2025年中考数学难点突破与训练：相似三角形中的母子型相似模型（解析版）

专题13相似三角形中的母子型相似模型

【模型展示】

【模型证明】

特殊母子型——射影定理

在RtAACB与RtAADC中，当ZABC=ZACD时，有

解决方案RtAACBsRtaADCsRtACDB

射影定理：NO?

BC*1=234BD»AB

CD?=AD・BD

母子相似证明题一般思路方法：

1由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

2分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

3第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

4第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步;

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在历AA8C中，C。是斜边N5上的高，则图中的相似三角形共有（）

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【详解】VZACB=90°,CD±AB

.,.△ABC^AACD,AACD^ACBD,AABC^ACBD

所以有三对相似三角形，

故选：C.

【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角

相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似.

2.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD,AD上，BELCF于点G,若BC=4,AF=1,则CE的长

为（）

1216

A.3B.——D.——

55

【答案】A

【分析】过D做。〃，尸。于点H,由正方形ABCD的性质，通过证明和

计算得到GC,再通过证明AECGsACDF从而求得CE的长.

【详解】如下图，过D做ZWLFC于点H

・•・/DHF=90°

•・,正方形ABCD

AZFDC=90°且皿=8=8。=4

AF=1

.\FD=AD-AF=4-1=3

-*«FC=VFD2+CD2=A/32+42=5

又ZDHF=ZFDC=90°

・•・AFDC^AFHD

.FHFD_3

•・FD-FC-5

,:FD=3

9

：.FH=-

5

又•・•正方形ABCD

・•・ADUBC

：.ZDFH=/BCG

・：BELCF于点、G

・•・/BGC=/CGE=90°

：.AFDHSACBG

•空一BC_4

••一

FH-访-3

9

•：FH=

5

12

：.GC=

y

*.•ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90,

・•・AECGs^CDF

12

・•・ECGC大_3

1^~~CD4-5

33

・・.EC=-FC=-x5=3

55

故选：A.

方法二：

ZBEC+ZFCD=90°,

NDFC+NFCD=90。，

AZBEC=ZDFC,

又,.,NCDF=NBCE,

BC=CD,

AABCE^ACDF,

・・.CE=DF=4・1=3;

【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似

三角形的性质，从而完成求解.

3.如图，RM4BC中，ZC=90°,AB=15fBC=9,点尸，0分别在8C,ACh,CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PC0绕点p旋转，得到△/>用,点。落在线段尸。上.若点。在/氏4C的平分线

上，则CP的长为()

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根据勾股定理求出/C的长，再根据计算可知注=：=珞，结合定理两边成比例且夹角相等的

BC3AC

三角形相似证明△尸QCS2\R4C,再根据相似三角形的性质得出由此可得出产。〃/8；连接

AD,根据尸。〃/8和点。在4BNC的平分线上可证由止匕可得4。=。0,分别表示和

。。由此可得方程12-4x=2x,解出x,即可求出CP

【详解】解：•在放△Z3C中,18=15,BC=9,

：.AC=VAB2-BC2=V152-92=12.

..PC_3x_xQC_4x_x

*BC~~9~3"AC-12-i，

.PC_QC

**BC-AC*

vzc=zc,

・•・△PQCs^BAC,

：.ZCPQ=ZB.

：.PQ//AB；

连接AD,

•：PQIIAB,

：.ZADQ=ZDAB.

•・,点。在NA4C的平分线上，

・・・ZDAQ=ZDAB,

：.ZADQ=ZDAQ,

：.AQ=DQ.

■:PD=PC=3x,QC=4x

・•・在RtACPQ中，根据勾股定理PQ=5x.

：.DQ=2x,

u：AQ=n-4x,

12-4x=2x,解得x=2,

：.CP=3x=6.

故选C.

【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定,

熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键.

4.如图，Rt^ABC中，AC±BC,AD平分NBAC交BC于点D,DE_LAD交AB于点E,M为AE的中

DE3

点，BF_LBC交CM的延长线于点F,BD=4,CD=3.下列结论①NAED=/ADC；②一；③AC«BE=12；

DA4

@3BF=4AC,其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】®ZAED=90°-ZEAD,ZADC=90°-ZDAC,VZEAD=ZDAC,

.\ZAED=ZADC.故本选项正确；

ABRD4

②：AD平分/BAC,，一=—=-,.*.设AB=4x,贝UAC=3x,

ACCD3

在直角aABC中，AC2+BC2=AB2,则(3x)2+49=(4x)2,

解得：x=a，

VZEAD=ZDAC,ZADE=ZACD=90°,

.".△ADE^AACD,得DE：DA=DC：AC=3：#!,故不正确；

③由①知NAED=/ADC,

ZBED=ZBDA,

又：/DBE=/ABD,

.".△BED^>ABDA,

ADE：DA=BE：BD,由②知DE：DA=DC：AC,

ABE：BD=DC：AC,

.•.AC・BE=BD・DC=12.

故本选项正确；

④连接DM,

在Rt^ADE中，MD为斜边AE的中线，

则DM=MA.

，ZMDA=ZMAD=ZDAC,

；.DM〃BF〃AC,

由DM〃BF得FM：MC=BD：DC=4：3；

由BF〃AC得△FMBs/XCMA,有BF：AC=FM：MC=4：3,

；.3BF=4AC.

故本选项正确.

综上所述，①③④正确，共有3个.

5.如图，在必△/8C中，ZBAC^90°,BA=CA=6®,。为边的中点，点£是。4延长线上一点，

FA4

把/CDE沿。£翻折，点。落在C'处，EC'与A8交于点F，连接3C'.当一；=:时，3。的长为（）

EA3

A.|V5B.6V10C.9D.6夜

【答案】D

【分析】如图，连接CC,过点。作CHLEC于H.设AB交DE于N,过点N作NTLEF于T,过点D作

_LEC于证明NCC8=90。，求出CC,即可解决问题.

【详解】解：如图，连接CC,过点C作于〃.设AB交DE于N,过点N作NT,即于T,过点

D作DMLEC于M.

：.EF：AF：AE=5：4：3,

CH//AF,

：.4EAFSAEHC,

：.EC：CH：EH=EF：AF：AE=5：4：3,

设EH=3k,CH=4k,EC=EC=5k,贝ljS=2左，

由翻折可知，/AEN=/TEN,

9：NALEA,NTLET,

：.ZNAE=ZNTE,

■:NE=NE,

:ANEA^ANET(AAS)f

：.AN=NT,EA=ET,

设/E=3冽，AF=4m,EF=5m,AN=NT=x,则4E=ET=3m,TF=2m,

222

在RtAFNT中,FN=NT+FT9

222

(4加-%)=x+(2m)f

3

角牟得：x=-m,

2

・.・/。=/5=6而，NC4B=90。,

：・BC=6AC=125

：,CD=BD=6E

9

：DM±CMfZDCM=45°,

:・CM=DM=3屈,

,:AN〃DM,

.AN_EA

**DM-W，

3

AN__DM__才_j_,

EA~EM~3m~2

.\EM=6y/lO，

EC=9y[lO=5k9

・7_9而

••K=----,

5

・「“_18而「R_36而

••CH，------，CH-------，

55

•••CC'=^CH2+CH2=J（粤§+（驾旦2=1班,

"：DC=DC'=DB,

：.ZCC'B=90°,

：.BC'=^BCy-CC2=J(12病2-(18伪2=60，

故选：D.

【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的

判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方

程解决问题.

二、填空题

6.如图，在ANBC中，点。在48上，请再添一个适当的条件，使△4DCsA4CB,那么可添加的条件是

【答案】ZACD=ZABC(答案不唯一，也可以增加条件：ZADC=/ACB或4cz=4D-AB).

【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三

角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似.

【详解】若增加条件：ZACD=ZABC,

VZACD=ZABC,且-4,

：.NADC:\ACB.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键.

94

7.如图，在用△ZBC中，ZACB=90°,CDLAB于点D,已知4。=不8。=《，那么5C=.

【答案］冬叵

5

【分析】证明根据相似三角形的性质列式计算即可.

【详解】解：vZACB=90°,CDLAB,

：.NACB=NCDB=90。,

：.ABCDs^BAC,

4BC

.BDBC

,即

~BA1=49

「BC拓5+5

BC>0

・2V13

••LJ-----------

5

故答案为：纸i

5

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键.

8.如图，在AABC中，AABC=45°,AB=2近,AD=AE,/DAE=90。，CE=右，则CD的长为.

【答案】5

【分析】在CD上取点F,使/DEF=/ADB,证明A/DBSAOEF,求解=4,再证明ACEFSAC£)E,

利用相似三角形的性质求解CF即可得到答案.

【详解】解：在CD上取点F,使1DEF二NADB,

•・・AD=AE,/DAE=90。，

由=乂5层,

DE=V2AD=V2AE，

・・・/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=/ADE+NEDC=/ABD+/BAD,

/BAD=/EDC,

•・•NBDA=/DEF,

/.△ADBsADEF,

DFnrr-

—=V2,AEFD=NABD=45°,

ABAD

vAB=272，

DF=4,

又ZAED=45°=/CDE+ZC,NEFD=NCEF+ZC=45°,

/CEF=/CDE,

VZC=ZC,

.-.△CEFsACDE,

CEDC

'CF-CE'

又DF=4,CE=V5,

,V5_CF+4

"CF-V5

，CF=1或CF=5（舍去），

经检验：CF=1符合题意，

;.CD=CF+4=5.

故答案为：5.

本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的

判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

9.如图，在A/3C中，AB=AC,点。在BC边上，/8/。=90°-,/。，点厂在/(7上，BFLAD,垂足

2

为E,若CD=2,4D=46，则线段EF的长为.

【答案】生5

11

【分析】过A作AHLBC于H,根据已知条件得到/ABE=g/ACB,求得NABE=NDBE,根据全等三角

形的性质得到AE=DE,AB=BD,设AB=BD=AC=x,根据相似三角形的性质得到AH=8,过C作CGLAD

交AD的延长线于G,再根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：过A作AHLBC于H,

VBF1AD,

.".ZABE+ZBAD=90°,

.".ZBAD=90°-ZABE,

VZBAD=90°-yZACB,

：.ZABE=-ZACB,

•・・AB=AC,

AZABC=ZACB,

/.ZABE=yZABD,

.*.ZABE=ZDBE,

VZAEB=ZDEB=90°,BE=BE,

AAABE^ADBE(ASA),

・・・AE=DE,AB=BD,

设AB=BD=AC=x,

.x+2x+2人

・・・BC=x+2,BH=CH=——,DH=-------2

2

ZAHD=ZBED=90°,ZADH=ZBDE,

.,.△ADH^ABDE,

ADPHPH

••BD-DE-AD，

F

x+2

4/--------z

二2___

X2后

.•・x=10或x=-8（不符题意，舍去），

.*.AB=BD=AC=10,DH=4,

・・・AH=8,

过C作CG±AD交AD的延长线于G,

・•・ZG=ZAHD=90°,

VZADH=ZCDG,

AAADH^ACDG,

.ADAH_PH

"'CD~~CG~^G"

.47584

•.-------------------,

2CGDG

・“475275

55

VEF±AD,DG±AD,

・・・EF〃CG,

.,.△AEF^AAGC,

AD

：.EF^_AE__,

~CG~HG~HG

EF2A/5

解得：EF=25,

11

故答案为：&5.

ii

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正

确的作出辅助线是解题的关键.

10.如图，在A/3C中，48=20,80平分在以延长线上，且DE=BD,若3c=8,AE=2,则

CD的长为.

【答案】V57-3

【分析】通过证,得到求出BF=2,ZDAE=ZDFB,AD=DF,进而求出CF的长,

进而得到/BAD=NDFC,从而证ACFDSACAB,得至1与=名，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各

CABC

值代入即可得到答案.

【详解】解：：BD平分NABC,DE=BD

NABD=/DBC,ZAED=ZABD

ZDBC=ZAED

如图，在BC上取点，使BF=AE

E

则在△4ED与△必。中,

AE=FB

<ZAED=ZDBC

DE=BD

：.AAED^/\FBD（SAS）

・・・AE=BF=2,/DAE=/DFB,AD=DF

••・CF=BC・BF=8-2=6

VZBAD=180°-Z^E,NDFC=180。—必

JNBAD=NDFC

又・・・NC=NC

AACFD^ACAB

.CFCD

t9~CA~^C

VAB=AC

・•・ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

・•.ZFDC=180°-ZDFC-ZC=1SO°-ZBAD-/ABC

ZC=180。-/"。-ZABC

：.ZFDC=ZC

・・・DF=FC=6,贝UAD=DF=6

・・・CA=6+CD

又,.・CF=6,BC=8

.6CD

6+CD~

解得。。=炳-3.

故答案为：V57-3.

【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是

中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题.解答此题的关键是利用性质找到边

与边之间的关系.

三、解答题

11.【基础巩固】(1)如图1,在△/8C中，D为ABk一点、,ZACD=ZB.求证：AC2^AD>AB.

【尝试应用】(2)如图2,在。/8CO中，£为3c上一点，尸为CD延长线上一点，ZBFE=ZA.若BF

=4,BE=3,求的长.

【答案】⑴见解析；⑵AD=y-

【分析】(1)证明即可得出结论；

(2)证明△AFE's△8CF,得出BF2=BE・BC,求出8C,则可求出40.

【详解】(1)证明：VZACD=ZB,ZA=ZA,

：.AADC^AACB,

.ADAC

"7C~AB,

：.AC2=AD'AB.

(2)•.,四边形A8CD是平行四边形，

：.AD=BC,ZA=ZC,

又：ZBFE=ZA,

：.ZBFE=ZC,

又：NFBE=NCBF,

：.ABFEsABCF,

.BF_BE

••疏一而‘

:・BF2=BE・BC,

.“BF24216

BE33

16

・・AD=­.

3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角

形的判定方法是解题关键.

12.如图，在△4BC中，。为2C边上的一点，且/C=2«，CO=4,BD=2,求证：△4CD-ABCA.

【答案】证明见解析.

【分析】根据NC=2n，CD=4,BD=2,可得类=凄，根据NC=NC,即可证明结论.

BCAC

【详解】解：：/C=2面，CD=4,BD=2

.AC_246_y[6CD4V6

"5C-4+2-VAC~246~3

.ACCD

"5C"^C

VZC=ZC

△ACDs^BCA.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键.

AT）4c

13.如图，在中，ZACB=90°,点。在上，且一=-

ACAB

（1）求证△ACDs^ABC；

（2）若/。=3,BD=2,求CO的长.

【答案】（1）见解析；（2）V6

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出A/CD〜A/8C

(2)由A/CD〜A/3C得N4OC=N/CB=90。，ZACD=ZB,推出“CD〜AC3Z),由相似三角形的性质得

*=黑，即可求出CD的长.

/1LJC/2-x

ADAC

【详解】⑴2而,…,

・•・AACDfABC；

(2)•："CD“ABC,

：.ZADC=Z.ACB=90°,ZACD=ZB,

ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

・•・AACDYBD,

.CDBD

・・——-——,即nnCD?=AD-BD=3x2=6,

/.CD=y[6.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

14.8c中，ZABC=90°,8D_L/C,点E为瓦）的中点，连接4E并延长交8c于点尸，且有4F=CF,

过尸点作于点H.

（1）求证：AADESACDB；

（2）求证：AE=2EF;

（3）若FH=C,求8c的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.

【分析】（1）先根据垂直的定义可得ZADE=/CD3=90。，再根据等腰三角形的性质可得/D4E=/DCS,

然后根据相似三角形的判定即可得证；

ADDF1

（2）先根据相似三角形的性质可得====彳，再根据等腰三角形的三线合一可得=从而可

CDDB2

AT）

得等~=2,然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；

DH

（3）先根据相似三角形的判定与性质可得D有F=嚷AF，从而可得。£,助的长，再根据相似三角形的判定可

FHAF

得“BDfBCD,然后利用相似三角形的性质可求出8的长，最后在RtZXBC。中，利用勾股定理即可得.

【详解】证明：（1）vBD1AC,FH1ACf

ZADE=ZCDB=90。,5。||FH,

・・・AF=CF,

:.ZDAE=ZDCB,

ZADE=ZCDB

在V/O£和△COB中,

ZDAE=ZDCB

:AADE〜ACDB；

(2),点石为助的中点,

:.DE=BE=-BD,

2

由（1）已证：小ADE〜小CDB,

.AD_DE_\

'~CD~~DB~^

设4D=Q（Q>0）,则CD=2Q,AC=AD+CD=3a,

\'FHLAC,AF=CF,

13

AH=CH=-AC=-a（等腰三角形的三线合一）,

22

:.DH=AH-AD=-a,

2

又・・・5。||尸〃，

AEADa

'而=而===2,

—a

2

即AE=2EF；

（3）由（2）已证：AE=2EF,

/.AE=-AF,

3

\'BD\\FH,

AA.DE〜AAHF,

DEAEDE2

/.——=——，即nn7=7

FHAFV33

解得。E=

:.BD=2DE=-y/3,

3

•//ABC=900,BDLAC,

/BAC+/ABD=NBASZC=90°,

/./ABD=ZC,

ZADB=NBDC=9。。

在△45。和△BCD中,

ZABD=ZC

:AABD〜ABCD,

,ADBD

…茄一五’

由(2)可知，设ZQ=bS>0),贝UCD=26,

h4百

b一3_

4e2b

3

解得6=域或6=_歧（不符题意，舍去）,

33

CD=1b=—

3

则在RtZXBCD中，BC=^BD~+CD1=4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题关键.

4BAD

15.如图，在中，。是5C上的点，E是4。上一点，且——二——,NBAD=/ECA.

ACCE

（2）若4。是△ZBC的中线，求笠CF的值.

AC

【答案】（1）证明见解析；（2）正

2

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出ABNOS—CEA,得/B=NE4C,进而求出△"CsAD/c,再

利用相似三角形的性质得出答案即可；

（2）由1可证/CZ）£=/CEZ）,进而得出CZ）=C£,再由（1）KTffiAC=y[lCD，由此即可得出

线段之间关系.

4RAD

【详解】（1）证明：•・•嘤=第，NBAD=NECA,

ACCE

ABHDSMCE,

ZB=ZEAC,

ZACB=ZDCA,

:.AABCsADAC,

.ACBC

"~CD~^C'

AC2=BC-CD.

（2）解：,:ABADSACE,

ABDA=AAEC,

ZCDE=ZCED,

CD=CE,

■■■AD是△/BC的中线，

:.BC=2BD=2CD,

AC2=BC>CD=2CD2,即：/C=0CD，

.CE_CD_V2

"AC~CCD~2'

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出A砂。S"CE是解

题关键.

16.如图，已知矩形的两条对角线相交于点。，过点A作/G,8。分别交3D、于点G、E.

（1）求证：EB?=EG-EA;

（2）连接CG,若BE=CE.求证：ZCGE=ZDBC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）易证ABEGsAAEB,利用对应边成比例即可解决;

(2)由(1)的结论及5E=CE,易证明△CEGSZ\/EC,从而可得NCGE=NZCE,由。5=OC,可得

/CGE=/DBC.

【详解】(1)・・•四边形45C。是矩形

JNABE=90。

：./ABG+/EBG=9。。

AG1BD

：.ZABG+ZBAG=90°

：.NEBG=/BAG

：.Rt/\BEG^Rt/\AEB

.EB_EG

••瓦一百

:・EB?=EG・EA

(2)由(1)有：EB?=EGEA

,:BE=CE

CE2=EGEA

.CE_EA

*'^G~~CE

ZCEG=ZAEC

.••△CEGS^AEC

：.ZCGE=ZACE

・・•四边形45C。是矩形

：.AC=BD

：.OB=OC

：.ZDBC=ZACE

：./CGE=/DBC

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

17.如图，在AABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,ZDEC=ZB.

(1)求证：/XAEDS/XADC；

(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.

E

BDC

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1）利用三角形外角的性质及NDEC=NADB可得出/ADE=/C,结合NDAE=NCAD即可证出

△AED^AADC；

（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长.

【详解】解：（1）证明：VZDEC=ZDAE+ZADE,ZADB=ZDAE+ZC,ZDEC=ZADB,

AZADE=ZC.

又；NDAE=NCAD,

.,.△AED^AADC.

（2）VAAED^AADC,

ADAEAD1

..——=——，m即=——，

ACAD1+3AD

；.AD=2或AD=-2（舍去）.

又：AD=AB,

；.AB=2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”

证出△AEDs/iADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长.

18.如图，锐角AABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，垂足为D,E.

（1）求证：△ACDsAABE；

（2）若将点D,E连接起来，则4AED和AABC能相似吗？说说你的理由.

【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解；

【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定方法AA进行证明即可得到结论；

（2）连接DE,根据（1）中的结论，可得对应边成比例，交换下比例项，即可得到结论.

【详解】证明：(1)VCD,BE分别是AB,AC边上的高,

:.NADC=NAEB=90°.

VZA=ZA,

.".△ACD^AABE

(2)连接DE,

VAACD^AABE,

AAD：AE=AC：AB.

AAD：AC=AE：AB.

VZA=ZA.

.,•△AED^AABC,

【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，正确连接辅助线，熟练运用相似三角形的判定进行证明是解题

的关键.

19.如图，N8是。。的直径，40、8。是。O的弦，BC是。。的切线，切点为8,0CHAD,848的

延长线相交于点£.

(1)求证：是OO的切线；

(2)若。。的半径为4,ED=3AE,求ZE的长.

【答案】(1)见解析；(2)AE=1.

【分析】（1）连接OD,由题意易证△CDOg^CBO,然后根据三角形全等的性质可求证;

（2）由题意易得△EDAs^EBD,然后根据相似三角形的性质及瓦可求解.

【详解】（1）证明：连接OD,如图所示：

AD〃OC,

/.ZDAO=ZCOB,NADONCOD,

又=OA=OD,

/.ZDAO=ZADO,

/.ZCOD=ZCOB,

vOD=OB,OC=OC,

/.△CDO^ACBO,

/.ZCDO=ZCBO,

・•,BC是。。的切线，

・•.NCBO=NCDO=90。，

,・♦点D在。。上，

二.CD是。。的切线；

（2）由（1）图可得:

c

ZADO+ZEDA=90°,ZODB=ZDBO,

；48是。。的直径，

.­.ZADB=90°,即ZADO+ZODB=90°,

ZEDA=ZODB=ZDBO,

又NE=NE,

.,.△EDA^AEBD,

ED?=AE•EB，

GO的半径为4,ED=3AE,

AB=8,EB=AE+8,

9AE2=AE\AE+S),

解得：AE=1.

【点睛】本题主要考查圆的切线定理与判定定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线定理及判

定定理是解题的关键.

20.如图1,在菱形/2CL1中，NC是对角线，AB=AC=6,点、E、尸分别是边AB、3c上的动点，且满足

AE=BF,连接//与CE相交于点G.

(1)求/CGb的度数.

(2)如图2,作DHLCE交CE于点H,若CF=4,AF=25,求的值.

(3)如图3,点。为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60。得到线段EM,当AMAC构成等腰三

角形时，请直接写出/E的长.

【答案】(1)60°；(2)—；(3)2或3遥-3

7

【分析】(1)根据菱形的性质得到△A8C,△/(7£)是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明

△ABF•ACAE,得到NA4尸=//CE,从而结合三角形的外角性质求解即可;

(2)延长GN至点K使得/K=CG,首先结合(1)的结论推出尸CS^WG,得至U。尸=FGZ尸，从而

求出GRAG,CG,再证明△/OKZzXCDG,推出△OKG是等边三角形，从而求出。G,最后根据30。角

的直角三角形的性质求解即可;

(3)分别根据等腰三角形的定义进行分类讨论，并结合相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与

性质求解即可.

【详解】解：(1):四边形是菱形，AB=AC,

：.AB=AC=BC=AD=CD,

:.丛ABC,△/CD是等边三角形.

NABC=NCAE,

在448尸与△C4E中,

AB=CA

<ZABF=ZCAE

BF=AE

：.LABFm△CAE(SAS),

ZBAF=ZACE,

：.ZCGF=ZGAC+/ACG=NGAC+NBAF=NBAC=60°；

(2)如图所示，延长GN至点K使得/K=CG.

NBAF=/ACE,

：./FAC=/GCF,

NGFC=ZAFC,

：.△AFCs^CFG,

.FGFCCG

**FC-

TC厂=4,AF=25,AC=6,

・人口8776s”1277

777

VZFGC=60°,ZADC=60°,

：.ZAGC+ZADC=\S0°f

：.ZGAD+ZGCD=180。，

ZKAD+ZGAD=180°,

・・・NKAD=/GCD,

又*：DC=DA,

・••△ADKmdCDG(&4S),

:・DK=DG,ZKDA=ZGDC,

：.ZKDG=ZADC=60。，

•••△DKG是等边三角形，

18

ZAGD=ZDGH=60°,DG=KG=AK+AG=AG+CG=—V7,

7

DHLCE,NDGH=60°,

(3)①若则4c为等腰三角形，

此时，取/C中点为点尸，连接。P,OM,BM,

VZMEO=60°,EO=EM,

.♦.△OEM为等边三角形,

,/ZFGC=60°,

：.ZMEO=ZFGC,

：.ME//AF,

TO为CE的中点，尸为/。的中点，

・・・OP为的中位线，OP//AB,

为等边三角形，△M4C为等腰三角形，。为4C的中点，

・,•由“三线合一”知，B、M、尸三点共线，

SBPLAC,AP=PC=*AC=3,/ABP=*NABC=30。,

•「△OEM为等边三角形，

：.OE=OM,/OEM=/OME,

•：OE=OC,

：.OM=OC,ZOMC=ZOCMf

：.ZOEM+ZOCM=ZOME+ZOMC,

即：ZOEM+ZOCM=ZEMCf

：.ZEMC=90°,CMLEMf

：.在RtACEM中,Z£CM=90°-60°=30°,

此时，如图所示，将△NEC绕着C点逆时针旋转60。至△BNC,连接MN,

则N/CE=N5CN,ZNBC=60°f

NECM=30。,

・•・ZACE+ZMCB=30°,

：.ZBCN+ZMCB=ZMCN=30°,

・・・ZMCN=ZMCE=30°,

*：CE=CN,ZMCN=ZMCEfCM=CM,

：.AMCEmAMCN,

:./CMN=/CME=90。,

:・E、M、N三点共线，

•••△ECN为等边三角形，

NNBC=/ACB=60。,

：.BN//AC,

・・NBPC=90。,

•・ZNBM=90°,

：/CMN=90。,

•・ZBMN+ZCMP=90°,

：ZBMN+ZBNM=90°,

*.ZBNM=ZCMPf

\ABMNsAPCM,

,BM_NM

*7c-wcJ

NM

：——=tan/MCN=tan30°,

MC

VPC=3,

:・BM=6

在&尸中，AP=3,ZABP=30°f

••BP=3A/3，

：.PM=BP-BM=2y/i,

VZAffiC=30°,ZOMC=900-ZOME=30°,

JNMBC+NMCB=/OMC+NOMP,

：.ZMCB=ZOMP,

•：OP〃AB,

：.ZOPC=ZBAC=60°,

：.ZOPM=90o-60°=30°,

:•丛OPMs4MBC,

.OPPM

即:*空,

V36

：.OP=1,

•・・。尸为△NEC的中位线，

：・AE=2OP=2；

D

”,

N

②若4W=NC,则△NMC为等腰三角形，

如图所示，取/C中点尸，连接。P,延长/。交MC于。点，

由①可知，AEA/C始终为直角三角形，ZEMC=90°,ZECM=30°,

且与/尸始终平行，

ZEMC=ZAQC=9Q°,AQLMC于。点,

"：OM=OC,

二。点在/。上，

VZCOQ=60°,ZCGF=60°,

此时O点和G点重合，

•；ZCPO=ZCAB=60°,ZCOQ=60°,

ZAPO=ZAOC=120°,

：.△APOs^aoc,

.APAOOP

"Ad~AC~a)'

\"AC=6,AP=3,

/.4O2=4p./c=3x6=i8，

••AO=2>'j2>

••■/△OC。中，ZOCQ=30°,

••.设OQ=x,贝！|CQ=Cx,

在必△C4Q中，+=

即：（瓜『+（30+x『=6?,

-3立+3历成

解得:_-3V2-3Vw（不合题意，舍去）,

44

...OQ=-3>丁丽,CO=2OQ=3M,

.AOOP—=—/

••由/=右行：6-3V2+3V10>

■ZICCzCx------------------------

2

解得：。尸=茹二2,

2

；0P是△4EC的中位线，

；./£=2。尸=3石-3;

③若/C=MC,则£点在的延长线上，此时与E点在边上运动矛盾，故该种情况舍去;

综上，AE=2或3后-3.

【点睛】本题考查特殊平行四边形的动点问题，涉及到相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的运用,

等腰三角形的判定与性质等，掌握基本图形的性质，熟练综合分析是解题关键.

21.在无△/BC中，ZACB=90°,点、D为AB上L■点、.

(1)如图1,CDLAB,求证：AC2=AD-AB；

FH4AD

(2)如图2,若AC=BC,EFLCD交CD于H,交4C于产，且——=一,求——的值;

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点〃在以)上，ZAHD=45°,CH=3DH,贝Utan//CH的值为.

图1图2图3

7

【答案】（1）见解析；（2）f;⑶立

7

【分析】（1）证出/B=4CD,证明△CBZ）SA/CD,得出黑=黑，即可得出结论;

ADCD

(2)设FH=4a,贝!|Zffi=9a(a>0),同(1)得CH?=HE-FH=36a?,贝i」C〃=6a,在RWCHF中,

FH2APDP2

tanZACD=--=-f过。作。尸，4C于P,易证/尸=。尸，求出”=”=可，再由平行线分线段成比

例定理即可得出答案;

(3)过点。作DM_L/〃于M，设DH=2x，贝Ijc〃=6x(x>0),C£>=OH+C〃=8x,证明ZUZWSACZ)/,

AD

得出ADAH=ZACH,翳‘求出"八"证明△加M是等腰直角三角形，得出

CD

DM""①、,由勾股定理得出叱同，由三角函数定义即可得出答案.

【详解】(1)证明：•/CDVAB,/.ZADC=ZCDB=90°,

ZACB=90°,

：.ZB+/BCD=ZACD+/BCD=90°,

JNB=ZACD,

・•・4CBDs^ACD,

.CDBD

••而一而‘

'-CD2=ADDB;

⑵解：•••,=》

J设M=4Q,贝!JHE=9Q(a〉0),

・.・//CB=90。，EF1CD,

同⑴得：CH2=HE-FH=9ax4a=36a2,

：.CH=6a,

FH4/72

在RNCHF中，tanNACD==—=一,

CH6a3

过。作。尸_L4C于P,如图2所示：

图2

则DP//BC,

DP2

在放△。尸。中，tan/4CQ=——二—,

PC3

,：AC=BC,44cB=90。，

：.ZA=45°f

•••△4。尸是等腰直角三角形，

AP=DP,

.APDP_2

,,7c-pc-i,

DPUBC,

.AD_AP_2

••访一拓一

(3)解：过点。作于M,如图3所示:

■:CH=3DH,

・・・设。H=2x,贝Ijc〃=6x(x>0),

：.CD=DH+CH=Sxf

*：AC=BC,ZACB=90°,

：.ZBAC=45°f

：.ABAC=ZAHD=45°

又〈/ADH=/CDA,

：.AADHSACDA,

..ADAH=AACH,——=

CD

：.AD2=DHCD=16x2,

AD=4x,

DM1AH,

：.ZDMH=90°,

丁ZAHD=45°,

：.ZHDM=45°=ZAHD,

・・・/\HDM是等腰直角三角形，

DM=HM=—DH=瓜,

2

AM=^AD2-DM5='(4x)2-(V2x)2=V14x，

.DM42XV?

・・tan//CH=tanND4H=---=—1—=—；

AMV14A:7

故答案为：

7

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角

三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角