2025年中考数学分类专项复习之概率

2025年中考数学考点分类专题归纳

概率

知识点一'必然事件'不可能事件和随机事件

1.定义：

(D必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件.

(2)不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件.

(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

备注：

(1)必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；

(2)要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可

能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发

生的可能性的大小有可能不同.

知识点二'概率的意义

概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A

发生的频率?会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率(probability),记为

n

尸(A)=〃.

备注：

(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

(3)事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，，即0W产(工)W1,其中P(必然事件)=1,

P(不可能事件)=0,0<P(随机事件)<1.

知识点三、古典概型

满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

(1)一次试验中，可能出现的结果是有限的；

(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概

率.

1

备注：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m

种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-.

n

知识点四、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1、列表法：

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

备注：

(1)列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

2、树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采

用树形图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能

的次数和方式，并求出概率的方法.

备注：

(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

知识点五、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计

概率.

备注：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将

较为精确.

10

1.(2024株洲|)从-5,-至，-A-1,0,2,n这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率

为()

2

2345

A.7B.7C.7D.7

2.（2024襄阳）下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A.任意画一个四边形，其内角和为180。

B.经过任意两点画一条直线

C.任意画一个菱形，是中心对称图形

D.过平面内任意三点画一个圆

1

3.（2024衡阳）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为2,下列说法错误的是（）

A.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

B.连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

C.大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次

D.通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

4.（2024铁岭）有8张看上去无差别的卡片，正面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8.把卡片背面朝上洗

匀后，从中任意抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率是（）

1311

A.8B.8C.2D.4

5.（2024本溪）下列事件属于必然事件的是（）

A.经过有交通信号的路口，遇到红灯

B.任意买一张电影票，座位号是双号

C.向空中抛一枚硬币，不向地面掉落

D.三角形中，任意两边之和大于第三边

6.（2024青海）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是

108°,当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）

1113

A.5B.3C.2D.10

7.（2024德阳）下列说法正确的是（）

A.“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨

B.了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式

C.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

D.一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大

8.（2024镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后

3

他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2,4,6,2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标

注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的

5

概率是％,则n的取值为（）

A.36B.30C.24D.18

9.（2024荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练.已知纸片上AELBC于E,CFLAD于

_4

F,sinD-5.若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（）

D

B

1234

A.5B.5C.5D.5

10.（2024阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在

阴影部分的概率是（）

A.5B.6c.7D.8

11.（2024大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,随机摸出一个

小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是

()

1415

A.3B,90.2D.9

12.（2024铜仁市）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的

概率是（）

1112

A.6B,3C.2D.3

4

13.（2024苏州）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次（假

设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）

14.（2024呼和浩特）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如

下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球

B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数

C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面

D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9

15.（2024怀化）下列说法正确的是（）

A.调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式

B.数据2,0,-2,1,3的中位数是-2

C.可能性是99%的事件在一次实验中一定会发生

D.从2000名学生中随机抽取100名学生进行调查，样本容量为2000名学生

16.（2024齐齐哈尔）下列成语中，表示不可能事件的是（）

A.缘木求鱼B.杀鸡取卵

C.探囊取物D.日月经天，江河行地

17.（2024玉林）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一

结果的试验可能是（）

5

频率

0才.41--一…/.仁........

。o匕--1三0020二030L0^^

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

18.（2024海南）在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从

1

袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为那么n的值是（）

A.6B.70.8D.9

19.（2024绥化）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击

中黑色区域的概率是.

20.（2024常州）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于

圆心3中心对称.在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是___.

21.（2024成都）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图

所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3.现随机向该图形内掷一枚

小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

6

22.(2024东丽区一模)小明掷一枚均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6点，得到的

点数为奇数的概率是.

23.(2024毕节市)2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统

编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼

梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名

学生(每名学生必选且只能选这四大名著中的一部)并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图:

(2)请将条形统计图补充完整;

(3)某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求

恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.

24.(2024甘孜州)某区域为响应“绿水青山就是金山银山”的号召，加强了绿化建设.为了解该区域群众

对绿化建设的满意程度，某中学数学兴趣小组在该区域的甲、乙两个片区进行了调查，得到如下不完整

统计图.

(1)此次调查中接受调查的人数为—人，其中“非常满意”的人数为—人;

(2)兴趣小组准备从“不满意”的4位群众中随机选择2位进行回访，已知这4位群众中有2位来自甲

7

片区，另2位来自乙片区，请用画树状图或列表的方法求出选择的群众来自甲片区的概率.

25.(2024永州)永州植物园“清风园”共设11个主题展区.为推进校园文化建设，某校九年级(1)班组

织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查.要求学生从“和文化”、“孝

文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的

条形统计图和扇形统计图.结合图中信息，回答下列问题.

12A-和文化

10

8B-孝文化

6

4C-德文化

2

0D-理学文化

E-瑶文化

(1)参观的学生总人数为人;

(2)在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为；

(3)补全条形统计图；

(4)从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概

率为,

26.(2024苏州)如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标

有数字1,2,3.

(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为;

(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次,

当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树

状图或列表等方法求解).

27.(2024烟台)随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小

组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成

如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为;

8

(2)将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是“—"；

(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行

支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.

28.(2024遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本

次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向

其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所

购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠.在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指

向分界线，则重新转动转盘)

(1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为；

(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率.

29.(2024湘潭)为进一步深化基础教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开

发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.

(1)学生小红计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；

(2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

30.(2024盐城)端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子(除粽馅不同外，其它均相同)，其中有

两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.

(1)用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；

(2)请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.

9

31.（2024临安区）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球

1

有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为2.

（1）试求袋中蓝球的个数；

（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是

白球的概率.

32.（2024无锡）某校4月份八年级的生物实验考查，有A、B、C、D四个考查实验，规定每位学生只参加

其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验.小明、小丽都参加了本次考查.

（1）小丽参加实验A考查的概率是_；

（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率.

33.（2024广元）为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮球、足球、

排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报名情况制成如下统计表：

项目篮球足球排球乒乓球羽毛球

报名人数1284a10

占总人数的百24%b

分比

（1）该班学生的总人数为—人;

（2）由表中的数据可知：a=,b=；

（3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为A、B）两女（分别记为C、D）,现要随机在这4人中

选2人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率.

34.（2024鄂尔多斯）“金山银山，不如绿水青山”.鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种

植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计

图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%,

根据图表中的信息解答下列问题：

10

(1)扇形统计图中松树所对的圆心角为度，并补全条形统计图.

(2)该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？

(3)园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类

树苗的概率.(松树、杨树、榆树、柳树分别用A,B,0,D表示)

35.(2024本溪)某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，D.唱

歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查

结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有人；

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？

(4)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随

机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.

36.(2024百色)密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0,1,2,-9.小黄同学是9月份中旬出生,

用生日“月份+日期”设置密码：9XX

小张同学要破解其密码：

(1)第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是.

(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；

II

(3)小张同学是6月份出生，根据(1)(2)的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数.

37.(2024巴彦淖尔)小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一

只兔子和一个有A,B,C,D,E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均

等的.规定：①玩家只能将小兔从A,B两个出入口放入：②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入

口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元.

(1)请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；

(2)小美得到小兔玩具的机会有多大？

(3)假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元.

38.(2024青海)某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查.随

机调查了某班所有同学最喜欢的节目(每名学生必选且只能选择四类节目中的一类)并将调查结果绘成

如下不完整的统计图.根据两图提供的信息，回答下列问题：

(1)最喜欢娱乐类节目的有—人，图中x=—；

(2)请补全条形统计图；

(3)根据抽样调查结果，若该校有1800名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；

(4)在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁4名同

学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率.

39.(2024兰州)在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，

李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数

字为y,这样确定了点M的坐标(x,y)

(1)