2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编

2025年中考数学复习:二次函数综合压轴题常考热点试题汇编

1.如图，已知抛物线y=—/+kc+c与一直线相交于A(—1,0),。(2,3)两点，与夕轴交于点N.其顶点

为D

(1)求抛物线及直线AC的函数表达式;

(2)设点朋r(3,小)，求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作尸Q，c轴交AC于点Q,求PQ的最大

值.

【答案】⑴解：由抛物线y=—/+法+。过点A(-l,0),。(2,3)得=，

1―4十十C=J

解得FU，

[c=3

抛物线为g=—/+26+3;

设直线为9=for+n过点4(—1,0),0(2,3),得｛盛;屋，

解得

直线AC为g=6+1;

(2)解：:y=—_+2力+3=—(力一I)?+4,

・•・。(1,4),

令g=0,贝"0=—/+26+3,

解得x=—1或x=3,即抛物线与力轴的另一个交点为(3,0),

作直线力=3,作点。关于直线力=3的对称点D,

得D坐标为(5,4),如图，

此时N、河、。三点共线时，7W+MD最小，即7W+M。最小,

设直线ND，的关系式为：0=a/+b,

把点N(0,3)和D(5,4)代入得=

得Q=4,b=3,

5

直线7W的函数关系式为：?/=±2+3,

5

当田=3时，

5

.18

5

・・・。。_10轴交4。于点。，

设。(力，6+1),则P(x,—62+2/+3),

:.PQ—(—62+21+3)—(二+1)

=—/+/+2

V-l<0,

PQ有最大值，最大值为今.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（-1,0）,且。4=0。=508,抛物线0=&/+近+

c（a¥0）图象经过4B,C三点.

（1）求A,C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作DD，AC于点。，当PD的值最大时,求此时点

P的坐标及的最大值.

【答案】（1）解：•.•点B的坐标为（-1,0）,

:.OB=1,

•/OA=OC=5OB9

:.OA=OC=5,

・••点4(5,0),。(0,—5);

⑵解:设抛物线的表达式为：0=以力+1)(/—5),

把点。(0,—5)代入得：—5a=-5,

解得：a=1,

故抛物线的表达式为：y=(6+1)(力-5)=X2—4：X—5;

⑶解：・・・直线CA过点C(0,-5),

可设其函数表达式为：y=—5,

将点人(5,0)代入得：5fc-5=0

解得：k=1,

故直线CA的表达式为：g=%一5,

过点P作"轴的平行线交。4于点

,:PH"轴,

：./PHD=/OCA=45°,

:,PD=PH,

•：PD_LACf

:.PD=与PH,

设点P(力，力2—4劣—5),则点—5),

3夸(-4,+5)=—壬+:用

,2'

.・.PO有最大值，当■时,其最大值为逊0,

2o

此时点p(l■，—苧).

3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点3(-1,0),点3(0,3)，且08=OC.

⑴求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点D、E是直线①=1上的两个动点，且RE=1,点。在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小

值.

（3）点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标.

【答案】⑴解：•••03=0。,点。（0,3）,

.•.点B（3,0）,

则抛物线的表达式为：y—a（x+1）（①-3）=a（x2—2c—3）=ax2—2ax—3a,

将点。（0,3）代入得，

故—3a=3,解得:a=-1,

故抛物线的表达式为：y——X2+2rc+3,

y——x2+2rc+3=—（2―1]+4,

函数的对称轴为：c=1;

⑵四边形ACDE的周长=人。+。£+。。+AE,其中AC=5r=行寿=何、。£=1是常

数，

故CD+AB最小时，周长最小，

取点。关于直线c=1对称点。（2,3），则CD=CD,

如图所示，取点4（一1,1）,则4。=AE,点。与。关于c=1对称，则。（2,3）,

图1

A,C,,=V32+22=V13,

.•.CD+AE=4_D+。。，则当4、。、U三点共线时，CD+AE=4。+。。最小，周长也最小,

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE

=VW+1+A'D+DC

=V10+1+A'C

V10+1+V13;

（3）如图，设直线CP交c轴于点E,

图2

直线C尸把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，

又：SAPCB：S"CA=-^EBX(yc-yp)：^AEX{yc-yp)=BE:AE,

贝UBE:AB=3:5或5:3,

则AE=]■或,，

即：点E的坐标为信0）或患,0）,

设直线CP的表达式：？/=k。+3,

将点E的坐标代入直线CF的表达式：y=kx+3,

解得:k=—6或—2,

故直线CP的表达式为：g=—2力+3或y——Qx+3,

联立（"=—/+21+3/+2/+3

\y=-2x-\-3'6力+3，

解得：/=4或力=8（力=0舍去）,

故点P的坐标为（4,-5）或（8,-45）.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线夕=i+bx+c与刀轴交于点4—i,o），口⑶0）,与"轴交十点°,作

直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点重合），连结尸B,PC,以PB,PC为边

作£7CRBD,点P的横坐标为m.

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）当DCPBD有两个顶点在多轴上时，则点P的坐标为；

⑶当DCPBD是菱形时，求小的值.

（4）当口为何值时，DCPBD的面积有最大值？

【答案】⑴解：：抛物线夕=案+&/+。与a;轴交于点A（—l,0）,B（3,0）,

/.抛物线的解析式为y=（2+1）（2一3）,

即夕="-2a;—3,

（2）解：：抛物线的解析式为v=a?—2a:—3,令①=0,则y=—3,

C（0,—3）,

OCPBD有两个顶点在立轴上时，

.•.点。在a;轴上，

四边形CPBD是平行四边形，

：.CP//BD,

.•.点P和点。为抛物线上的对称点，

1/抛物线y—x2—2x—3的对称轴为x――—1,C（0,—3）,

ZX1

/.P⑵—3）,

故答案为：（2,—3）;

（3）解:设点P的坐标为（m,y）,

•••B（3,0）,C（0,—3）,

.•.BP2=（3-m）2+y2,

CP2=m2+（m+3）2,

・・・uzCP皿是菱形，

：.BP=CP,

:・BP2=CP2,

(3—771)2+靖=仅2+句+3)2,

9—2m+m2+/=m2+d+6g+9,

m+?/=0,

*.*y—m2—2m—3,

m+in—2m—3=0,

rri—m—3=0,

_一(一l)±J(_l)2_4xlx(_3)_]±VU

m~2X1——2—'

P13_1+V13_1-V13

即mi~----------,m2------------,

•.•点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点重合),

0<m<3,

._1+V13.

-'m~2'

(4)解:如图所示，过点P作PE//y轴交直线BC于点、E,

设直线的解析式为g=fcr+b(k#0),将B(3,0),0(0,—3)代入得,

(3k+b=0

U=-3'

k=l

解得,

b=—3'

・,・直线的解析式为g=c—3,

设F(m,m2—2m—3),则E(m,m—3),

PE——TTb+3m,

**•S^PBC=5X3(—??22+3m),

SUCPBD~?S"BC

=2xx3(—m2+3m)

=-3m2+9m

=-3(馆-御+斗，

当加=5时，平行四边形CPBD的面积有最大值.

5.二次函数"=ad+E+4(a¥0)的图象经过点4(—4,0)1(1,0),与9轴交于点。，点尸为第二象限内抛

物线上一点，连接BP、AC,交于点Q,过点P作。0，c轴于点D

⑴求二次函数的表达式；

（2）在对称轴上是否存在一个点河，使MB+MC的和最小,存在的话,请求出点河的坐标.不存在的话

请说明理由.

⑶连接BC,当ADPB=2ABCO时,求直线BP的表达式.

【答案】⑴解:把A（—4,0）,B（l,0）代入^/=姐2+历;+4（＜1。0）得:

J16a—46+4=0

1a+6+4=0'

解得仁,

二次函数的表达式为y=—x2—3a:+4;

（2）在对称轴上存在一个点河，使MB+的和最小，理由如下：

连接AC交对称轴于河，则皿B+的和最小，如图：

•：MA=MB,

：.MB+MC^MA+MC,

而。，河，A共线，

.•.此时上田+河。最小，

在y=—/—3cc+4中，令c=0得沙=4,

设直线AC的表达式为U=nr+s,由力（-4,0）,。（0⑷可得｛二［+'二

解得仁；

直线AC解析式为？/=劣+4,

由y=—X2—3X+4=一（，+~|"）~+—知抛物线对称轴为直线x=—

在夕=2+4中，令c=一■得V=今，

（3）设BP交y轴于K,如图：

r

PDJ_/轴，

・・・/DPB=/OKB,

・・・ZDFB=2ZBCO,

・・・AOKB=2/LBCO,

・・・ACBK=ABCO,

：.BK=CK,

设OK=m,则CK=BK=4—m,

VOB2+OK2=BK2,

:.l2+m2=(4—m)2,

解得m-

o

・•.K(0,卷)，

设直线BP的表达式为夕=p;r+q,由B(l,0),K(0,9)得到

(p+q=0

b=f

解得I。一Z7

I"8

直线BP的表达式为y=—号劣+

oo

6.如图,抛物线y=——x交x轴正半轴于点A,M■是抛物线对称轴上的一点,过点M'作x轴的平行线

交抛物线于点B,C（B在。左边），交夕轴于点。，连结OM,已知OM=5.

⑴求OD的长.

（2）P是第四象限内抛物线上的一点，连结四，AC,OC,PO.设点P的横坐标为小,四边形OCAP的

面积为S.,

①求S关于小的函数表达式.②当。时，求S的值.

【答案】解：⑴抛物线对称轴为x=—3-=3,

:.DM—3,OA—6;

________________________________日

i\•nnI

'：OM=5,

OD=y/OM2-DM'2=V52-32=4.

(2)过点P作PN_LOA于N,

①由夕=0得，0=I/--1-x

解得：x=0(舍去),x=6

：.OA=6,

S四边形OCZF=S^OAC+S^OAP

=y-OA•on+y•OA•F7V

=yX6x4+yx6[-(^m2-1-m)]

=12+3(--+

1427

=--7-m2++12

42

所以，S关于馆的表达式为：5=—,病+3馆+12

②MC=CD—DM=5=OM,

・・・/MOC=AMCO.

・・・BC//x轴,

・・.AAOC=AMCO=4Moe.

・・・2Poe=4DOC,

・・・APOC-ZAOC=/.DOC-/MOC,

・・・/POE=/DOM,

3

tanZFOA=tanZZ?OM=—

4

.%=3

••g4

・・.yP=—*rp,代入抛物线解析式得

__3_rip-1-ry*2__3_rip

4P-4P2p

解得xP=0(舍去)或力p=3,

,339

v产4P44

S四边形OCAF=S^OAC+Sy)AP

=^-OA-OD+^-OA-PN=18.75

_________/

7.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过8(—3,0),。(0,3)两点，与rc轴的另一个交点为4

⑴求抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴上找一点E,使得AE+CE的值最小,求点E的坐标；

(3)设点P为力轴上的一个动点,写出所有使ABPC为等腰三角形的点P的坐标，并把求其中一个点尸

的坐标的过程写出来.

—9—3b+c=0

【答案】(1)解:将点B(—3,0),C(0,3)代入抛物线解析式得

c=3

6=-2

解得

c=3

抛物线的解析式为y-—x2-2x+3;

(2)解：：抛物线解析式为y——X2—2x+3=—(2+1)?+4,

/.抛物线的对称轴为直线x=—1,

:点A、8关于对称轴对称，

:.BE=AE,

：.AE+CE^BE+CE,

：.当B、C、E三点共线时，BE+CE最小，即此时AE+CE最小,

/.BC与对称轴的交点即为点E,如下图，

—3m+n=0

?i=3

m=l

解得

n=3

二直线BC的解析式为V=c+3;

当x=-1时，夕=±+3=2,

E(-l,2);

⑶解：•••B(—3,0),C(0,3),

OB=OC=3,

.•.BC=V32+32=3A/2,

当B为顶点时，则PB=BC=3V5,

.•.点P的坐标为(3V2-3.0)或(一32—3,0);

当。为顶点时，则PC=BC,

.•.点P与点B关于”轴对称,

.♦.点P的坐标为(3,0);

当BC为底边时,则PC=PB,

设点P的坐标为(m,0),

(―3—m)2=m2+32,

解得m=0

.♦.点P的坐标为(0,0);

综上，点P的坐标为(0,0)或(3,0)或(372-3,0)或(一32一3,0).

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=j-x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O,新抛物线的

顶点为M(点M在第四象限),对称轴与抛物线呼#交于点N,且MN=4.

⑴求平移后抛物线的表达式；

(2)如果点N平移后的对应点是点尸，判断以点O、M、N、尸为顶点的四边形的形状,并说明理由；

(3)抛物线y=上的点A平移后的对应点是点B,BCA.MN,垂足为点C,如果△48。是等腰三角

形，求点A的坐标.

【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：夕=。/+故，

则点"■的坐标为：(一6,一//)，

当土=-b时，"=.。2=，即点N1-b,yfe2),

则施=如+产=4,

解得：b—2(舍去)或b=—2,

则平移后的抛物线表达式为：y—-^-x2—2x;

(2)解:四边形OMPN是正方形,

根据题意可得0(0,0),根(2,—2),N(2,2),P(4,0),

记MN与OP交于点G,则G(2,0),

OG=GP=2,MG=NP=2,MN=OP=4,NO=NP=2V2,

：.四边形OMFN是平行四边形，,

•：MN=OP=4,

：.四边形OMFN是矩形，

•：NO=NP=2V2,

：.四边形OMFN是正方形；m：

(3)解:设,_8(。+2,彳“2—2),C^2,—a2—2^,

可得AB=2V2,AC=V(a-2)2+22,BC=V^,

①AB=AC,2ypi=J(a—2)+2,,即a2—4a=0,

解得的=4,期=0(舍去0),

4(4,8);

②AB=BC,22=",

解得出=2V2,s=—2%/2,

4(22,4)或人(一22,4);

③AC=BC,V(a-2)2+22=，

解得a=2,

/.4(2,2);

综上，点人的坐标是(4,8)、(272,4)>(-272,4)>(2,2).

9.综合与探究

如图，抛物线y=—2与宏轴交于/,8两点，与,轴交于点C.过点A的直线与抛物线在第

一象限交于点D(5,3).

⑴求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线AO的函数表达式.

(2)点P是线段43上的一个动点,过点P作力轴的垂线,交抛物线于点E,交直线AD于点F.试探究

是否存在一点尸,使线段EF最大.若存在，请求出所的最大值；若不存在，请说明理由.

(3)若点河在抛物线上，点N是直线上一点，是否存在以点。，M，N为顶点的四边形是以为

边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点河的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】⑴解:令』=0,则ya：2—yx—2=0,

解得rr=4或c——1,

.•.A(—l,0),B(4,0),

令c=0,则9=一2,

AC(0,-2),

设直线AD的函数表达式为y—kx+b,

将月(—1,0),。(5,3)的坐标代入得，｛京;二;，

1

k--

2

b-1

-

2

(2)解：存在，理由如下：

设P(a,O),则石——2),F(Q,]Q+；),

•/P线段4B上的一个动点,

石在力轴下方,

EF—/a+■-怎/一会-2)=-^-a2+2a+-|-=-y(a-2)2+-|-

当a=2时，EF有最大值，最大值为y；

⑶解:存在，点加的坐标为(0,—2),(2+714,4+或2_，n,4_

设防小得"一"!^一2),2V(n,yn+y),

•••B(4,0),0(5,3),

①当平行四边形对角线为BN和DM■时，

4+-_5+m

2―2

0+•+*_3+如标一沏1，

{2二2

解得：[k0或{f；(当6=4时，M(4,0)与口点重合，不符合题意，舍去)

.•.点”的坐标为(0,-2);

②当平行四边形对角线为B2W和ON时，

4+?n_5+-

-2———2~

O+^-m2--1m-2_3+/+/，

{2=2

解得.8=2+Vnfm=2-V14

瞥侍•卜=1+小或b=1—TH'

.,.点M'的坐标为(2+，IZ,4+3^^)或^2—A/14,4-,

综上所述，点河的坐标为(0,-2),(2+714,4+^^)或(2-41,4-

10.如图，已知直线g=■力+3与n轴交于点。，与g轴交于点。，经过点。的抛物线"=—]/+b/+c与

(1)求该抛物线的函数解析式;

国

⑵连接DE,求tan/CDE的值；

(3)设P为抛物线上一动点，Q为直线CD上一动点,是否存在点P与点Q,使得以D、E、P、Q为顶点

的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】⑴解:对于g=*r+3,由N=0,得g=3,

AC(0,3),

・・・抛物线过点4(一6,0)、C(O,3),

-»(-6)2-6b+c=0,解得:b=—l

c=3c=3

该抛物线为g=-手力2—力+3;

(2)解：由9=一：/一2+3=_：伽+2)2+4得顶点E(-2,4),

过点E分别作2轴于F,作EG，9轴于G,连接EC,

则EF=4,DF=2,EG=2,CG=1,

.DF_\「CG

"EF—2—EG'

•：2DFE=NCGE=9G,

:./\DFE〜4CGE

,DEF=2CEG,端苛=/

・・・/CEG+/CEF=90°,ZDEF+ZCEF=90°,

・・・/DEC=90°,

・•・tanZCDE==餐;

(3)设Q{m,-|-m+3)

①若为平行四边形的一边，且点P在点Q的上方,

解得馆2=—4(舍去)

，Q(-7,号)；

②若DE为平行四边形的一边，且点P在点Q的下方,

。(-4,0),E(—2,4),Q[m,-1-m+3),

:.2,-|-m—1),

同理得Q（二15+3vW）或。（/幽吐蜉）,

8

③若DE为平行四边形的对角线

,***.*。(-4,0),E(—2,4),Q(m,-1-m+3^,

.•._?(一m—6,—代入抛物线得：一~|-m+1=-1-(—m—6)2—(―m—6)+3,

解得mi=—1,7n2=-4(舍去)

。(-1号),

综上所述，点Q的坐标为(-7,-；)Q(壬遒，土产)或Q(土产，上产)或(-i9).

11.如图,已知抛物钱经过点4—1,0）,3（3,0）,0（0,3）三点.

⑴求抛物线的解析式；

（2）点河是线段上的点（不与。重合），过M作MN〃y轴交抛物线于点N.若点V的横坐标为

m,请用含小的代数式表示MN的长；

（3）在（2）的条件下，连接NR、NC,当小为何值时,ABNC的面积最大，最大面积是多少？

【答案】⑴解：根据题意，抛物钱与工轴交于点4一1,0）,B（3,0）

设抛物线解析式为y—a（x+l）（x—3）

将C（O,3）代入可得：—3a=3,解得a——1

即9=一（2+l）（c—3）——X2+2x+3;

（2）设直线BC的解析式为夕=版+b

将B（3,0）、C（0,3）代人可得：

；==°,解得k=­l

6=3

即y=-x+3,

则M(m,—m+3),7V(m,—m2+2m+3),

MN——w?+2m+3—(—m+3)=—m2+3m;

⑶由题意可得:SARNC—+^^MNC=XMNXOB=m2+3m)=^-m2+3mz

9_

"I="一相=4"时，SARNO面积最大，

-2xf2

2

•1•最大面积为S^BNC=-yX(y)+-|-x1-=^.

12.如图，已知抛物线沙=—/+尻+。与土轴交于4，8两点，与4轴交于。点，顶点为。，其中4（1,0）,

C（0,3）.直线夕=7TKE+TI经过B,C两点.

⑴求直线和抛物线的解析式;

（2）在抛物线对称轴上找一点M,使M4+最小,直接写出点M的坐标;

⑶连接BDCD,求ABCD的面积.

【答案】解：(1)将点A(l,0),。(0,3)代入夕=—a?+bx+c,

得i—l+b+c=Q,

于1c=3,

解这个方程组，得f二：2，

[c=3.

抛物线的解析式为0=—/—2/+3.

当。=0时，0=—X2—2X+3=—(T+3)(T—1),

解得g=-3,力2=1,

・••点B的坐标为（一3,0）,

直线g=mx+九经过B,C两点，

.f—3m+n=0

**[n=3'

解得

[n=3

・・・直线石。解析式为g=6+3;

（2）•・,点4和点B关于对称轴对称,_______________________________B

・・・当点河是直线和对称轴的交点时，AM+MC取得最小值,

•.•抛物线9=一/-22：+3=-0+1)2+4,

.♦.点D的坐标为(—1,4)，对称轴为直线c=1,

符■c=1代入直线y=c+3,得：y——1+3=2,

.•.点”的坐标为(-1,2);

⑶•.•点。(-1,4),点山(一1,2),

:.DM=4—2=2,

,点B(—3,0),

/.BO=3,

S4BCD=0MB+SWO=/DWBO=/X2X3=3.

13.抛物线夕=a/+近一4(a¥0)与①轴交于点4(—2,0)和8(4,0),与沙轴交于点C,连接BC.点P是

线段下方抛物线上的一个动点(不与点重合)，过点P作夕轴的平行线交BC于交力轴于

N,设点P的横坐标为九

⑴求该抛物线的解析式;

(2)用关于t的代数式表示线段JW,求的最大值及此时点河的坐标;

⑶过点。作CH±PN于点H,Sm=^S^CHM,

①求点P的坐标；

②连接CP,在n轴上是否存在点Q,使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在,

请说明理由.

【答案】(1)解:把4(—2,0)、6(4,0)代入g=a/+6/-4得

.14a—2b—4=0即12a—b=2

••(16。+46-4=0，(4a+b=l'

・•.尸

［b=-l

抛物线的解析式为：g=-^-x2—re—4;

(2)解：令%=0得g=-4,

・・・C(0,-4)

设直线的解析式为g=fcr+b,

,ffe=-4

ffc=l

六\fe=-4,

・・.直线BC的解析式为：沙=/一4

・・・P的横坐标为心P7W7/"轴，

*,•■?,)/一1―4),,

・・・PM=1一4一(1廿一力_4)=一］力2+2力=一］。-2)2+2,

T＜。，

・・・当方=2时，PM有最大值2,此时M(2,—2);

(3)解:①・・・石(4,0)、。(0,—4),

・・.OB=OC=4,

•・・ZBOC=90°,

・・.ZOBC=ZOCB=45°,

•・・PN〃y抽

・・.ANMB=AOCB=45°,AMNB=ACOB=90°,

・・・4NBM=ANMB,

・・.BN=MN,

2

S^BMN--^-BN9

叉/CMH=/NMB=45°,/CHM=90°,,

・・・△CHM是等腰直角三角形

S^cHM~

•*S^BMN~9s!

_______0

・・・yB7V2=9XyCH2

:・BN=3CH,

•:BN+CH=OB=4,

：.CH=1

：w)；

②设Q(O,m),则CQ2—(4+m)2,CP2—1+(-4+?)--j-,PQ2=1+(nz+~1~)，

(I)当Z-CQP—90°时，/—(4+??2)2+1+(小+告)，

解得：m=-4(舍去)或m=—■,

•*-Q(。，一8；

(11)当Z.CPQ—90°时，-j-+1+—(4+?n)2,

解得：m=-^~,

Q(。，-冷)

>'A

X

✓z

0'

（III）当/PCQ=90°时,+（4+m）2=1++

解得：加=—4（舍去）

综上所述,存在点Q（0,—"¥）‘iQ（0,-y）使得△CP。为直角三角形.

14.如图,抛物线y=ax2+bx+c（a>0）交力轴于4、8两点（点人在点8左侧），交"轴于点C.

备用图图

图12:

___________________________________由

(1)若4—1,0),以3,0),。(0,—3),

①求抛物线的解析式；

②若点F为力轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CP。是以CQ为斜边的等腰直角三角形,求出点P的

坐标；

⑵若直线y=bx+t(t>c)与抛物线交于点M、N(点"在对称轴左侧),直线AM交y轴于点石，直线

AN交g轴于点。.试说明点。是线段。石的中点.

【答案】解:(1)①把Z(T，O)，夙3,0),C(0,-3)分别代入g=+0+c,得

(a—b+c=0

<9a+3b+c=0,

[c=-3

(a=l

解得<b=-2,

[c=-3

抛物线的解析式为g=2/-3.

②设P(力，0),过。作QH_L/轴于则ZPHQ=90°,

•：△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，

:.PC=PQ,/CPQ=90°,

・・.AOPC+AHPQ=90°,AHQP+AHPQ=90°,

・・.ZOPC=AHQP,

在△POC和中

(AOPC=AHQP

IACOP=ZPHQ9

[CP=QP

：.4Poe型△QHP(44S),

:.QH—OP—m,PH=OC—3.

当点H在点P的右侧时，OH=M+3,

把Q(m+3,—m)代入g=a?—2/—3,得

—m—(771+3)2—2(772+3)—3,

解得？7i=0或一5,

此时，P(O,O)或P(—5,0),

当点H在点、P的左侧时，H(m-3,0),

Q(m—3,m)，代入g=i—2%—3,得

m=(771—3)2—2(m—3)—3,

整理，得馆2-9馆+12=0,

解得团=9±产,

此时P(9+产,o)或「-产

综上，点P的坐标为P(O,0)或P(-5,0)或网9+产,o)或(9—产

(2)设直线AM为g=fcz;+,直线AN为y=kxx+mi,

眸二(y=bx+t

工［y=ax2+bx-i-c'

得ax2+c—1=0,

xM+xN=0.

眸二(y=kx+m

*\y—a3?-\-bx-Vc'

得a/+(匕―k)力+°—7n=0,

c—m

a

同理，得xx=-——

ANa

XAXM+xAxN=xA(xM+6N)=0,

c—m.c—mi

--------+----------=0,

aa

:・c=_c.

D(0,mJ,E(0fm),C(0,c),

/.CD=77Tl—c,CE=c—m,

：.CE=CD,

.,•点。为线段。石的中点.

15.如图，二次函数g=—/+c的图象交力轴于点人、点8,其中点B的坐标为（2,0）,点。的坐标为（0,2）,过

点A、。的直线交二次函数的图象于点。.

_____________团

(1)求二次函数和直线/。的函数表达式；

(2)连接DB,则ADAB的面积为；

(3)在"轴上确定点Q,使得ZAQB=135°,点Q的坐标为；

(4)点朋•是抛物线上一点，点N为平面上一点,是否存在这样的点N,使得以点4、点。、点M、点N为顶

点的四边形是以AD为边的矩形？若存在,请你直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】解：(1)V二次函数y=—a?+c的图象过点B(2,0),

0=—2?+c,解得c=4

二次函数解析式为y——X2+4

・・・4点坐标为(一2,0)

设直线的解析式为y—kx-\-b

••卷”,解得］k—1

b=2

・・・直线4。的解析式为夕=力+2

⑵・・,直线4。："=7+2与二次函数交于点4。

忆力解得X=1

・•・联立

9=3

・・・。点坐标为：(1,3)

AB=4

•e•S^AB~/力石x\yD\—~~x3x4=6

(3)・・・C(0,2),A点坐标为(-2,0)

・・.ZCAB=45°

当Q在正半轴时，

Z-AQB=135°,QA=QB

/.AQAO=22.5°=yZCAO

.•.AQ平分/C4O

过Q作PQ,力。于P

设OQ=c,则OQ=PQ=c,CQ=V^PQ=V^r

OC—OQ+CQ=V