2025年中考数学难点突破与训练：相似三角形中的旋转型相似模型（解析版）

专题12相似三角形中的旋转型相似模型

【模型展示】

.4

特点

如图，若AABCsAADE,则AN50s△ACE.

结论若△ABCsAADE,则

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形中，点尸是3c边上一点，连接4尸，以4尸为对角线作正方形4EFG,边尸G与正方

形48CD的对角线ZC相交于点〃，连接DG.以下四个结论：①NEAB=NGAD；②MFCs“GD；

@2AE2=AH-AC-,®DG±AC.其中正确的个数为（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，NEAB、ZGAD与NBAG的和均为90°,即可证明

ArAp

/EAB与NGAD相等；②由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得一=—,ZDAG=ZCAF,然后问题

ADAG

ApAT

可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形'可求证△HAFS^FAC,则有初=二万'然后根据

等量关系可求解；④由②及题意知/ADG=NACF=45。，则问题可求证.

【详解】解：①•••四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

・•・ZEAG=ZBAD=90°

又・・・NEAB=9()o-NBAG,ZGAD=90°-ZBAG

JZEAB=ZGAD

...①正确

②：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

，AD=DC,AG=FG

.,.AC=V2AD,AF=V2AG

03,”3

ADAG

口nACAF

即——=——

ADAG

又ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

ZDAG=ZCAF

AAFC^\AGD

②正确

③：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

ZAFH=ZACF=45°

又：/FAH=/CAF

.,.△HAF^AFAC

•AFAC

即AF2=ACAH

又：AF=V^AE

2AE2^AH-AC

...③正确

④由②知MFCsA4G。

又•.•四边形ABCD为正方形，AC为对角线

ZADG=ZACF=45°

ADG在正方形另外一条对角线上

.\DG±AC

二④正确

故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找

到需要的相似三角形进而证明.

2.如图，在矩形/BCD中,£是/。边的中点,BEL4c于点R连接。凡给出下列四个结论:①

②CF=2AF；®DF=DC；@S/\ABF：SmCDEF^2：5,其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE_LAC,可得NABC=/AFB=90。，又NBAF=/CAB,于是

△AEF^ACAB,故①正确；

②根据点E是AD边的中点，以及AD〃:BC,得出△AEFs/\CBF,根据相似三角形对应边成比例，可得

CF=2AF,故②正确；

③过D作DM〃:BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=

yBC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④根据△AEFs^CBF得至IJEF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SAAEF=7SAABF，S^ABF=JS

26

矩形ABCD，可得s四边形CDEF=S/\ACD-S^AEF=，^S矩形ABCD，即可得到s四边形CDEF——SAABF,故④正确.

【详解】如图，过。作〃麻1交4C于N,

•・•四边形是矩形,

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

•：BELAC于点、F,

AZEAC=ZACB,ZABC=ZAFE=90°,

:.dAEFsACAB,故①正确；

・：AD〃BC,

AJ7AF

:•△AEFs^CBF,：.——,

BCCF

'：AE=^AD=^BC,

AJ71

A—=，：.CF=2AF,故②正确，

CF72

'CDE//BM,BE//DM,

.••四边形BMDE是平行四边形，

/.BM=DE=yBC,：.BM=CM,

:.CN=NF,

于点凡DM//BE,

：.DN±CF,：.DF=DC,故③正确；

AAEFs^CBF,

.EF_AE

"BF~BC~2，

:.S4AEF=；S4ABF,S/\ABF=-S^ABCD,

26

・・・S4AEF=)S矩形ABCD,

又VS四边彩CDEF=SAACD-SAAEF=；S^ABCD--S矩形48CD=垓；S矩形4BCD,

21212

：.S/\ABF：S啦汲CDEF=2：5,故④正确；

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题

的关键.

二、填空题

3.已知正方形。EFG的顶点厂在正方形/5CD的一边40的延长线上，连结/G,CE交于点77,若45=3,

DE=6,则CH的长为.

BC

【答案】噜

【分析】连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,证明△ANGSADM,得到器=当，从而求出

NGAN

DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明4ADG名ZkCDE得到NDAG=NDCE,从而说明

△ADM-ACHM,得到多=桨，最后算出CH的长.

CHCM

【详解】解：连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN=GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

•••△ANGSADM,

,DM_AD

,:DE=C，

・・・DF=EG=2,

ADN=NG=1,

VAD=AB=3,

・DM_3

••13+1

3

解得：DM=:，

4

9i--------------a/i7

・•・MC=一，AM=^AD2+DM2=,

44

ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

・•・NADG=NEDC,

在AADG和ACDE中，

AD=CD

<ZADG=ZCDE,

DG=DE

AAADG^ACDE(SAS),

AZDAG=ZDCE,

ZAMD=ZCMH,

・•・ZADM=ZCHM=90°,

AAADM^ACHM,

.AD_AM

3后

即3=Y-

CH9

4

解得：0<=誓

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综

合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.

4.如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,以BE为边

作正方形BEFG,M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan/EC3=.

【答案】|

【分析】连接BD,BF,FD,证明△EBCS^FBD,根据题意，知道M,F,D三点一线时，FM最小，然

后过点M作MGLBD,垂足为G,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG和DG的长，再根

据正切的定义计算即可.

【详解】解:连接BD,BF,FD,如图，

•:叽里=亚,

BCBE

.BDBC

••而一而’

VZFBD+ZDBE=45°,ZEBC+ZDBE=45°,

AZFBD=ZEBC,

.,.△EBC^AFBD,

DF

・・・NFDB=NECB,

CE

.•.DF=0C£=3A/L

由题意知：FM、DF、DM三条线段满足FM+DFNMD,其中DM、DF的值一定,

...当M,F,D三点一线时，FM最小，

过点M作MN_LBD,垂足为G,

VZMBN=45°,BM=yAB=4,

.\MN=BN=2V2>

*•'MD=ylAM2+AD2=A/42+82=4V5，

•*-DG=4MD1-MG1=J(4后-(2&1=6④,

：.tanZECB=tanZFDG=—=

DG6723

故答案为：j.

【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值

模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键.

5.如图，在矩形N2CD中，E是4D边的中点，BE上AC于点、F,连接。R分析下列结论：①△/£尸

②CF=2AF；®DF=DC-,®Sgg^CDEF^|S^ABF,其中正确的结论有(填正确的序号)

【答案】①②③④

【分析】根据四边形是矩形，BELAC,可得4BC=ZAFE=9。。,又NEAC=ZACB,于是

\AEF^\CAB,故①符合题意；根据点E是/。边的中点，以及AD!/BC,得出尸，根据相似三

角形对应边成比例，可得CF=2NF,故②符合题意；过。作ZZM/ABE交NC于N,得到四边形8MDE是平

行四边形，求出BM=DE=3BC,得到CN=7VF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③符合题意;

根据。EFSACB厂得到E尸与质的比值，以及反与/C的比值，据此求出%EF=：%酎，=js矩/BCD，

26

可得S四边形⑺既=SMCO-SMEE=矩形488,即可得到S四边形c团'=，故④符合题意•

【详解】解：如图，过Q作。“〃BE交NC于N,交BC于M,

••・四边形4BCZ）是矩形，

AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

/EAC=ZACB,

BE上4c于点F,

ZABC=ZAFE=90°f

AAEFsACAB,故①符合题意；

,AD〃BC,AD=BC,

\AEF^\CBF,而石是的中点,

AEAF

5C-FC-2?

AF_1

~CF~2"

，CF=2AF,故②符合题意;

,?DE//BM,DM//BE,

...四边形物〃加是平行四边形，

:.BM=DE=-BC,

2

BM=CM,CN=NF,

•.・8£_L/C于点尸，DM//BE,

DNLCF,

DN垂直平分CF,

:.DF=DC,故③符合题意;

•・•MEFs'CBF,

.AF_EF_AE

,FC_2

-S*EF=5S*BF，SRABF-彳SyBFC_:S\ABC~T$矩形A8CZ),

236

-S*EF=WS矩形43CZ>，

又,S四边形CQE产—S^ACD-S*EF=S矩形43C£>一五S矩形工"。~"^^J^ABCD，

S四边形8"-3sMBF，故④符合题意；

故答案①②③④.

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算的

综合应用，正确作出辅助线是解题的关键.解题时注意，相似三角形的对应边成比例.

6.如图，正方形48CD中，点9是8C边上一点，连接/凡以N尸为对角线作正方形/EFG,边FG与AC

相交于点〃，连接。G.以下四个结论：

①/EAB=NBFE=ZDAG；

②△ACFsMDG；

@AH-AC=42AE2;

@DG±AC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【分析】根据正方形的性质可知NB=NE=90°,有对顶角相等,可证/及42=/BFE,由ZEAG=ABAD=90°

ArArf—

可证可判断结论①正确；由F=F=NFAC=/GAD,两边对应成比例且夹角相

ADAG

等即可得△/C/s4/DG,可判断结论②正确；由结论②可知NZCb=/ADG=45。，可得。G平分/4DC,

由正方形可知AZC。是等腰直角三角形，可推出。GL/C,结论④正确；利用两组角对应相等的两个三角形

相似可得根据相似的性质可得4H=AF贝尸2,又有工厂2=2/£2,则结论

AFAC

③错误.

【详解】解：设A8与昉相交于点。，如图所示,

四边形/8CO和四边形/EFG都是正方形,

NB=NE=90°,ZEAG=ABAD=90°.

又：ZAOE=ZBOF,

ZEAB=ZBFE.

,/ZEAG-NBAG=ABAD-ZBAG,

ZEAB=ZDAG,

：.NEAB=/BFE=/DAG,

故结论①正确;

'.'AC./尸是正方形和正方形/昉G的对角线，

：-AC=4iAD，AF=42AG，

.••生=〃=

ADAGa.

又ZFAG=ZCAD=45°,

/.ZFAG-ZGAH=ZCAD-ZGAH,

即ZFAC=ZGAD.

：.AACFS^ADG.

故结论②正确；

由LACFs/\ADG可知NADG=ZACF=45°,

.♦.DG平分/ADC.

,/A/CD是等腰直角三角形，

：.DG±AC.

故结论④正确；

ZFAC=ZHAF,ZACF=ZAFH=45°,

/\ACF^/\AFH,

.AHAF

••#一就’

二AH-AC=AF2.

,/在等腰直角REF中，AF2=2AE2，

；•AH-AC=2AE?，

故结论③错误，

.•.正确的结论是①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定

理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键.

7.如图，在一个12x13的网格中，点43都在格点上，。月=48=8,点P是线段上的一个动点，

连接OP,将线段0A沿直线0P进行翻折，点A落在点C处，连接BC,以BC为斜边在直线BC的左侧（或

下方）构造等腰直角三角形3DC,则点P从/运动到B的过程中，线段8C的长的最小值为,

线段所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）

【答案】8^/2-84

【分析】根据0B-0CV8C仅当C在上时等号成立，由折叠性质可知O/=OC,从而求出8C的最小值;

再证明而且相似比为0：1,从而得出点。在以字。/为半径的圆弧瓦万上运动，由此

画出图形即可得出格点的个数.

【详解】解：如图，连接03,AD.

,：OA=AB=S,N04B=90°

•*-OB=^OA2+AB2=8A/2，

又-OCW8C仅当。在08上时等号成立,

.•.2C的最小值=。8-。C,

又：OC=OA=S,

.•.2C的最小值=08-OC=80-8，

ACMB和ABDC均为等腰直角三角形，

ZOBA=ZCBD=45°,—=—=V2,

ABBD

又NOBA=ZABC+ZOBC,ZDBC=ZABC+ZABD,

ZOBC=ZABD,

AOCB~/\ADB,

.OCBCr：HnV2r

・・———■—A/2,即AD=OC=4V2,

ADBD2

...如图：点。在以走CM为半径的圆弧西上运动，当点尸与点N重合时，点。在4处，当点P与点、B

2

重合时，点。在。处，

.••线段2D所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个.

故答案为：8后-8，4.

【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明/。=正。。=4庭,从而得

2

出点。在以包。4为半径的圆弧而上运动，再根据画图得出结论.

2

三、解答题

8.【问题发现】如图1,在口△/BC中，/B4C=90。,AB=AC,。为斜边3c上一点（不与点3,C重合）,

将线段绕点/顺时针旋转90。得到连接EC,则线段8。与C£的数量关系是,位置关系是

【探究证明】如图2,在比△4BC和放中，NBAC=NDAE=90。,AB^AC,AD=AE,将△4DE绕

点/旋转，当点C,D,E在同一条直线上时，3。与CE具有怎样的位置关系，说明理由；

【拓展延伸】如图3,在RtABCD中,ZBCD=90°,BC=2CD=4,过点C作C4_L3。于/.将△/CD绕

点/顺时针旋转，点C的对应点为点£.设旋转角/C4E为a（0°<a<360°）,当C,D,£在同一条直

线上时，画出图形，并求出线段BE的长度.

【答案】BD=CE,BDLCE；BDLCE,理由见解析；图见解析，y

【分析】(1)证明△BADgACAE,根据全等三角形的性质解答；

(2)连接BD,根据全等三角形的判定和性质以及垂直的定义即可得到结论；

(3)如图3,过A作AFLEC,根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论.

【详解】解：(1)BD=CE,BDLCE；

(2)BDLCE.理由如下：在用△/8C和MzX/DE中，/AEC=45。,"：ZCAB=ZDAE

=90°,/.ZBAD=ZCAE,：.ACEA^^BDA,

：.NBDA=N4EC=45°,：.NBDE=/BDA+乙4DE=90。,C.BDLCE.

(3)如图所示，过点/作//，CE,垂足为点?

根据题意可知，R&BCSRAED,ZBAC=ZEAD,

.AB_AC.ABAE

•,花―茄，"AC~AD'

ZBAC=ZEAD=90°,：.ZBAE=ZCAD,：./\BAE^/\CAD,

：.ABEA=ZCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+90°,

；./BEC=90。,C.BELCE.

在旋转前，在及△BCD中，NBCD=90。,BC=2CD=4,

•*-BD=-JBC2+CD2=26»'：AC±BD,

ii4

aBCD22V5

AD=y)CD2-AC2

45

c

AC-AD44

在放△4C。中，CD边上的高〃=©口=《'旋转后，得4F=:,

CE=2CF=2dAe2-AF?=2.1--—=—

\5255

BE=NBC?-CE?=,42-(3]=—.

【点睛】本题是几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线.

9.如图，在正方形48CD中，点尸在对角线AD上，直线NP交CD于£,PFL4E交BC于点、F,连接/尸

交BD于M.

(1)判断△/尸尸的形状，并说明理由；

(2)连接£尸，求£尸:尸」彼的值.

【答案】尸是等腰直角三角形，理由见解析

Q)EF：PM=2：V2.

【分析】(1)过点尸作PG,3c于点G,交AD于点、H,根据正方形的性质证明即可得结

论；

(2)将绕点4顺时针旋转90。得到△45N,利用全等三角形的性质证明然后证明

△APMS^AFE,可得EF：PM=AP：AF,根据尸尸是等腰直角三角形，进而可以解决问题.

(1)

解：△人尸尸是等腰直角三角形，理由如下：

如图，过点尸作尸GL5C于点G,交AD于点H,

:・GH=CD,

•・•四边形/BCD是正方形,

AZADB=45°,AD=CD,

*.*/PHD=90。,

：.NHPD=45。,

：.HD=HP,

:・AH=GP,

u：PFLAE,

：.ZAPF=90°f

：.ZAPH+ZFPG=90°,

NP4H+NAPH=9U。,

：.ZPAH=ZFPG,

在尸7/和△尸9G中，

/PAH=ZFPG

<AH=PG,

ZAHP=ZPGF=90°

:•△APH"APFG(ASA),

：.AP=FP,

・・・LAPF是等腰直角三角形；

(2)

解：如图，将△4DE绕点4顺时针旋转90。得到△45N,

•：/ADE=NABN=90。,ZABC=90°,

：.NABC+NABN=T80。,

AC,B,N共线，

ZEAF=45°,

：.NNAF=NE4B+/BAN=NE4B+/DAE=45。,

：.ZE4E=ZE4N,

在△E4N和中，

AF=AF

<ZFAN=ZFAEf

、AN=AE

：.AE4N^/\E4E(SAS)f

・・・ZAFN=ZAFE,

•:/FMB=/AMP,ZMBF=ZPAM=45°f

：./BFM=/APM,

：./APM=NAFE,

：./\APM^/\AFE,

：.EF：PM=AP：AF,

由(1)知：尸尸是等腰直角三角形，

：.AF：AP=2：41，

:.EF：PM=2：y/2.

【点睛】本题属于几何综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形

解决问题，属于中考题的压轴题.

10.某校数学活动小组探究了如下数学问题:

图1

(1)问题发现：如图1,中，/B4C=90。,AB=AC.点尸是底边8c上一点，连接/P,以/尸为腰

作等腰Rt^NP。，且NP/0=9O。，连接C0、则8尸和C0的数量关系是.

(2)变式探究：如图2,A48C中，NB4c=90°,AB=AC.点尸是腰48上一点，连接CP,以CP为底边

作等腰Rt^CPQ,连接判断8尸和N。的数量关系，并说明理由;

(3)问题解决：如图3,在正方形N2C。中，点尸是边2C上一点，以。尸为边作正方形DPEF,点。是正方

形DPE尸两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DP斯的边长为C0=VL求正方形A8CD的边长.

【答案】(1)8尸=C。

(2)8尸=屈0

(3)3

【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明尸也EC。，再利用全等三角形的性质即可得到8尸和CQ

的数量关系；

(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明

△CBPsMAQ,之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；

(3)连接3。，如图(见详解)，先由正方形的性质判断出△BCD和△尸。。都是等腰直角三角形，再利用

与第二问同样的方法证出由对应边成比例，依据相似比求出线段2P的长，接着设正方形

/5CD的边长为x,运用勾股定理列出方程即可求得答案.

(1)解：•.•△/尸。是等腰直角三角形，ZPAQ=90°,在A48c中，NB4C=90。,AB=AC,：.AP=AQ,

AB=AC

ZBAP+APAC=ACAQ+APAC,：.ZBAP=ZCAQ.在和A/CQ中，\/-BAP=ZCAQ,

AP=AQ

：.AABP^XACQ^SAS),：.BP=CQ-

(2)解：判断8尸=后，0,理由如下：；ACP。是等腰直角三角形，A4BC中，NBAC=90。,AB=AC,

.QCAC

NACB=ZQCP=45°.；NBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,：.NBCP=ZACQ,

"7C-5C-V，

...ACBPMCAQ,

(3)解：连接BD:四边形ABCD与四边形DPEF是正方形,

.QDCD42

DE与PF交于点、Q,•••△BCD和△尸QD都是等腰直角三角形,

,•而一防一号'

NBDC=ZPDQ=45°.:ABDP+NPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,ZBDP=ZCDQ,：.^BDP^ACDQ,

...空=0=包=变•:CQ=母,:.BP=4iCQ=2.在Rt△尸C。中，CD〜CP。=DP°,设CD=x,

PDBDBP2

则CP=x-2,又：正方形。PEF的边长为丽，：.DP=y/10,.1.x2+(x-2)2=(VTo)2,解得玉=-1(舍去),

x2=3.：.正方形ABCD的边长为3.

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角

形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键.

11.［问题发现］

(1)如图1,在中，AB=AC,/A4c=90。，点。为3C的中点，以为一边作正方形CDE厂，

点E与点A重合，已知A4C/SMCE.请直接写出线段BE与4尸的数量关系；

［实验研究］

(2)在(1)的条件下，将正方形CDE尸绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE,CE,AF.请猜想线段8E

和/尸的数量关系，并证明你的结论；

［结论运用］

(3)在(1)(2)的条件下，若AA8C的面积为8,当正方形CAE尸旋转到B,E,尸三点共线时，请求出线

段4尸的长.

【答案】八)BE=4iAF

Q)BE=4iAF，证明见解析

⑶线段AF的长为-2或+2

【分析】(1)先判断出为等腰直角三角形，进而求出/3=收40,即可得出结论；

(2)先利用三角函数得出会=裳，证明夹角相等即可得出进而求出结论；

nCEC

(3)分两种情况计算，当点£在线段AF上时，先用勾股定理求出斯=。尸=4。=8，BF=加即可得出

5£=&-血，借助⑵得出结论；当点£在线段5/延长线上同前一种情况一样即可得出结论.

(1)

解：vAB=AC,/BAC=90。,

:.NB=ZACB=45。,

••・四边形。。石尸是正方形，

:.EF=CF,ZF=90°,

:./FEC=/FCE=45。,

ZFEC=ZB,ZFCE=ZACB,

•••点E与点、A重合，

ZFEC=ZFAC=ZB,ZFCE=AFCA=ZACB,AB=BE,

:.\ACF^\BCE；

•AF_AC

..AC_.__•__V2

,-sinB—sind45o——,

BC2

.AFV2

••---=---9

BE2

：.BE=42AF;

(2)

解：BE=y[2AF-

证明：由(1)得，-^-=sin5=sin45°=^-,

BC2

,・•四边形CZ)£b是正方形，

:.EF=CF,NEFC=90。,

;"FEC=/FCE=45。,

/.—=sinAFEC=sin45°=—,

EC2

.ACFC42

BCEC2

•・•/ACF=NBCE=45°-/ACE,

:.\ACF^\BCE,

,AFAC41

••------------,

BEBC2

：.BE=4IAF-,

(3)

解：如图1,•.・AB=AC,/A4c=90。，点。为BC的中点,

:.AD,BC,ADIBC,

2

:.BC=2AD,

MBC的面积为8,

/.-BCAD=S,

2

:.AD2=8,

AD=26，

BC=4也，

,•・点£与点A重合，四边形CDE尸是正方形，

EF=CF=DE=AD=242■,

如图2,B、E、尸三点共线且点E在线段即上，

E

BC

D

图2

ZBFC=90°,

BF=VSC2-CF2=7(472)2-(2V2)2=276，

BE=BF-EF=276-272,

■：BE=41AF-

■■立AF=2屈-2母，

:.AF=2yf3-2;

则BE=BF+EF=2娓+2近，

■：BE=42AF-

@尸=2痛+2及，

:.AF=2y/3+2，

综上所述，线段ZF的长为2。-2或2。+2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，正方形性质和旋转性质，分

类讨论和画出图形是解决本题的关键.

12.如图1,已知点G在正方形4BCD的对角线NC上，GELBC,垂足为点E,GF±CD,垂足为点尸.

(1)证明：四边形CEG尸是正方形;

(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0。<01<45。)，如图2所示，试探究线段

NG与之间的数量关系，并说明理由;

(3)拓展与运用：正方形CEGP绕点C顺时针方向旋转a角(0°<a<45°),如图3所示，当2,E,斤三

若NG=9,GH=3也，求的长.

图3

【答案】(1)答案见解析；(2)AG=6BE；理由见解析；(3)BC=^-

2

【分析】(1)先说明G£_L3C、GFLCD,再结合N2C£)=90。可证四边形CEGb是矩形，再由/ECG=45唧

可证明;

(2)连接CG,证明△ZCGs^BCE,再应用相似三角形的性质解答即可;

(3)先证△4”GsACH4可得丝=①=里,设BC=CD=AD=a,贝Ij/C=a,

ACAHCH

求出DH=^a,S=半“最后代入即可求得a的值.

【详解】(1)•••四边形是正方形,

AZ5CZ)=90°,N2CN=45°,

,:GELBC、GFLCD,

ZCEG=ZCFG=/ECF=90。,

：.四边形CEGP是矩形，NCGE=NECG=45。,

：.EG=EC,

.••四边形CEG尸是正方形.

(2)结论：AG=叵BE；

理由：连接CG,

由旋转性质知4BCE=NNCG=a,

在RtACEG和Rt/\CBA中,

里—显,

CG2

CA2

，史上=后，

CECB

：.AACGsABCE,

BECB

・・・线段AG与BE之间的数量关系为AG=V2BE；

(3)'：ZCEF=45°,点、B、E、尸三点共线，

・•・/BEC=135。,

'：AACGsABCE,

：.NAGC=NBEC=135。,

：.ZAGH=ZCAH=45°,

•:/CHA=NAHG,

：.△AHGsdCHA,

.AGGHAH

设BC=CD=AD=a,则

AG_GH'曰93A/2

由二=屈'侍而=/'

.・.AAHU=~2a,

则。CH-y/CD2+DH2^—a,

33

2

.AG=AH得/=

"ACCH''72a向

------a

3

解得：°=当叵，gpBC=^-.

22

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是

正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题.

13.如图，A4BC和V4DE是有公共顶点直角三角形，NBNC=NZUE=90。，点尸为射线AD,CE的交点.

图1图2备用图

（1）如图1,若A48C和V4DE是等腰直角三角形，求证：CPLBD-,

（2）如图2,若NADE=NABC=30°,问：（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）在（1）的条件下，43=4,40=3,若把V/DE绕点/旋转，当NE4c=90。时，请直接写出PB的

长度

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）总的长为14或三28.

【分析】（1）由条件证明△4BD之△NCE,即可得可得出N2PC=90。，进而得出3。_LCP；

（2）先判断出△/DBS/UEC,即可得出结论；

（3）分为点E在48上和点E在48的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△尸E8s△NEC,最后依据

相似三角形的性质进行证明即可.

【详解】解：（1）证明：如图，

VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAE+ZCAE=ZBAD+ZBAE,

即/84Z>/C4及

・・・MBC和VADE是等腰直角三角形，

:・AD=AE,AB=AC

在△42。和△4CE中，

AD=AE

</BAD=/CAE,

AB=AC

：./\ABD^/\ACE(S/S),

JZABD=ZACE.

ZCAB=90°,

：./ACF+NAFC=90。,

：.ZABP+ZBFP=90°.

：.ZBPF=90°,

：.BD±CP；

(2)(1)中结论成立，理由：

在放△,吕。中，N/5C=30。，

：.AB=y]3AC,

在放中，NADE=30。,

:・ADfAE,

.AD_AE

••布一就

NBAC=NDAE=90。,

：.NBAD=/CAE,

：.△%£)吐△4EC.

・•・/ABD=/ACE

同(1)得CPLBD；

(3)解：,:△/BC和是等腰直角三角形,

：.AD=AE=3,AB=AC=4

①当点E在45上时，BE=AC-AE=\.

D

*：NE4c=90。,

・•・CE=4AE?+/02='32+42=5.

同（1）可证△4D5会/XZEC

・•・ZDBA=ZECA.

*.*/PEB=/AEC,

：.APEBsdAEC.

.PB_BE

••就一而

・PB_1

••一.

45

.4

：.PB=-.

5

②当点石在A4延长线上时，BE=5.

：.CE=5.

同（1）可证△/OBZAJEC.

・•・ZDBA=ZECA.

9：/BEP=/CEA,

：.APEBsAAEC.

,PB_BE

，9^4C~~CE'

•・•PB一」•

45

28

:.PB=——.

5

综上所述，可的长为］4或三28.

【点睛】此题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性

质和判定，证明得△尸EBs△/EC是解题的关键.

14.一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、/、。在同一条直线上）,

发现BE=DGS.BEJ.DG.

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答:

（1）将正方形4EFG绕点/按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到3E=DG吗？若能，请给出证明，请说

明理由;

（2）把背景中的正方形分别改成菱形4EFG和菱形N3CD,将菱形NEFG绕点/按顺时针方向旋转（如图2）,

试问当ZEAG与ZBAD的大小满足怎样的关系时，BE=DG；

ApJR7

⑶把背景中的正方形分别改写成矩形"EFG和矩形"3。,且万=而二，AE=2a,AB=2b（如图

3）,连接DE,BG.试求。l+BG?的值（用6表示）.

图3

【答案】（1）见解析；（2）当/"G=/A4D时,BE=DG,理由见解析；（3）13/+13/.

【分析】（1）由正方形的性质得出/E=ZG,ZEAG=90°,AB=AD,/8/。=90。，得出=,

则可证明之△/GO（SNS）,从而可得出结论;

（2）由菱形的性质得出NE=NG,AB=AD,则可证明△AE3多△ZGD（SZS）,由全等三角形的性质可得

出结论;

（3）设班与。G交于0,BE与AG交于点、P,证明△£<48s△G4。，得出=得出G£>J_E3,

连接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【详解】（1）..•四边形"EFG为正方形,

AAE=AGfZEAG=90°,

又•・•四边形ZBCQ为正方形,

AB=AD,/BAD=90°,

JZEAG-ZBAG=ABAD-/BAG

：./EAB=/GAD,

在和△/GQ中，

AE=AG

</EAB=/GAD,

AB=AD

：./\AEB^2\AGD(SAS),

：.BE=DG；

(2)当/=时，BE=DG,

理由如下：

ZEAG=/BAD,

.,・/EAG+NBAG=/BAD+/BAG

：・/EAB=/GAD,

又,/四边形AEFG和四边形ABCD均为菱形,

AE—AG,AB-AD,

在△，防和△4G。中，

AE=AG

</EAB=NGAD,

AB=AD

・・.公AEB沿公AGD(SAS),

：.BE=DG；

(3)设跳1与DG交于0,BE与AG交于点、P,

由题意知，AE=2a,

AEAB2

——=—=—，ZEAB=ZGDA=90°+ZGAB,

AGAD3

AEABS/\GAD,

・•・ZEBA=ZGDA,

・.・ZADB+ZABD=ZGDA+ZQDB+ZABD=90°,

ZQDB+ZQBD=ZEBA+ZQDB+ZABD=90°,

C.GDLEB,

连接£G,BD,

：.ED2+GB2

=EQ2+QD2+西

=EG2+BD\

AEAB2

-----=-----=—fAE=2Q,AB=2b,

AGAD3

AG=3a,AD=3b,

在放△E/G中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2,mBD2=AB2+AD2f

ED2+GB2

=（2a）2+（3a）2+（2/））2+（3Z＞）2

=13a2+13b2.

【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，

勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键.由（3）可得结论：当四边形的对角线相互

垂直时，四边形两组对边的平方和相等.

15.在△ABC中，AB^AC,/A4C=a,点P是△/BC外一点，连接3P,将线段3P绕点尸逆时针旋转a

得到线段PD,连接8。，CD,AP.

观察猜想：

（1）如图1,当a=60。时，丁7的值为,直线CD与工尸所成的较小角的度数为

类比探究:

(2)如图2,当a=90。时，求出不；的值及直线CD与/尸所成的较小角的度数；

AP

拓展应用：

(3)如图3,当a=90。时，点£,尸分别为/瓦/C的中点，点尸在线段的延长线上，点/,D,尸三

点在一条直线上，BD交PF于点G,CD交48于点〃若CD=2+0,求的长.

【答案】(1)1,60；(2),直线。与/P所成的较小角的度数为45。；(3)BD=42.

AP

【分析】(1)根据a=60。时，是等边三角形，再证明△PBAgZ^DBC,即可求解，再得到直线CZ)

与/尸所成的度数；

(2)根据等腰直角三角形的性质证明△PBAs^DBC,再得到坐=空，再根据相似三角形的性质求出直

APAB

线CD与/P所成的度数；

(3)延长C4,2。相交于点K,根据直角三角形斜边上的中线性质及中位线定理证得NBCDnNKCO,

由(2)的结论求出4P的长，再利用在凡△P5D中，设PB=PD=x,由勾股定理可得应x=/D,再

列出方程即可求出x