2025年中考数学复习：圆的相关性质【含解析】

专题22圆的相关性质【原卷版】

一、单选题

1.（2024・湖南・中考真题）如图，AB,AC为的两条弦，连接OB,OC,若NA=45。，则N30C的

C.90°D.135°

2.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图,AB是：。的直径,4=35°,则々。£>=()

C.120°D.110°

3.（2024.江苏连云港•中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重物拉到

A点后放开，让此重物由A点摆动到8点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

4.（2024.四川凉山.中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点连接A3,作AB的垂直平分线8交于点。，交A2于点C,

测出"=40011,。。=10011,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

5.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，AD是。的直径，48是。。的弦，半径OC_LAB,连接CD,交

OB于点、E,ZBOC=42°,则NOED的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

6.（2024・湖北•中考真题）A3为半圆。的直径，点C为半圆上一点，且NC4B=50。.①以点B为圆心，

适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③

作射线5P,则NABP=（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

7.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，A3是。的直径，若NCDB=60。，则/ABC的度数等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.（2024・四川广元・中考真题）如图，已知四边形ABC。是。的内接四边形，E为AD延长线上一点,

ZAOC=128°f则NCDE1等于（）

B

A.64°B.60°C.54°D.52°

9.（2024・云南・中考真题）如图，CD是。的直径，点A、B在。上.若AC=BC，ZAOC=36,则"=

A.9B.18C.36°D.45

10.（2024.黑龙江绥化•中考真题）下列叙述正确的是（）

A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B.平分弦的直径垂直于弦

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

H.（2024・广东广州•中考真题）如图，中，弦A3的长为4vL点C在（。上，OC±AB,ZABC=3O°.O

所在的平面内有一点尸，若。尸=5,则点尸与C。的位置关系是（）

A.点尸在：。上B.点^在（O内C.点?在（O外D.无法确定

12.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，四边形A3CD是：。的内接四边形，AB是,。的直径，若

NBEC=20°,则24X7的度数为（）

—*—

\\\[j

W\\I//

D

A.100°B.110°C.120°D.130°

13.（2024・湖北武汉・中考真题）如图，四边形ABCD内接于（O,NABC=60。，ZBACZCAD45°,

3322

二、填空题

14.（2024.四川南充・中考真题）如图，A8是；O的直径，位于48两侧的点C,。均在。上，ZBOC=30°,

则NADC=度.

15.（2024・北京・中考真题）如图，O的直径A3平分弦8（不是直径）.若/。=35。，则NC=

16.（2024•江苏苏州・中考真题）如图，ABC是：。的内接三角形，若NO3C=28°,则/A=

17.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，ABC内接于。，AD是直径，若N3=25。，则NC4D

18.（2024・四川眉山・中考真题）如图，ABC内接于点。在AB上，AD平分/&1C交。于。，连

接50.若AB=10,50=2若，则BC的长为.

19.（2024・陕西・中考真题）如图，BC是，:。的弦，连接OB,0c,-4是2C所对的圆周角，则NA与N03C

20.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，在〈O中，直径至，。0于点£,CD=6,BE=1,则弦AC的

长为.

21.（2024•江西・中考真题）如图，AB是。的直径，AB=2,点C在线段AB上运动，过点C的弦DEIAB,

将。BE沿DE翻折交直线AB于点R当DE的长为正整数时，线段冏的长为

22.（2024・河南•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,C4=CB=3,线段C。绕点C在平面内

旋转，过点8作A£）的垂线，交射线4。于点E.若CD=1,则AE的最大值为,最小值为.

三、解答题

23.（2024•四川甘孜•中考真题）如图，为。。的弦，C为人台的中点，过点C作CD〃A3,交的延

长线于点D连接OAOC.

⑴求证：CD是。。的切线；

（2）若。4=3,BD=2,求;。CD的面积.

24.（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，AB是。的直径，BC,BD是。的两条弦，点C与点。在A8的

两侧，E是OB上一点、（OE>BE）,连接。C,CE,且NBOC=2/BCE.

（2）如图2,若BD=2OE,求证：3D〃OC.（请用两种证法解答）

25.（2024・安徽・中考真题）如图，。是，ABC的外接圆，。是直径AB上一点，NACD的平分线交AB于

点、E,交CO于另一点P,FA=FE.

⑴求证：CD1AB；

（2）设FNLAB,垂足为若OM=OE=1,求AC的长.

26.（2024・四川眉山・中考真题）如图，BE是。的直径，点A在。上，点C在BE的延长线上,

ZEAC=ZABC,AD平分/54E1交O于点。，连结DE.

⑴求证：C4是的切线；

（2）当AC=8,CE=4时，求。E的长.

27.（2024・江苏扬州•中考真题）如图，已知NPAQ及A尸边上一点C.

0

（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点0,使得NCOQ=2N&4Q；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，以点。为圆心，以Q4为半径的圆交射线AQ于点5,用无刻度直尺和圆规在射线CP

上求作点使点”到点C的距离与点/到射线A。的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

3

⑶在（1）、（2）的条件下，若sinA=g,CM=12,求创/的长.

28.（2024・河南•中考真题）如图1,塑像43在底座8C上，点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水平

视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过

A,8两点的圆与水平视线DE相切时（如图2）,在切点尸处感觉看到的塑像最大，此时ZAP3为最大视

角.

（1）请仅就图2的情形证明ZAPB>ZADB.

（2）经测量，最大视角为30。，在点P处看塑像顶部点A的仰角/4PE为60。，点P到塑像的水平距

离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：621.73）.

29.（2024•江西・中考真题）如图，A5是半圆。的直径，点。是弦AC延长线上一点，连接BD,BC,

ZD=ZABC=6O°.

⑴求证：是半圆。的切线；

（2）当3c=3时,求AC的长.

30.（2024•广东深圳•中考真题）如图，在中，AB=BD,O为△AB。的外接圆，8E为O的切线,

AC为。的直径，连接。C并延长交BE于点E.

D

⑴求证：DEYBE-,

⑵若AB=5而，BE=5,求-O的半径.

31.（2024•四川广元・中考真题）如图，在一ABC中，AC=BC,ZACB=90°,O经过A、C两点，交AB

于点CO的延长线交于点F,DE〃CF交BC于点E.

E

H

⑴求证：DE为\。的切线；

（2）若AC=4,tan/CFD=2,求。的半径.

32.（2024•内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在ABC中，以AB为直径的。交BC于点AC,

垂足为£.。的两条弦阳相交于点=阳.

⑴求证：DE是।。的切线;

（2）若/C=30。,CZ）=26，求扇形03。的面积.

33.（2024•江苏扬州•中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊

情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.

如图，已知ABC,C4=CB,。是.ASC的外接圆，点。在。上（4）>班）），连接AD、80、CD.

图1图2备用图1备用图2

【特殊化感知】

（1）如图1,若/ACB=60。，点。在49延长线上，则AD-50与CD的数量关系为

【一般化探究】

（2）如图2,若/ACB=60。，点C、。在同侧，判断AD-BD与O）的数量关系并说明理由;

【拓展性延伸】

（3）若NACB=c,直接写出AD、BD、CD满足的数量关系.（用含a的式子表示）

34.（2024•浙江•中考真题）如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延长AD至点E,

使AE=AC,延长助至点E连结E尸，使NAFE=NAT）C.

⑴若ZAFE=60。，CD为直径，求ZABD的度数.

(2)求证：①EF〃BC；②EF=BD.

专题22圆的相关性质【解析版】

一、单选题

1.（2024・湖南•中考真题）如图，AB,AC为的两条弦，连接OC,若NA=45。，则/30C的

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

是解题的关键.根据圆周角定理可知/A=：NBOC,即可得到答案.

【详解】根据题意，圆周角/A和圆心角/BOC同对着BC，

ZA=-ZBOC,

2

,ZA=45°,

:.ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

故选：C.

2.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，A3是一。的直径，ZE=35°,则（）

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出NAOD=2NE.

由圆周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由邻补角的性质求出ZBOD=180°-70°=110°.

【详解】解:ZE=35°,

.-.ZAOD=2ZE=70°,

ZBOD=180。-70°=110°.

故选：D.

3.（2024.江苏连云港.中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重物拉到

A点后放开，让此重物由A点摆动到8点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，为半径的一段

圆弧，

故选：C.

4.（2024.四川凉山•中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，8,连接A8,作A8的垂直平分线CD交A3于点。，交A8于点C,

测出A5=40cm,C£>=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出2。的长；设圆心为。，连接在

及△OB。中，可用半径表示出QD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的

直径长.

【详解】解：：8是线段A3的垂直平分线，

直线CO经过圆心，设圆心为。，连接08.

\c

\D

A.,RtZXOBD中，BD=^AB=20cm,

O(

根据勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-10)2+202=(9B2,

解得：08=25；

故轮子的半径为25cm,

故选：C.

5.（2024•内蒙古赤峰.中考真题）如图，AD是。的直径，是一。的弦，半径OC_LAB,连接CO,交

。3于点E,ZBOC=42°,则NOED的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质.先根据垂径定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圆周角定理求得4>=；/AOC=21。，再利用三角形的外角性质即可求解.

【详解】解：：半径OC_LAB,

•*-AC=BC>

：.ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

AC=AC'

ZD=-ZAOC=21°,

2

：.ZOED=ZAOB-ND=63°,

故选：B.

6.（2024・湖北・中考真题）AB为半圆。的直径，点C为半圆上一点，且/C4B=50。.①以点3为圆心,

适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以祝为圆心，大于“E为半径作弧，两弧交于点「③

作射线3尸，则（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出NABC=40。,

根据作图可得NABP=\ABC=20°,故可得答案

【详解】解：为半圆。的直径，

ZACB=90°,

ZCAB=50°,

：.ZABC=40°,

由作图知，AP是NA3C的角平分线，

ZABP=-ABC=20°,

2

故选：C

7.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，A3是:O的直径，若NCDB=60。，则/ABC的度数等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等.根据直径所对的圆周角为

直角得到NACB=90。，同弧或等弧所对的圆周角相等得到/a®=NA=60。，进一步计算即可解答.

【详解】解：4?是〈O的直径，

ZACB=90°,

ZCDB=60°,

:.ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故选：A.

8.（2024.四川广元•中考真题）如图，己知四边形ABC。是。的内接四边形，E为AD延长线上一点,

ZAOC=128°,则NCDE等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据同弧所

对的圆心角等于圆周角的2倍可求得NABC的度数,再根据圆内接四边形对角互补，可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【详解】解：NABC是圆周角，与圆心角/AOC对相同的弧，且NAOC=128。，

ZABC=-ZAOC=!x128。=64°,

22

又“四边形ABC。是；O的内接四边形，

ZABC+ZADC=180°,

又Z.CDE+ZADC=180°,

ZCDE=ZABC=64°,

故选：A.

9.（2024・云南・中考真题）如图，C。是的直径，点A、3在：。上.若AC=BC，ZAOC=36,则ND=

C.36°D.45

【答案】B

【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接。3,由AC=BC可得/SOC=NAOC=36。,

进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键.

【详解】解:连接。8,

AC=BC，

/3OC=NAOC=36°,

ZD=-ZBOC=18°,

2

10.（2024.黑龙江绥化•中考真题）下列叙述正确的是（）

A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B.平分弦的直径垂直于弦

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析

判断，即可求解.

【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正

确，不符合题意；

故选：C.

11.（2024广东广州•中考真题）如图，OO中，弦AB的长为4』，点C在O±,OC±AB,ZABC=30P.0（9

所在的平面内有一点P,若。尸=5,则点P与f。的位置关系是（）

A.点尸在。上B.点尸在。内C.点尸在。外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得AD=2石，由圆周角定理可得NAOC=60。，再结合特殊角的正弦值，求出。的

半径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令0C与A3的交点为。，

0c为半径，48为弦，且

ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在八位）。中，ZADO=90°,NAO0=6O。，AD=2«,

sinZAOD=—

OA

〜AD26“

OA=--------=^^=4

sin60°百即O的半径为4,

2

OP=5>4,

.,.点P在（:O外,

故选：C.

12.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，四边形ABCD是：。的内接四边形，是O的直径，若

ZBEC=20°,则NADC的度数为（）

4k-------2__

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC,由A8是。的直径得到NACB=90。，

根据圆周角定理得到NC4B=N3EC=20。，得至1」45。=90。-/氏^=7。。，再由圆内接四边形对角互补

得到答案.

【详解】解：如图，连接AC,

VABM。的直径，

/ACB=90°,

"?NBEC=20。,

：.ZCAB=ZBEC=20°

：.ZABC=90°-ABAC=70°

.四边形A5CZ）是O的内接四边形，

ZADC=180°-ZABC=110°,

故选：B

13.（2024・湖北武汉•中考真题）如图，四边形ABCO内接于。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

A指2V2「出V2

A.DR.---------C.Un.

3322

【答案】A

【分析】延长AB至点E,使=连接80,连接CO并延长交i。于点R连接AF,即可证得

ADCWEBC（SAS）,进而可求得AC=cos45。-A£=0，再利用圆周角定理得到NAFC=60。，结合三角

函数即可求解.

【详解】解：延长AB至点E,使3E=AD,连接8D,连接CO并延长交《。于点尸，连接AF,

:四边形ABCD内接于。，

ZADC+ZABC=ZABC+Z.CBE=180°

・・・ZADC=ZCBE

'：ZBAC=ZCAD=45°

：.ZCBD=ZCDB=45°,//MB=90。

：・BD是。的直径，

・・・ZDCB=90°

・•.△OCB是等腰直角三角形，

：.DC=BC

9：BE=AD

：..AZ)C^JEBC(SAS)

AZACD=ZECB,AC=CE,

•；AB+AD=2

AB+BE=AE=2

又丁NDCB=9。。

：.ZACE=90°

・•・"CE是等腰直角三角形

AC=cos45°AE=V2

ZABC=60°

：.ZAFC=60°

ZFAC=90°

.”AC276

sin6003

・•・OF=OC=-CF=—

23

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键.

二、填空题

14.（2024・四川南充・中考真题）如图，48是O的直径，位于AB两侧的点C,。均在。上，ZBOC=30°,

则度.

【分析】本题考查圆周角定理，补角求出/AOC,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即

可.

【详解】解：：A8是：O的直径，位于A3两侧的点C,D均在上，ZBOC=30°,

ZAOC=180°-ZBOC=150°,

/ADC」/AOC=75。；

2

故答案为：75.

15.（2024・北京・中考真题）如图，：。的直径48平分弦CD（不是直径）.若/D=35。，则/C=

【答案】55

【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先由垂径定理得到AB1CD,由BC=BC得到//=/，=35°,故NC=90。—35°=55°.

【详解】解：•••直径平分弦8,

ABLCD,

BC=BC，

：.NA=ND=35°,

NC=90°—35°=55°,

故答案为：55.

16.（2024.江苏苏州・中考真题）如图，ABC是；。的内接三角形，若/O3C=28。，则4=

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接。C,利用等腰三角形的

性质，三角形内角和定理求出N3OC的度数，然后利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接。C,

OB=OC,ZOBC=28°,

：./OCB=/OBC=28°,

ZBOC=180°-Z.OCB-NOBC=124。，

ZA=-ZBOC^62°,

2

故答案为：62°.

17.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，ABC内接于O,是直径，若NB=25°,贝U/CW

B

【答案】65

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD,根据直径所对的圆周角是直角

得出NACD=90。，根据同弧所对的圆周角相等得出/。=/8=25。，进而根据直角三角形的两个锐角互余,

即可求解.

【详解】解：如图所示，连接C£>,

,/ASC内接于（O,AD是直径,

^ACD=90°,

•・ZC=AC，4=25。,

ZD=ZB=25°

ACAD=90°-25°=65°,

故答案为：65.

18.（2024・四川眉山・中考真题）如图，ABC内接于Q,点。在上，AD平分/BAC交。于。，连

接8£>.若AB=10,BD=2出,则BC的长为.

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，延长AC,BD交于E,由圆周角定理可得NA2）3=ZADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,进而

可证明▲ABD空"D（ASA）,得到=DE=2指，即得BE=4有，利用勾股定理得AD=46，再证明

△ABDSABCE,得到黑=照,据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

ABAD

【详解】解：延长AC,BD交于E,

项是:：。的直径，

ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

A£>平分/8AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又：AD=AD,

，ABD^.AED(ASA),

BD=DE=2A/5,

.­.BE=4A/5,

AB=W,BD=2-45,

:.AD=J102-(2肩=4^5,

ZDAC=ZCBD,

又：ZBAD=ZDAE,

NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE=90°,

ABD^BEC,

,BE_BC

,,耘一布，

.4A/5BC

10475

:.BC=8,

故答案为：8.

19.（2024.陕西・中考真题）如图，BC是「。的弦，连接OB,OC,-4是BC所对的圆周角，则/A与N03C

的和的度数是.

【答案】90。/90度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键.根据圆周角定理可得/8OC=2NA,结合三角形内角和定理，可证明2NA+NQ5C+/OCB=180。，

再根据等腰三角形的性质可知/03C=N0CB,由此即得答案.

【详解】NA是BC所对的圆周角，/BOC是BC所对的圆心角，

:.ZBOC=2ZA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

:.2ZA+ZOBC+Z.OCB=180。，

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.-.2ZA+2ZOBC=180°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案为：90°.

20.（2024.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，在（O中，直径ASLCZ）于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的

长为.

【答案】3M

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=ED=gcn=3,设IO的半径为r，则=-£3=厂一1,在咫OED中，由勾股定

理得出方程，求出r=5,即可得出AE=9,在RAEC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：：A5，CD，Cr>=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设<。的半径为,，则OE=O3-£B=r-l,

在R0匹中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即（-I）?+3?=/,

解得：r=5,

OA—5QE-4,

:.AE=OA+OE=9,

在MAEC中，由勾股定理得：AC=^CE2+AE2=732+92=3710.

故答案为：3M.

21.（2024.江西・中考真题）如图，AB是。的直径，AB=2,点C在线段上运动，过点C的弦DEI,

将。BE沿DE翻折交直线AB于点R当DE的长为正整数时，线段阳的长为.

【答案】2-百或2+6或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据可得DE=1或2,利用勾股定理

进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

【详解】解：4?为直径，DE为弦,

DE<AB,

..■当DE的长为正整数时，DE=1或2,

当DE=2时，即DE为直径，

：DE^AB

二将。BE沿OE翻折交直线AB于点R此时产与点A重合，故FB=2；

当DE=1时，且在点C在线段。2之间，

如图，连接OD,

此时Or>=，AB=I,

一2

D

DC=-DE=~,

22

OC=40b1-DC1=—,

2

：.BC=OB-OC=2~^,

2

BF=2BC=2-5

当OE=1时，且点C在线段Q4之间，连接0。,

:.BF=2BC=2+6

综上，可得线段句?的长为2-有或2+6或2,

故答案为：2-石或2+指或2.

22.（2024・河南・中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACS=90°,01=CB=3,线段C。绕点C在平面内

旋转，过点8作AQ的垂线，交射线4。于点£.若CD=1,则AE的最大值为,最小值为.

【答案】2忘+1/1+2忘2后-1/-I+20

【分析】根据题意得出点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以48为直径的圆上，根据

AE=ABcosZBAE,得出当cos/fiAE最大时，AE最大，cos/fiAE最小时，AE最小，根据当AE1与C

相切于点。，且点。在ABC内部时，NBA石最小，A石最大，当A石与相切于点，且点。在

外部时，NBAE最大,AE最小，分别画出图形，求出结果即可.

【详解】解：,.•/ACB=90。，C4=CB=3,

ABAC=ZABC=-x90°=45°,

2

♦.•线段CO绕点C在平面内旋转，CD=1,

...点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，

•/BE±AE,

：.ZAEB=90°,

...点E在以AB为直径的圆上，

在RtAABE中，AE^AB-cosZBAE,

：AB为定值，

・••当cos/BAE最大时，AE最大，cos/fiAE最小时，最小，

・••当人后与〈。相切于点且点。在ABC内部时，NB4后最小，AE最大，连接8,CE,如图所示:

：.ZADC=ZCDE=90°,

AD=VAC2-CD2=732-I2=2V2，

**-AC=AC

：.ZCED=ZABC=45°,

•••NCDE=90。,

...'CDE为等腰直角三角形，

DE=CD=1,

•"­AE=AD+DE2V2+1)

即AE的最大值为2亚+1;

当AE与C相切于点。，且点。在「.ABC外部时，NBAE最大,AE最小，连接8,CE,如图所示:

则CDLAE,

NCDE=90。,

22

•••AD=VAC-CD=V32-i2=2V2，

•..四边形ABCE为圆内接四边形，

ZCEA=180°-ZABC=135°,

：.NCED=180°-ZCEA=45°,

NCDE=90。,

,.CDE为等腰直角三角形，

Z.DE=CD=1,

AE=AD-DE=2&-1，

即AE的最小值为20-1;

故答案为：20+1;272-1.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，

解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大值和最小值

时，点。的位置.

三、解答题

23.（2024.四川甘孜.中考真题）如图，43为。。的弦，C为人台的中点，过点C作CO〃AB,交的延

长线于点D连接Q4,OC.

⑴求证：co是。。的切线；

(2)若。4=3,BD=2,求90c。的面积.

【答案】(1)见解析

⑵6

【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键.

(1)由垂径定理的推论可知据此即可求证；

(2)利用勾股定理求出。即可求解；

【详解】(1)证明：为。。的弦，C为A8的中点，

由垂径定理的推论可知：OC±AB,

CD//AB,

：.OCLCD,

0C为。。的半径，

C£)是。。的切线；

(2)解：,：OB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=>JOD2-OC2=4>

/.Svocfl=g义OCxCD=6.

24.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图，48是。的直径，BC,BD是。的两条弦，点C与点。在的

两侧，E是0B上一点(OE>BE),连接OC,CE,且ZBOC=2NBCE.

(1)如图1,若5E=1,CE=y[5,求：。的半径；

(2)如图2,若BD=2OE,求证：3D〃OC.(请用两种证法解答)

【答案】(1)3

(2)见解析

【分析】(1)利用等边对等角、三角形内角和定理求出NO2C=NOCB=g(180O-/BOC),结合

NBOC=2NBCE,可得出/QBC+/3CE=90。，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：过。作OF,应)于凡利用垂径定理等可得出==然后利用HL定理证明

RtCEO^RtOFB,得出NCOE=NOBb,然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接AD,证明CEOsADB,得出/COE=/ABD,然后利用平行线的判定即可得证

【详解】(1)解：'：OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=1(180°-ZBOC),

,：ZBOC=2ZBCE,

：.NOBC=1(180°-2NBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

OC2^OE2+CE2,

oc2=(oc-i)2+[^)2,

解得OC=3,

即一。的半径为3；

(2)证明：法一：过。作。尸，3。于后

D

BF=-BD,

2

,?BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

RtCEO^RtOZ;B(HL),

ZCOE=ZOBF,

：.BD//OC-,

法二：连接AD,

：AB是直径，

ZADB=90°,

•*.AD=^AB2-BD2=J（2OC）2_（2OE）2=2y/oC2-OE2=2CE,

.PCCEOE\

"AB~AD~BD~1'

.CEO^ADB,

：.ZCOE=ZABD,

：.BD//OC.

【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键.

25.（2024•安徽・中考真题）如图，。是.ABC的外接圆，。是直径A3上一点，NACD的平分线交AB于

⑴求证：CD1AB；

（2）设垂足为若OM=OE=1,求AC的长.

【答案】（1）见详解

（2）472.

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解

题的关键.

（1）由等边对等角得出44E=N位,由同弧所对的圆周角相等得出NE4E=N3CE,由对顶角相等得

出ZAEF=NCEB,等量代换得出/CEB=N8CE,由角平分线的定义可得出NACE=/OCE,由直径所对

的圆周角等于90。可得出/ACB=90。，即可得出/CEB+〃CE=/fiCE+/ACE=NACB=90。，即

ZCDE=90°.

（2）由（1）知，/C£B=/BCE,根据等边对等角得出郎=3C,根据等腰三角形三线合一的性质可得

出M4,AE的值，进一步求出OA,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

【详解】（1）证明：：FA=FE,

：.ZFAE=ZAEF,

又44E与23CE都是2f所对的圆周角，

NFAE=NBCE,

'：ZAEF=NCEB,

：.NCEB=NBCE,

'：CE平分/AGO,

ZACE=NDCE,

,/A3是直径，

ZACB=90°,

：.ZCEB+Z.DCE=NBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCDE=90。，

即CD_LAB.

（2）由（1）知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又E4=FE,FM±AB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

圆的半径OA=OB=AE-OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在，ABC中.

AB=2（M=6,BC=2

AC=y]AB2-BC2=A/62-22=40

即AC的长为40.

26.（2024.四川眉山・中考真题）如图，BE是。的直径，点A在O上，点C在BE的延长线上，

ZEAC=ZABC,A£>平分ZBAE交：。于点。，连结OE.

⑴求证：C4是O的切线；

(2)当AC=8,CE=4时，求的长.

【答案】(1)见解析

(2)6A/2

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键.

(1)连接。4,根据圆周角定理得到/及归=90。，根据等腰三角形的性质得到=求得

NQ4c=90。，根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质定理得到5c=16,求得BE=BC-CE=12,连接9,根据角平分线

的定义得到44£>=㈤£>,求得BD=DE，得到3D=DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接。4,

BE是广。的直径,

:.ZBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABC=ZBAO,

ZEAC^ZABC,

ZCAE=ZBAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

.-.ZOAC=90°,

CM是；O的半径,

二.C4是：。的切线；

(2)解：ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

ACCE

*BC-AC?

.8_4

••=一,

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

连接50,

AD平分ZBAE,

\?BAD?EAD,

BD=DE，

BD=DE，

BE是：O的直径，

:.ZBDE=90°,

27.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知NPAQ及AP边上一点C.

0

（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点0,使得NCOQ=2NC4Q；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，以点。为圆心，以。4为半径的圆交射线AQ于点5,用无刻度直尺和圆规在射线CP

上求作点使点”到点C的距离与点/到射线A。的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

3

⑶在（1）、（2）的条件下，若sinA=g,CM=12,求的长.

【答案】⑴作图见详解

(2)作图见详解

(3)BM=675

【分析】(1)根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；

(2)根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

(3)根据作图可得“川，4。CM=WM=U,AB是直径，结合锐角三角函数的定义可得40的值，根

据勾股定理可求出AC的值，在直角中运用勾股定理即可求解.

/.ZCOQ=2ZCAQ.

点。即为所求

(2)解:如图所示,

连接BC,以点B为圆心，以2C为半径画弧交AQ于点片，以点片为圆心，以任意长为半径画弧交AQ于

点G，2,分别以点G，2为圆心，以大于为半径画弧，交于点耳，连接用《并延长交AP于点

：AB是直径，

ZACB=90°,即BC_LAP,

根据作图可得4G=BR,GE=DE,

：.MBt±AQ,即/Mg8=90。，M4是点M到AQ的距离,

,/BC=BBt,

：.RtBCMQRt_BB\M(HL),

：.CM=B[M,

点M即为所求点的位置;

（3）解：如图所示，

根据作图可得，ZCOQ=2ZCAQfMC=MW=12,MWLAQ,连接BC,

WM3

在RtAMW中，sinA-------=—,

AM5

."-2。,

33

・•・AC=AM-CM=2Q-n=8,

•・•是直径,

・•・ZACB=90°,

sinA=^=3

AB5

设BC=3x,贝！=

・•・在RtABC中，（5x）2=（3%）2+g2,

解得，X=2（负值舍去），

BC=3x=6,

在用3cM中，BM=yjCM2+BC2=7122+62=675-

【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，

掌握以上知识的综合运用是解题的关键.

28.（2024.河南・中考真题）如图1,塑像A3在底座3c上，点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水平

视线OE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过

A,2两点的圆与水平视线DE