2025年中考数学热点题型复习专项训练：几何最值问题（解析版）

专题09几何最值问题

目录

热点题型归纳

题型01将军饮马模型.................................................................................1

题型02费马点模型...................................................................................5

题型03阿氏圆模型..................................................................................14

题型04隐圆模型.....................................................................................19

题型05瓜豆圆模型..................................................................................26

中考练场............................................................................................32

热点题型归纳

题型01将军饮马模型

【解题策略】

两定一动模型一定两动模型

两线段相减的最大值模型（三点共线）

【典例分析】

例.（2022•黑龙江•中考真题）如图，菱形A8CD中，对角线AC,8。相交于点O,ZBAD=60°,AD=3,AH是—54C

的平分线，CELA”于点E,点P是直线48上的一个动点，则OP+PE的最小值是.

【答案】mR娓

22

【分析】作点。关于的对称点尸，连接。月交A3于G,连接PE交直线于P,连接尸。，则PO=PF,此时，PO+PE

最小，最小值=£/，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出。尸，OE长，再证明AE。歹是直角三角形，

然后由勾股定理求出E尸长即可.

【详解】解：如图，作点。关于的对称点R连接。尸交于G,连接PE交直线于尸，连接P。，贝UPO=PR

此时，PO+PE最小,最小值=口的长，

:菱形ABCD,

：.AC±BD,OA=OC,OB=OD,AD=AB=3,

"：ZBAD=60°,

...△ABD是等边三角形，

:.BD=AB=3,ZBAO=30°,

13

OB——AB=—,

22

：.0A=-j3,

2

，点。关于AB的对称点凡

AOFLAB,OG=FG,

：.OF=WG=OA=-y/3,ZAOG=60°,

2

：CE_LA”于E,OA=OC,

：.OE=OC=OA=-y/3,：.ZAEC=ZCAE,

2

平分NBAC,：.ZCAE=15°,：,ZAEO=ZCAE=\50,

：.ZCOE=ZAEO+ZCAE=30°,

ZCOE+ZAOG=30°+60°=90°,：.ZFOE=9Q°,

3A/6

.••由勾股定理,得EF=1OF°+0E°=

丁

“。+尸£最小值=乎.故答案为：乎

【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点。关于AB的对称

点、F,连接OF交AB于G,连接PE交直线于P,连接PO,则PO=P尸，贝。PO+PE最小，最小值=EF的长是解题

的关键.

【变式演练】

1.（2022•山东枣庄•二模）如图，点尸是/AO3内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线上的

动点，4408=30。，则周长的最小值是.

B

P

OMA

【答案】3cm

【分析】分别作点尸关于。4、03的对称点C、r）,连接CD,分别交。4、05于点M、N,连接。只OC、OD、PM、PN,

当点M、N在。上时，PMN的周长最小.

【详解】解:分别作点尸关于。4、08的对称点CS,连接8,分别交04QB于点M、N,连接。尸、OC、OD、PM、PN.

:点P关于的对称点为C,关于的对称点为

PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA-,

:点P关于0B的对称点为D,

：.PN=DN,OP=OD,NDOB=NPOB,

：.OC=OD=OP=3cm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

ACOD是等边三角形，,CD=OC=OD=3（cm）.

,PMN的周长的最小值=冏/+皿?/+/>'=。/+皿?/+£加2cD=3cm.

故答案为：3cm.

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点P关于。4。8的对称点C、。是解题的关键所在.

2.（2023广东广州•模拟预测）如图，四边形ABCD中，ABCD,AC1BC,ZDAB=60,AD=CD=4,点M是

四边形ABCD内的一个动点，满足/AMD=90,贝UMBC面积的最小值为.

【答案】673-4

【分析】取AD的中点0,连接加，过点M作品交BC的延长线于点E,过点。作。尸，BC于尸，交CO于G,

则OM+ME2O尸，通过计算得出当O,M,E三点共线时，ME有最小值，求出最小值即可.

【详解】解：如图,

取4。的中点。，连接QW,过点M作交3C的延长线于点E,过点。作。尸，3c于尸，交C。于G,则

OM+ME>OF,ABCD,ZDAB=60,AD=CD=4,..ZADC=120°,

AD=CD,AZZMC=30°,ZG4B=30°,

ACIBC,：-ZACB=90°.■.ZB=90°-30o=60°,AZB=ZDAB,二四边形45CD为等腰梯形，，3C=A£>=4,

ZAMD=9Q,AD=4,OA=OD,二ON=gAD=2,.•.点M在以点。为圆心，2为半径的圆上，

AB//CD,AZGCF=ZB=6O0,..Z.DGO=ACGF=30°,

OFLBC,ACIBC,■■Z.DOG=ADAC=30°=Z,DGO,：.DG=DO=2,

■-OG=1OD-cos30°=2A/3,GF=6,OF=343,■■ME>OF-OM=3y/3-2,

当。KE三点共线时，ME有最小值36-2,二M3C面积的最小值为=1x4x（3若-2）=6«-4.

【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M位置的确定是解题关键.

题型02费马点模型

【解题策略】

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全国•中考模拟预测）如图1,在RTZABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆

上一动点，连接AP,BP,求：

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+33尸的最小值.

【答案】①折；②2历；③冬暑；④2历.

【分析】①在CB上取点。，使CO=1,连接CP、DP、AD.根据作图结合题意易证,DCP~,即可得出尸。=；,

从而推出AP+ggP=AP+P。，说明当A、P、。三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长.最后在用ACD中，

利用勾股定理求出AD的长即可；

②由2AP+2P=2（AP+；BP）,即可求出结果；

21

③在CA上取点E,使CE=1,连接CP、EP、BE.根据作图结合题意易证ECP~PCA,即可得出即=/",从而

推出gAP+8P=EP+8P,说明当8、P、E三点共线时，EP+BP最小,最小值即为BE1长.最后在&△BCE中，利用勾

股定理求出8E的长即可；

④由A尸+3BP=3（；AP+BP）,即可求出结果.

【详解】解：①如图，在CB上取点。，使C£>=1,连接CP、DP、AD.

VCD=l,CP=2,CB=4,

.CDCP\

"CP-CB-2'

又•:ZDCP=ZPCB,

:…DCP~PCB,

即尸=

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

...当A、P、。三点共线时，AP+PD最小，最小值即为A。长.

•.•在WAC。中，AD=y)AC2+CD2=>/62+12=737-

/.+尸的最小值为历；

②2AP+BP=2(AP+|BP),

：.2AP+BP的最小值为2x历=2历；

2

③如图，在CA上取点E使。石=§,连接。尸、EP、BE.

VCE=-,CP=2,CA=6,

3

.CECP_1

*CP-CA-3

又•：NECP=NPCA,

「ECP〜PCA,

EP1

BPEP=|AP,

AP3

-AP+BP=EP+BP

3f

・••当3、P、E三点共线时，EP+6P最小，最小值即为虚长.

・・•在中，BE=A/BC2+CE2=^42+(1)2=.

・・.gap+6尸的最小值为岑；

(4)VAP+3BP=3(|AP+BP),

・・・AP+33尸的最小值为3x之巨=2折.

3

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线

段最短是解答本题的关键.

【变式演练】

1.(2022•广东广州•一模)如图，在放△ABC中，ZBAC=90°,A5=AC,点尸是AB边上一动点，作尸。，3。于点。,

线段上存在一点。，当QA+Q2+QC的值取得最小值，且&。=2时，贝

【答案】3+V3

【分析】如图1,将4时。绕点2顺时针旋转60。得到△BMW,连接QV,当点A,点。，点、N,点“共线时，QA+QB+QC

值最小，此时，如图2,连接MC,证明AM垂直平分BC,证明A£>=2。，此时P与。重合，设PD=x,则DQ=x-2,构

建方程求出x可得结论.

【详解】解:如图1,将小相。绕点2顺时针旋转60。得到△BNM,连接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=6Q0,

...△8QV是等边三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

当点A,点0,点N,点M共线时，QA+QB+QC值最小,

此时，如图2,连接MC

图2

•.,将△8QC绕点8顺时针旋转60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°=ZCBM,

/.△2QV是等边三角形，△CBM是等边三角形，

，ZBQN=ZBNQ=6O°,BM=CM,

•：BM=CM,AB=AC,

垂直平分BC,

"：AD.LBC,ZBQD=60°,

'.BD=^QD,

"：AB=AC,ZBAC=90°,AD±BC,

：.AD=BD,此时P与。重合，设尸。=x,则£>。=/2,

.\x=tan60°x(x-2)=>/3(x-2),

:.PD=3+6.

故答案为：3+6.

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等

边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题.

2.（2023广东•一模）如图，AA8C中，ZBAC=45°,AB=6,AC=4,P为平面内一点，求2gBP+非AP+3PC最

小值

【答案】1273

【分析】将AAPC绕点4逆时针旋转45。，得至IUAPC',将△Ap，C'扩大还倍，得到△AP"C",当点2、P、P"、

4

C"在同一直线上时，2①BP+#AP+3PC=2以PB+PP"+P”C'）最瀛,利用勾股定理求出3C"即可.

【详解】解：如图，将44PC绕点A逆时针旋转45。,得到△4PC,将△APC'扩大，相似比为述倍,得到△AP"C,

4

贝ljAP'=^AP,P"C"=^P'C,AC"=^AC,

444

过点尸作尸ELAP"于E,

：.AE=PE=—AP,

2

/.P"E=AP"-AE=—AP,

4

二PP'=y/PE2+P"E2=—AP,

4

当点8、P、P"、。在同一直线上时，2枝BP+非AP+3PC=2仪PB+PP”+PC）最短,此时2夜（FB+尸尸"+〃C）

=2件C",

,/ZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,AC"=—AC'=x4=3>/2,

44

BC"=\lAB2+AC"2=招+(3同=3y[6.

/.2①BP+y/5AP+3PC=2A/2BC"=272x3«=12百

【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的

性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形.

3.（2024湖北中考・二模）如图，正方形ABCD的边长为4,点P是正方形内部一点，求P4+2P3+有PC的最小值.

【答案】4^/10

【分析】延长。C到打，使得CH=23C=8,则B"=4如，在NCBH的内部作射线即，使得ZPBJ=/CBH,使得

BJ=、BP，连接以，JH,AH.先证明ZVbPsA/iBc，可得PJ=2BB，再证明△PSCSAJB”，可得：HJ=&C,

从而得至!lPA+2P8+&PC=P4+/V+〃/NAH,计算出AH的长度即可.

【详解】解：延长。C到使得CF/=23C=8,则BH=4石，在NCBH的内部作射线R/,使得NPBJ=NCBH,

使得町=有3尸，连接夕，JH,AH.

ZPBJ=ZCBH=,

fBJBH5

.PBBJ

一~BC~~BH'

JBPsHBC,

;/BPJ=/BCH=90。,

PJ=dBJ2—PB?=[/PB)2—PB?=2PB,

Z.PBC=ZJBH,——=——,PBCs.JBH,

BJBH

PC=PB=5^.

JHBJ5'-川

PA+2PB+小PC=PA+PJ+HJ，

PA+PJ+JH>AH,PA+2PB+45PC>742+122=4^/10，

24+2尸3+有尸。的值最小，最小值为4技.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题,

利用相似构造2必与否PC,根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键.

题型03阿氏圆模型

【解题策略】

问题：在圆上找一点P使得B4+k・P5的值最小，解决步骤具体如下:

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

②计算出这两条线段的长度比士-=左

OB

③在OB上取一点C,使得——=k,即构造△POM^ABOP,则——=k,PC=k.PB

OPPB

④则K4+左当A、P、C三点共线时可得最小值。

【典例分析】

例.(2023•广西・中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于AG/L0),B两点(点8在点A的左侧)，与丁轴

交于点C,且0B=30A=g0C,NQ4c的平分线AO交丁轴于点。，过点A且垂直于AD的直线/交,轴于点E,点尸

是x轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作「FJ-X轴，垂足为尸，交直线AO于点

(1)求抛物线的解析式;

(2)设点P的横坐标为加，当m=HP时，求机的值；

(3)当直线尸尸为抛物线的对称轴时，以点耳为圆心，为半径作H,点、Q为H上的一个动点，求JAQ+EQ

24

的最小值.

【答案】⑴尸12+：君X-3；(2)-73；(3)叵I.

334

【分析】对于（1）,结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可;

对于（2）,在RSOAC中，利用三角函数的知识求出NOAC的度数，再利用角平分线的定义求出NOAD的度数，

进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P,H,F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解

答;对于（3）,首先求出。H的半径，在HA上取一点K,使得HK=14,此时K（-述，-二）；然后由HQ2=HK-HA,

得到△QHK-AAHQ,再利用相似三角形的性质求出KQ=|AQ,进而可得当E、Q、K共线时，!AQ+EQ的值最小，

44

据此解答.

【详解】（1）由题意A（g\0）,3（-3若，0）,C（0,-3）,设抛物线的解析式为y=a（x+3若）（x-白），

把C（0,-3）代入得至=抛物线的解析式为产+2+|右.「3.

（2）在Rt/kAOC中，tanZOAC=—=6：.ZOAC=60°.

0A

平分/OAC,：.ZOAD=30°,.,.<9Z)=OA«tan30o=l,：.D(0,-1),，直线AD的解析式为y=#尤-1,由

题意P(m,1m2+-3)，H(tn,m-1),F(m,0).

333

■：FH^PH,：A-^-m=—m-1-(工序+友根-3)解得根=一石或石(舍弃)，，当切=心时，根的值为一g.

3333

(3)如图，尸是对称轴，括，0),H(-V3,-2).

：AH±AE,；.NEAO=60。，：.EO=^OA=3,：.E(0,3).

VC(0,-3),.\HC=7(A/3)2+12=2,AH=2FH=4,：.QH=^CH=1,在HA上取一点K,使得HK=；,此时K

715,,HQKH

(——J3,——).'：HQ2=\,HK»HA=\,：.HQ2=HK»HA,A7^=—.

88AHHQ

KQHQ111,

,/ZQHK=ZAHQ,：.AQHK^^AHQ,二请=请="-'-KQ=-AQ,：.-AQ+QE=KQ+EQ,.•.当E、。、K共

线时，的值最小，最小值=（友＞+（”+3）2=回1.

4V884

【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的

表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.

【变式演练】

1.（2023・甘肃天水•一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD

-|PC的最大值为一.

【答案】5

【详解】分析：由PD-gpC=PD-PGSDG,当点P在DG的延长线上时，PD-gpC的值最大，最大值为DG=5.

详解：在BC上取一点G,使得BG=1,如图，

P

..PB2BC_4,PBBC

•——乙,——乙、••—,

BG1PB2BGPB

VZPBG=ZPBC,.•.△PBG^ACBP,—=—=；.PG==PC,

PCPB22

当点P在DG的延长线上时，PD-^PC的值最大，最大值为DG="2+3?=5.

故答案为5

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问

题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

2.（2023江苏•二模）如图，正方形45co的边长为4,5的半径为2,P为B上的动点，则应PC-尸。的最大值

是.

【答案】2

【分析】如图：连接3D、BP、PC,在上做点使也=1,连接MP,证明BMPABPD,在BC上做点

BP4

N,使靠=；，连接NP,证明△BNPABPC,接着推导出0PC-尸。=2扃0，最后证明BMNZ\BCD,即

可求解.

【详解】如图：连接8。、BP、PC

根据题意正方形A5CD的边长为4,3的半径为2

BP=2,BD=y/BC2+CD2=742+42=472

BP_2_A/2

BD4夜4

在BO上做点M,使收=也，则BM=@,连接“尸

BP42

在43Mp与年中

BP_BM

NMBP=NPBD,

BD~BP

■■.BMPABPD

—=^,则尸£)=20PM

PD4

BP_2_1

BC-4-2

在BC上做点N,使等=；，则3N=1,连接NP

在△BNP与△BPC中

/NBP=/PBC,—=—

BPPC

八BNPZ\BPC

PN1

贝UPC=2PN

如图所示连接NM

42PC-PD=42x2PN-2y/2PM=2y/2(PN-PM)

PN-PM<NM

：.A/2PC-P£)=2A/2(PN-PM)<2-J1NM

在，BMN与公BCD中

ZNBM=ZDBC,BM1垃,—=^==—

1F=V=TBD4五8

.BMBN

一正一访

・••BMNABCD

,MN_也

~CD~~T

CD=4

MN=—

2

「•2瓶MN=2血又22

2

血PC-PD<2^2NM=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键.

题型04隐圆模型

【解题策略】

【典例分析】

例.（2023•辽宁•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,点〃为BC的中点，E是上的一点，连

接AE,作点B关于直线AE的对称点连接并延长交3c于点八当B尸最大时，点笈到BC的距离是.

【答案】y

【分析】如图，由题意可得：B'在，A上，过B‘作8'"，3c于H,由点B关于直线AE的对称点可得=

BE=BE,ZAEB=ZAEB,ZABE^ZAB'E,当DE与tA切于点g时，BF最大,此时DR_LAB"证明E,尸重合,

可得ZDAE=ZAEB=ZAEB',AD=DE=10,求解BE=B'E=4,证明,EB'Hs-ac,可得一=——,从而可得

EDCD

答案.

【详解】解：如图，由题意可得：8'在上，过作笈H_L3C于/7,

:点B关于直线AE的对称点B',

/.AB=AB',BE=BE,ZAEB=ZAEB!,NABE二NAB'E,

当DE与CA切于点B时，BF最大,止匕时加'_LAB"

ZABE=ZAB'F=90°,

:.E,尸重合，

ZAEB=ZAEB：,

:矩形ABCD,

/.AD//BC,ZC=90°,AD=BC=10,AB=CD=8,

ZDAE=ZAEB=ZAEB,

AD=DE=10,

•••CE=J102_82=6,:•BE=UE=4,

*.•B'H±BC,ZC=90°,

B'H//CD,.,…EB'H^tEDC,

.EB'_B'H.4_B'H.16

••--------------«.・----------------«••JD/J----,

EDCD1085

•••点9到BC的距离是各故答案为：y.

【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作

出合适的辅助线是解本题的关键.

【变式演练】

1.（2024浙江金华•模拟预测）如图，正方形ABC。的边长为4,点E是正方形ABCD内的动点，点尸是2C边上的动

点，MZEAB=ZEBC.连结AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为（）

A.2A/13-2B.4A/5-2C.473-2D.2yJ15-2

【答案】A

【分析】先证明NA£®=90。，即可得点E在以A3为直径的半圆上移动，设的中点为。，作正方形ABC。关于直线

8C对称的正方形C尸G3,则点。的对应点是R连接尸。交8C于P,交半圆。于E,根据对称性有：PD=PF,则

有：PE+PD=PE+PF,则线段所的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解.

【详解】解：：四边形A3CD是正方形，

ZABC=9Q°,

：.ZABE+NEBC=90°,

ZEAB=ZEBC,

：.ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAE5=90°,

二点E在以AB为直径的半圆上移动，

如图，设A3的中点为。，

作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGF,

则点。的对应点是凡

连接尸。交2C于尸，交半圆。于E，

根据对称性有：PD=PF,

则有：PE+PD^PE+PF,

则线段E尸的长即为PE+PD的长度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=#G2+OG2=2^/13，

...EF=OF-OE=2岳-2,

故PE+PD的长度最小值为2y/13-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是

解题的关键.

2.（2022•山东泰安.三模）如图，在RtAABC中，ZACB=90,ABAC=30,BC=2,线段绕点2旋转到3。，连

AD,E为的中点，连接CE,则CE的最大值是

【答案】3

【分析】通过已知求得。在以B为圆心，8。长为半径的圆上运动，为A。的中点，

在以血中点为圆心，:劭长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离

+圆的半径，求得CE的最大值.

【详解】解：：BC=2,线段BC绕点2旋转到2,

D

:・BD=2,

：.-BD=\.

2

由题意可知，。在以B为圆心，8。长为半径的圆上运动，

为AZ）的中点,

在以BA中点为圆心，；劭长为半径的圆上运动，

CE的最大值即C到BA中点的距离加上;BD长.

VZACB=90-ABAC=30,BC=2,

AC到BA中点的距离即JA2=2,

又8。=1,

2

；.CE的最大值即』48+工2。=2+1=3.

22

故答案为3.

【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键.

3.（2022・广东河源•二模）如图，已知AC=2AO=8,平面内点尸到点O的距离为2,连接AP,若ZAPB=60°S.BP=^AP,

连接A3,BC,则线段BC的最小值为.

O

AC

P

B

【答案】277-73

【分析】如图所示，延长P8到。使得P8=r>B,先证明AAP。是等边三角形，从而推出ABP=90。，NR4P=30。，以AO

为斜边在AC下方作夫也AM。,使得NM4O=30。,连接CM,过点M作⑼/LAC于H,解直角三角形得到处=处=@,

AOAP2

从而证明△AMBS^XAOP,得至"£=幽=1，则BM=百，则点8在以M为圆心，以有为半径的圆上，当M、B、

OPAP2

C三点共线时，即点B在点&的位置时，BC有最小值，据此求解即可.

【详解】解:如图所示，延长到。使得P8=r>8,

BP=-AP,

2

,AP=PD=2PB,

又,:ZAPB=6Q°,

...△AP。是等边三角形，

•.•8为的中点，

：.AB±DP,§PZABP=9Q°,

：.ZBAP=30°,

以AO为斜边在AC下方作预△AMO,使得NK4O=30。，连接CM,过点M作Ma_LAC于H,

,,cosNOAM------——,

AO2

同理可得空二

AP2

VZOAM=30°=Z/MB,

：.ZBAM=ZPAO,

v..AMAB

AOAP2

.BMAB

"OP~AP~2'

,/点P到点O的距离为2,即。尸=2,

/.BM=拒,

.•.点8在以M为圆心，以6为半径的圆上，

连接CM交圆M（半径为6）于3'，

二当M、B、C三点共线时，即点2在点E的位置时，2C有最小值，

\'AC=2AO=8,：.AO=4,：.AM=AO-cosZOAM=2y/3,

AH=AM-cosAMAH=3,HM=AM-sin/MAHCH=5,；.CM=《HM2+CH'=2币,

/.B，C=CM-MB'=2币-也,...BC的最小值为2近-百，

故答案为：2币.

D

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点

到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点8在以M为圆心，半径为6的圆上运动.

题型05瓜豆圆模型

【解题策略】

【典例分析】

例.（2023•江苏・中考真题）在四边形ABCD中，钮=8。=2,/45。=120。,3〃为/ABC内部的任一条射线（NCBH不

等于60。），点C关于3"的对称点为C，直线AC与BH交于点F,连接CC'、CF,则MCF面积的最大值是.

【答案】473

【分析】连接根据轴对称的性质可得C5=C5b=C'F,进而可得ACC在半径为2的,：B上，证明△CC%是

等边三角形，当CC'取得最大值时，△口?户面积最大，根据圆的直径最大，进而得出CC'最大值为4，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接3C',

:点C关于BH的对称点为C,

CB=C'B,CF=CF,

；AB=BC=2,

.♦•ACC'在半径为2的B上，

在优弧AC上任取一点E，连接AE,EC,

则ZAEC=』ZABC=60。,

2

ZABC=120°,ZAC'C=180°-ZAEC=180°--ZABC=120°,

2

ZCCF=60°，=/XCCF是等边三角形，

当CC'取得最大值时，△CC户面积最大，

在，8上运动，则CC最大值为4,

则△CCF面积的最大值是3x42=4道.

4

故答案为：45A.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出CC最大值为4是

解题的关键.

【变式演练】

1.（2023江苏无锡♦二模）如图，线段为。的直径，点C在的延长线上，AB=4,3C=2,点尸是O上一

动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtPCD,且使NDCP=60。，连接O£>,则。。长的最大值为

【答案】2有+1/1+2白

【分析】作COE,使得NCEO=90。，NECO=60。，则CO=2CE,OE=2^>,ZOCP=ZECD,由△COPs"ED,

OPCPi

推出三=三=2,即即二。尸=1（定长），由点片是定点，OE是定长，点。在半径为1的，：石上，由此即可解决

EDCD2

问题.

【详解】解：如图，作COE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,贝l]CO=2CE,OE=2^3,ZOCP=ZECD,

NCDP=90。,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

.CO_CP

'~CE~~CD

COPsCED,

OP__CP_

即=尸=1（定长），

~ED~~CD~

一点5是定点，。后是定长，•・・点。在半径为1的।E上,

OD<OE+DE=2y/3+l,/.OD的最大值为2代+1,

故答案为：2A5+1

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

2.（2023・安徽•一模）如图，在矩形A3CD中，AB=8,AD=4,点E是矩形A8CD内部一动点，且NBEC=90。，点产

是43边上一动点，连接PO、PE,则PD+PE的最小值为（）

A.8B.4岔C.10D.4君-2

【答案】A

【分析】根据々EC=9O。得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将尸E进行转化即可求解.

【详解】解：如图，设点。为BC的中点，由题意可知，

点E在以BC为直径的半圆。上运动，作半圆。关于A3的对称图形（半圆0'）,

点E的对称点为反,连接则尸£=尸6，

.••当点。、P、%、。共线时，PD+PE的值最小，最小值为。心的长，

如图所示，在RtOCO中，CD=8,CO'=6,

:.DO'=y/82+62=10>

又［。'g=2,

DEl=DO'-O'El=8,即PD+PE的最小值为8,

故选：A.

【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE进行转化时解

题的关键.

3.（2023•江苏扬州•模拟预测）如图，A是3上任意一点，点C在8外，已知A3=2,BC=4,Z\ACD是等边三角形,

则△BCD的面积的最大值为（）

A.46+4B.4C.473+8D.6

【答案】A

【分析】以BC为边向上作等边三角形3cM,连接DAf,证明r四△ACS得到DM=AB=2,分析出点。的运

动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，在求出点。到线段BC的最大距离，即可求出面积的最大值.

【详解】解：如图，以2c为边向上作等边三角形BCM,连接DM,

"：ZDCA=ZMCB=60°,

：.ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,即NDCM=NACB,

在ADCM和AACB中，

DC=AC

<ZDCM=ZACB,

MC=BC

ADCM^AACB(SAS),

，DM=AB=2,

•••点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使△BCD的面积最大,则求出点。到线段BC的最大距离，

••二/CM是边长为4的等边三角形，，点M到BC的距离为26，.•.点D到BC的最大距离为2力+2,

△3CD的面积最大值是gx4x（2g+2）=4^+4，故选A.

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点。的轨迹圆，再求出圆上

一点到定线段距离的最大值.

中考练场

1.（2023•黑龙江绥化•中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E为高8。上的动点.连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到CP.连接AF,EF,DF,则CD尸周长的最小值是.

BC

【答案】3+3后/3g+3

【分析】根据题意，证明CBE*CAF,进而得出尸点在射线"上运动，作点C关于"的对称点CL连接DC',设

CC'交AF于点0,则ZAOC=90。，则当ARC'三点共线时，FC+FD取得最小值，即FC+FD=尸'。+k£>=C。，

进而求得C'。，即可求解.

【详解】解：为高8。上的动点.

Z.ZCBE=-ZABC^30°

2

将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.ABC是边长为6的等边三角形，

CE=CF,ZECF=ZBCA=60°,BC=AC

；-CBE-CAF

二ZCAF=ZCBE=30°,

F点在射线AF上运动,

如图所示，

作点C关于■的对称点连接OC',设CC'交AF于点。，贝IJ/49C=9O°

在RtAOC中，ZC4O=30°,贝!|CO=LAC=3,

2

则当RQC'三点共线时，FC+FD取得最小值，即歹。+网>=尸'。+庾0=67>

VCC'=AC=6,ZACO=ZC'CD,CO=CD

：.ACgCCD,ZC'DC=ZAOC=90°

在sCDC中，C'D=Jcc。-CD、=后-32=3g，

；一CDF1周长的最小值为Cr>+bC+CD=Cr)+r)C=3+3A/L故答案为：3+3g.

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，

熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

2.(2022.四川成都•中考真题)如图，在菱形ABCD中，过点。作8交对角线AC于点E,连接8E,点P是线

段班上一动点，作尸关于直线DE的对称点P,点Q是AC上一动点，连接P'Q,DQ.若钻=14,CE=18,则DQ-P'Q

的最大值为.

B

【答案】1^1/—V2

33

（分析］延长。区交AB于点区确定点2关于直线DE的对称点E由点3,D关于直线AC对称可知QD=QB,求QD-QP'

最大，即求啰-价'最大，点。，B,尸共线时，QD-QP'=QB-QP'=BP',根据“三角形两边之差小于第三