2025年中考数学复习之分式方程（原卷版）

专题09分式方程

【专题目录】

技巧1：分式的意义及性质的四种题型

技巧2：分式运算的八种技巧

技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围

技巧4：分式求值的方法

【题型】一、分式有意义的条件

【题型】二、分式的运算

【题型】三、分式的基本性质

【题型】四、解分式方程

【题型】五、分式方程的解

【题型】六、列分式方程

【考纲要求】

1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分.

2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和

值为零的约束条件.

3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次（二次）方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论.

【考点总结】一、分式

形如考A4方是整式，且B中含有字母，3加）的式子叫做分式.

分分式概念

式因为。不能做除数，所以在分式盘中，若毋0,则分式箭■意义；若2=0,那么

有意义的DD

的A

条件分式会没有意义.

相

在分式段A中，当A=O且8R0时，分式A三的值为0

关值为0DD

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表

概分式的基本

不是：8—BMVf8—8品全其中又是不等于。的整式）

念性质

约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分

将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分

通分

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即:土，一“丁7.异分母的分式相加减，

分式加

减先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即齐京二嗤^

公力

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即翡=器分式除以分

式分式乘

式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即篇一兼一片

运除

算

分式的

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇

混合运

到有.括号的，先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.

算

【考点总结】二、分式方程

定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程

(1)解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.

(2)常用方法：①去分母;②换元法.

分(3)去分母法的步骤：①去分母，将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根

式作答.

解法

方(4)换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的

程值;③把辅助未知数的值代回原式中，求出原来未知数的值;④检验作答.

(5)解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程时，有时可能产生不适合原方程的根(我们

把这个根叫做方程的增根)，所以解分式方程时要验根.

超'—用m解分式方程应用题的关键是把握题意，找准等量关系,列出分式方程，最后要验根

【注意】

1.约分前后分式的值要相等.

2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.

3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式

分式混合运算的运算

运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；

2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式;

3.确定分式的符号，然后约分；

4.结果应是最简分式.

【技巧归纳】

技巧1:分式的意义及性质的四种题型

【类型】一、分式的识别

L在言‘品,F'2m，壬,等中,不是分式的式子有（）

A.1个8.2个C.3个D4个

2.从a-l,3+%，2,x?+5中任选2个构成分式，共有个.

【类型】二、分式有无意义的条件

3.若代数式已在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（）

A.a=4B.a>4C.a<4D.a*

x—1

当*=______时，分式〒^无意义.

4.X—1

3x+5

5.已知不论x为何实数，分式x?二6x+m总有意义'试求m的取值范围.

【类型】三、分式值为正、负数或0的条件

6.若x2—9+1的值为正数，则X的取值范围是（）

A.x<-2B.x<lC.x>—2且x，lD.x>l

3x—4

若分式一的值为负数，则x的取值范围是______.

7.2—x

a一1

8.已知分式/二京的值为0,求a.的值及b的一取值范围.

【类型】四、分式的基本性质及其应用

9.下列各式正确的.是（）

,aa2caab〃aa+c八aab

旦6=羊Cb=^Db=^

ix2

10.要使式子±=2___d从左到右的变形成立，X应满足的条件是（）

XDXX.O

A.x>—2B.X——2C.xV—2D.xr—2

_,%xyz八4x+2y+3z

11.已知7=*=#°，求A-C1/1的值.

40/6x—5y十4z

XVz

12.已知x+y+z=O,xyz#),求।|+1±-;+i_u।的值.

JJly+z|忆十x||x十y|

技巧2：分式运算的八种技巧

【类型】一、约分计算法

留a2+6aa2—9

1计算：a2+3a-a2+6a+9-

【类型】二、整体通分法

4

2.计算：a—2+a_(_^.

【类型】三、顺次相加法

3-计算：占1+喜1+含2x+券4x?T

【类型】四、换元通分法

、1田,(3m—2n)3、,2n—3m

-

4.计算：(3m-2n)+3m_2n+1(3m-2n)-+3m_2n-]-

【类型】五、裂项相消法(即品1r=宗马

5-计算：a(a+1)+(a+1)(a+2)+(a+2)(a+3)+,-,+'(a+99)(a+100),

【类型】六'整体代入法

/「bl」11,111,11abc”小

6.已知/『不b+-c=9>；+c=i5>求ab+bc+ac的值.

【类型】七、倒数求值法

XX2

已知X2-3X+1=-1,求X4_9X?+]的值.

【类型】八、消元法

5x2+2y2—z2

8.已矢口4x——3y——6z=0,x+2y——7z=0,且xyzr0,求_3y2_iOz2的值.

技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范围

【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值

1.已知关于x的分式方程-与分式方程的解相同，求而一2m的值.

x十4xZxX—1

【类型】二、利用分式方程有解求字母.的取值范围

2.若关于x的方程口=」%+2有解，求m的取值范围.

X-3X-3

【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值

3.如果解关于x的分式方程二%一六=1时出现增根，那么m的值为()

X—22—x

A.-2B.2C.4D.-4

4.若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值.

【类型】四、利用分式方程无解求字母的值

5.若关于x的分式方程无解，则2=.

XI1

6.已知关于x的方程y一m—4=六"无解，求m的值.

X_33-x

xI-S

7.已知关于x的分式方程号T=l.

(1)若方程的增根为x=2,求a的值；

(2)若方程有增根，求a的值；

(3)若方程无解，求a的值.

技巧4：分式求值的方法

【类型】一、直接代入法求值

1.先化简，再求值：岛+营4七六，其中a=5.

【类型】二、活用公式求值

2.已知实数x满足X2—_5X+1=0,求x4+J的值.

3.已知x+y=12,xy=9,求2y的值.

【类型】三、整体代入法求值

222

4.已知士+士+E=1,且x+y+z¥O,求七+七+3一的值.

y十zz十xx十y,y十zz十xx十y

【类型】四、巧变形法求值

5.已知实数x满足4x2—4x+1=0,求2x+*的值.

ZX

【类型】五'设参数求值

6.已知|.=言0,求处捺弁的值♦

【题型讲解】

【题型】一、分式有意义的条件

X

例1、使得式子不；有意义的X的取值范围是（）

A.x>4B.x>4C.x<4D.x<4

【题型】二、分式的运算

Qr\4

例2、分式一J-J化简后的结果为

a—11—a

6Z+16Z+3a/+3

A.------B.-------C.D.

ct—1Q—1〃一1a2-l

分式的基本性质

b，则，的值为（

例3、若)

a-b4b

11

A.5B.-C.3D.

53

【题型】四、解分式方程

2L的解是（

例4、方程)

x+5x-2

A.x=-1B.x=5C.犬=7D.x=9

【题型】五.分式方程的解

m3

例5、关于x的分式方程------------------1有增根，则根的值)

x—2---2—x

【题型】六.列分式方程

例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000

件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周

投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）

300042003000℃4200

A.-------=---------B.------------------+80=-

xx-80Xx

4200300030004200

C.-------=-----------oQ(JnD.-------

xxxx+80

分式方程（达标训练）

一、单选题

rvj-I-V3

L12。22・广西・富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程右+口=1有解,则实数加应

满足的条件是（）

A.m=-lB.m^-1C.m=lD.m=^\

2

2.（2022.海南省直辖县级单位.二模）分式方程1=1的解为（）

x+1

A.-1B.0C.1D.2

54%―3y

)

3.（2022.天津南开•二模）化间2，，\的结果是（

y一%

555n3x+y

—

A.B.C.22D.22

%一y%+y%-y%一y

rn2

4.（2022贵州贵阳三模）计算-展的结果是（）

m-2m-2

A.2B.-2C.1D.-1

5.（2022.江苏淮安.一模）若分式上;有意义，则X的取值范围是（）

x+2

A.B.2C.%>~2D.%2—2

二、填空题

6.（2022.四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程上3-r--1=3的解为

x-1x+1

7.（2022・湖南怀化•模拟预测）计算=--^-=____.

x+2x+2

三、解答题

13

8.（2022•浙江丽水•一模）解方程：-----=2.

尤一33-x

分式方程（提升测评）

一、单选题

1.（2022.辽宁葫芦岛.一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱.某特

许零售店准备购进一批吉祥物销售.已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，

已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是

()

600500-600_500600500600_500

A.——=——+10B.

xxxx+10X—10xxx-10

vny—1

2.（2022•黑龙江牡丹江.模拟预测）若关于x的方程丝一=3无解，则机的值为（）

无一1

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

a{-竺］的结果是（）

3.（2022•安徽•三模）化简-------a-

a-b(aJ

]D.-^―

A.a+bB.C.u-b

a+ba-b

4.（