2025年中考数学热点题型复习专项训练：三角形压轴题综合（解析版）

专题10三角形压轴题综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01三角形与旋转变换.............................................................................1

题型02三角形与平移变换............................................................................14

题型03三角形与翻折变换............................................................................18

题型04三角形类比探究问题..........................................................................36

中考练场............................................................................................50

热点题型归纳

题型01三角形与旋转变换

【解题策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关

键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023・四川・中考真题）如图1,已知线段N8,AC,线段ZC绕点A在直线N5上方旋转，连接BC,以8C为边

在2c上方作RtABDC,且ND3C=30°.

⑴若/BDC=90。，以为边在AS上方作Rt/XBNE,且N/E8=90。，NEBA=30°,连接DE,用等式表示线段/C与

DE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DE_LAB,48=4,AC=2,求BC的长;

(3)如图3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,当的值最大时，求此时tan/CBN的值.

【答案】(1)/C="OE

⑵5c=2近

⑶g

【分析】(1)在RM即C中，/D3C=30°,Rt/\BAE,且N4E8=90。，NEBA=30°,可得VABEsVCBD,根据相

ARRF

似三角形的性质得出U=NDBE=NCBA,进而证明△ABCS^EAD,根据相似三角形的性质即可求解；

(2)延长。E交于点尸，如图所示，在RtA/斯中，求得EF,4F,进而求得小的长，根据(1)的结论，得出。£=人,

在RMAED中，勾股定理求得M),进而根据即可求解.

(3)如图所示，以为边在A8上方作RtABNE,且N£N8=90。，NEBA=30。,连接BE,EA,ED,EC,同(1)

可得ABDESABCX,进而得出。在以£为圆心，述为半径的圆上运动，当点4瓦。三点共线时，4D的值最大，进

3

而求得cos/8DN=",sinNBDA=叵,根据得出/g£)E=/BC4,过点A作/尸工8C,于点尸，

77

分别求得ZRC尸，然后求得8尸，最后根据正切的定义即可求解.

【详解】(1)解：在RtABDC中，ZDBC=30°,RSAE,且乙4EB=90。，ZEBA=30°,

VABEsVCBD,ADBE+NEBC=ZABC+NEBC,BE=ABxcosZABE=—AB

2

.AB_

—,NDBE=NCBA,

"BCBD

：.^ABC^^EBD

ACAB_AB2>/3

:.五一旅一拒,二亍

2

AC=-s/3DE,

3

故答案为：AC=^DE.

(2)•；RtZ\BAE,S.ZAEB=90°,ZEBA=30°,AB=4

：.AE=ABsinZEBA=-AB=2,ZBAE=60°,

2

延长。E交NB于点尸，如图所示，

•/DEVAB,

，ZBFD=ZDFA=90°,

h1

.,.在RM/E尸中，EF=AExsinNBAE=号乂2=也,AF=-AE=1,

：.BF=AB—AF=4-1=3,

由(i)可得=

3

h

：.DE^—AC^y/3,

2

DF=DE+EF=2>/3,

在RLBFD中，BD=slBF2+DF2=,3?+(2行『=而,

•；AABC^AEBD,

.BCAC2G

,,访一无一亍’

BC=^XM=2V7,

3

；•BC=2近；

(3)解：如图所示，以NB为边在NB上方作RtAB/E,且NE48=90。，AEBA=30°,连接BE,EA,ED,EC,

则匹=些=短，

ACBC3

VAC=2,则。£=迪，

3

在RCA/EB中，AB=4,AE=TISXtanAEBA=4x—=^-,

33

...O在以E为圆心，递为半径的圆上运动，

3

当点4瓦。三点共线时，4D的值最大，此时如图所示，则AD=/£+£>£=迪,

D

BA

在RtA^D中，BD=yjAB2+AD2=卜+1浮

近厂AB_4V2T

：；=坦=+=也smZBDA=-D~4721-7，

BD47217'

3

3

AABCs^EBD,

/BDE=/BCA,

过点A作于点产，

JCF=ACxcosZACB=2=短，AF=ACxsinZACB=,

777

*.*/D5c=30。，

.4x/21__r-

••BC=—BD=—x-------=277,

223

•••BF=BC-CF=2币=业5,

77

2^/21_

Ap—n一

RAAFB中，tan/C历1==尸=—.

FB10扪5

7

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最

值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•贵州贵阳•二模）在“8c中，ZCAB=90°,在V/DE中，ZEAD=90°,已知RtzX/3C和有公共

顶点4连接和CE.

⑴如图①，若=AD=AE,当。3c绕点/旋转a（0°<a<360。），8。和CE的数量关系是,位置关系

是;

（2）如图②，若AD:AE=AB:AC=1:5当RtZk/3C绕点/旋转a（0°<a<360。），（1）中2。和CE的数量关系与位

置关系是否依然成立，判断并说明理由；

⑶在(2)的条件下，若AD=2拒,AB=6,在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请直接写出CE的长度.

【答案】(V)BD=CE,BD1CE

Q)CE=®D,CE1BD,理由见解析

22

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：

(1)根据SAS证明△氏4。多△。后得台力=磁，再证明NCUD=NEHO=90。，可得3£>_LC£；

(2)延长DB交CE于H,与/E交于O,证明A8NOSAC/£可得结论；

(3)分两种情况讨论：运用相似三角形的性质求出/C,AE,由勾股定理求出。£,在Rt^ECD中，运用勾股定理

求出8。，从而可求出CE.

【详解】(1)证明：如图，延长DB交CE于H,与N£交于。

VVADE和^ABC是等腰直角三角形，

AB=AC,AD=AE,

又NCAE+ZEAB=ZDAB+ZEAB=90°,

/BAD=ZCAE,

4B4D知C4E(SAS),

:.BD=CE,ABDA=ACEA,

*.•ZDOA=ZHOE,

ZOAD=ZEHO=90°,

工CELBD,

故答案为：BD=CE,BDLCE；

(2)解：CE=MBD,CEtBD,理由如下:

延长DB交CE于H,与4E交于O,

：.ABADS八CAE,

BD1—

~~~=~i=,Z.ADB=NAEC,

CEV3

CE=6BD,

/BOA=NEOH,

/.ZOAD=ZEHO=90°,

：.BD1CE

综上8Z)_LCE,CE=43BD

(3)解：①如图:

E

BDAB_AD

由知且

(2)ABADSACAE,~CE~^C~^E士,RD_LCE,

AB=4?>,

：.AC=3,

在RtA^SC中，由勾股定理得BC=JAB?+AC?=273，

AD=2^,,

：.AE=6

在中，由勾股定理得DE=J/炉+4C»2=4人,

VC,B,。三点共线，且/EC。=90。

...在RSEC。中，由勾股定理得=CE2+CD2

即>BD\+(BD+

回一6

2

.3(V13-1)

••CE=△--------L；

2

②如图:

E

'：AS=5

...AC=3,

由勾股定理得BC=^AB2+AC2=273，

•AD=2y/3，

：.AE=6,

在RtZkNED中，DE=ylAE2+AD2=46，

VC,B,。三点共线，且"CD=90。，

在VXZ\ECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2，

即（4代『=（68。）2+（a0_26）2,

:.BD=叵五，

2

2

综上，当C,B,。三点共线时，CE的长度为3（后T）或3（屈+1）.

22

2.（2023•广西桂林•一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置,

使ADEF的顶点。与“3C的顶点C重合，立历尸在绕点C的旋转过程中，边DE、。尸始终与“3C的边48分别交

于M、N两点.

⑴老师提了一个问题：试证明，M2+BN2=MV2.

小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到C4=C2且乙403=90。，可将想四绕点C顺时针旋转90。至A/CN'位置，连

结MN',若能证明BN、分别等于的另两边则可以解决问题.

请帮小丽继续完成证明过程.

证明：将△BOV绕点C顺时针旋转90。至A/CM位置，连结W；

(2)如图2,小昆另取一块与“3C相同的三角板，放在A48G位置，边CE与边NG相交于点X,连NH、NG.

①小昆猜想：NCNH=90°,请帮他给出证明；

②图2中始终与CN相等的线段有_；

③请探索/N、BN、NH之间的数量关系，并直接写出结论：

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②NG,NH；③AN-BN=gH

【分析】(1)①由“SAS”可证ACN加%GW,可得MN'="N,根据直角三角形中运用勾股定理NAV+NN”=MN〃，

即可得结论；

(2)①证明/,C,N,X四点共圆即可解题；

②证明ANBC^NBG,得到CN=NG,然后根据等角对等边得到CN=NH即可得到结论

③连接CG,推导A/TGCSANSC,则可得到GH=V^3N，然后根据48=VL1G即可证明结论.

【详解】（1）由旋转可知：AN'=BN,CN'=CN,ZCAN'=ZB,ZBCN=ZACN',

VZECF=45°,ZACB=90°,

：./ACM+/BCN=45。,

：./ACM+/ACN'=45。,

於/N'CM=/NCM,

又*：CM=CM,

：.△CMA修△CTW(SAS),

・•.MN'=MN,

ZCAM=ZB=45°,

：.ZNrAM=/CAN+/CAM=90°,

AM?+AN'?=MN'?,

f

又•：AN'=BN,MN=MNf

JAM1+BN1=MN\

(2)①证明：•:/GAB=/MCN=45。,ZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

：.A,C,N,〃四点共圆，

J/CAH+/CNH=180。,

・「ZCAH=90°,

/CW=90。；

②解：・・,四边形力CBG是正方形，

:・BC=BG,ZNBC=ZNBG=45°,

•・•BN=BN,

△冲G(SAS),

:.CN=NG,

由①可知/CW=90。，

又：ZHCN=45°,

NHCN=NCHN=45。,

：.CN=NH.

故答案为：NH、NG；

③连接CG,

C(D)

ZHCF=NBCG=45。,

：.NBCN=NGCH,

又ZCBN=ZCGH=45°,

AHGCS^NBC,------------A/2,GH-y/2BN，

BNBC、

■：AB=yflAG=yf2(AH+GH)=垃AH+血GH,

AN+BN=42AH+2BN.AN-BN=y/2AH-

故答案为：AN-BN=42AH.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性

质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

3.(2023•吉林•一模)如图，和V/DE是有公共顶点的直角三角形，NA4C=ND4E=90。，点尸为射线AD,CE

的交点.

(2)如图2,若/ADE=/ABC=30°,问：⑴中的结论是否成立？请说明理由.

(3)在(1)的条件下，AB=6,AD=4,若把VADE绕点/旋转，当/E4c=90。时，请直接写出P8的长度.

【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)誓或出铲

【分析】(1)依据等腰三角形的性质得到=AD=AE,依据同角的余角相等得到=然后依据

SAS可证明△ADB044EC,最后，依据全等三角形的性质可得到乙43。=乙4CE；

(2)先判断出△4D8S/\/EC,即可得出结论；

(3)分为点£在N3上和点E在的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△尸£8-八4£。，最后依据相似三角形

的性质进行证明即可.

【详解】(1)解：・・•△/8C和V/DE是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB=NCAE.

:.AADB咨"EC.ZABD=ZACE.

(2)(1)中结论成立，理由：

在中，ZABC=30°,AB=43AC,

在中，AADE=30°,

ADAE

AD=yJr3AE9.•~~~

ABAC

■:NB4C=ND4E=90°,:./BAD=NCAE,:NADB困AEC.:.NABD=NACE；

(3)①当点£在上时，BE=AB-AE=AB-AD=2.

D

A

•••NE4C=90°，；,CE=y/AE2+AC2=，42+6=2屈■

同（I）可证ZDBA=ZECA.

NPEB=ZAEC,.•.△PEBS^AEC.

.PBBE.PB_26而

…=----.…—―7=.PB=-------.

ACCE62VI313

②当点E在A4延长线上时，BE=\Q.

---ZEAC=90°,,-,CE=JAE、AC?=，中+6=2岳-同（1）可证注AAEC.：./DBA=ZECA.

PBBEPB

■：ZBEP=ACEA,:△PEBs^AEC.——=—

ACCE

综上所述，PB的长为小叵或迎41.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，分类讨

论，属于压轴题.

题型02三角形与平移变换

【解题策略】

「著番了圣馨三鬲形的可港而翦贰一丽彳后鬲形的到运丽桂质厂率蒋的翦贰一多形内鬲而是踵的应甬厂药藤造谑「廨-

「画的关键息熟练孽釐三©舷相似的到走方法「面由相应知面孩「汪熹芬亲仔由二

i

■树旃i

例.(2023•四川攀枝花•中考真题)如图1,在“BC中，AB=BC=2AC=8,"BC沿8C方向向左平移得到△Z)CE,

/、C对应点分别是。、E.点厂是线段班上的一个动点，连接相，将线段"'绕点/逆时针旋转至线段NG,使得

/BAD=NFAG,连接FG.

⑴当点尸与点C重合时，求FG的长；

(2)如图2,连接8G、DF.在点尸的运动过程中：

①8G和。厂是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由;

②当8户的长为多少时，能构成等腰三角形？

【答案】(1)2715

(2)@DF=BG；②跳'的长为14或11或8或0

【分析】(1)根据平移的性质可得四边形/BCD、四边形4CED是平行四边形，再由已知推导出NB是NC/G的平分

线，由等腰三角形的性质可得45,CG,过3点作3〃，/。交于H点，求出切7=2A，再由安/氏(-2而I。，

84

所以CG=FG=2&i；

(2)①证明A/BG咨△/£»尸(SAS),则止=BG；

②过点A作/N,8c交于N,由等积法可得;x4x2&?=；x8/N,求出NN=JI?,分三种情况讨论：当=时，

AG=AF=8；当尸点与8点重合时，AF=8,此时3尸=0,当8尸=23N时，AF=8,在中，BN=7,可

得3F=14；当4G=BG时，DF=AF,过点尸作尸“_L交于M,所以4"=尸N=4,能求出CN=1,CF=3,则

3尸=11；当A4=BG时，DC=DF,当厂点在BE上时，CD=DF,此时C点与尸点重合，止匕时8尸=BC=8.

【详解】(1)解：当尸点与C点重合时，AF=AC,

由平移可知，CD=AB，CD//AB,

••・四边形NBC。、四边形力。即是平行四边形,

：.AD=BC,AD〃BC,

•••ABAD=NFAG,

/.ZDAF=/BAG,

•;AB=BC,

ZBAC=ZACB,

♦・•/DAC=NACB,

ZDAC=ABAC=ABAG,

.•./B是NC4G的平分线,

AC=AG,

ABICG.

如图1,过5点作交于H点,

G

AH=2,

BH=2V15，

84

CG=FG=2V15;

(2)解：@DF=BG,理由如下:

如图2,­：AG=AF,ZDAF=ZBAG,AB=AD,

.•.△ABG咨AADFISAS),

DF=BG；

②如图2,过点A作4N_LBC交于N,

图2

由①可知gx4x2A=；x8ZN,

/.AN=岳，

当/G=45时，

•「AB=BC=8,

:.AG=S,

vAG=AF,

：.AF=S,

当尸点与3点重合时，AF=S,此时砥=0,

当BF=2BN时，AF=8,在Rtz\45N中，BN=V64-15=7,

:.BF=14;

当/G=5G时，AF=BG,

•・•DF=BG,

DF=AF,

过点/作必f_L4D交于M,

AM=DM=4,

FMVAD,AN1BC,

AM=FN=4,

•「BN=1,

:.CN=\,

:.CF=3f

当A4=5G时，

•••DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=AD,

：.DC=DF,

当尸点在BE上时，CD=DF,此时C点与厂点重合，

BF=BC=8；

综上所述：8下的长为14或11或8或0.

【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰

三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

【变式演练】

1.（2023•辽宁大连•模拟预测）如图，“BC中，/B=/C=后,NB/C=90。,。E经过点/,且。£_LBC,垂足为£,

ZDCE=60°.

D

⑴以点£为中心，逆时针旋转AOE,使旋转后的AC'D'E'的边C'力恰好经过点4求此时旋转角的大小;

⑵在（1）的情况下，将AC'QZ'沿8c向右平移设平移后的图形与“3C重叠部分的面积为S,求S与f

的函数关系式，并直接写出f的取值范围.

【答案】⑴旋转角为30度或90度;

9

（2）当旋转角为30。时，S=<

-2t+\

当旋转角为90。时，5=

【分析】（1）如图，先根据等腰直角三角形的性质、旋转的性质推知A/EC'是等边三角形，则N/EC'=60。，易求

NC'EC=30。，即旋转角为30°；或。点与4重合;

（2）需要分类讨论：当旋转角不是为90。时，分04W@和两种情况进行解答.①当OqvYl时.如图2,作

333

NN'_L8C，垂足为N'.设NN'=X，则N'C=JC-由相似三角形尸SACNE’的面积之比等于相似比的平方得到，

'则S=SJEC+S/MP——S.CNE，②当g<f<l时'如图3,作MW'_L'C'

垂足为「设皿〜，则"£'=*.由』-当旋转角为9。。时，分两种情形求

解即可.

【详解】（1）解：如图1,

D'

A

图1

AB=AC=41,ZBAC=90°,AELBC,

AE=EC=1,ZB=ZC=45°.

由旋转过程知EC'=EC=AE,ZD'C'E=60°，

:.AAEC'是等边三角形，

ZAEC'=60°=90°-ZC'EC■

:./c'EC=30。，即旋转角为30。；

。点与/重合，即旋转角为90度；

综上，旋转角为30。或90。；

(2)解：当旋转角是为30。时：

①当时.如图2,设BE：C'E'与/8/C分别相交于点〃、N,与NE相

交于点尸.作MV'_L8C，垂足为N’.

图2

没NN'=x，则N'C=x，

由平移过程知ZNEfC=30°，

E'N'=6NN'=瓜•

由E'M+N'C=/C知，J3x+x=l—，即x=

•.•ZAPM=/E'PE=90°-APE'E=/NE'N',NPAM=ZEfCN=45。，

:.△AMPs^CNE'，

..J空［Jl-尸口

SACNEVE'C)IE'C)

2

S—S"EC+AAMP~S&PEE，—S&CNE，

昼+1,

②当时，如图3,设〃'£'、C'E'与/C分别相交于点M、N.作跖欣U8C,垂

足为M'.

图3

设跖l/'=y，则

•・•MEr+E'C=MrC=M'M，

即gy+0_')=y，则尸.

1、3(17)I,i-

zx-Xt2

■'-s=S”ME，C-S揖NE'C=5(1t)^~6W(iy/~i+14i-)=t-2/+―

12V3-11八,吏〕

一一r--产—1+-0<t<

2V3+12(,3J

即s=<

2(6)

Z2-2?+I—<r<i

137

当旋转角为90。时，如图4中，当0</<百-1时，重叠部分是五边形脑区£金，

S=S"c一S"AMN~5久陛=1—三1……,

如图5中，当时,重叠部分是四边形MNE'D'，

图5

—t2+，H—1

2

S=<

s=s△MCD-SaCNE'2

-1<^<1

V3-11

-1+—

V3+123）

综上所述，当旋转角不是为90。时,当旋转角为90。时

-2/+1

-l</<1

【点睛】本题考查了几何变换综合题.需要学生熟练掌握旋转和平移的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的

判定与性质，函数关系式是求法.解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解.

2.（2023・四川成都一模）如图1,在ABC中，/。=4,以42为底边作等腰AP/B,连接尸C,作APCD,使得PC=PD,

且ZCPD=NAPB.

⑴如图2,若4PB=60。，请按题意补全图形，并写出画图步骤;

⑵将线段。沿CD的方向平移得到线段。E,连接BE,

①如图3,若ZCPD=NAPB=90°,求BE的长；

②若乙4尸8=36。，直接写出3E的长.

【答案】（1）见解析

（2）①4夜；②2囱-2

【分析】（1）根据题意，作等边△CPD即可；

(2)①连接AD,证明丝ADPB(SAS),得BO=/C=4,NBDP=NACP,由NC〃。石，知NEDC+N/C。=180。，

可推得/瓦>3=90。，在RtzXBE。中，BE=ylBD2+DE2>即可得答案；

②连接8。，作角平分线交ED于尸，证明ACP/丝ADPB(SAS),得BD=4C=4,ABDP=ZACP,\^AC//DE,

BEEFx4—x

可推得NEDB=36。，AEBFSAEDB,得——=——，设BE=x,则EF=DE-DF=DE-BE=4-x,列出方程一=------,

DEBE4x

即得BE=26-2.

【详解】(1)解：如图所示：

画图步骤：①连接PC,

②分别以尸、C为圆心，PC长为半径画弧，两弧相交于点D,

③连接PD、CD-.

(2)①连接AD,如图：

NCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又；PA=PB,PC=PD,

二AC尸的A。尸B(SAS)),

.；BD=AC=4,NBDP=ZACP,

•/AC//DE,

/.ZEDC+ZACD=1SO°,

即NEDB+NBDP+NPDC+ZACD=l80°,

NEDB+ZACP+NPDC+NNCD=180°,即NEDB+ZPDC+ZPCD=180°,

l^ZPDC+ZPCD=90°,

二ZEDB=90°,

•••将线段G4沿C。的方向平移得到线段。E,

DE=AC=4,

在RtABED中，BE=ylBD2+DE2=472；

②连接8。，作角平分线交瓦)于尸，如图：

ZCPD=ZAPB=36°,

ZCPA=ZDPB,

又,：PA=PB,PC=PD,

：.ACP3ADPB(SAS),

:.BD=AC=4,ZBDP=ZACP,

'：AC//DE,

ZEDB+ZBDC+ZPCD+ZACP=180°,

NEDB+NBDC+NPCD+NBDP=180°,即NEDB+ZPDC+APCD=180°,

而NPDC+ZPCD=180°-ZCPD=144°,

ZEDB=36°,

・・•将线段⑶沿S的方向平移得到线段,

DE=AC=BD=4,

：.ZEBD=/BED=72°,

•；BF平分ZEBD,

：.NEBF=NFBD=ZEDB=36°,

BF=DF,/BFE=/BED=72°,

BE=BF=DF,

•:/EBF=/EDB,/E=/E,

:,AEBFS八EDB,

,BE_EF

"•五一访'

设=则EF=DE-DF=DE-BE=4-x,

.x4-x

4x

解得工=2不-2或尤=-26一2（舍去），

BE=2sf5-2.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换、三角形全等判定及性质、三角形相似判定及性质、等腰三角形性

质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题.

题型03三角形与翻折变换

【解题策略】

著香子至馨三鬲形而可运前四庙丁而彳以三鬲形的驯兔前也贰一看着冗行姓庙：一三鬲形丙南而定瓯的应甬厂为股是速;一

解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

TOiWi

例.（2023•湖北武汉•中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形/BCD边BC上一点，A/E厂是等腰三角形，AE=EF,

4£F=/ABC=a（。上90。）,/尸交CD于点G,探究NGC尸与a的数量关系.

⑴(2)(3)

问题探究：

(1)先将问题特殊化，如图(2),当a=90。时，直接写出/GC尸的大小；

(2)再探究一般情形，如图(1),求NGCF与a的数量关系.

问题拓展：

⑶将图(1)特殊化，如图(3),当《=120。时，若老=g，求学的值.

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-6Z-90°

BE2

(3)——

''CE3

【分析】(1)延长过点尸作方证明△/BE也△班"即可得出结论.

(2)在上截取ZN,使AN=EC,连接破，证明△ZNEgZXEC尸，通过边和角的关系即可证明.

3

(3)过点工作C。的垂线交C7)的延长线于点P,设菱形的边长为3/，由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°,通过相

2

似求出加，即可解出.

5

【详解】(1)延长BC过点尸作即,

ZBAE+ZAEB=90°,

ZFEH+ZAEB=90°,

：.ZBAE=ZFEH,

在AEBA和AFHE中

ZABE=/EHF

</BAE=/FEH

AE=EF

：.^ABE'EHF,

JAB=EH,

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：・£GCF=£FCH=45°.

故答案为：45°.

(2)解：在45上截取ZN,使ZN=EC,连接7VE.

•・・/ABC+NBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

/ABC=/AEF,

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

:AANE/AECF.

ZANE=ZECF.

•・•AB=BC,

BN=BE

,//EBN=a,

ABNE=^°--a.

2

/.ZGCF=ZECF-ZBCD=ZANE-/BCD

=l90o+1^j-(180°-«)=16r-90o.

(3)解：过点A作CO的垂线交CO的延长线于点P,设菱形的边长为3冽,

/G_1

•CG-2?

\DG=m,CG=2m.

在RM4D尸中，

\-i)ADC=i)ABC=n0o,

ZADP=60°,

PD=—m,AP=—.

22

3

ver=120°,由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

•.•D^GP=DFGC,

、△/尸Gs△厂CG.

.APPG

''CF~~CG'

—V3m-m

•2_2，

-CF~2m

/.CF=-----m，

5

在45上截取ZN,使,AN=EC,连接7VE,作5OLNE于点。

由（2）知，AANE^AECF,

：.NE=CF,

AB=BC,

1J3

ABN=BE,OE=EF=-EN=-m.

25

ZABC=120°,

：./BNE=/BEN=30。,

..oOE

・cos3Q0n=----,

BE

,•BE——m,.

5

9

\CE=-m

.BE_2

•••

CE3

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似.

【变式演练】

1.（2024•安徽阜阳•一模）（1）如图1,在矩形4BCD中，AB=5,BC=4,点、E为边BC上一点、,沿直线DE将矩

形折叠，使点C落在边上的点。处.求的长;

(2)如图2,展开后，将ADC'E沿线段48向右平移，使点C'的对应点与点8重合，得至U,DE与BC交于点、

F,求线段EF的长；

(3)在图1中，将AOC'E绕点C'旋转至4C,E三点共线时，请直接写出C。的长.

【答案】⑴3；(2)1；⑶底或加

【分析】(1)本题利用折叠和矩形的性质得出CD=CD==5,AD=BC=4,再利用勾股定理即可解题;

(2)本题利用平移的性质证得ACDESACDF,设£2长为x,利用勾股定理算出x,推出CE,再利用相似三角形的

性质得到匕=卓，算出。尸，从而求得E尸的长；

CDCE

(3)本题根据/,C,£三点共线，分以下两种情况讨论，①当E旋转到。左侧时，②当E旋转到C右侧时，根据

以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解

题.

【详解】(1)解：为矩形，AB=5,BC=4,

CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

AC'=yJCD2-AD2=3；

(2)解：•工。8£为ADC'E平移后的图形，AC=3,48=5,

C'B=DD'=AB-AC'=2,D'E'//DE,

:ACDESACD'F,

设EB长为x,

CB2+EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

x1+22=（4-x）2

3

解得：%=；，

2

35

:.CE=4——=—,

22

CD'CF

——=—,CD'=CD—DD'=5—2=3,

CDCE

3CF

55,

2

:.EF=CE-CF=1；

(3)解：将△OC岂绕点C'旋转至4C,E三点共线,

分以下两种情况：

①当E旋转到。'左侧时，如图所示：

作QMLCB,交C5的延长线于点〃，

由(2)可知3C'=2,

由旋转性质可知，ZDCE=90°,

ZDCB=90°,

•••ZCBC=90°,

：.ZC/BM=/M=ZDCB=90°,

.•.四边形9woe为矩形，

BM=DC'=5,DM=BC=2,

DC=y)DM2+(BM+BC^=722+92=785，

②当£旋转到C'右侧时，如图所示：

作DNLBC,交8C的延长线于点N,

由(2)可知3c'=2,由旋转性质可知，NDCE=90。,

•••ZCBC=90°,ZCBC=ZN=ZDC'E=90°,

四边形AVDC'为矩形，BN=DC'=5,DN=BC=2,

:.CN=BN-BC=5-4=1,

DC=yjDN2+CN2=V22+l2=V5.

【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、

旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题.

2.（2023・陕西榆林•一模）【问题背景】

(1)如图1,在矩形/BCD中，8C=6,点E是BC上一点，连接NE,DE,若N/E8+/C£D=90。，则幺犷+。£2=

(2)如图2,在正方形48co中，AB=8,点£在边CD上，将VNDE沿/E翻折至△/FE,连接CF,求4CE尸周长

的最小值;

图2

【问题解决】

(3)如图3,某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃488,点"是该花圃的一个入口，沿ZMZ和CM

分别铺两条小路，且NDMC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理员计划沿CO边上种植一条绿化带

(宽度不计)，为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化

带C。？若可以，求出满足要求的绿化带C。的最大长度(用含。的式子表示)；若不可以，请说明理由.

图3

【答案】(1)36；(2)80;(3)管理员可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带CD,绿化带C。的最大长度为

(a+100)m

【分析】(1)利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可；

(2)连接/c,根据翻折，得到。E=EF,得到ACEF的周长

=CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=AF+CF,进而得到当/F+CF的值最小时，Z\CEF的周长最小，进行求

解即可；

(3)将AADM沿着DM翻折得到AEDM,将ABCM沿着CM翻折得到4FCM,连接EF,推出当DE、EF、FC三

条线段共线时，。有最大值，进行求解即可.

【详解】解：（1）解：：在矩形48co中，BC=6,

：.AD=BC=6,

•；ZAEB+ZCED=90°,

：./AED=90。,

/.AE2