'过点4-1,0）,8（2,0）和10,2）,

连接BC,点尸（私〃）（机〉0）为抛物线上一动点,过点尸作尸N,尤轴交直线8C于点W,交x轴于点N.

AX

。B\x/°\飞，八XAo\B\

（图1）（图2）（备用图）

⑴直谈与耳抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图2,连接OW,当AOCM为等腰三角形时，求加的值;

(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点。，使得以O,P,。为顶点的三角形与以8,C,N为顶点的三角形

相似(其中点尸与点c相对应)，若存在，自球写出点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线：y=-x2+x+2；直线2C：y=-x+2

(2)〃?=1或加=正或〃?=2

(3)P(a,夜)，0(0,亚-1)或尸(1+6,-1-内)，。(0,1)或21+囱,-3-指)，。。-2)

【分析】(1)由题得抛物线的解析式为>=a(x+l)(x-2),将点C(0,2)代入求。，进而得抛物线的解析式；设直线8c的

解析式为、=履+小将点B,C的坐标代入求左，3进而得直线BC的解析式.

(2)由题得加(%-加+2),分别求出OC,OM,CM,对等腰AOCH中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；

(3)对点尸在点B左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解〃7,进而可得

P,。的坐标.

【详解】(1)解：,•,抛物线过点4-1,0),8(2,0),

抛物线的表达式为y=a(x+l)(x-2),

将点C(0,2)代入上式，得2=-2a,

•>-a=-1.

・•・抛物线的表达式为歹=-(X+1)(%-2),即y=r2+%+2.

设直线BC的表达式为y=kx+t,

[0=2k+1\k=—\

将点B(2,0),C(0,2)代入上式，得2=,，解得"2•

直线BC的表达式为了=-x+2.

(2)解：•・・点M在直线8C上，且尸(见〃)，

点、M的坐标为(%-加+2).

OC=2,CM2=(m-0)2+(-7M+2-2)2=2m2,OM2=m2+(-m+2)2=2m2-4m+4.

当AOCM为等腰三角形时，

①若CM=OM,则CM2=OM1,

即2m2=2m2-4m+4，

解得m=l.

②若CM=OC,贝l|CM2=OC2,

即2m2=4，

解得"/=&或加=-亚(舍去).

③若(W=OC,则

即2m2-4m+4-4>

解得加=0(舍去)或机=2.

综上，机=1或"7=收或加=2.

(3)解：,点•与点C相对应,

APOQSACBN或APOQSACNB.

①若点尸在点B左侧，

贝IJ/C5N=45°,BN=2-m,CB=20

当APOQSRCBN,即NPOQ=45。时，

直线。的表达式为V=x,

—m2+m+2=m,解得以=后或%=-0(舍去).

OP2=(V2)2+(V2)2=4,即。尸=2.

.OPOQ2_OQ

"BCBN'B2V22-V2'

解得=

P(V2,V2),2(0,72-1).

当APOQSKNB,即NPQO=45。时，

PQ=V2m,OQ=—nr+m+2+m=—m2+2m+2,

2

.PQOQRyflm-m+2m+2

,•二,印,

CBNB2722-m

解得加=1+6（舍去）或m=（舍去）.

②若点P在点B右侧，

则NCSN=135°,BN=m-2.

当APOQSCBN,即/尸00=135。时，

直线o尸的表达式为y=-x,

-nV+m+2--m>解得机=1+或/«=1-G（舍去）

OP=y[2m=V2+V6,

:.空=吗即。=户，解得。0=1.

BCBN2V21

AP（l+V3,-1-V3）,2（0,1）.

当/OQSACNB,即APQO=135°时,

PQ=42m，OQ=|-m2+m+2+m|=m2-2m-2.

加加ATJ/—A..

,P。OQnny[^2jn2—2—2/Hf—_p.ZX

7-■-»即—尸=----------，解得冽=1+若或加=1一若(舍去).

CBNB2V2m-2

・•.1(1+技-3-®2(0,-2).

综上,PS，0(0,--1)或尸(1+省0(0,1)或尸(1+石,-3-石),2(0,-2).

【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系

中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

【变式演练】

1.(2023•广西梧州•一模)如图，抛物线与无轴相交于点次3,0)、点3(-1,0),与了轴交于点C(0,-3).

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸为抛物线在第三象限图象上的点，且=求尸点的坐标；

(3)如图2,点。是抛物线上一动点，连接OD交线段ZC于点E当与相似时，求点。的坐标.

【答案】(1)尸--2苫-3

⑶(空匚,3-邓)或(力「2力).

【分析】

(1)利用待定系数法确定函数解析式；

(2)如图，过点尸作尸于点利用锐角三角函数的定义求得答案;

(3)如图2,过点。作DKLx轴于点K,构造直角AOOK,设。(〃?,加？-2m-3),则K(私0).并由题意知点。位于

第四象限.由于/A4c是公共角，所以当与“3C相似时，有二种情况:

①NAOD=NABC.贝心a11/4。。=1311/48。=3.由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点。的坐标.

②NAOD=NACB.则tan44。。=tan//CB=2.由锐角三角函数定义列出比例式，从而求得点。的坐标.

【详解】(1)

设抛物线解析式为:y=ax2+bx+c,将点4(3,0),5(-1,0),C(0,—3)分别代入得:

9。+36+c=0d—\

a-b+c=0,解得＜b=-2,

c=-3c=-3

故抛物线解析式为：y=f-2x-3；

(2)

如图1,过点尸作尸于点H,

•1•NPAB=ZOCB,

/.tanZ.PAB=tanZ.OCB,

•.•点8(-1,0),点C(0,-3),

tanZOC5=-,

3

设尸(%,%2—2x~3),

x22x+3

~+=L,解得x=或3(舍去)，

3-x33

二P点的坐标为(一|,一m;

(3)

如图2,过点。作轴于点K,

设。（用,加2-2冽-3）,则K（加,0）.并由题意知点。位于第四象限.

DK=-m2+2m+3,OK=m.

•••NA4c是公共角，

・••当A4OE与AABC相似时，有二种情况：

①ZAOD=NABC时，AAOE^ABC,

tanZAOD=tanNABC=3.

.•「9+3=3,解得叫=姮匚，%=土巫（舍去），

m2。2

,V13-l3-3叵

n丁，

®ZAOD=ZACB^i,AAOESAACB,

过点B作8QL/C于点。.

图3

AAOC=90°,OA=OC=3,

ZOAC-ZOCA=45°,AC=3^•

•;NBQA=90°,:.ZQAB+ZQBA=90°.

ZQAB=ZQBA=45°.

•.・在直角中，AQ2+BQ2=AB2,AB=4.

：.AQ=BQ=2y/2.

Cg=3V2-2V2=V2.

•••ZBQC=90°,:.tanZACB=吆=嘈=2,

CQV2

/.tanZAOD=tan/ACB=2.

...冽+2"+3=2,解得/=G，m=-^3（舍去）

m

\D（C,-2A/3）.

综上所述，当△/OE与"BC相似时，点。的坐标是（当二L屈）或（省,-273）.

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求函数解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、

利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.

2.（2023•山东泰安•二模）抛物线y="2+bx+c过力（2,3）,5（4,3）,。（6,-5）三点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图①，抛物线上一点。在线段ZC的上方，DELAB交AC于点、E,—,求点。的坐标;

AE2

(3)如图②，尸为抛物线顶点，过A作直线点。在x轴上运动，是否存在这样的点尸、Q,使得以3、P、。为

顶点的三角形与A/BF相似，若存在，请直接写出点P的坐标.若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的表达式为丁=一一+6》一5

715

25T

⑶存在，点P的坐标为(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或(2,-1)

【分析】(1)利用待定系数法解答即可;

(2)过点A作N尸，交x轴于点打，交过点E且平行于x轴的直线于点尸，设。(九-加+6以-5),利用待定系数

法求得直线4c的解析式，用含机的代数式表示出。£,AE,再利用已知条件得到关于用的方程，解方程即可得出结

论;

(3)利用点的坐标和等腰直角三角形的判定定理得到：为等腰直角三角形，则△尸8。为等腰直角三角形，利用

分类讨论的方法分5种情形讨论解答：利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得线段尸。的长度，则

结论可求.

【详解】(1)解：••・抛物线＞="2+乐+,过/(2,3),8(4,3),C(6,-5)三点,

4。+2Z?+c=3

16。+46+。=3,

36a+6b+c=-5

a=-1

解得：＜6=6,

c=-5

•.・抛物线的表达式为丁=--+6x—5；

(2).・.4(2,3),8(4,3),

/.43〃x轴，

过点A作/尸，N2,交x轴于点H,交过点E且平行于x轴的直线于点歹，如图,

^2.D(m,-m2+6m-5),

设直线AC的解析式为y=kx+n,

J2左+〃=3

\6k+n=-5*

[k=-2

'[n=7'

：.直线NC的解析式为y=-2x+7,

/.£(m,-2m+7),

/.DE=(—w2+6m—5)—(—2m+7)=—m2+8m—12.

•・・力(2,3),E(m,-2m+7),

EF=m-29AF=3-(-2m+7)=2m-4=2(m-2),

AE=yjAF2+EF2=V5(m-2),

..DE45

•---二---，

AE2

.-m2+8m-12V5

-V5(m-2)—2，

7

:.m=2(不合题意，舍去)或加.

2

7

/.m=—

2

715

:.D

25T

(3)存在这样的点尸、。，使得以5、P、。为顶点的三角形与方相似，点尸的坐标为(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或

(2,-1).理由：

,/y=-x2+6x-5=-(X-3)2+4,

."(3,4),

过点/作切_L48于点X,贝==FH=\,AB=2,

:.AB=BH=FH=-AB,

2

^FAB为等腰直角三角形.

••・以8、P、。为顶点的三角形与△NB尸相似,

为等腰直角三角形.

①当NQ7吆=90。，尸0=尸8时，如图,

设直线/交x轴于点。，

vZQPD+ZAPB=90°fZ_APB+ZABP=90°,

ZQPD=ZABD.

在△。心和△月比1中，

ZQDP=ZPAB=9(T

<ZQPD=ZPBA,

QP=PB

,△0。。也△PA4(AAS),

:.PD=AB=2,

•.P(2,-2)；

②当N50P=9O。，尸。二。8时，如图，

过点。作。交R4的延长线于点过点P作尸N，“。，交”。的延长线于点N,

则四边形力为矩形，四边形43分为矩形，四边形尸N0。为矩形,

:.MQ=AD=3,AM=NP,PD=NQ.

ZQPN+ZPQN=90°,ZPQN+ZMQB=90°f

ZQPN=ZMQB.

在△07W和力加中，

"N=/M=9V

<ZQPN=ZBQM,

PQ=QB

.•.△Q/W名△BQM(AAS),

..NP=MQ=3,QN=BM.

:.AM=NP=3,

BM=AM+AB=59

NQ=BM=5,

•.P(2,-5)；

③当/。夕5=90。，尸0=必时，如图，

vZQPD+ZAPB=90°fZAPB+ZABP=90°,

AQPD=ZABD.

在△0PZ)和△PR4中,

ZQDP=ZPAB=9(f

<ZQPD=ZPBA,

QP=PB

:AQPDAPBA(AAS),

;.PD=AB=2,

，尸(2,2)；

④当/尸。8=90。，=时，如图,

过点5作。于点"，

ZBQD+ZPQD=90°,ZBQD+ZQBM=90°,

/.ZPQD=ZQBM.

在△。夕。和中，

ZPDQ=ZQMB=90°

<ZPQD=ZQBM,

PQ=QB

.♦.△QR泾△08N(AAS),

:.QD=BM=3,PD=QM,

OQ=OD+QD=5,

•：OM=A,:.QM=OQ-OM=1,

：.PD=QM=\,.,.P(2,-l)；

⑤当NPQ8=90。，尸。=。8时，如图,

过点。作。交4B的延长线于点M,显然M0=3,AB=2,--MQ^AB,

此种情形不存在.

综上，存在这样的点尸、。，使得以8、P、。为顶点的三角形与凶8尸相似，点P的坐标为(2,-2)或(2,-5)或(2,2)或

(2,-1).

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，

一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段

的长度是解题的关键.

3.(2023•广东汕尾•二模)如图，抛物线与x轴交于/、3两点(3在N的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点为。(-1,4).

(1)求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点尸作轴于点交BC于点、E,连接尸C,是否存在点

P,使得APCE与A8ME相似？若存在，请求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=f2_2x+3⑵存在，尸点坐标为(-1,5)

【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质.

(1)设出顶点式，待定系数法求解析式即可；

(2)求出45的坐标，进而求出5c的解析式，设尸+则£(0+3),易得是等腰直角三角形,

根据相似，得到APCE也是等腰直角三角形，分/尸CE=90。和NEPC=90。，两种情况，进行讨论求解即可.

利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键.

【详解】(1)解：设y=a(x+iy+4,

将点C(0,3)代入，得3=a+4,

■■CL——1,

••——(x+I)+4=-x2—2x+3；

(2)存在点尸，使得APCE与ABME相似，理由如下：

令y=0,则-X2-2X+3=0,

••x—1jc——3，

.•./(1,0),8(-3,0),

fb=3[k=\

设2C的解析式为＞=h+6,,.*J,,,.'.y=x+3,

[一3左+6=0[b=3

设尸卜，—产—2t+3),则E(/J+3),

VC(0,3),/.OC=OB,：.ZCBO=45°,

VPM：.ZEMB=90°,

•/NBEM=APEC=45°,；.ABEM是等腰直角三角形，

△尸C£与ABME■相似，

APCE也是等腰直角三角形，

①当ZPCE=90°时，EC=^-PE,A2r=1(Z2+3?)2,/=一1或”一5,

-3<Z<0,.•.尸(-1,5)；

6

②当NE尸。=90。时，PE=—CE,

2

.(J3)2'.•."3+孝或”3一孝

•・・-3v，＜0,・•・此种情况不存在;

综上所述：P点坐标为（-1,5）.

题型02特殊几何图形存在性问题

【解题策略】

著香了三鬲形丁血选形的骊薪桂庙丁而领三鬲形的骊运前电贰一句展楚迪丁廨频的关键层飘臻擘握三鬲形相做的的一

定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

i丽芬而

例1.（2023•山东淄博・中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过QB的三个顶点，其中O为坐标原点，点/（3,-3）,

9

点8在第一象限内，对称轴是直线1=:，且△045的面积为18

⑴求该抛物线对应的函数表达式;

⑵求点B的坐标;

(3)设C为线段48的中点，尸为直线08上的一个动点，连接4P,CP,将沿CP翻折，点A的对应点为4.问

是否存在点P,使得以4,P,C,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

2

【答案】⑴>=§无2-3x

⑵(6,6)

(3)存在，P点的坐标为］mH-3或［乎+6,岑+6］或［-孚+6,-¥+61

b9

【分析】(1)根据对称轴为直线x=-g=J,将点A代入，进而待定系数法求解析式即可求解；

(2)设历一3”，过点A作所，y轴交于E点，过8点作8尸，所交于尸点，继而表示出AO/8的面积，根

据ACMB的面积为18,解方程，即可求解.

(3)先得出直线。的解析式为V=x,设尸。J),当8P为平行四边形的对角线时，可得4P=4C,当8c为平行四边

形的对角线时，BP=AC,进而建立方程，得出点尸的坐标，即可求解.

AQ

【详解】⑴解：・・•对称轴为直线x=—g

2a4

9

b=—a(T),

2

将点/(3,-3)代入y=ax2+for得，

9〃+36=-3②，

,2

ci——

联立①②得，3,

b=—3

2

・••解析式为>=-3%；

(2)设加,|历-3%］,如图所示，过点A作跖，y轴交于E点，过3点作8尸，斯交于尸点，

.•.尸（加,-3）,£（0,-3）,

2

则OE=3,/£=3,/尸=机一3,8尸=§"/一3m+3,

1m2

・V=—mx~-3加+3+3二18

••Q^AOB2

解得：加=6或加=-3（舍去），

（3）存在点P,使得以4，P，C,8为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

・・・4（3,-3）石（6,6）,

设直线08的解析式为歹=丘，

6k=6,解得：k=1,

・•・直线08的解析式为P=x,

设尸（。），

如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，BC//A.P,

图2

BC=AXP,

・・,AC=BC,

：.AC=AXP,

由对称性可知ZC=4。，AP=AXP,

：.AP=AC,

J”3)2+0+3)2=<3-|[+1-3高

3

解得：

点的坐标为之m，总

如图3,当BC为平行四边形的对角线时，BP//AtC,BP=A}C,

图3

由对称性可知，AC=AlC,：.BP=AC,

6-?2+6-?2=3-

7()()Jf1]'解得：t=^-+6^t=-^-+6,

.上八4工一二，3、/^U3A/5r(3-\/53\话

••尸点的坐标为|三一+6,行-+6或一一—+6,-^-+6

综上所述，尸点的坐标为1|，£|或或1孚+6,岑+6)或一孚+6,-芋+6.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解

题的关键.

例2.(2023・西藏・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=f2+6x+c与x轴交于/(-3,0),8(1,0)两点，与夕轴

交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图甲，在y轴上找一点Z),使A/C。为等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

(3)如图乙，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在P、。两点使以点4,C,P,。为顶点的四边形是菱形？若存在,

求出P、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)J7=-x2-2%+3；

(2)(0,0)或(0,-3)或(0,3-3后)或(0.3+3V2)；

(3)存在，尸卜1,3-g)，0卜4,一旧)或网一1,3+&7),0卜4,&7)或尸(-1,1),。(一2,2)或网一1,旧)，0(2,3+m)

或尸卜1,_巧)，2(2,3-V14)

【分析】(1)将/(-3,0),2(1,0)代入＞=--+云+。，求出仇c,即可得出答案；

(2)分别以点。为顶点、以点A为顶点、当以点C为顶点，计算即可；

(3)抛物线＞=---2乂+3的对称轴为直线x=—l,设P(T,。，。(九〃)，求出4c2=18,AP2=t2+4,PC2=t2-6t+lQ，

分三种情况：以/尸为对角线或以NC为对角线或以CP为对角线.

【详解】⑴解:(1)•••『TO),2(1,0)两点在抛物线上,

.fo=-(-3)2-3Z)+c

0=-12+6+C

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

(2)令x=0,V=3,

/.C(0,3),

由ANC。为等腰三角形，如图甲，

当以点。为顶点时，N=DC,点。与原点O重合,

.•.0(0,0)；

当以点A为顶点时，AC=AD,/O是等腰A/CD中线,

OC=OD,

-3）；

当以点C为顶点时，AC=CD=^OA2+OC2=A/32+32=372

点D的纵坐标为3-372或3拒+3，

•••综上所述，点D的坐标为（0,0）或（0，-3）或（0,3-3®）或（0,3+3亚上

（3）存在，理由如下：

抛物线y=f2_2x+3的对称轴为：直线尤=-1,

设尸（一11）,Q{m,n）,

-3,0）,C（0,3）,

则=（_3了+32=18,

=（_1+3『+产=产+4,

PC2=（-1）2+（?-3）2=〃-6/+10,

•.•以4C、P、。为顶点的四边形是菱形，

分三种情况：以工尸为对角线或以/C为对角线或以C尸为对角线，

当以/P为对角线时，则CP=。，如图1,

•,"2一6，+10=18，

解得：/=3土Vrz>

8（-1,3-或己（-1,3+网

•.•四边形NCPQ是菱形，

尸与C。互相垂直平分，即4尸与C0的中点重合,

当网-1,3-历）时，

.m+0-3-1〃+30+3—VT7

••----------------,------------------------，

2222

解得：m=—4,n=—A/FZ,

AQ（-4，-Vi7）

当£（-1,3+后）时，

,7/z+O-3-1〃+30+3+、7

••----------------,-----------------------，

2222

解得：m=—4,n=VP7，

二。23，呵

以/C为对角线时，则尸C=4P,如图2,

解得：/=1,

.1.^(-1,1),

•.•四边形/尸C0是菱形,

•••/C与尸。互相垂直平分，即/C与C。中点重合,

.m-\-3+0n+10+3

2222

解得：m=-2,n=2,

.•.03(-2,2)；

当以CP为对角线时，则4P=/C,如图3,

图3

"+4=18，

解得：t=

.•.々（-1阿£卜1,-婀，

•.•四边形zc。尸是菱形，

.•.2。与CP互相垂直平分，即/。与CP的中点重合，

.-3+加0-1n+03±\J\A

••----------------------，

2222

解得：m=2,n=3士后

/.g4（2,3+V14）,ft（2,3-714）,

综上所述,符合条件的点P、Q的坐标为：尸卜1,3-旧），0卜4,一如）或尸卜1,3+&7）,0（^,&7）或尸（-1,1）,0（-2,2）

或尸卜1,旧），0（2,3+旧）或尸卜1,一折可，g（2,3-V14）

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的性质、分类

讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键.

例3.（2023•内蒙古•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f2+6x+c与x轴的交点分别为A和2（1,0）（点

A在点B的左侧），与了轴交于点C（0,3）,点尸是直线/C上方抛物线上一动点.

（i）求抛物线的解析式;

（2）如图1,过点尸作X轴平行线交ZC于点E,过点尸作y轴平行线交无轴于点。，求尸E+PD的最大值及点尸的坐标;

⑶如图2,设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P,点W运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形尸MCN为矩形,

求出所有符合条件的点N的坐标.

【答案】（l）y=-x2-2x+3

49_

（2）尸。+PE的最大值为胃，点尸的坐标为

O

（3）符合条件的N点坐标为：N（0,4）或V

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）先求得直线ZC的解析式，设尸（私-/_2加+3）,则尸£=_羽2_3加，PD=-m2-2m+3,得到

PD+PE=-2^m+^+y,利用二次函数的性质求解即可；

（3）先求得抛物线的顶点尸（-1，4）,对称轴为》=一1,分当点N在夕轴上和点N在无轴负半轴上时，两种情况讨论，当

点N在无轴负半轴上时，证明△CMGs/XNC。，求得CG=-卜，再证明△CMGg△尸求得点尸的坐标为

由点P在抛物线上，列式计算求解即可.

【详解】⑴解：：抛物线y=f2+6x+c与x轴交于点8（1,0）,与V轴交于点C（0,3）

-\+b+c=0

c=3

解得

[c=3Q

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）解：当y=。时，0=_/-2x+3，

解得占=-3,x2=1,

4-3,0）,

设直线/C的解析式为：y=kx+n（k^O）,

把4（-3,0）,C（0,3）代入得：[-3〃："=0,

[n=3

[k=\

解得,

[〃=3

・,・直线ZC的解析式为歹二%+3,

设P{m.-m2-2m+3),

•・・PE〃x轴,

・••点E的纵坐标为-加之一2加+3，

又・・,点E在直线/C上，

-m2-2m+3=x+3，x=-m2-2m,

E^-m2-2m,-m1—2m+3),

PE=-m2-2m-m=-m2-3m，

・・•尸歹轴，

***PD=-m2-2m+3，

,、(5V49

PD+PE=-m2-2冽+3+(一加之一3加)二一2加2-5m+3=-2lm+—I+—,

,•*—2<0,—3<加<0,

549

J当加二一二时，尸。+尸£有最大值，最大值为二，

48

当“1时，y=j_2X(T+3=||,

点P的坐标为兽1;

I416；

、

答：PD+PE的最大值为:49，点尸的坐标为/-516,32；

8I416)

(3)解：y=-x2-2x+3=-(x+l)"+4,

则抛物线的顶点尸(-1,4),对称轴为x=-l,

情况一：当点N在y轴上时，尸为抛物线的顶点，

:四边形尸MCN为矩形,

N与尸纵坐标相同，

...N(0,4)；

情况二：当点N在x轴负半轴上时，四边形PA3为矩形,

过M作V轴的垂线，垂足为G,过尸作x轴的垂线，垂足为

:・/MCN=/CNP=90。，CM=NP,

：.ZMCG+ZOCN=9Q°,

ZONC^ZOCN=90°,

：.ZMCG=ZONC,

又•・・ZCGM=ZCON=90°,

/\CMGsANCO,

.CGMG

*^N~~OC

•・•抛物线对称轴为x=-1,点M在对称轴上，。（0,3）,

：.MG=\,OC=3,

,号j即CG=—>

VZMCG+ZCMG=90°fZONC+ZPNH=90°,

ZCMG=ZPNH,

丛CMG空丛PNH,

NH=MG=1,HP=CG=—t,

3

・•・OH=ON+NH=-t+l,

・,•点尸的坐标为-g］，

・・•点尸在抛物线上，

1、,,

——/=—1)-2«-1)+3,

解得匕叵，1+V145(舍去)，

1626

••・川匕叵刀，

I6J

综上所述：符合条件的N点坐标为：N(0,4)或N-4—,0.

I6J

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关

键是方程思想的应用.

例4.(2023・辽宁•中考真题)如图，抛物线、=-；/+加+。与x轴交于点A和点8(4,0),与了轴交于点C(0,4),点石

在抛物线上.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)点£在第一象限内，过点£作即〃了轴，交5c于点尸，作尤轴，交抛物线于点点H在点£的左侧，以线

段E尸,为邻边作矩形斯GH,当矩形斯G"的周长为11时，求线段E8的长；

⑶点W在直线/C上，点N在平面内，当四边形OENW是正方形时，请直接写出点N的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=-g/+x+4；

Q)EH=4；

—-一/”人/73、f-5+V57-n-3s［51}/-5-后-11+3^\

⑶点N的坐标为(4,4)或「展小或［---,---)或［—>,一户J

【分析】(1)利用待定系数法即可求解;

(2)先求得直线BC的解析式为y=r+4,设小W-1+丫+力则厂(x,-x+4),利用对称性质求得

H\2-X,-\X2+X+A,推出GH=斯=-工/+2无，GF=EH=2x-2,利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可

I242

求解；

(3)先求得直线NC的解析式为了=2x+4,分别过点河、E作歹的垂线，垂足分别为尸、Q,证明尸附△MO。,

加，一;冽2+加+4),则M

推出PE=。。，PO=M。,设£-m2-m-4,m由点M在直线ZC上，列式计算，可求

2

得机的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点M(a,6),则点£仅,-°),当绕着点。逆时针旋转90。得到OE时,

当点M绕点。逆时针90°得到点£时，根据旋转的性质，可得点N的坐标.

【详解】⑴解：•••抛物线y—gv+bx+c经过点8(4,0)和C(0,4),

1

—x49+46+c=0

2

c=4

b=\

解得

c=4

・•・抛物线的解析式为y=-；/+x+4；

(2)解：•.•点3(4,0)和C(0,4),

设直线的解析式为、=七+4,贝1」0=4上+4,

解得无=一1,

，直线BC的解析式为y=-x+4,

设—x?+x+4且0<x<4,贝”(x,—x+4),

\2

GH=EF=——%2+x+4-(-1+4)=——x2+2x

JQ--------------------

•••抛物线的对称轴为直线一2x(_J

H[2—%,——X?+x+4^,

GF=EH=x-(4-x)=2x—2,

依题意得21-；x2+2x+2x-2j=11,

解得x=5(舍去)或x=3,

JEH=4；

(3)解：令歹=0,贝！J—工/+%+4=0,

2

解得x=-2或x=4,

同理，直线/C的解析式为y=2x+4,

:四边形OENM是正方形，

/.OE=OM,NEOM=90。，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q,如图,

ZOPE=ZMQO=90°,ZOEP=90°-ZEOP=ZMOQ,

/\OEP^/\MOQ,

：.PE=OQ,PO=MQ,

设立少+…）

1

PE=OQ=-m,PO=MQ=—m92+m+4,

-2

则加2_加_4,加J,

•・•点M在直线4C上，

冽=加2一加-41+4,

解得加=4或冽=-1,

当加=4时,3（0,4）,£（4,0）,

即点M与点。重合，点石与点5重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4,4）；

当羽=—1时，■|,一1],

点o向左平移;个单位，再向下平移1个单位，得到点

2

则点£向左平移g个单位，再向下平移1个单位，得到点N,

设点则点E（6,-a）,

当OM绕着点。逆时针旋转90。得到C史时，如图,

•・,点E在y=2x+4的图象上，

：.b=2a+4,・••点M(a,2a+4),

:点E在y=-g/+x+4的图象上,

——(2a+4)+2a+4+4=-a,解得：a=-万或0,

5

・・・M（0,4）W（4,0）,此彳1，£,

2

当点M绕点。逆时针90。得到点£时,点E(-4a),M(a,2a+4),E(-2a-4,a),

:点E在y=-gx2+x+4的图象上,

-11±V57

——(—2a—4—2a—4+4=a,解得:a=---------

4

.上“(-11-^573+V57-11-11+V57-3+V57’3-后-11+后

•.点M--—,,Ei,E?

-'一4224

7\

-5+V57-17-3V57r-5-V57-17+3V57

・••点N的坐标为或

4444

73-11-3^-17+3^

综上，点N的坐标为（4,4）或或或

29244

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式,

一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二

次函数和一次函数解析式以及分情况讨论.

【变式演练】

1.（2023•辽宁阜新•二模）如图，抛物线y=，+6x+c（6、c是常数）的顶点为C,与x轴交于A、8两点，其中

3（-3,0）,点尸从A点出发，在线段N2上以1单位长度/秒的速度向3点运动，运动时间为，秒（0<1<4）,过尸作尸0113c

交NC于点。.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当,为何值时，ACP0的面积最大？并求出ACPQ面积的最大值；

⑶点P出发的同一时刻，点"从B点出发，在线段3C上以。单位长度/秒的速度向C点运动，其中一个点到达终点

时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻乙使ANMP为等腰三角形，若存在，直接写出尸点坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-+2尤-3；

（2）当1=2时，AC尸0面积的最大，最大值为2；

⑶存在，，点P坐标为：（一

【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式即可求解；

（2）依题得尸根据待定系数法求出直线3C、直线/C、直线尸。解析式，联立直线产。与直线/C解析式求

得。点坐标，再根据平行线的性质：平行线间的距离相等得到5.„>0=，鳍2=；82*b0|,配方后结合二次函数的性质

即可求得最大值;

2

(3)根据锐角三角函数和勾股定理的知识分别表示出/尸2、AM?、MP,再分情况进行求值，即可求出/的值，最后

再求点尸的坐标.

【详解】(1)解：将2。解),8(-3,0)代入＞=/+6-

Jl+b+c=0

•19-3b+c=0'

[b=2

解得『

[c=-3

抛物线的解析式为＞=f+2x—3.

(2)解:如图，

y=x~+2x—3=(x+l)~—4,

C(