2025年中考数学复习：实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题6题型）（解析版）

抢分秘籍09实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次

函数的实际问题）（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

i.从考点频率看，用函数求最值问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。

2.从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！

■（抢分通关

题型一用一次函数解决实际问题

典例精讲

[例1]（2024・河南濠河•一模）2024年春晚吉祥物"龙辰辰"，以龙的十二生肖专属汉字"辰"为名.设计灵感

以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某网店从工厂购进大号、中

号两种型号的“龙辰辰"，已知每个大号"龙辰辰"进价比中号"龙辰辰"多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号

"龙辰辰"共150元.

⑴求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价.

⑵该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半.中号"龙辰辰"

定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多30%.当购进大号"龙辰辰"多少个时，销售总利润最大？最大利

润是多少？

【答案】⑴大号的"龙辰辰”的进价为55元，中号的"龙辰辰”的进价为40元

⑵当购进大号"龙辰辰"20个时，销售总利润最大，最大利润是1260元.

【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解

析式是解题的关键.

（1）设大号的"龙辰辰”的进价为X,则中号的“龙辰辰”的进价为（X-15）元，根据2个大号“龙辰辰〃和1个

中号"龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；

（2）设购进大号"龙辰辰"加个，则中号“龙辰辰”的个数为（60-切）个,销售总利润为w元，得到卬=3皿+1200,

再根据题意求出加W20,根据一次函数的性质即可得到答案.

【详解】（1）解:设大号的“龙辰辰”的进价为x,则中号的"龙辰辰"的进价为（x-15）元，则

2x+（x-15）=150

解得x=55,

则x-15=40,

答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为40元；

（2）解：设购进大号"龙辰辰"加个，则中号“龙辰辰"的个数为（60-加）个，销售总利润为w元，

贝1］卬=［60、（1+30%）-55］加+（60-40）（60-〃7）=3加+1200,

•••大号"龙辰辰"的个数不超过中号的一半

；w=3%+1200中，左=3>0,

.".w随着m的增大而增大，

当加=20时，W取得最大值，It匕时取=3x20+1200=1260,

当购进大号"龙辰辰"20个时，销售总利润最大，最大利润是1260元.

通关指导

此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解

析式是解题的关键.

【例2】（2024•河南信阳•一模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关.最初的爆竹是由唐朝的李畋发

明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以

示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望.小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，

乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟

花进货单价多9元.

⑴求甲、乙两种烟花的进货单价；

⑵小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍,

如何进货才能花费最少？并求出最少的花费.

【答案】（1）甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为35元;

⑵购进甲种烟花250个，则乙种烟花750个，花费最少为32750元.

【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等

量关系，正确列出分式方程及一元一次不等式和相应的函数关系式.

（1）设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为（x+9）元，由题意列出分式方程，解方程即

可；

（2）设购进甲种烟花加个，则乙种烟花（1000-切）个，花费为y元，根据题意确定相应的函数关系式和不

等式，然后求解，利用一次函数的性质即可得出结果.

【详解】（1）解：设甲种烟花的进货单价为x元，则乙种烟花的进货单价为（x+9）元，

31204200

由题意得:

Xx+9

解得：x=26,

经检验：x=26是原方程的解，且符合题意，

贝卜+9=35,

答：甲种烟花的进货单价为26元，则乙种烟花的进货单价为35元;

（2）设购进甲种烟花机个，则乙种烟花（1000-加）个，花费为y元,

由题意得：=26m+（1000-m）x35=35000-9m,

•••乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍,

1000-m>3m,

解得：m<250,

-9<0,则y随机的增大而减小，

.,.当机=250时，y最小，最小为了=3500-9x250=32750元,

则1000-加=750,

答：购进甲种烟花250个，则乙种烟花750个，花费最少为32750元.

名校模拟

1.（2024•浙江温州•一模）2023年10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行.某网红店看准商机，推出了A和

B两款龙舟模型.该店计划购进两种模型共200个，购进B模型的数量不超过/模型数量的2倍.已

知3模型的进价为30元/个，A模型的进价为20元/个，B模型售价为45元/个，/模型的售价为30元/

个.

⑴求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？

⑵如果3模型的进价上调加元（0<加<6）,A模型的进价不变，但限定8模型的数量不少于A模型的数

量，两种模型的售价均不变.航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出加

的值.

【答案】⑴2665元

（2）2

【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的

关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分

0<m<5,〃?=5及5<小<6三种情况，找出y关于x都函数关系式.

（1）设购进5模型x个，则购进A模型（200-力个，根据购进3模型的数量不超过A模型数量的2倍，可

列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；设售完

这批模型可以获得的总利润为y元，利用总利润=每个的销售利润x销售数量（购进数量），可得出y关于x

的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；

（2）由购进5模型的数量不少于A模型的数量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范

围，结合（1）的结论可确定x的取值范围，分0<加<5,加=55（加<6三种情况，找出y关于x的函数关

系式或y的值，结合y的最大值为2399,可求出加的值，取其符合题意的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设购进B模型x个，则购进A模型（200-力个，

根据题意得：x<2（200-x）,

解得：xV苧,

又为正整数，...x的最大值为133.

设售完这批模型可以获得的总利润为y元，则y=（45-30）x+（30-20）（200-x）,

即了=5x+2000,

5>0,

随x的增大而增大，

.•.当x=133时，y取得最大值，最大值=5x133+2000=2665.

答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元；

（2）解：根据题意得：x>200-x

解得：x>100

又•••xv粤，且x为正整数，

...1004x4133且x为整数.

当0<加<5时，y=（45-m-30）x+（30-20）（200-x）

即>=（5—冽）x+2000

V5-m>0,

随x的增大而增大，

.•.当x=133时，y取得最大值，止匕时133（5-加）+2000=2399,

解得：m=2；

当加=5时，y=（45-5-30）x+（30-20）（200-x）

即＞=2000,不符合题意，舍去；

当5＜根＜6时，了=（45-w-30）x+（30-20）（200-x）

即y=（5-机）x+2000,

5-m＜0,

随x的增大而减小，

二当尤=100时，了取得最大值，此时100（5-加）+2000=2399,

解得：m=1.01（不符合题意，舍去）.

答：m的值为2.

2.（2024•湖南怀化•一模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买4,B两种型号的充电桩.已

知3型充电桩比/型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买/型充电桩与用24万元购买2型充电桩的

数量相等.

（1）4,8两种型号充电桩的单价各是多少？

⑵该停车场计划购买/，3两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且2型充电桩的购买数量

2

不少于4型充电桩购买数量的请问/,8型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？

【答案】（1）43两种型号充电桩的单价各是1万元，1.2万元

（2）45型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：

（1）设/型号充电桩的单价为x万元，则8型号充电桩的单价为（尤+0.2）万元，根据用20万元购买N型

充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等列出方程求解即可；

（2）设购买/型号充电桩机个，总费用为人则购买2型号充电桩（26-"）个，先根据题意列出不等式组

求出机的取值范围，再求出少关于根的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设/型号充电桩的单价为x万元，则2型号充电桩的单价为（x+0.2）万元，

解得x=l,

经检验，x=l是原方程的解，且符合题意,

x+0.2=1.2,

答：A,8两种型号充电桩的单价各是1万元，1.2万元；

（2）解：设购买/型号充电桩a个，总费用为万，则购买8型号充电桩（26-"）个，

•••购买总费用不超过28万元，且2型充电桩的购买数量不少于/型充电桩购买数量的：.

7M+1.2（26-/H）<28

二<2，

26—m>—m

[5

4

解得16V加W18—,

7

W=m+1.2（26-加）=-0.2m+31.2,

-0.2<0,

，少随机增大而减小，

又：加为正整数，

当机=18时，总费用最少,

26—m=8,

答：A,8型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少.

3.（2024•河北石家庄•一模）周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆.两人同时从学校出发,

以每分钟。米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以。米/分的速度按原路返回学校,

取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙.甲追上乙后，两人继续

以。米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变.设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行

驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示；甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为

x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示.

八s侏）

图1图2

⑴学校与图书馆之间的路程为一米，«=_；

⑵分别求5Vx<10及104W20时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的

总时长；

⑶请直谈在图2中补全y与x之间的函数图象.

【答案】⑴5000,200；

400x-2000（5<x<10）

（2）^=7.5分钟

-200x+400000VxV20）'

⑶见解析

【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解答本题时认真分析函数图象反应的数量关系是关

键.

（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程和a的值；

（2）利用待定系数法求出s与x的函数关系式，然后分别求出s=1000时x的值，进而求解即可；

（3）计算出甲第20分钟时y的值和第25分钟时y的值，完成图象.

【详解】（1）由图②可得学校与净月潭公园之间的路程为5000米，

a=（5000-4000）-5=200（米/分），

故答案为：5000,200；

（2）当5Vx<10时，设5=履+。

将（5,。），（10,2。。。）代入得［.+^200。

%=400

解得=-2000

...5=400x-2000（5<x<10）；

当10WxW20时，设s=3+4

将（/1。,2。。。\）,（/2。，。\）代入得f｛2-0k+6=0。。。

解得］b=4000

s=-200%+4000（10<x<20）；

400x-2000（5<x<10）

综上所述，s=

-200x+4000（10<x<20）'

1000

当甲返回学校时,x=+5=7.5

200+200

当5Vx<10时，400%-2000-1000

解得x=7.5；

当10WxW20时，-200x+4000=1000

解得x=15；

15—7.5=7.5（分钟）

答：甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长为7.5分钟;

(3)由(2)得，甲追乙的过程中，

当10WxW20时，甲的速度是400米/分,

当工=20时，y=5000-400x(20-10)=1000,

甲乙两人第25分钟时，到达公园，

4.(2024•陕西西安・二模)2024年3月22日是第三十二届“世界水日"，联合国呼呼全世界关注和重视水资

源的重要性.小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费.为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试

验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况.知量杯中原来装有10mL水，30min

内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中t(min)表示时间，y(mL)表示量杯中的水量.

为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择；y=kx+b(k^Q),

y=ax2+Z>x+c(a*0),y=—(k0)

⑴在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与，的函数表达

式；

⑵在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少mL?

【答案】⑴图见解析，函数类型为了=履+可左/0),y与，的函数表达式为V=2x+10

⑵2890mL

【分析】本题考查一次函数的应用，关键是熟知一次函数的图象及其函数解析式.

（1）用描点、连线方法画出函数图象，根据图象选择一次函数解析式，然后利用待定系数法求解函数表达

式即可;

（2）先算出一天的时间，再代入（1）中函数表达式中求解即可.

根据图象，所给数据对应点都在一条直线上，故该函数符合一次函数类型：y=kx+b（k^Q）,

.•.将（0,10）,（5,20）代入户h+b中,

6=10k=2

得后解得

5+6=20'b=10"

二了与f的函数表达式为y=2x+10；

（2）解：一天时间为24x60=1440min,

当x=1440时，＞=2x1440+10=2890,

答：估计照这样漏一天，量杯中的水量约为2890mL.

题型二用反比例函数解决实际问题

典例精讲：

【例1】（新考法，跨学科，拓视野）（2024•宁夏吴忠•一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物

理小组的同学发现使用该电池时，电流/（单位：A）与电阻R（单位：Q）是反比例函数关系，它的图象

⑴求该品牌电动车电池的电流/与电阻R的函数类系式.

⑵该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在

7.2A-8A的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围.

48

【答案】⑴/

（2）6<7?<y

【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键.

k

（1）设电流/与电阻R之间的函数表达式为/=2,将点代入求解即可；

（2）把/=7.2,/=8分别代入解析式求出对应的尺，然后结合函数图象即可得出结果.

【详解】（1）解：设电流/与电阻尺之间的函数表达式为/=[,

由图象知，函数图象过点（3,16）,

16=—,解得左=48,

・•・电流/与电阻火之间的函数表达式为/二三48；

R

⑵解:当/=7.2时，7.2="，解得,

K5

48

当/=8时，8=—,解得R=6,

R

20

观察图形可知：6<R<—,

即该小组确定这时电阻值的范围为64R4号20.

通关指导

本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键.

I

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________JI

【例2】（2024•广东中山•一模）在某一电路中，电源电压。保持不变，电流/,电压U,电阻R三者之间满

足关系式/=■，电流/（A）与电阻必。）之间的函数关系如图.

。367?/Q

⑴写出/与R的函数解析式；

⑵结合图象回答：当电路中的电流不超过12/时，电路中电阻R的取值范围是什么？

【答案】⑴/=*（尺>0）

R

⑵氏230

【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，结合图形求出函数解析式是解题的关键；

（1）由图知，把点N的坐标代入/=1中，可求得。的值，从而确定函数解析式；

（2）求出当/=12时，R=3.结合反比例函数的图象与性质即可确定电路中电阻尺的取值范围.

【详解】（1）解：电源电压。保持不变，由图象可知46,6）,

/与R的函数解析式为/=二：

把点力的坐标代入上式中得：6=乌，即。=36,

（2）解：由（1）可知，函数解析式为/=募.

电源电压。保持不变，

...当/=12时，R=3.

•函数图象在第一象限内，/随R的增大而减小,

.••当电路中的电流不超过12A时，7?>3Q.

名校模拟

1.（2024•山西临汾•一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在

空间中以波的形式移动，随着5G技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军

事领域.电磁波的波长4（单位：m）会随着电磁波的频率单位：MHz）的变化而变化.下表是某段电

磁波在同种介质中，波长彳与频率/的部分对应值：

频率/(MHz)51015202530

波长〃m)603020151210

⑴该段电磁波的波长2与频率/满足怎样的函数关系？并求出波长4关于频率/的函数表达式;

⑵当/=50MHz时，求此电磁波的波长X.

【答案】（1）反比例函数关系，几=拳

（2）6m

【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，

利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键.

（1）由表中数据可知，电磁波的波长彳与频率/满足反比例函数关系，设解析式为％=:（左/0）,用待定

系数法求解即可；

（2）把/=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长4.

【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长彳与频率/的乘积为定值，

电磁波的波长2与频率f满足反比例函数关系，

设波长几关于频率/的函数解析式为％左手0）,

把点（10,30）代入上式中得：（=30，

解得：k=300,

。300

/.Z=------•

f'

（2）当［=50MHz时，力=黑=6,

答：当f=50MHz时，此电磁波的波长4为6m.

题型三用二次函数解决实际问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024・浙江•模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的.其

横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体。/上，另一端固定在墙体8C上，其横截面有2根支架OE,

为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调

整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元.

⑴分别以03和。4所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.

①求出改造前的函数解析式.

②当CC，=1米，求GG'的长度.

⑵只考虑经费情况下，求出CC的最大值.

1n

【答案】⑴①〉=-记/+》+1;②］米

⑵1.6米

【分析】（1）①设改造前的函数解析式为y:办,+瓜+以根据所建立的平面直角坐标系得到

£（4,3.4）,C（6,3.4）,然后代入解析式得到关于。、b、c的方程组，求解即可；

②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C'、夕的坐标即可得到结论；

（2）根据已知条件表示出G'、夕的坐标得到。的不等式，进而得到CC的最大值.

【详解】（1）解：①如图，以。为原点，分别以。和CM所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直

角坐标系，

由题意可知：幺（0,1）,£（4,3.4）,C（6,3.4）,

设改造前的抛物线解析式为了="2+bx+c,

c=1

<16Q+46+C=3.4,

36a+6b+c=3.4

1

10

解得：,b=l

c=1

改造前的抛物线的函数表达式为y=-Jy+x+i；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，

由①知改造前抛物线的解析式为了=-《/+工+1,

1u

—----------------5

,对称轴为直线-，

2

设改造后抛物线解析式为：y2=cx+dx+l,

•.•调整后C与E上升相同的高度，且CCJ1,

二对称轴为直线x=5,则有-,=5,

2c

当％=6时，＞=4.4,

36。+6d+1=4.4,

・•・改造后抛物线解析式为：%=—苗工2+三工+1,

当x=2时，

11Q

改造前：x22+2+l=y,

改造后：％=----x22H-----x2+l=—,

21201215

，竺-巨二

.•.GGf-“（米）,

211553

7

:.GG'的长度为§米;

（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为^="2_1（）办+1,

•.•当x=2时，j2=ax22-10i?x2+l=-16(7+l,

当x=4时，j;=ax42-10ax4+l=-24a+l,

G[2,-16a+l),£(4,-24a+l),

]

EE'+GG'=-24a+l-16a+l-^3A+^=-40a-4,

由题意可列不等式：(一40a-4)x200x60432000,

解得：a>-y,

•・・CU=££'=—24a+l—3.4,

要使最大，需。最小，

.・・当。=—J时，CC的值最大，最大值为1.6米.

6

通关指导

本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一

次不等式的实际应用等知识点.掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键.

【例2】（2024•河南信阳•一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有"北国江南，江南北

国"美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千

湖之市其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶/与起拱线BC相距4

米，桥孔宽6米.

⑴若以起拱点8为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标.

⑵河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题.额定

载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形斯GH（如图2）,当船宽FG为3米时.①求吃水线上船

高EF约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设

计范围.

【答案】⑴抛物线的函数表达式了=-］（尤-3）2+4,顶点坐标为（3,4）,

⑵①斯=4米，②当船宽FG为3米时，要求吃水线上船高E尸小于3米

【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键.

(1)以起拱点2为坐标原点建立平面坐标系，8c所在线为x轴，过点3作8C的垂线为了轴，建立的平面

直角坐标系如下：

因此，抛物线的顶点坐标为(3,4),可设抛物线的函数表达式为y=a(x-3>+4,再将B点的坐标(0,0)代入

即可求解；

(2)①根据题(1)的结果，令x=1.5求出V值，从而可得吃水线上船高EF；②涝季水面会再往上升1

米，即要求吃水线上船高在①的基础上减少1米.

【详解】(1)以起拱点2为坐标原点建立平面坐标系，8C所在线为x轴，过点5作BC的垂线为V轴，建

立的平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，3点的坐标为(0,0),抛物线的顶点坐标为(3,4)、C点的坐标为(6,0),

因此设抛物线的函数表达式为y=a(x-3>+4,

将3(0,0)代入得：9a+4=0,

4

解得：=--,

4

则所求的抛物线的函数表达式为V=-§(x-3)2+4；

(2)①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：

怦

米

—

33

・・•尸G=3,则打、尸的横坐标％=3--=—,

22

3433

当％得歹=—3>+4=3,即E坐标为弓,3),

•••河面的平均水位2米，

故£尸=3-2+3=4（米）

船高EF约4米时，可以恰好通过此桥，

②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，

吃水线上船高跖447=3,即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.

名校模拟

1.（2024•陕西西安•二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体。M处建造，现以地面ON和墙体分别为x轴

和了轴建立平面直角坐标系.已知=£米，且抛物线经过点C’q；请根据以上信息，解决

下列问题.

⑴求此抛物线的函数表达式；

⑵现准备在抛物线上的点£处，安装一个直角形G斯钢拱架对隧道进行维修（点尸，G分别在x轴，了轴

46

上，且OGWCM,£G〃x轴，£尸〃歹轴），已知钢拱架GE+跖的长为GE+M=彳米，求点石的坐标.

［答案】⑴+

⑵（吟）

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；

（2）设点石”,一：/+乡+个］，则点,厂«,0）,从而有GE+EF=t-^-t2+=

求出f的值，然后代入求解即可；

本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次图象及性质是解题的关键.

【详解】（1）...（?/=力米，

•••设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+^.

将点小，幻，C’S代入，

55

小土169

49〃+7b+——=—

55

1

解得5

入

b=—6

[5

.♦•抛物线的函数表达式是y=-|x2+|x+y;

（2）由题意，设点,贝！］点G（0,-y2+［+y］，P&0）,

由题意，得GE+E尸=

解得4=5,t2=6,

、“-r’1?6161cl6l162116/一人“人口=**.

当f=5口寸，+25+1x5+I-=y>y（不付合感思，舍去）x；

、1,,126161“6/1616

当，=6时n，——r+-t+——=——x36+-x6+——=——,

5555555

•••点E的坐标为

2.（2024•河北石家庄•一模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示，其左

右轮廓线ZC、5。都是抛物线工的一部分，已知水杯底部N8宽为46cm，水杯高度为12cm,杯口直径CD

为8j§cm且CD〃血W,以杯底A8的中点为原点。，以1W为x轴，A8的垂直平分线为V轴建立平面直

角坐标系.

D

（1）轮廓线/C、8。所在的抛物线£的解析式为：；

（2）将水杯绕点A倾斜倒出部分水，杯中水面CE〃必V,如图2当倾斜角/B/N=30。时，水面宽度为

CE=cm

【答案】y=1x2-4；14.

【分析】（1）设抛物线的解析式为y="2+c,把点8（26,0）,。（46」2）代入了=ax?+c中，求出抛物线

的解析式即可；

(2)在坐标系中作出CE,求出CE的解析式，进而求出点E的坐标，即可求出CE的长；

本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出抛物线的解析式时解题的关

键.

【详解】(1)由题意可知，5(273,0),。(46』2卜

设抛物线£的解析式为了=a/+c,

0=a'(2y/3]+c1

a=—

将点B、。坐标代入得2,解得'3,

12=a-(473)+cc=-4

.♦•解析式为夕=；/-4；

(2)如图，易知NDC£=30。，

设C。、CE分别与V轴交于点尸、G,

在RtACFG中，CF=4班,

AFG=CF-tan30°=4,

即C卜4百,12),<7(0,8),

设直线CG解析式为y=kx+b,

-4收+6=12

则解得:

b=8

・,・直线CG的解析式为尸—4+8,

令—x+8=—%2—4>

33

解得xx——4,x2=3-73，

将X=3A/J代入J-4,

得V=5,

・・・石卜百,5),

0£'="一46一36『+（12-5）2=447+49=14.

3.（2024•辽宁鞍山•一模）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目

的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.图2是图1所示乒乓球台的截面示

意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）0/为28.75cm的点/处，将乒乓球向

图1图2

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）,乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）.测得如下数据:

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度y/cm28.7533454945330

⑴如图3,在平面直角坐标系xQy中，描出表格中各组数值所对应的点（xj）,并画出表示乒乓球运行轨迹

形状的大致图象.

A〉/cm

60TT-1--------r-----r-----r-----r1---1----T—1----1----TT

5()+-++-+4-+-+++

40十一+4--++-++-+4--++-+++-++-++-++-++

3()+-4-+-++-+4-+-+++-+4--++-+++十一+

20+-4-+-++-+4-4--++-++-+4--4-+4--++-++

10++-4-+-++-++-4-+4--++-++一++-+4-+-+4--+

O102030405060708090100110120130140150160170180190200220220230240^0111

图3

⑵①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是.cm,当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水

平距离是cm.

②求满足条件的抛物线的表达式.

⑶技术分析：如果只上下调整击球高度CM,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网,

又能落在对面球台上，需要计算出CM的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2,乒乓球台长08为270cm,

球网高CD为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度。/的值约为1.27cm.请你计算出乒乓

球恰好落在对面球台边缘点3处时，击球高度。4的值（乒乓球大小忽略不计）.

【答案】⑴见解析

（2）①49,230；②y=-0.0025（%-90y+49

⑶乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度。”的值为60.75cm

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：

（1）根据描点法画出函数图象即可求解；

（2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当V=0时，x=230；

②待定系数法求解析式即可求解；

（3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为了=-0.0025（X-90）2+49+A-28.75,根据题意当》=270时,

y=0,代入进行计算即可求解.

【详解】⑴解:如图所示,

本了/cm

60-TT

++++

-

50---IT+I

++++

40---IIII

++++

3QYIIII

++++

20-

10—

-1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1———>

o102030405060708090100110120130140150160170180190200220220230240x/cm

（2）解：①观察表格数据，可知当x=50和尤=130时，函数值相等，则对称轴为直线x=90,顶点坐标为

(90,49),

又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49cm,

当y=0时，x=230,

二乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；

故答案为：49；230.

②设抛物线解析式为y=a（x-90『+49,将⑵。,0）代入得,

0=a（230-90）2+49,

解得：a--0.0025,

抛物线解析式为y=-0.0025（x-90）2+49；

（3）解：•.•当CM=28.75cm时，抛物线的解析式为y=-0.0025（尤-90y+49,

设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度04的值为力cm,则平移距离为（〃-28.75）cm,

平移后的抛物线的解析式为y=-0.0025（尤-90）2+49+A-28.75,

依题意，当x=270时，y=0,

即-0.0025（270-90）2+49+6-28.75=0,

解得：h=60.75.

答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点5处时，击球高度。4的值为60.75cm.

题型四用一次函数和反比例函数解决实际问题

典例精讲

[例1](2024•河南漠河•一模)河南作为粮食生产大省，发展设施农业是推动乡村产业振兴的重要抓手.设

施农业就是利用工程技术手段和工业化生产的农业，能够为植物生产提供适宜的生长环境，使其在舒适的

生长空间内，健康生长，从而获得较高经济效益.例如冬天的寒潮天气，气温较低不利于蔬菜生长，可用

装有恒温系统的大棚栽培蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度＞(℃)与时

f(h)之问的函数关系，其中线段/尻BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示温系统关闭阶段,

请根据图中信息解答下列问题：

061224X

⑴求图象中CD段的函数表达式，并写明自变量的取值范围.

(2)解释线段8C的实际意义.

(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为15。(2到18P的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10。0

那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长.

【答案】⑴蚱竽12WXV24)

⑵线段5C表示恒温系统设定恒温为18。(2；

(3)10.65h

【分析】本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关

键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式.

(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据函数图象结合题意回答即可；

(3)把y=15代入卜=3尤+10和＞=”中,

即可求得结论.

3x

k

【详解】(1)当124x424时为双曲线的一部分，设了与x的关系式为y=

X

.*.18=—,解得:左=216,

.••、与尤的关系式为了=于（124X424）；

（2）线段8c表示恒温系统设定恒温为18。（2；

（3）设N8段的解析式为P=s+〃，由图象可知过点（0/0）,（6,18）,

[6m+n=18

.4

「,m=—

解得：＜3,

〃=10

4

・•.AB段的解析式为y=-x+10,

44

.・.当歹=15时，代入y=§x+10得15=1%+10,

解得X*

4

小、216/曰72

代入y=——得％=二，

x5

.••最适合生长的时间有华72-1?5=10.65（小时）.

54

通关指导

本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关

键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式.

L名校模拟

1.实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）

变化的图象如图所示（图象由线段。4与部分双曲线N8组成）.国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量

大于或等于20（毫克/百毫升）时属于"酒后驾驶"，不能驾车上路.

⑴求部分双曲线48的函数表达式；

⑵假设某驾驶员晚上23:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7:30能否驾车去上班？请说明理由.

【答案】⑴广出

X

⑵第二天早上7:30不能驾车去上班

【分析】本题考查反比例函数的实际应用.

（1）待定系数法求函数解析式即可；

（2）求出y=20时对应的时间，结合规定可进行判断.

读懂题意，正确的识图，是解题的关键.

【详解】（1）解：根据题意得，直线。/过20）即3小时时酒精含量为20毫克/百毫升,

则1小时时酒精含量为80毫克/百毫升，

则直线OA的表达式为y=80x,

|时、＞=120,即N(|3,120),

当％=

2

设函数表达式为y=4（左HO）,将点/佶3/2o］代入得：左=180,

x2

180

・••尸一x:

x-ll

(2)由歹=—得，当V=20时，x=9,

x

从晚上2