2025年中考数学技巧专项突破：费马点与加权费马点详细总结（解析版）

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

/■/题型•解读/

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题因O普通费马点最值问题

ms加权费马点•单系数型

题包且加权费马点•多系数型

•M满分•技巧/

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在AABC内部有一点P,连接外、PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时ZAPB与ZAPC的度数.

【问题处理】如图1,将A4CP绕着点C顺时针旋转60度得到△4CP,则A4CP也△?!（「，，CP=CP',AP=A,P,,

又：/PCP'=60°,.*.△PCP'是等边三角形，:.PP'=PC,：.PA+PB+PC^P'A'+PB+PP',

如图2,当且仅当点B、P、P\4’共线时，P4+PB+PC最小，最小值为48,此时/BPC=/4PC=/4PB=

120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

1对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

2对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接4T,我们发现AAar为等边三角形，点P在48上，同理，我们可以得到等边

△BAB',点P也在C9上，因此，我们可以以AABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交

点即为费马点。（最大角小于120。时）

'、

:、、,

-------/

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/

/

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//

图3

【例1】如图，在△ZBC中，NACB=90°,,4B=AC=1,尸是△/BC内一点，求F4+P8+PC的最小值.

［答案］n+世

2

【分析】如图，以NC为边构造等边△/CD,连接AD,2。的长即为以+P8+PC的最小值.至于点P的位

置？这不重要!

如何求BD?考虑到AABC和4ACD都是特殊的三角形，过点D作DHJ-BA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，BQ?即可得出结果.

【练习1】如图，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点、E为BC边上任意一•点，则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以为边构造等边△/。尸、等边连接FG,

易［正4AMD会/XAGF,：.MD=GF

：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

过尸作FH-LBC焚BC于H点,线段尸〃的长即为所求的最小值.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：0对应旋转90°,对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形4BC中，边长为4,P为三角形4BC内部一点，求的最小值

原图

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1,AAPC绕点C逆时针旋转90。，易知产P=0PC,即为所求

方法一：如图2,B,P,P',4共线时取最小，此时N8PC=N4PC=135。，易知8「=力?'=2/，

PC=CH—PH=2C-2,:.PF=2a-26,PB+PP'+A'P'=2娓+2&

方法二：作AH_LBC于H,易知N4CH=30。，：.AH^2,CH=24=BH=4+26，由勾股可得4B=

2V6+2V2

【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4,将三角形BPC绕点B旋转45°,再扩大为原来的血倍，得到△8PC'

则AP+BP+41PC=AP+PP'+P'C>AC'

补充：也可以按图5方式旋转

【练习2】在Rt^ABC中，AC=3,BC=26，P为三角形49c内部一点，求4P+BP+J。。的最小值

【策略一：旋转特殊角】如图1,44PC绕点C逆时针旋转120。，则有PP，=V^PC,

【策略二：旋转放缩】如图2,2V1PC绕点N逆时针旋转30。，再扩大为原来的百倍,

则AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',计算略

图2

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

在的三角形。

【例3】如图，在AABC中，乙4cB=60。，3C=3,4C=4,在aABC内部有一点P,连接R4,PB,PC,

则（1）++的最小值为；（2），3~/+,尸8+?。的最小值为

2222

【简答】（1）将最小系数;提到括号外，得到g（R4+GP8+2PC）

p.

图1

中间大小系数为G,故放大倍数为G倍，最大系数在PC前面，故以点c为旋转中心，旋转apBc.

如图1,将APBC绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，B'P'=43BP,PP'=2PC.

；(PA+£PB+2PC)=g(PA+PP'+P'B')zgAB'=^~.

(2)将最小系数;提到括号外，得到。(追尸2+P8+2尸。)，

R

图2

如图2,将4APB绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，A'P'=43AP,PP'=2PC.

【练习3】如图，在△4BC中，ZC3=60°，BC=3V3，/IC=6,在△4BC内部有一点P,连接R4,PB,PC,

则2PA+PB+小PC的最小值为_______.

RC

【简答】将4PAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍,得到△尸'/C,PA=2PA,PP=后PC

一

B3门C673

2PA+PB+45PC=AP'+P'P+PB>AB,vAC=2AC=12,/4CB=900+60°=150°,

AH=-AC=6,CH=—AC=643,BH=9A/3,由勾股定理可得AB=3A/H,

22

2PA+PB+45PC的最小值为35.

晶即/核心.题型/

题园O普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在△ABC中,ZACB=90°,ZBAC=3Q°,AB=2,点尸是△N8C内一点，则

/>/+PB+pc的最小值为•

【答案】V7

【解析】将4ABP绕点A顺时针旋转60。到△ABP,连接PP,BC.

则AB（=AB=2,PB=P,B,,NBAB'=60°,PA=P,A,ZPAP1=60°,

.♦.△PTA是等边三角形，.,.PA=P,P.

ZBAC=30°,NB'AC=90°,

h_

"ZACB=90°,：.AC=—AB=,

2

•'­B,C=yjAC2+B'A2=V7•

PA+PB+PC=PP+PE+PCNBC,

APA+PB+PC的最小值为V7.

2.问题背景：如图1,将△A8C绕点4逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点、P,可推出结论：PA

+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4后,点。是△MNG内一点，则点。到^

MNG三个顶点的距离和的最小值是.

【解析】过点“作"Q，NM交NM延长线于Q点，根据NNMG=75。，NGMH=60°,可得NHMQ=45。,

是等腰直角三角形,

/\MHQ:.MQ=HQ=4'；.NH="幅+-2=^^0+16=2M

4.如图，在△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC^2,P是△2BC内一点，求勿+PB+PC的最小值.

【解析】如图1,以4D为边构造等边△4CD,连接BD,BD的长即为以+PB+PC的最小值.

考虑到AABC和ZV1CD都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

如图2,过点。作交54的延长线于H点，根据勾股定理，BD?=BH?+DH。=a+垃

图1

5.已知，在2V1BC中，ZXCB=30°,4c=4,48=g(C8>C4)点P是△4BC内一动点，贝！］幽+PB+PC

的最小值为.

原图图1

【解析】如图1,将A4PC逆时针旋转30。，得"PC,8。即以+PB+PC最小值，考虑到Z

BC4=30°,；.NBCC'=90°,作4H_L8C,可得BC=36,：.BC=4^>

6.如图，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则K4+MD+

ME的最小值为.

【解析】如图1,依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以40、AM为边构造等边及4。尸、

等边A4MG,连接FG,易证44MD四△4GF,MD=GF：.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如图2,过F作FHLBC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值.FG=4+

7.4B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之

间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度(AP+BP+PQ+DQ+CQ)最小，则应当如何修建？最小

长度是多少？

【解析】如图1,NWP绕点B逆时针旋转60。，得到"FB;同样，将△DCQ绕点C顺时针旋转60。，得到

△Dg,连结44、D，D,则4484、△OC。均为等边三角形，连结PP，QQ,,则△BPP，，

△QCQ，均为等边三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=A,P,+PP,+PQ+QQ,+DQ,

如图2,当点力'，P',P,Q,Q',。'共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段4D'的长，此时点P,

Q在上，最小值为

图2

2023•随州中考真题

8.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当AABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到A/'PC,连接尸P,

由尸C=PC,APCP'=6(T,可知为①三角形,故尸P=PC,又P'A=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',4在同一条直线上时，E4+B8+尸C取最小值，如图2,最小值为48,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有ZAPC=ZBPC=ZAPB=③；

已知当“3C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NR4C2120。，

则该三角形的“费马点”为④点.

(2)如图4,在“BC中，三个内角均小于120。，且ZC=3,3C=4,44cB=30。，已知点P为“3c的"费

马点”，求尸/++的值；

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知/C=4km,8C=2百km,ZACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向4B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄4B,C的铺设成本分别为a

元/km,a元/km,元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含a的式子表示)

【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2V13a

【解题思路】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将△4PC绕，点C顺时针旋转60°得到A/'PC,即可得出可知当B,P,P',4在同

一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B,在根据ZACB=30°可证明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求N'3即可，

(3)由总的铺设成本=a(P/+P8+&PC),通过将△4PC绕，点C顺时针旋转90。得到A/'PC,得到等

腰直角APPC,得到0尸。=「尸’，即可得出当B,P,P,4在同一条直线上时，PN'+P3+PP取最小值，

即PA+尸B+行尸C取最小值为A'B，然后根据已知和旋转性质求出A'B即可.

【详解】（1）M：'：PC=P'C,ZPCP'=60P,

：.△尸CP为等边三角形；

PP=PC,ZP'PC=NPP'C=60°,

又PA'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PF2A'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P,4在同一条直线上时，P/+尸8+PC取最小值，

最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，

ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

Z.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又：AAPCmA'PC,

：.ZAPC=ZAP'C=120°,

Z.ZAPB=360°-ZAPC-ZBPC=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°;

'：ZBAC>120°,

：.BC>AC,BC>AB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三个顶点中，顶点4到另外两个顶点的距离和最小.

又：已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.

该三角形的“费马点”为点A,

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

（2）将△4PC绕，点C顺时针旋转60。得到AHPC,连接PP,

由（1）可知当B,P,P',4在同一条直线上时，尸/+尸8+尸C取最小值，最小值为42,

A'

/力

ZACP=ZA'CP',

：.NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=/NCB=30°,

又：ZPCP'=60°

ZBCA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

A'B=yjBC-+A'C2=A/42+32=5,

++尸C最小值为5,

(3)•.•总的铺设成本=+PB>a+PC/a=a(PA+PB+/2PC)

,当尸/+PB+血尸C最小时，总的铺设成本最低，

将绕，点C顺时针旋转90°得至IAA'P'C,连接PP',A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'^PA,A'C=AC=4km,

，PP=41PC,

•■PA+PB+42PC=PA+PB+PP,

当B,P,P',4在同一条直线上时，尸‘4+尸8+PP'取最小值，即尸/+尸3+血尸。取最小值为45,

NACB=60°,ZACA'=90°,

：.ZA'CH=30°,

：.A'H=-A'C=2km,

2

•*-HC=y]AC2-AH2=A/42-22=2>/3(km),

：.BH=BC+CH=26+2V3=4>/3(km),

/.A'B=yjAH2+BH2=7(4>/3)2+22=2V13(km)

P/+P3+JLPC的最小值为2而km

总的铺设成本=尸/・°+尸&。+尸+(元)

广东省江门市一模

9.如图，在AABC中，/5/。=90。,48=5,4。=26，点P为“BC内部一点，则点尸到“3c三个顶点

之和的最小值是

A

【答案】V67

【分析】将“BP绕着点4顺时针旋转60°,得到AAEH,连接ERCH,过点、（:作CNL4H,交HA的

延长线于N,由旋转的性质可得NA4P=NH4E,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,易得

△4EP是等边三角形，可得AE=AP=EP,进而得到4尸+8尸+尸C=£尸+E7/+PC,当点、H、E、P、C共

线时，/P+5P+PC有最小值"C,再求出CN和初的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解：将尸绕着点/顺时针旋转60。，得到△4EH,连接£尸，CH,过点C作CN_L/〃，交HA

的延长线于N,

/.ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

：.ZHAB=ZEAP=60°,

：.△/£尸是等边三角形，

AE=AP=EP,

AP+BP+PC=EP+EH+PC,

二当点H、E、P、C共线时，ZP+8P+PC有最小值"C.

ZNAC=180°—ZBAH-ZBAC=180°—60。—90。=30°,AC=2/,

：.CN=-AC=s[3,

2

AN=ylAC2-CN2=&26j一(⑹2=3,

:.HN=AH+AN=5+3=8.

在RtACW中，CH=ylHN2+CN2=+(V3)2=而，

即点P到"3C三个顶点之和的最小值是J方

武汉中考

10.问题背景：如图1,将△/BC绕点/逆时针旋转60°得到△/£>£,DE与BC交于点、P,可推出结论：

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△MNG中，MN=6,ZM=75°,MG=A亚,点O是△〃NG内一点，则点。到△肱%

三个顶点的距离和的最小值是.

【答案】2月

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题,

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点0到△MNG三个顶点的距离和的最

小值.（此处不再证明）

过点H作HQ±NM交NM延长线于Q点，

根据NNMG=75°,ZGMH=60°,可得NHMQ=45

AAMHQ是等腰直角三角形，

.*.MQ=HQ=4,

；.NH=yjNQ2+HQ2=V100+16=2回.

2023•四川宜宾•中考真题

11.如图，抛物线了="2+法+0经过点/（-3,0）,顶点为加），且抛物线与y轴的交点B在（0,-2）和

（0,-3）之间（不含端点），则下列结论:

②当的面积为逆时，a=—-,

22

③当AN3M为直角三角形时，在“05内存在唯一点P,使得尸/+PO+PB的值最小，最小值的平方为

18+96.

其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为

y=a(x-l)(x+3),即可求出点M的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点。为

旋转中心，将AAOB顺时针旋转60°至AAOA,,连接AA,PP,AB，得到PA+PO+PB=P'A+PP'+PB>AB,

判断③.

【详解】解：•..抛物线yuox'+bx+c经过点/(TO),顶点为

对称轴1=一1,

・,•抛物线与x轴的另一^交点坐标为(1,0),

由图象可得：当一时，^<0；

・••①正确，符合题意；

,抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

；・设抛物线为y=«(x-l)(x+3),

当％=—1时，y=-4tz,当x=0时，y=-3a,

M(-1,-4〃)，B(0,-3Q),

如图所示，过点M作平行于y轴的直线/,过点4作过点8作5N_L/,

Vj

~T

设直线的解析式为y=kx+b,

-3左'+6'=0

把5(0,-3〃)，4(-3,0)代入得:

V=一3〃'

k'=-a

解得:

b'=-3a

J直线45的解析式为歹=一办一3。，

当％=-1是，y=-2a,

・・・尸（一1，一2。）,

JMF=2a,

一X2QX3=

2

解得：a=—,故②正确

2

;点、B是抛物线与y轴的交点，

...当x=0时，y=-3。,

A5(0,-3a),

,:AABM为直角三角形,

当AAMB=90°时，

AM2+BM2^AB2,

VAM=^(-2)2+(-4«)2=A/4+16a2,BM=^(-1)2+(-a)2=Vl+a2,4B=J(一3)?+(-纭?=抬+9a?

/.4+16a2+l+a2=9+9a2,整理得：8a2=4,

解得：。=叵或一旦(舍)

22

I27

当/N8M=90°时，

AB-+BM2^AM1,

二4+16。2=9+9/+1+岛整理得：6a2=6

解得：a=l或-1(舍)

.•.5(0,-3),

当/M43=90°时，

；•AB-+AM2=BM2,

4+16a2+l+a2=9+9a2,无解；

以点。为旋转中心，将4405顺时针旋转60°至连接44',PP',AB,如图所示，

则△尸OP'为等边三角形，

：.OP=PP',AP=AP,

：.PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

♦.."O/为等边三角形，4-3,0)

33A/3

2

=包+蛀

42

当8(0,-3)时,

此时不符合题意故③错误;

故答案为：①②.

一题四问，从特殊到一般

12.背景资料：在已知“3C所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图

1,当AASC三个内角均小于120。时，费马点P在"3c内部，当乙4尸2=447^=/。尸5=120。时，则

PA+PB+PC取得最小值.

(1)如图2,等边“8C内有一点P,若点尸到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求的度数，为

了解决本题，我们可以将绕顶点/旋转到△4CP处，此时A/CP包尸这样就可以利用旋转变换，

将三条线段尸/、PB、尸C转化到一个三角形中，从而求出4尸8=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,"BC三个内角均小于120。，在AABC外侧作等边三角形A/BBL连接CB',求证：CB，过“BC

的费马点.

(3)如图4,在RT"BC中,ZC=90°,AC=1,N/8C=30°,点尸为的费马点，连接,尸、BP、CP,

求尸/+尸8+尸C的值.

(4)如图5,在正方形/3S中，点£为内部任意一点，连接/£、BE、CE,且边长/B=2；求4E+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；(2)见详解；(3)J7:(4)V6+V2.

【分析】(1)根据旋转性质得出A48Pg△/CP,得出NBAP=NCAP',ZAPB=ZAP'C,AP=AP'=3,BP=CP,=4,

根据A/BC为等边三角形，得出N8/C=60。，可证A/PP为等边三角形，PP'=AP=3,N”'P=60°,根据勾股

定理逆定理尸尸，2+9。2=32+42=25=「。2,得出APPC是直角三角形，ZPP'C=90°,可求N/PC=N/PP+

NPPC=60°+90°=150°即可；

(2)招1△/尸5逆时针旋转60°,得到△/"尸'，连结尸P,根据△/尸8g4/8'尸'，AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根据^PAP'=ZBAB'=60°,4APP'和4ABB明为等边三角形，得出PP'=4P,根据PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

根据两点之间线段最短得出点C,点尸，点尸'，点8'四点共线时，P/+尸3+尸C展产CB',点尸在C8'上即可；

(3)将△/尸3逆时针旋转60°,得到ZUPB',连结88',PP',得出A/PB也△/尸'7，可证ZUPP和△/AB'均

为等边三角形，得出"'=/尸，BB'=AB,N4BB'=60°,WPA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得点C,点P,

点P,点3'四点共线时，PA+PB+PCt,=CB',利用30°直角三角形性质得出/3=2NC=2,根据勾股定理

BC=y]AB2-AC2=V22-l2=V3,可求BB，=AB=2,ZCBB'=Z^SC+ZABB,=30°+60°=90°,在RtACBB'

中,B'C=^BC2+BB'1=+22=41即可；

(4)将A8CE逆时针旋转60。得到△CEB，，连结EE',BB',过点9作3户_LAB,交A8延长线于尸，得出

4BCE94CEE,BE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证AECE，与△2C2,均为等边三角形，得出EE，=EC,BB'=BC,

ZB'BC=60°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出点C,点、E,点、E',点皮四点共线时，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB',根据四边形/BCD为正方形，得出48=8C=2,N48c=90°,可求

^FBB'=\80°-ZABC-Z80o-90°-60o=30°,根据30°直角三角形性质得出BF=；BB'=；x2=\,勾股定

理BF=^BB'--B'F2=V22-12=V3,可求AF=AB+BF=2+百，再根据勾股定理

AB'=^AF2+B'F2=J(2+V3)2+12=V6+72即可.

【详解】(1)解：连结PP',

:“BP且AACP',

:.NBAP=NCAP\NAPB=N4P'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

/XABC为等边三角形，

ZBAC=60°

：.ZPAP'=ZPAC+ZCAP'=ZPAC+^BAP=60°,

：.ZX/PP为等边三角形，

，:.PP'=AP=3,N4P'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'2+P'C2=3?+42=25=PC2,

.♦.△PPC是直角三角形，NPP，C=90。,

：.NAP'C=NAPP+ZPPC=60°+90°=150°,

ZAPB=ZAP'C=15O°,

故答案为150。；

(2)证明：将ANPB逆时针旋转60°,得到ZUB'P,连结尸P,

/XAPB^l^AB'P',

：.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

「NPAP'=NBAB'=6Q°,

：.LAPP'和4ABB'均为等边三角形，

：.PP'=AP,

•：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

...点C,点尸，点尸'，点皮四点共线时，PA+PB+PCt,=CB',

:.点、尸在CB'上,

CB'过”1BC的费马点、.

CB

(3)解：将A/PB逆时针旋转60。，得到UPE,连结BB',PP',

：./\APB^/\AP'B',

：.AP'=AP,AB'=AB,

"：NPAP'=NBAB'=6Q0,

△APP-ABB，均为等边三角形，

：.PP'=AP,BB'=AB,NABB'=6Q°,

'：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

二点C,点尸，点P,点皮四点共线时，PA+PB+PCt,=CB',

VZC=90°,4c=1,AABC=30°,

AB=2AC=2,根据勾股定理8C=^AB2-AC2=打-]2=6

：.BB'=AB=2,

'：ZCBB'=ZABC+ZABB,=30°+60°=90°,

.•.在RtACB夕中，B'C=yjBC2+BB'2={(6j+22=77

PA+PB+PC^,=CB'=V7;

B'

(4)解：将ABCE逆时针旋转60。得到△CE6。连结EE',BB',过点、作BFL4B,交延长线于产,

△BCE/MEE,

：.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

'：ZECE，=NBCB，=60°,

：.△ECE，与ABCB'均为等边三角形，

：.EE'=EC,BB'=BC,NB，BC=60°,

'：AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

.•.点C,点、E,点E',点2'四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^,=AB

•.•四边形4BCD为正方形，

：.AB=BC=2,ZABC=90°,

：.NFBB'=1SO°-NABC-NCBB'=180o-90°-60o=30°,

'：B'F-LAF,

:.BF=；BB，=gx2=1,BF=^BB'2-B'F2=722-12=73,

：.AF=AB+BF=2+4i,

:.AB7AF°+B'F?=J(2+V3)2+12=V6+V2,

AE+BE+CEfi4=AB—y/6+V2.

题园之加权费马点•单系数型

2023•武汉・慧泉中学校月考

_3

13.如图，RtZ\48C中，ZCAS=30°,3c=5,点P为AABC内一点，连接上4,PB,PC,贝1」PC+PB+收P/

的最小值为.

【答案】|V13

2

【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得。2=//尸，于是所求

PC+PB+班1PA的最小值转化为求DE+尸。+尸8的最小值，根据两点之间线段最短可得DE+PD+PB的最

小值即为线段E3的长，然后求出E3的长即可解决问题.

【详解】解：将△/CP绕点/逆时针旋转120。，得到△4ED,连接DP,EB,过点E作跖氏4交氏4的延

长线于点尸，过点/作尸于点M,如图，

则AD=AP,DE=CP,/DAP=120°,ZEAC=120°,

,/AMLDP,

DM=PM,ZADM=ZAPM=30°,

AM=-AP,

2

__________6

二PM=yjAP2-AM2=-AP,

2

/.DP=2PM=#1Ap,

APC+PB+4iPA=DE+PD+PB>EB,即尸C+P8+的最小值为仍的长（当点E、D、P、2四点

共线时取最小值），

3

・・,RtZ"BC中，ZCAB=30°fBC'

・•・AB=2BC=3,AC==|6

.j-,A厂3^3

••AAE=AC=-----,

2

：NCAB=30°,ZEAC=120°,

ZEAF=30°,

则在直角三角形4口中,EF=-AE=—,AF=y/3EF=-,

244

921

...BF=3+—=—,BE=^BF2+EF2=

44

西安市铁一中二模

14.已知，如图在“3C中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在“3C内部有一点。，连接ZU、DC.则

DA+DB+6DC的最小值是.

【答案】屈.

【分析】把ZiCDB顺时针旋转90。到△CDT,过夕作Q£_L4C,交NC延长于E,贝UCD=C。，BD=B'D,

NCDD'=NCD'D=45°,可求DO=42CD,在RdCEB'中，可求CE=』，AE=—,BE=—,当点/、D、

222

D'、9四点在一直线时，/夕最短，可求AB'=BD+J^CD+4D=M.

【详解】解：把ACDB顺时针旋转90。到ACD3，，过H作夕E_L/C,交ZC延长于E,

则CD=CD',BD=B'D',NCDD'=NCDT>=45°,

:.DD'=CD；cos45°=gCD,

,?NACB=30°,ZB'CB=90°,

AB'CE=180°-ZACB-NBC5'=180。—30°-90°=60°,

在RtACEB，中,

15

JCE=B'Ccos600=5x—=一,

22

517

：.AE=AC+CE=6+-=—

229

；.BE=B'C-sm600=5x—=—,

22

当点/、D、D\8’四点在一直线时，N8'最短，

；.血短=^AE2+B'E2==屈，

AB'=B'D'+D'D+AD=BD+42CD+AD=791.

故答案为：回.

2023•成都市郸都区中考二模

15.如图，矩形/BCD中，AB=2,3C=3,点E是N8的中点，点尸是3c边上一动点.将ABE尸沿着E尸

翻折，使得点B落在点夕处，若点尸是矩形内一动点，连接PB\PC、PD,则尸*+行尸。+尸。的最

小值为•

【分析】将△口）「绕点。顺时针旋转90。得到ACDP,连接PP,连接ED1由等腰三角形CPP得出

PP'=6PC,再由折叠得出点二的轨迹在点E为圆心，£2为半径的圆周上，所以EB'+W+PP+P。'的

最小值为E。'，即尸a+JlPC+尸。的最小值为EO-E中，经计算答出答案即可.

【详解】解：将△€»尸绕点。顺时针旋转90。得至U&CDP，,

连接尸PL连接EZT,

则8,C,。共线，PD=P'D',

：.CD=CD=AB=2,

:.PP'=6PC,

,:点、E是4B的中点，

:.EB=i-AB=-x2=].

22

BD,=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=yjBE2+D'B2

=712+52

=V26,

由ABEF折叠成AB'E产,

EB=EB'=EA,

二点B在以点E为圆心，协为半径的圆上,

:.EB'=1,

■■两点间线段最短，

ED'<EB'+PB'+PP'+P'D',

即ED'MEB'+PB'+叵PC+PD

:.而工\+PB*亚PC+PD,

PB'+41PC+PD>yf26-l,

则尸B'+JIPC+PD的最小值为而一1.

故答案为：V26-1.

F

题园且加权费马点•多系数型

16.在边长为4的正△4BC中有一点P,连接PA、PB、PC,求(-4P+BP+—PC)?的最小值

22

【解析】如图1,A4PC绕点C逆时针旋转90。，取P，C,4c的中点M,N

易知PM=@PC,MN=-P,A,=-PA,

222

17.在等边三角形ABC中，边长为4,P为三角形4BC内部一点，求34P+4BP+5PC的最小值

33

【解析】如图1,△APC绕点C逆时针旋转90。，在PC,4C上取M,N,使CM=—CP',CN=-CA\

44

533

易知PM=-PC,MN=-P7T=—R4,34P+4BP+5PC=4(MN+BP+PM)WBN

444

图1

成都七中育才学校月考

18.在A4BC中，AB=3,AC=4,/A4C的角平分线交BC于E,过C作射线/E的垂线，垂足为。，连

3PC+4P/D+SPA

接8。，当&〃CE-S△回取大值时，在“CD内部取点P,则一—--二的最小值是.

【答案】V29

【分析】延长C。交于点尸，过点A作BC边上的高得出产0A/DC,则8尸=1,根据/。是

BE3

/R4C的角平分线，得出"=设&m七=38,则&E8=4S,过点。分别作4R4C的垂线，垂足为M,N,

EC4

得出S=，LBC,S"E-4BED=21S,则当最大时，SA/CE-ZBED取得最大值，进而可得当

3

NC45=90。时，取得最大值，则NC4D=45。，延长胡至C,使得4C'=14C=3,^PfAlPA,

4A-4PDA-SPA

AP'=—AP,连接PP,CP,构造△CNPsc4P,可得----------------=P'C+PP'+PD>CD,进而勾

4Zk4

股定理，即可求解.

【详解】解：如图所示，延长交N8于点/，过点A作BC边上的高

A

I—D

F

：/3/C的角平分线交8c于E,AD1CF

；.ZFAD=ACAD,ZADC=ZADF

又40=4。

AADFAADC,

Z.AF=AC^4,DC=DF

则BF=1

是/3/C的角平分线，设E到的距离为d,则E到/C的距离也为d,

c-BExAH-ABxd

・MABE_2_2

>"EC—ECXAH-ACxd

22

・BE_3

••法一"

设S△皿=3S,则黑疣=4$

・・•DC=DF

SJDF=SRDC~7s,

过点。分别作/尸,4C的垂线，垂足为M,N

A

JS,义3x14S=2IS,S='x4x14S=28S

AABD27AADL2

S"C=S"C一2皿=28S-4s=24S，S^ABC^2S^ADC-5rac=2x285-2x75-425

•••GCE-S△回=24S-3s=21S

S=^S/BC

・••当S”8C最大时，取得最大值,

设N3边上的高为CG

a-

F

：.CG=ACxsinZCAB

SAAHRCL=—2AB^AC^smACAB

・••当NC45=90。时，S^c取得最大值，

则NC4O=45。，则八4。。是等腰直角三角形，则4。=、/。=2后，

2

3