2025年中考数学分类专项复习之三角形

2025年中考数学考点分类专题归纳

三角形

知识点一、三角形的有关概念和性质

1.三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

2.三角形按“边”分类：

f不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

3.三角形的重要线段：

(1)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三

角形的高.

备注：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角

三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.

(2)三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.

备注：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心.中线把三角形分成面积

相等的两个三角形.

(3)三角形的角平分线

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平

分线.

备注：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

4.三角形的稳定性

如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性.

知识点二、三角形的内角和与外角和

1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180。.

推论：1.直角三角形的两个锐角互余

1

2.有两个角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.

3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

知识点三、全等三角形的判定与性质

边角边（SAS）

角边角（ASA）

判定角角边（AAS）

边边边（SSS）

直角三角形（HL）

对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高

性质

线、角平分线对应相等

备注判定三角形全等必须有一组对应边相等

知识点四、全等三角形的证明思路

'找夹角fSAS

已知两边一找直角fHL

找另一边fSSS

边为角的对边一找任一角fAAS

’找夹角的另一边fSAS

已知一边一角＜

边为角的邻边找夹边的另一角fASA

，找边的对角―AAS

,找夹边fASA

已知两角＜

找任一边TAAS

知识点五、全等三角形证明方法

运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何

问题.可以适当总结证明方法.

2

1.证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)等式性质.

2.证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明.

(2)证明两个角所在的两个三角形全等.

(3)利用角平分线的判定进行证明.

(4)同角(等角)的余角(补角)相等.

(5)对顶角相等.

3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4.辅助线的添加：

(1)作公共边可构造全等三角形；

(2)倍长中线法；

(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；

(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

5.证明三角形全等的思维方法：

(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两

个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质

或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形,

通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

知识点六、线段垂直平分线与角平分线

1.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条

线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3

2.角平分线的性质

(1)角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

(2)角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3、与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；

在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

知识点七、等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别

地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边“).

2.等边三角形

(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

知识点八、勾股定理及勾股定理的逆定理

4

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、Z?的平方和等于斜边C的平方.（即：a2+b2=c2）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）求作长度为、加的线段.

3.勾股定理的逆定理

（1）原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把

其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

（2）勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长。、b、C,满足“2+32=02,那么这个三角形是直角三角形.

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

①首先确定最大边，不妨设最大边长为C;

②验证与/+尸是否具有相等关系，若a2+〃=c2,则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反

之，则不是直角三角形.

4.勾股数

满足》2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、Z为三

边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以S、初、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三

角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c,且那么存在/=b+c成立.（例如④中存在7?=24+25、

5

92=40+41等)

知识点九、三角形的中位线

1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.1.（2024贵州贵阳）如图，在4

/8C中有四条线段班，BE,EF,FG,其中有一条线段是△48C的中线，则该线段是（）

A.线段跳B.线段宏C.线段序D.线段尸G

2.顶角为30。的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的（)

A.重心B.夕卜心C.内心D.中心

3.已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是（)

A.4B.6C.8D.10

4.（2024湖南长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是)

A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15c加

C.5cm,5cm,10cmD.6cm,7c14C/7?

5.（2024湖北黄石）如图，ZVlbC中，是8C边上的高，AE,8尸分别是2班C、N/8C的平分线，NBAC

=50°,ZABC=60a,贝l]N曰6N/3=()

C.85°D.90°

6.（2024广西防城港）如图，是△48C的外角，CE平方乙ACD,若N/=60°,N8=40°,则

等于（）

6

E

60

A.40°B.45°0.50°D.55°

7.（2024贵州黔西南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△/口7全

8.（2024山东东营）如图，点F在△08。的边。8上，点/在△，员?内部，NDAE=NBAC=9G°,AD=AE,

给出下列结论：

①BD=CE；②NABKNECB=45。；③BDLCE；④8e=2（疯+初）-切.其中正确的是（）

C.①②③D.①③④

9.（2024山东临沂）如图，ZACB=90°,AC=BC.ADLCE,BEVCE,垂足分别是点久E,47=3,的=1,

贝I］宏的长是（）

C.2A/2D.\/10

10.如图，在N相〃中，以点。为圆心，任意长为半径作弧，交射线加于点4交射线。〃于点8,再分别

7

以48为圆心，刃的长为半径作弧，两弧在/肌加的内部交于点C,作射线0C.若%=5,AB=6,则

点8到/C的距离为（）

2412

A.5B.5C.4D.5

11.(2024黑龙江大庆)如图，NB=NC=90。，M是8c的中点，ZW平分N47G,且,则NM48

=()

A.30°B.35°0.45°D.60°

12.（2024湖北黄冈）如图，在△?!宓中，跳是加的垂直平分线，且分别交8a4C于点。和£,NB=60：

20=25：则N劭。为（）

13.（2024浙江湖州）如图，AD,小分别是△他?的中线和角平分线.若/8=4?,/CAD=20°、贝国的

度数是（）

BD

8

A.20°B.35°C.40°D.70°

14.（2024福建A卷）如图，等边三角形1中，ADLBC,垂足为优点F在线段上，NEBC=45。，则

N4结等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

15.（2024山东淄博）如图，在中，CM平为NACB交AB于点、M,过点用乍肺〃外交儿?于点小且

MN平分NAMC,若/〃=1,则6C的长为（）

A.4B.6C.4^/3D.8

16.（2024湖北黄冈）如图，在RtZkMC中，ZACB=90°,CO为四边上的高，宏为边上的中线，47=2,

A.2B.3C.4D.2价

17.（2024陕西）如图，在中，AC=Q,NABC=6Q°,ZC=45°,ADLBC,垂足为。，N/8C的平分

线交/。于点£则然的长为（）

9

A

8

c.V

18.（2024四川泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所

示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长

直角边长为a,较短直角边长为，若数=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）

B.60.4D.3

19.（2024湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一

块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角

形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，

1里=500米，则该沙田的面积为（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

20.（2024湖北荆州）如图，两条直线Rt△/第中，ZC=90°,AC=BC,顶点48分别在/,和/2

上，Z1=20°,则N2的度数是（）

A.45°B.55°0.65°D.75°

21.（2024四川攀枝花）如图，等腰直角三角形的顶点AC分别在直线a、6上，若a〃6,N1=30°,则

N2的度数为（）

10

Aa

A.30°B.15°C.10°D.20°

22.（2024内蒙古包头）如图，在中，AB=AC,的顶点。，£分别在股4;上，且4M90°,

AD=AE.若N3N仍£145°,则的度数为（）

A.17.5°B.12.5°0.12°D.10°

_1

23.（2024江苏苏州）如图，在△/!&?中，延长BC至伉使得如?BC,过4C中点E作序〃3（点尸位于

点F右侧），豆EF=2CD,连接分；若48=8,则。尸的长为（）

24.（2024四川绵阳）如图，在中，AC=3,BC=4,若4?,仍边上的中线加垂直相交于。点,

贝IjAB=.

25.（2024甘肃白银）已知a,b,c是△/6C的三边长，a,6满足|a-7|+（6-1）2=0,c为奇数，贝Uc=

26.（2024江苏泰州）已知三角形两边的长分别为1、5,第三边长为整数，则第三边的长为

27.（2024四川巴中）如图，在△/比1中，BO、G0分别平分N/8C、NACB.若N8OC=110°,则N4=

II

A

28.（2024湖南永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D,贝N8%=

29.在△/8C中，若N4=30°,NB=50°,贝.

30.（2024浙江金华）如图，1的两条高/〃，比相交于点尸，请添加一个条件，使得△加必（不

添加其他字母及辅助线），你添加的条件是.

31.（2024浙江衢州）如图，在△4861和△叱中，点8,F,C,F在同一直线上，BF=CE,AB//DE,请添加

一个条件，使△/S侬△。优这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）.

32.（2024广东深圳）如图，四边形43尸是正方形，NC&和N/好都是直角且点£A,8三点共线，AB

=4,则阴影部分的面积是一.

12

D

33.如图，AC=BC,请你添加一对边或一对角相等的条件，使你所添加的条件是

34.（2024湖南永州）现有48两个大型储油罐，它们相距2府，计划修建一条笔直的输油管道，使得A

8两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km,输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有—

种.

35.（2024山东德州）如图，GC为N/5的平分线，CMVOB,OC=5,OM=4,则点C到射线力的距离为_.

36.如图，在中，川=10,&?=6,四的垂直平分线交加于点。，交/C于点£则48g的周长是

37.在直角三角形1中，2ACB=9N,D、F是边上两点，且您所在直线垂直平分线段/〃，3平分

/BCE,BC=2#,则48=.

13

A

D

38.（2024四川南充）如图，在△｛氏?中，4尸平分N&1C,/C的垂直平分线交8c于点F,NB=70°,NFAE

=19°,则_度.

39.（2024贵州遵义）如图，△48。中.点。在8c边上，BD=AD=AC,F为曲的中点.若NOIF=16°,则

NB为一度.

40.（2024天津，17,3分）如图，在边长为4的等边△/861中，D,E分别为他8c的中点，FJ_加于点

F,G为标的中点，连接。G,则。G的长为.

41.如图，RtZ\/8C中，ZABC=90°,。为47的中点，若Nk55°,贝

42.（2024湖北荆州，15,3分）为了比较G+1与回的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中

14

Z^90°,BC=3,〃在8C上且做=47=1.通过计算可得非+1—\例.（填或"V"或“=”）

43.如图，在直角中，NC=90：AC=b,BC=8,P、。分别为边8C、上的两个动点，若要使△

的。是等腰三角形且△外。是直角三角形，则AQ=

44.（2024云南，6,3分）在△/回中，48=用,AC=5,若8c边上的高等于3,则8c边的长为.

45.（2024山东东营）如图所示，圆柱的高/8=3,底面直径仇=3,现在有一只蚂蚁想要从4处沿圆柱表

面爬到对角。处捕食，则它爬行的最短距离是（）

3^4+7T2

C,2D.3」1+M

46.（2024广西贺州,18,3分）如图，正方形四缈的边长为12,点£在边四上，BE=8,过点£作出〃

BC,分别交8久CD于G、尸两点.若点名。分别为。G、龙的中点，则。。的长为.

47.（2024云南曲靖，11,3分）如图：在中，48=13,&=12,点。，£分别是48,6C的中点，连

接DE,CD