2025年中考数学技巧专项突破：逆等线之乾坤大挪移（解析版）

专题2-6逆等线之乾坤大挪移

欢型•解读

a

题因o平移，对称或构造平行四边形

2022年四川省内江中考

2022滨州中考

MS构造SAS型全等拼接线段

2022・贵州遵义•统考中考真题

2023•日照•二模

2023•咸阳•二模

2023•深圳中学联考

2023•甘肃武威中考真题拆解

2023•黄冈中考真题拆解

题旦且构造相似求加权线段和

2023年成都市天府新区二模

2022•广州中考真题（7种解法）

2023•湖北黄石中考拆解

题园画取到最小值时对其它量进行计算

湖北武汉•中考真题

满分.技巧

一、什么是逆等线段。

两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线段称

为逆等线段。

二、解题步骤：

1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。（图中本身就有的三角形，不要添加辅助

线以后构成的三角形）

2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。

3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线

段的夹角等于第二步中那个不变的角。

4.问题转化为将军饮马问题求最值。

【模型解读】

△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，

就是怎么别扭怎么来。

一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。

观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造

全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述

如图，在4ABC中，ZABC=60°,BC=8,AC=10,点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,

求CD+BE的最小值。

分析思路：

①AD在AADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个

也叫做一边一角造全等。

②即过点C作CF〃AB,且CF=AC。（构造一边一角，得全等）

③构造出△ADC义ZkCEFlSAS）,证出EF=CD

④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求

此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值

⑤求BF

核心•胭型

题园O平移，对称或构造平行四边形

2022年四川省内江中考

1.如图，矩形48co中，AB=6,AD=4,点E、尸分别是/8、DC上的动点，EF〃BC,贝UNb+CE

的最小值是.

【答案】10

【分析】延长8C到G,使CG=EF,连接FG,证明四边形MGC是平行四边形，得出CE=bG,

得出当点/、F、G三点共线时，NB+CE的值最小，根据勾股定理求出NG即可.

【详解】解：延长5c到G,使CG=£F,连接尸G,

,:EF〃CG,EF=CG,

：.四边形EFGC是平行四边形，

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

，当点/、F、G三点共线时，4F+CE的值最小为/G,

由勾股定理得，AG=^AB2+BG2=762+(4+4)2=10,

C.AF+CE的最小值为10

2.如图，RtA48C中，ZACB=90°,48=30°,D,£为边上的两个动点，且AD=BE,连

接CD,CE,若/C=2,则CQ+CE的最小值为.

A

D

【答案】4

则OF=OC,OA=OB,AB=CF,

VAD=BF,/.OD=OE,四边形CEFD为平行四边形,

；.DF=CE,；.CD+CE=CD+DF》CF,

「RtZkABC中，ZACB=90°,NB=30°,

；.AB=2AC=4,...CD+CEB4,故答案为：4.

3.如图,在矩形48co中，N8=l,/。=2,点E在/。上，点尸在3C上，且4E=CF,连结CE,DF,

则CE+DF的最小值为.

【答案】2逝

【分析】证ABAEADCF得CE+DF=CE+BE,作点8关于AD的对称点B',则

CE+BE^CE+B'E>CB',据此即可求解.

【详解】解：连接BE,作点8关于/。的对称点B',连接CB',EB'

由题意得：AB=CD,ZBAE=DCF=90°

AE=CF

：.ABAE知DCF

：.BE=DF,CE+DF=CE+BE

•：BE=B'E,

：.CE+BE=CE+B'E>CB'

CB'=y/CB2+BB'2=A/22+22=272

，CE+D尸的最小值为2J5

2022滨州中考

4.如图，在矩形Z8CO中，AB=5,NO=10,点£是边/。上的一个动点，过点£作分

别交对角线/C,直线2C于点。，下,则在点E移动的过程中，/尸+FE+EC的最小值为.

［答案］25+5、

2

【解析】：AB=5,AD=10,.*.AC=752+102=545-

VEFXAC,二由矩形内十字架模型可知，

EFABEF5545

—=—,—r=—,;.EF=上.

ACAD5。5102

以EF,EC为邻边作口EFGC,则EC=FG,CG=EF=）叵

2

NACG=NEOC=90°.

在RtAACG中，AG=^AC2+CG2=~，

AF+FE+EC=AF+FG+FE>AG+FE=25+5也,

2

AAF+FE+EC的最小值为25+5、.

2

5.如图，在矩形/BCD中，AB=6,4。=5,点尸在边40上，点0在边2C上，且4P=C0,连

接CP,QD,则尸C+0。的最小值为.

【答案】13

【分析】连接8尸，在8/的延长线上截取/£=48=6,连接尸£,CE,PC+QD=PC+PB,则尸C+QD

的最小值转化为PC+PB的最小值，在R4的延长线上截取/£=/2=6,则PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

根据勾股定理可得结果.

【详解】解：如图，连接BP,

在矩形48cD中，AD//BC,AD=BC,

'：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

：.DP=QB,DP//BQ,

：.四边形DPBQ是平行四边形，

：.PB//DQ,PB=DQ,

则PC+QD=PC+PB,则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,

在BA的延长线上截取AE=AB=6,连接PE,

:R4LBE,

:.PA是BE的垂直平分线，

：.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

连接CE,贝IPC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,

'：BE=2AB=n,BC=AD=5,

•••CE=^BE1+BC2=7122+52=13.

：.PC+PB的最小值为13

6.如图，正方形/BCD的边长为2,M是3C的中点，N是上的动点，过点N作E尸_L分别

交4B,CD于点、E,F.

(1)的长为;

(2)EM+AF的最小值为.

［答案］V5M

【分析】(1)根据正方形的性质求得与再由勾股定理求得

(2)过尸作/G_L48于G,证明“BM/AFGE得AM=EF,再将EF沿方向平移至MH,连接FH,

当/、F、〃三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的4支最小,由勾股定理求出此时的N”的值便可.

【详解】解：(1)：正方形/BCD的边长为2,

：.AB=BC=2,^ABC=90°,

;“是8c的中点，

•*-AM=ylAB2+BM2=y［5,

故答案为：V5;

(2)过F作FG-LAB于G,则FG=BC=AB,NABM=NFGE=9Q°,

,:EFLAM,

：.NBAM+NAEN=ZAEN+NGFE=90°,

NBAM=NGFE,

：.AABM9△尸GE(ASA),

：.AM=EF,

将斯沿EM方向平移至MH,连接FH,则EF=MH,N4MH=90°,EM=FH,

当/、F、//三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，

EM+AF=AH=4AM2+MH-=V5+5=Vi0，,E"+4P的最小值为加

题昌鸟构造SAS型全等拼接线段

7.如图，在△/8C中，NABC=90°,ZA=60°,AB=2,D、£分别是/C、上的动点，且N。

=BE,尸是3C的中点，则AD+EF的最小值为.

BFC

【答案】V13

提示：作BG//AC且BG=AB,连接GE,作GH-LBC于H

HBFC

则NG8"=NC=30°,GH=1,HB=^3

BF=yj3,HF=2yj3,GF=^13

△ABD义ABGE(SAS),BD=GE

BD+EF=GE+EF、GF=\IB,最小值为\/T3

8.如图，矩形/BCD中，48=3,4D=33,点、E、尸分别是对角线ZC和边CD上的动点，且4E

=CF,则3E+3尸的最小值是.

【答案】3s

提示：作/G_L/C且/G=2C,连接3G、EG

则△G/EgZ\BCF,BF=GE

BE+BF=BE+GE'BG

解■△ABG得BG=307,3E+3厂的最小值是3s

9.如图，在矩形N8CD中，AB=2,AD=4,£为边8C上一点，AE=AD,M、N分别为线段/£、

3E上的动点，且NM=EN,连接DN,则。的最小值为.

【答案】4也

提示：连接ZN

由题意，4D=AE,NDAM=NAEN=30°,AM=EN

:./XADM/AEAN,:.DM=AN

延长至点⑷，^A'B=AB,连接NN、A'D

则AN^A'N,：.DM+DN^AN+DN^A'N+DN^A'D

当Z'、N、。三点共线时DVf+ZW的值最小

此时A'N=DN,：.AN=^A'D=DN

...点N在线段40的垂直平分线上

：.BN=yBC=2,:.AN=MB=2也

：.DM+DN^A'D=2AN=4^2

即DW+DN的最小值为平也

10.如图，菱形/BCD中，N/BC=60。，AB=2,E、尸分别是边8c和对角线AD上的动点，且BE

=DF,则AE+AF的最小值为.

【答案】2g

提示：BG-LABS-BG=AB,连接/G、EG

则AD=BG,NADF=NGBE=30°

又,：DF=BE,:./\ADF咨/\GBE,:.AF=EG

：.AE+AF=AE+EGG=也AB=2也

即AE+AF的最小值为2也

11.如图，在平面直角坐标系xQy中，点/(0,6),C(4,3),CDLy轴于。，连接。C,E、F

分别是线段CD、OC上的动点，且CE=OF,连接4B、AF,则AE+AF的最小值为,

此时点E的坐标为.

\'A(0,6),C(4,3),CD±y^),：.AD=OD=3

：.AC=5=BO,CD是NO的垂直平分线，：.CA=CO

：.NACE=NOCE=ZBOF

又*：CE=OF,:.△ACE/ABOF(SAS),：.AE=BF

"A(0,6),B(5,0),:.AB=M

；.AE+AF=AF+BF，AB=、Wl,即AE+AF的最小值为倔

此时点F落在线段AB即直线与。。的交点

易求直线/2:y-dx+6,直线。C:y—x

-54

可得月（也，型），CE=OF=a,DE=CD-CE=4一'=2

1313131313

此时点£的坐标为（=，0）

13

12.如图，在RtZ\48C中，Z5=90°,NACB=30。,AB=2,将△/8C绕点/顺时针旋转30。到4

AB'C,M、N分别为边2。上的动点，且/M=CW,连接CM、CN,则CW+CN的最小

值为.

A

【答案】4也

提示：连接/N

由题意，AM=C'N,NU=NNC3=NC4C=30。，AC^AC

：./\ACM^/\C'AN,:.CM=AN

延长N3'至点使©B'=4B',连接N'N、A'C

当⑷、N、C三点共线时CA/+CN的值最小

此时AN=CN,：.AN=LA，C=CN

2

点N在线段/C的垂直平分线上

:.B'N=­AC^AB^AB',；.期=也4皮=也45=23

2

CM+CN》AC=24N=4/

即CM+CN的最小值为4/

2022•贵州遵义•统考中考真题

13.如图，在等腰直角三角形43C中，4c=90°,点M,N分别为BC,/C上的动点，且ZN=CM,

AB=6.当ZM+BN的值最小时，CM的长为.

A

【答案】2-V2

【分析】过点A作且4Q=4C,证明可得AM=DN,当B,N,D三点、

共线时，BN+ZM取得最小值，证明=即可求解.

【详解】如图，过点A作4D〃BC,且3=zc,连接。N,如图1所示，

:./DAN=/ACM,

入AN=CM,

.△AND知CMA,

/.AM=DN,

BN+AM=BN+DN>BD,

当民N,。三点共线时，BN+ZM取得最小值，

此时如图2所示，

•・,在等腰直角三角形45。中，ABAC=90°,AB=6

BC=41AB=2,

v△ANDQACMA,

ZADN=ZCAM,

vAD=AC=AB,

/.ZADN=ZABN,

AD//BC,

ZADN=ZMBN,

AABN=/MBN,

设NM/C=a,

/.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

/.ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45°,

/.a=22.5°,

/.ZAMB=180。—ZBAM-NABM=180。—90。+a—45。=67.5。，/BAM=90。—22.5。=67.5°,

AB=BM=y[2,

:.CM=BC-BM=2-yl2,

即3N+/M取得最小值时，CM的长为2-亚，

故答案为：2-6.

图1图2

2023-日照•二模

14.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt4/BC三个顶点在坐标轴上，NBAC=90。，点D,£分别

为3C,/C上的两个动点，^.AE=CD,AC=2^2.当/D+3E的值最小时，则点。的坐标

为.

【答案】（2后-2,0）/卜2+2收,0）

【分析】如图：过点C作CBU6C使=,连接8'。；证A4BE三ACB'D（SAS）可得DB'=BE,

AB=CB'：将ND+BE最小值可转化成4D+CB'最小值，则当/、〃、8在同一直线上时，AD+BE

5

最小，即月8'长度；；再根据/c=2夜求得4B=C8'=ZC=2&、O^=OC=—X2A/2=2,即

2

/（0,2）,5'（2,-2夜）；再运用待定系数法求得直线AB'表达式，最后将y=0代入表达式求得x的值

即可解答.

【详解】解：如图：过点C作CB'LBC使C8'=/8,连接夕。，

在“BE和△CS'D中，

AB=CB'

<ZBAE=ZB'CD,

AE=CD

:△ABE=^CB'D（SAS）,

DB'=BE,AB=CB',

：.4D+3E最小值可转化成4D+C3'最小值，

当A、D、B在同一直线上时，4D+8E最小，即长度；

,/AC=2V2,

AB=CB'=AC=2y[2,CM=OC='x2&=2

/(O,2)0(2,-20)

设48,表达式为:y=Ax+6（左＜0）,由题意可得:

b=2

2k+b=-242'

b=2

解得:

k=->f2-l'

AB'表达式为:y=-+l）x+2,

将y=0代入得：0=-（V2+l）x+2,

解得：x=2A/2—2,

点坐标为（2行一2,0）.

故答案为：（272-2,0）.

2023•咸阳•二模

15.如图，在RtZi/BC中，AC=2,BC=\,N/8C=90。，点尸是边8C上的动点，在边/C上截

取CQ=BP,连接/尸、BQ,则/P+B0的最小值为.

【答案】V7

【分析】由“SAS”可证A/3尸名可得4P=DQ,则NP+B0的最小值为3D,由勾股定理可

求解.

【详解】解：过点C作CD_L/C,并截取CD=4B,连接。。、BD,设BD交AC于点、E,

-：AC=2,BC=1,ZABC=90°,

：•ABZAC-BC?=4^i=6，cosZACB=1,

...NACB=60°,

VAB=CD=43,N4BP=NDCQ=90。,BP=CQ,

；.(SAS),

AP=DQ,

：.AP+BQ=DQ+BQ,

在△BDQ中，BQ+DQ>BD,

：.4P+BQ的最小值为3D,

如图，过点3作瓦乙LCD于尸,

BF//AC,

：.ZFBC=NACB=60°,

NBCF=30°,

11/?

BF=-BC=~,CF=—,

222

FD2

2

BD=ylBF2+FD2

2023•深圳中学联考

16.如图，点E是正方形"CD内部一个动点，且/。=£3=8,BF=2,则DE+Cb的最小值为

()

B

A.10B.3而c.7V2D.V97

【答案】A

【分析】取BG=8F=2,贝CG=8—2=6,证明△BGE也△AFC得出=,进而证明

ZFCE=ZGEC,即可证明△尸CE之△GEC,得出EG=CF,则当瓦G,Q三点共线时，。£+。尸取得

最小值，最小值为。G的长，勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，取BG=BF=2,则CG=8—2=6,连接EG,

•:AD=EB=8,BF=2,

・••点£在以8为圆心8为半径的圆上运动，点厂在以8为圆心2为半径的圆上运动，

在ABGE/BFC中,

BF=BG

<ZEBG=ZCBF,

BE=BC

：.ABGEOBFC,

/BEG=/BCF,/BGE=ZBFC

：.ZFGC=ZCFE,

♦：BE=BC=8,

:・/BEC=/BCE,

即ZFEC=ZGCE,

ZFCE=NGEC,

入CG=EF=6,/FGC=NCFE,

：.AFCE芬GEC,

EG=FC,

当£G=尸。时，则当及G,D三点共线时，0£+C厂取得最小值，最小值为。G的长,

在RtZXCDG中，DG=^DC2+CG2=10

17.如图，在RtZ\/5C中，ZACB=90°,AB=6,BC=4,D,E分别是4C,45上的动点，且

=BE,连结5Q,CE,则5Q+C£的最小值为

【答案】25

解：过8作AF〃/C,在平行线上取3/=/瓦连接斯，如图:

:BF=AB,BE=AD,

：./\BEF^/\ADB(SAS),:.EF=BD,：.BD+CE^EF+CE,

当C,E,尸共线时，EF+CE最小,即m+C£最小，最小值即为CF的长度,

•:BF〃AC,ZACB=90°,

90°,

：.CF=^BC2+BF2=2V13,

最小为2&I,故答案为：2岳.

18.如图，菱形/BCD中，ZABC^60°,AB=2,E、尸分别是边3C和对角线8。上的动点，且

BE=DF,则AE+AF的最小值为.

【答案】2亚

【详解】解：如图，2C的下方作NC3T=30°,在27上截取BT,使得2T=/。，连接ET,AT.

2

,:AD=BT,/ADF=NTBE=30°,DF=BE,

:.LADF%dTBECSAS),：.AF=ET,

•；NABT=/ABC+/CBT=6Q°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

：.AT=ylAB2+BT1=2A/2,：.AE+AF=AE+ET,,:AE+ET，AT,：.AE+AF^272,

J.AE+AF的最小值为26,故答案为2拒.

2023•甘肃武威中考真题拆解

19.如图1,抛物线>=-片+版与x轴交于点A,与直线>交于点8(4,-4),点C(0,-4)在了轴

上.点尸从点5出发，沿线段8。方向匀速运动，运动到点。时停止.

(1)求抛物线y=-―+bx的表达式;

(2)如图2,点尸从点B开始运动时，点。从点。同时出发，以与点尸相同的速度沿x轴正方向匀速运

动，点尸停止运动时点。也停止运动.连接8。，PC,求CP+B0的最小值.

【答案】(1)〉=—

(2)473

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)由题意得，BP=OQ,连接8c.在。4上方作使得/儿。。=45。，OM=BC,证明

MBP四AMOQ(SAS),根据CP+B。=MQ+8。2MB得出CP+2。的最小值为MB,利用勾股定

理求得MB,即可得解.

【详解】(1)解：；抛物线了=-丁+区过点3(4,-4),

.♦.-16+46=-4,

：.b=3,

y=-x1+3x;

(2)如图2,由题意得，BP=OQ,连接BC.

在。1上方作AOMQ,使得乙欣9。=45°,OM=BC,

'：OC=BC=4,BCIOC,

：.ZCBP=45°,

ZCBP=ZMOQ,

•：BP=OQ,ZCBP=ZMOQ,BC=OM,

：.△C2P2△MOQ(SAS),

CP=MQ,

：.CP+BQ=MQ+BQ>MB(当M,Q,B三点共线时最短)，

CP+8。的最小值为MB,

；NMOB=ZMOQ+ZBOQ=45°+45°=90°,

MB=NOM。+OB。="+,行了=4x/3,

即CP+B。的最小值为4百.

2023•黄冈中考真题拆解

13

20.已知抛物线〉=-'/+万》+2与x轴交于4次4,0)两点，与y轴交于点C(0,2),点尸为第一象

限抛物线上的点，连接。/,。8,尸8/。.

如图2,点。在y轴负半轴上，8=03,点0为抛物线上一点，/QBD=90。，点E,尸分别为△BDQ

的边上的动点，QE=DF,记BE+。尸的最小值为小

①求m的值；

②设APCB的面积为S,若S=J加？-左，请直接写出发的取值范围.

4

【答案】m=2后,13<^<17

【分析】①作。且使DH=BQ,连接尸根据SAS证明△5。月之△田加，可得

BE+QF=FH+QF>QHf即Q,F,〃共线时，BE+。下的值最小.作。G_L于点G,设G(〃,0),

则+根据。G=BG求出点。的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；

②作尸T〃y轴，交5c于点T,求出3C解析式，设—+P^a^——a2+-^-(2+2^,利用三

角形面积公式表示出S,利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解.

【详解】解：①如图2,作。且使DH=BQ,连接我.

ZBQD+ZBDQ=90°,ZHDF+ZBDQ=90°,

ZQD=ZHDF,

,:QE=DF,DH=BQ,

：.ABQEAHDF(SAS),

/.BE=FH,

：.BE+QF=FH+QF>QH,

：.Q,F,〃共线时，BE+0尸的值最小.作。G_L/3于点G,

•：OB=OD,/BOD=90°,

：.NOBD=45。,

•：ZQBD=90°9

：.AQBG=45°,

・・.QG=BG.

设G(%0),则。+g几+21

13

—n9+-n+2=4-n,解得及=1或〃=4(舍去)，

・•・2(2,3),

QG=BG=4—1=3,

:・BQ=DH=3叵,QD=5板,

1殳丁—54+2),尸/Q?+2q+2],

则8=[_+2+1.4+2+口_2卜=_(4_2)2+4,

.*.0<5<4,

1,

0<—m92-k<4,

4

A0<17-^<4,

・・・134左<17.

题园且构造相似求加权线段和

2023年成都市天府新区二模

21.如图，在Rt448C中，/区4。=90。，AB=1,4c=2.D,£分别是边48,/C上的动点,

且CE=24D,则3E+2CD的最小值为.

【答案】V29

【分析】过C作CF_L/C于尸，使CF=2/C=4,连接£尸、BF,即可得到EF=2CD,

BE+2CD^BE+EF>BF,即最小值为5尸的长.

【详解】方法一：过。作CF_L/C于尸，使C尸=2ZC=4,连接EF、BF,

F

：CE=2AD,

.CECF

9AB~7C~

ZDAC=ZFAC=90°f

•.ADACfECF,

余**2,即四2皿

\BE+2CD=BE+EF>BF,

,•当5、E、/三点共线时5E+2C。有最小值，最小值为8厂的长

：ZDAC=ZFAC=90°

・.AB//CFf

.OBOAAB

9~OF~~OC~~CF'

AB=1,AC=2,CF=2AC=4

.OBOAAB

'~OF~~OC~~CF~^y

548

\BF=-OF,OC=-AC=-

455f

,•OF=y/0C2+CF2=+42=^V29,

BF=-OF=429

4

\BE+2c。的最小值为V29

方法二：AD=x,贝弓CE=2/。=2x,AE=AC-CE=2-2x,

A

DE

・・BE=yjAE2+AB2=J（2-2x）+12,CD=VAD2+AC2=yjx2+22

设2y=BE+2CD,

y=；BE+CD=1^（2-2x）2+12+y/x2+22=^（x-l）2+；+&+4

=J（xT）2+[0_g）+J（X-O）2+（O+2）2

...V可以看成点〃（X,o）到点/[1,1和3（0,-2）的距离之和，

1,£|、8(0,-2)三点共线时y最小，最小值y=/B=J(o-i)2+[-2-；：=孚

.•.当W（x,0）、A

22.如图，已知BC_L4B,BC=AB=3,E为BC边上一动点,连接4E,。点在48延长线上，且CE

=2BD,则AE+2CD的最小值为

【答案】3国

解：作CF_LCB,且使得CF=6,连接EF

过点A做AG-LCF,交FC延长线于点G

••竺_CE

*CB-'BD~，

AAFCE^ACBD,EF=2CD

・・・AE+2CD=AE+EF

当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF

易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3

FG=9在RtAFAG中，由勾股定理得AF=3V10

AE+2CD的最小值为3V1U

23.如图，菱形ABCD的边长为1,ZABC=60°.E,F分别是BC,BD上的动点，且CE=DF,

贝ijAE+AF的最小值为o

【答案】V2

【解答】解：如图，连接AC,过点C作CT_LCA,使得CT=AD=1,连接AT.

・・・AB=CB=CD=AD,ZABC=ZADC=60°,ZADB=-ZADC=30°,

2

/.△ABC是等边三角形，

/.ZACB=60°,AC=AB=1,

VAC±CT,

/.ZECT=30°,

ZADF=ZECT,

VCE=DF,CT=DA,

AAADF^ATCE(SAS),

.\AF=ET,

JAE+AF=AE+ET2AT,

VZACT=90°,AC=CT=1,

AT=S]AC2+CT2=7i2+i2=也'

.♦.AE+AF》血，.,.AE+AF的最小值为72.

24.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=4，LE,F分别是BD,BC上的一动点，且BF=2DE,

则AF+2AE的最小值是

【答案】4V13

【解答】解：连接DF,延长AB到T,使得BT=AB,连接DT.

•.•四边形ABCD是矩形，

AZBAD=ZABC=90°,BC〃AD,

ADJ3

.*.tanZDBA=——=—,NADE=NDBF,

AB3

AZDBA=30°,

ABD=2AD,

VBF=2DE,

BDBF

-----=------=2,

ADDE

.,.△DBF^AADE,

DFBD

-----=------=2,

AEAD

.\DF=2AE,

・・・AF+2AE=AF+DF,

VFB±AT,BA=BT,

AFA=FT,

I.AF+2AE=DF+FT2DT,

22

"DT=y]AT+AD=4V13

；.AF+2AE,4g,

.♦.AF+2AE的最小值为4V13

25.如图，等腰直角AABC中，斜边BC=2,点D、E分别为线段AB和BC上的动点，BE=41AD

求AE+0CD的最小值.

【答案】V10

解：作BF_LBC并且使得BF=2,连接EF

•.•里史二:四/.ABEF^AADC

ADACV2v

/.EF=V2CD.\AE+V2CD=AE+EF

当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF

反向延长BF,过点A作AH_LBF于点H

在RtZ\AHF中，由勾股定理易得：AF=V10

.,.AE+V2CD的最小值为“U

2022•广州中考真题（7种解法）

26.如图，在菱形4BCD中，4840=120。，AB=6,连接AD.

⑴求的长；

（2）点E为线段上一动点（不与点3,。重合），点尸在边4D上，且BE=CDF,当四边形/2所

的面积取得最小值时，CE+百比的值是否也最小？如果是，求CE+百CF的最小值；如果不是，

请说明理由.

【答案】（l）BD=6g;（2）最小值为12

【分析】（1）证明△42。是等边三角形，可得BO=38，即可求解；

（2）过点£作/£）的垂线，分别交和3c于点刊，N,根据菱形的面积可求出削=3百，设

]1F\

BE=x,贝|£W=—x,仄而得到EM=MN-EN=3乖：--x,再由8石=百。下，可得DF=2x,从而得

223

到四边形ABEF的面积s=S^ABD-SADEF=^卜一3国+-^1,作CH1AD于H,可得当点E

和厂分别到达点。和点〃位置时，CF和CE分别达到最小值；再由s=*（x_3G『+专区，可得

当x=3百，即8£=36时，s达到最小值，从而得到此时点£恰好在点。的位置，而点尸也恰好

在点〃位置，即可求解.

【详解】（1）解：连接NC,设4c与BD的丈点、为O,如图，

D_________________C

•.•四边形/BCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,AC平分NDAB,

'：ABAD=120°,

：.ZCAB=60°,

：.△48。是等边三角形，

BO=AB*sm6Q0=6x丫―=3出,

2

BD=2BO=6^3;

(2)解：如图，过点E作/Z)的垂线，分别交和5C于点N,

△ZBC是等边三角形，

：.AC=AB=6,

由⑴得：BD=643;

菱形ABCD中，对角线5。平分N45C,AB//CD,BC=AB=6,

C.MNLBC,

ZBAD=120°,

：.ZABC=60°f

/./EBN=3。。;

：.EN=^BE

S菱彩ABCD=；AC-BD=MN-BC,

:.MN=3旧,

则EN=：x,

设BE=%,

:,EM=MN-EN=36-1X,

***S菱形ABCD=ADaMN=6x3G=18^3,

：.SAABD=SXVABCD=9^,

■:BEfDF,

：.DF=华力x,

V33

：.SADEF=YDF-EM=--X(343--X]=--X2+-X,

22312J122

记四边形4BE尸的面积为s,

：.s=SAABD-S^DEF=9V3-(-—x2+-x)=旦底一3后卡巨巴,

12212'>4

•.•点E在上，且不在端点，：.0<BE<BD,即0Vx<6人；

作CHLAD于H,如图，

'JCOLBD,CH1.AD,而点E和尸分别在2。和4D上，

，当点E和尸分别到达点。和点X位置时，C户和CE分别达到最小值；

在菱形N8CD中，AB//CD,AD=CD,"：ZBAD=nO°,：.ZADC=60°,

.♦.△/CD是等边三角形，:.AH=DH=3,:.CH=36

,••S=*（尤-3G『+与耳，.••当x=3百，即8E=3百时，s达到最小值，

'：BE=y/3DF,：.DF=3,此时点£恰好在点。的位置，而点P也恰好在点X位置，

当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，

.,.CE+V3CF的值达到最小，其最小值为CO+百CH=3+gx36=12.

【其它几何构造方法】

法2：EE+JICR核心是处理，刚好有BE=6DF,还有CE和CF两个动点需要拼一起,

所以考虑把△£■£）?放大6倍后拼到BE处

过B作8/，BC,BI-BD=43CDnACDF^AlBE\CE+6CF=CE+IE>CI=2BC=12

法3：过。作DG±CD,DG=—CD^ADGFsABCE

3

(n、

则CE+MCF=M^-CE+CF=V3(GF+CF)>V3CG=12

法4：先把DF放大百倍，再把ACBE拼过来，延长CD到G使CG=B。，作GH〃4D交CF于H,作

GOLCG且GO=28=6nACDF〜△CGH,下略

法5:CE对称转化为AE,过8作BI=BD=AB^LCDF^L1BE

由于对称性，CE=AE,所以拼在上面也可以〜这个算凑数吧

法6：先把DF放大百倍，再把ACBE拼过来

延长DC到G粳DG=BD,作GH/ICF爻AD于H

作DO_LDC,且D0=4B=6=ACDFSAGD”，

DH=MDF=BE,GH=V3CF今△0。“g△BCE,CE=OH

则有CE+MCF=OH+GHNOG=12

法7：先把BE缩小放大百倍到出，再把ACDF拼过来

在8C上取CH=273，过H作H1//BD交CE于/，作HG±BC,则HG=AB"CIHsACEB,BE=料HI,

HI=DF=4CDF"△GHI=CF=GH

故CE+MCF=M^-CE+CF=V3(C/+G/)>V3CG=12

2023•湖北黄石中考拆解

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸-；/+++4与x轴交于两点/（-3,0）,3（4,0）,与>轴

交于点。（。4）.若点D,E分别是线段ZC,A8上的动点，且/E=2C。，求CE+25D的最小

值.

【答案】7233.

【分析】作/E4G=ZBCD,证明且相似比为1：2,故当C、E、G共线时,

CE+2BD=CE+EG=CG为最小,进而求解.

【详解】解：作NEAG=NBCD,

G

设/G=28C=2x4V^=屹，

•••AE=2CD,

:.ABCDsAGAE且相似比为1:2,

则EG=2BD,

故当C、E、G共线时，CE+2BD=CE+EG=CG为最小,

在AASC中，设/C边上的高为"，

则S“Bc=^AC-h=^xABxCO,

oo

即5/Z=4X7,解得：〃=£,

28

则sinZACD=—=g==叵=sin/£/G'则tan/E4G=7,

BC47210

过点G作GNLx轴于点N,则NG=/G-sinN瓦4G=等，即点G的纵坐标为:56

5

同理可得，点G的横坐标为：-（，即点

由点C、G的坐标得，CG=&o+gj+^4+y^|=V233-

即CE+2BD的最小值为V233.

题园回取到最小值时对其它量进行计算

28.如图，4D为等边“8C的高，M、N分别为线段ND、/C上的动点，且AM=BN,当BM+CN

取得最小值时，ZANC=

A

B匕---------------—C

【答案】105°

【分析】解：如图，作B£_LBC,使BE=4B,连接CE交AB于点、F,连接NE,则NBCE=N5EC=45。.

可证/NBE=/MAB,从而得S正ANBE%AMAB(AAS),于是EN=BM,BM+CN=EN+CN>EC.

当点N与点尸重合时，BM+CN取最小值.于是NANC=ZAFC=/ABC+NECB=105。.

【详解】解：如图，作BELBC,使BE=4B,连接CE交45于点/，连接NE,

・・•是等边三角形，

AAABC=60°,AB=BC.

；・BE=BC,

：./BCE=/BEC=45°,

•・,ZEBD=ZADC=90°f

：.EB//AD.

：.ZNBE=ZMAB.

又「BE=AB,BN=AM,

/.ANBEAMAB(KAS).

：.EN=BM.

：.BM+CN=EN+CN>EC.

当点N与点方重合时，EN+CN=£C,取最小值，则即/+CN取最小值.

此时，ZANC=ZAFC=ZABC+ZECB=60。+45。=105。.

故答案为：105°

29.如图，已知RtA45C,ZC=90°,ZC45=30°,BC=2,点M,N分别为CB,C4上的动点,

且始终保持5M=CN,则当4M+5N取最小值时，CN=.

C

N

AB

【答案】V3-1

l分析】过丧、B作BD"AC,使BD=BC=2,连接ND与8c交于点AT,连接DM,可证得

△CBN=dBDM(SAS),得到8N=DW,AM+BN^AM+DM,则有当N、M、。在同一直线上时，

即"在"'点位置时，即有CN=BM',利用BD〃/C,证得△ADAT~ZkC//',得到当

设CN=BM=x,则CM=2-x,再利用已知的线段长度即可求出x,即问题得解.

【详解】过点、B作BD//AC,使BD=BC=2,连接/。与BC交于点AT,连接DM,如图：