2025年中考数学大题与几何压轴题：四边形压轴（讲练）（原卷版）

专题11四边形压轴

目录

考情分析

考点四边形压轴

【真题研析•规律探寻】

题型01与四边形有关的多结论问题（选/填）

题型02与四边形有关的平移问题

题型03与四边形有关的翻折问题

题型04与四边形有关的旋转问题

题型05与四边形有关的最值问题

题型06与四边形有关的动点问题

题型07与四边形有关的新定义问题

题型08与四边形有关的阅读理解问题

题型09与四边形有关的存在性问题

题型10四边形与圆综合

题型11四边形与函数综合

【核心提炼•查漏补缺】

【好题必刷•强化落实】

考点要求命题预测

在中考中，涉及四边形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以

四边形压轴选择、填空题型出现，但是四边形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大,

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.

考点四边形压轴

真题研析-规律探寻

题型01与四边形有关的多结论问题（选/填）

1.（2023•黑龙江•中考真题）如图，在正方形4BCD中，点E,F分别是力上的动点，且AF1DE,垂足为

G,将△ABF沿AF翻折，得到交DE于点尸，对角线8。交4F于点“，,下列

结论正确的是：®XF=DE；②BMIIDE；③若CM1FM,则四边形是菱形；④当点E运动到4B的

中点，tanzSWF=2V2：@EP-DH=2AG-BH.（）

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

2.（2022•湖北黄冈•中考真题）如图，在矩形/BCD中，AB<BC,连接/C,分别以点，，C为圆心，大

于14c的长为半径画弧，两弧交于点N,直线分别交4D,BC于点、E,

F.下列结论：

①四边形/EC尸是菱形；

②UFB=2UCB；

③AC,EF=CF,CD；

④若/斤平分N5/C,贝l|CF=22尸.

其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2021•四川南充•中考真题）如图，在矩形/BCD中，715=15,BC=20,把边沿对角线5D平移,

点4,9分别对应点/,B.给出下列结论：①顺次连接点A,B',C,。的图形是平行四边形；②点C到

它关于直线A4'的对称点的距离为48；③AC—8'C的最大值为15；④AC+B'C的最小值为9g.其中正

确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.2023•山东日照•中考真题）如图,矩形力BCD中，AB=6,2D=8,点P在对角线BO上，过点尸作MN1BD,

交边4。，BC于点、M,N,过点M作ME12。交8。于点E,连接EN,BM,DN.下列结论：①EM=EN；②

四边形MBND的面积不变；③当2M:MD=1:2时，SAMPE=1|；④+MN+N。的最小值是20.其中所

有正确结论的序号是.

题型02与四边形有关的平移问题

1.（2023•吉林・中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合

的部分构成一个四边形EFMN.转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是

【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条力BCD和EFGH（ABVBC,FGWBC）,其中=

4B=4FEH,将它们按图②放置，E尸落在边BC上，FG,EH与边4。分别交于点跖N.求证：口EFMN是

菱形.

【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条48C。不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或C2平移，且EF始

终在边BC上.当MD=MG时，延长CD,HG交于点尸，得至U图③.若四边形ECPH的周长为40,sinzFFG=

2.（2023・天津・中考真题）在平面直角坐标系中，。为原点，菱形4BCD的顶点2（倔0）,B（0,l）,D（2g,l）,

（1）填空：如图①，点C的坐标为，点G的坐标为；

（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EPG7?,点E,F,G,H的对应点分别为E'F',G',

H'.设矩形EFG7?与菱形4BCD重叠部分的面积为S.

①如图②，当边EF与相交于点河、边G7T与BC相交于点N,且矩形EFG7T与菱形4BCD重叠部分为五

边形时，试用含有，的式子表示S,并直接写出/的取值范围：

②当竽WtW竽时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

3.（2021•山东淄博•中考真题）己知：在正方形4BCD的边BC上任取一点尸，连接4F,一条与4F垂直的直

线I（垂足为点P）沿力F方向，从点4开始向下平移，交边4B于点E.

（1）当直线I经过正方形4BCD的顶点。时，如图1所示.求证：AE=BF；

（2）当直线I经过4F的中点时，与对角线BD交于点Q,连接FQ,如图2所示.求N4FQ的度数;

（3）直线/继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G,如图3所示.设

AB-2,BF=x,DG=y,求y与x之间的关系式.

题型03与四边形有关的翻折问题

1.(2023•江苏镇江•中考真题)如图，将矩形2BCD(4D>4B)沿对角线BD翻折，C的对应点为点。，以矩

形48CD的顶点4为圆心、r为半径画圆，04与相切于点E,延长D4交。4于点尸，连接EF交4B于点

G.

⑴求证：BE=BG.

(2)当r=l,4B=2时，求BC的长.

2.(2023・江苏无锡•中考真题)如图，四边形力BCD是边长为4的菱形，乙4=60。，点Q为CD的中点，P为线

段2B上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PBCQ.

(1)当NQPB=45。时，求四边形BBC/的面积;

(2)当点P在线段48上移动时，设BP=x,四边形的面积为S,求S关于x的函数表达式.

3.(2023•山东烟台・中考真题)【问题背景】

如图1,数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形4BCD进行如下操作：①分别以点

为圆心，以大于扭。的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直线EF交BC于点0,连接力。；②将△力B。

沿2。翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q.

【问题提出】

在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接0Q,如图2.经过推理、计算可求出线段CQ的长；

方案二：将△ABO绕点。旋转180。至△RC。处，如图3.经过推理、计算可求出线段CQ的长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

4.（2023・四川达州•中考真题）⑴如图①，在矩形4BCD的4B边上取一点E,将△2DE沿DE翻折，使点

AP

2落在BC上4处，若4B=6,BC=10,求忘的值；

图①图②图③

（2）如图②，在矩形48CD的BC边上取一点E,将四边形力BED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上夕处,

若BC•£1£•=24,4B=6,求BE的值；

（3）如图③，在△48C中，A.BAC=45°,XD1BC,垂足为点D/D=10/E=6,过点E作EF14D交4c于

点F,连接DF,且满足NDFE=2NZMC,直接写出BD+21的值.

题型04与四边形有关的旋转问题

1.（2023•辽宁阜新•中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为a,

点厂在直线DE上，且4D=AF,连接BF.

图1图2

⑴如图1,当0。＜戊＜90。时，

①求NB4F的大小（用含a的式子表示）.

②求证：EF=yfzBF.

（2）如图2,取线段EF的中点G,连接4G,已知2B=2,请直接写出在线段CE旋转过程中（0。＜。＜360。）

△4DG面积的最大值.

2.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三角尺

放在正方形4BCD中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,

CN始终与正方形的边4。，4B所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△0"村.

【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90。得到△CBH,同时得到点“在直线力B上.求证：

/.CNM=4CNH；

【探究二】在图②中，连接8。，分别交CM,CN于点E,F.求证：ACEFMCNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连接AC

交BD于点0,求怒的值.

3.（2023・浙江绍兴•中考真题）在平行四边形4BCD中（顶点48,C,D按逆时针方向排列），

4

AB=1240=10/B为锐角，且sinB=

图1

（1）如图1,求4B边上的高CH的长.

（2）P是边上的一动点，点&D同时绕点P按逆时针方向旋转90。得点67,0.

①如图2,当点。落在射线C力上时，求BP的长.

②当△40。是直角三角形时，求BP的长.

4.（2022•辽宁阜新•中考真题）己知，四边形4BCD是正方形，△DEF绕点、D旋转（DE＜AB）,

Z.EDF=90°,DE=DF,连接力E,CF.

(1)如图1,求证：^\ADE=ACDF；

(2)直线力E与CF相交于点G.

①如图2,8"146于点“，BN1CF于点N,求证：四边形BMGN是正方形；

②如图3,连接BG,若AB=4,DE=2,直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值.

题型05与四边形有关的最值问题

1.(2023・山东济南・中考真题)在矩形4BCD中，AB=2,4D=2g，点E在边BC上，将射线力E绕点力逆时

针旋转90。，交CD延长线于点G,以线段力E,4G为邻边作矩形4EFG.

(1)如图1,连接BD,求NBDC的度数和靛的值；

(2)如图2,当点尸在射线BD上时，求线段BE的长；

(3)如图3,当EA=EC时，在平面内有一动点P,满足PE=EF,连接P4PC,求PA+PC的最小值.

2.(2023•江苏徐州•中考真题)【阅读理解】如图1,在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得

222

AC=a+b,同理B£)2=a2+b2,^AC2+BD2=2(^a2+b2y

【探究发现】如图2,四边形4BCD为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立？请加以判

断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知B。为△48C的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：BO2=^--^.

【尝试应用】如图4,在矩形4BCD中，若4B=8,BC=12,点尸在边4D上，则PB2+PC2的最小值为

3.(2023•重庆・中考真题)如图，在等边△4BC中，4。，8。于点。，E为线段4。上一动点(不与4。重

合)，连接BE,CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到线段CF,连接4F.

图2图3

(1)如图1,求证：^CBE=^CAF；

(2)如图2,连接8F交4C于点G,连接。G,EF,EF与DG所在直线交于点H,求证：EH=FH；

(3)如图3,连接BF交相于点G,连接DG,EG,将△力EG沿4G所在直线翻折至△ABC所在平面内，得至lj△APG,

将△OEG沿DG所在直线翻折至△力BC所在平面内，得到△OQG,连接PQ,QF.若4B=4,直接写出PQ+QF

的最小值.

4.(2023•山东淄博・中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成"”形图案，如图①.

试判断：ZsACF的形状为.

(2)深入探究

小红在保持矩形48CD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若48=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在4。的延长线上时，设CG与DF相交于点M,如图②.求△CMF的面积.

探究二：连接4E,取4E的中点H,连接如图③.

求线段D”长度的最大值和最小值.

GG

5.(2022•江苏镇江・中考真题)已知，点E、F、G、”分别在正方形力BCD的边AB、BC、CD、AD上.

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；

(2)如图2,已知4E=au，CF=CG,当4E、CF的大小有关系时，四边形EFGH是矩形；

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点。，OE:OF=4:5,已知正方形ABCD的边长为16,长为20,当

△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFG”是怎样的四边形？证明你的结论.

题型06与四边形有关的动点问题

1.(2023・海南・中考真题)如图1,在菱形力BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AB=6,乙48c=60。,

点P为线段B。上的动点(不与点B,。重合)，连接CP并延长交边4B于点G,交04的延长线于点H.

⑴当点G恰好为48的中点时，求证：△2GH三△BGC；

(2)求线段BD的长；

HP

(3)当△2PH为直角三角形时，求正的值；

(4)如图2,作线段CG的垂直平分线，交BD于点N,交CG于点连接NG,在点P的运动过程中，NCGN的度

数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.

2.(2023•广东广州•中考真题)如图，在正方形2BC0中，£是边力D上一动点(不与点力,。重合).边BC

关于BE对称的线段为BF,连接4F.

(1)若N4BE=15。，求证：aaBF是等边三角形；

(2)延长凡4,交射线BE于点G；

①aBGF能否为等腰三角形？如果能，求此时N4BE的度数；如果不能，请说明理由；

②若48=g+逐，求486户面积的最大值，并求此时2E的长.

3.(2023•吉林・中考真题)如图，在正方形力BCD中，4B=4cm,点。是对角线AC的中点，动点P,Q分别

从点4B同时出发，点P以lcm/s的速度沿边4B向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC—CD向终

点。匀速运动.连接P。并延长交边CD于点M,连接Q。并延长交折线ZM—4B于点N,连接PQ,QM,MN,NP,

得到四边形PQMN.设点P的运动时间为x(s)(0<x<4),四边形PQMN的面积为y(cm?)

(1)BP的长为cm,CM的长为cm.(用含x的代数式表示)

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出久的值.

4.(2022・四川资阳•中考真题)如图，平行四边形4BCD中，4B=5,BC=10,BC边上的高4M=4,点、E为BC

边上的动点(不与3、C重合，过点E作直线4B的垂线，垂足为尸，连接DE、DF.

(1)求证：AABM-AEBF；

(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；

(3)设BE=乂的面积为乃求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多

少？

题型07与四边形有关的新定义问题

1.（2023•江苏・中考真题）综合与实践

定义：将宽与长的比值为亚尹（n为正整数）的矩形称为几阶奇妙矩形.

（1）概念理解：

当n=l时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1）,这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（4。）与长（CD）

的比值是.

（2）操作验证：

用正方形纸片4BCD进行如下操作（如图（2））：

第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EE连接CE；

第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点“，展开，折痕为CG；

第三步：过点G折叠纸片，使得点2、B分别落在边力。、BC上，展开，折痕为GK.

试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形.

AB

DC

图⑴图（3）图（4）

（3）方法迁移：

用正方形纸片4BCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注.

（4）探究发现：

小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图（4）,点E为正方形4BCD边4B上

（不与端点重合）任意一点，连接CE,继续Q）中操作的第二步、第三步，四边形4GHE的周长与矩形GDCK

的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.

2.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形加•的内部，或在图形M

上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

4

3

D

-4-3-2T1O1234x

灯一

-2-C

—3-

-4-

图①

(1)如图①，矩形ABC。的顶点坐标分别是4(一1,2),C(3,—1),。(3,2),在点M2(2,2),

“3(3,3)中，是矩形4BCD“梦之点”的是；

(2)点G(2,2)是反比例函数月=§图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”〃的坐标是

，直线GH的解析式是y2=.当月＞、2时，x的取值范围是.

⑶如图②，已知点8是抛物线丫=—#+%+?上的“梦之点，，，点。是抛物线的顶点，连接AC,AB,

BC,判断△ABC的形状，并说明理由.

3.(2020•湖南益阳•中考真题)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直

角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,正方形2BCD中，E是CD上的点，将/BCE绕B点旋转，使BC与B4重合，此时点E的对应点F在

ZM的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形2BCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=1,点B到直线4D的距

离为BE.

①求BE的长.

②若M、N分另I」是4B、4。边上的动点，求4MNC周长的最小值.

1

题型08与四边形有关的阅读理解问题

1.(2023•山西・中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形4BCD中，点E,F,G,H分别是边4B,BC,C。，。力的中点，顺次连接E,F,G,H,得到

的四边形EFGH是平行四边形.

图1

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(yaringnon,Pierrel654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接2C,分别交于点P,Q,过点。作DM1AC于点M,交HG于点N.

分别为力的中点，.田G|MG"G=/C.(依据1)

图2

端=羽「DG=GC,：.DN=NM吾DM.

•.•四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，GF,^HP||GQ.

■：HG||AC,即HGIIPQ,

•••四边形"PQG是平行四边形.(依据2)：.SaHPQG=HG-MN=^HG-DM.

'''^AADC=2^'=HG-DM,*s口HPQG=^ADC一同理，…

(1)填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形2BCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFG”，使得四边形EFGH为

矩形；(要求同时画出四边形4BCD的对角线)

(3)在图1中，分别连接4&BD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长与对角线AC,BD长度的关

系，并证明你的结论.

图3

2.(2022•贵州黔东南•中考真题)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:

如图，△48。和43。石都是等边三角形，点4在。5上.

求证：以4E、AD,4C为边的三角形是钝角三角形.

(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC,根据己知条件，可以证明DC=HE,AADC=120°,从而得

出△4DC为钝角三角形，故以4E、AD,4C为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

⑵【拓展迁移】如图，四边形48C。和四边形BGFE都是正方形，点4在EG上.

①试猜想：以AE、AG,AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若4。+4G2=10,试求出正方形4BCD的面积.

3.(2020•湖南湘潭•中考真题)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.

U)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△48C的重心为点0,求aOBC与△ABC的面积.

⑵性质探究：如图(二)，已知△丽的重心为点。，请判断篙瓷是否都为定值？如果是，分别求

出这两个定值：如果不是，请说明理由.

(3)性质应用：如图(三)，在正方形48CD中，点E是CD的中点，连接8E交对角线4C于点M.

①若正方形2BCD的边长为4,求EM的长度；

②若S^CME=1，求正方形4BCD的面积.

题型09与四边形有关的存在性问题

1.(2023•黑龙江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形力。CB的边。C在x轴上，乙4OC=60。，OC

的长是一元二次方程4支一12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D,直线4D分别交x轴

和y轴于点厂和点E,动点M从点。以每秒1个单位长度的速度沿。。向终点。运动，动点N从点厂以每

秒2个单位长度的速度沿FE向终点£运动.两点同时出发，设运动时间为/秒.

(1)求直线4。的解析式.

(2)连接MN,求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式.

(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点0.使得以/,C,N,0为项点的四边形是矩形.若

存在，直接写出点。的坐标，若不存在，说明理由.

2.(2022・四川资阳・中考真题)已知二次函数图象的顶点坐标为4(1,4),且与x轴交于点B(—1,0).

⑴求二次函数的表达式；

(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,O)旋转180。，此时点/、2的对应点分别为点C、

D.

①连结4B、BC、CD、DA,当四边形2BCD为矩形时，求加的值；

②在①的条件下，若点〃是直线X=M上一点，原二次函数图象上是否存在一点0,使得以点2、C、M、

。为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2022・贵州安顺•中考真题)如图1,在矩形48CD中，48=10,AD=8,E是4。边上的一点，连接CE,

将矩形48CD沿CE折叠，顶点。恰好落在4B边上的点尸处，延长CE交BA的延长线于点G.

(1)求线段4E的长；

(2)求证四边形。GFC为菱形；

(3)如图2,M,N分别是线段CG,DG上的动点(与端点不重合)，且NDMN=NDCM,设DN=久，是否存

在这样的点N,使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.

4.(2022•内蒙古赤峰•中考真题)同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中

我们研究过的两个图形.受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

于点E,OCi交BC于点F,贝ME与BF的数量关系为；

(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线小、几经过正方形2BCD的对称中心。，直线机分别

与4D、BC交于点E、F,直线n分别与48、CD交于点G、H,且mln,若正方形4BCD边长为8,求四边形

0E4G的面积；

图③

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形4BCD的边CD上，顶点E

在BC的延长线上，且BC=6,CE=2.在直线BE上是否存在点P,使aAPF为直角三角形？若存在，求出BP

的长度；若不存在，说明理由.

题型10四边形与圆综合

1.(2023・广东•中考真题)综合探究

如图1,在矩形4BCD中Q4B>4D),对角线AC,BO相交于点0,点4关于BD的对称点为4,连接44,交BD

于点E,连接C4.

图1图2图3

(1)求证：AAr1CAr；

(2)以点。为圆心，0E为半径作圆.

①如图2,00与CD相切，求证：44'=旧CA；

②如图3,。。与C4相切，AD=1,求。。的面积.

2.(2023•上海•中考真题)如图(1)所示，已知在△48C中，AB^AC,。在边48上，点尸为边。8中点,

为以。为圆心，B。为半径的圆分别交CB,47于点D,E,联结EF交。。于点G.

图⑴图(2)

(1)如果OG=OG,求证：四边形CEGD为平行四边形；

(2)如图(2)所示，联结。M如果444。=90。/。/七二乙。。及4。=4,求边08的长；

(3)联结BG,如果AOBG是以。B为腰的等腰三角形，且力。=。?，求器的值.

3.(2022•浙江舟山・中考真题)如图1.在正方形4BCD中，点尸，〃分别在边4D,上，连结力C,FH交

于点£,已知CF=C”.

(1)线段AC与垂直吗？请说明理由.

(2)如图2,过点Z,H,尸的圆交”于点尸，连结PH交4c于点K.求证：詈=等.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点K是线段AC的中点时，求黑的值.

题型11四边形与函数综合

1.(2023•江苏泰州•中考真题)在平面直角坐标系久。y中，点4(m,0),B(m—a,0)(a>m>0)的位置和

函数yi=?(x>0)、V2=*Q<0)的图像如图所示.以48为边在X轴上方作正方形ABCD,力。边与函数月

的图像相交于点£,边与函数月、的图像分别相交于点G、H,一次函数g的图像经过点£、G,与y

轴相交于点P,连接PH.

（l）m=2,a=4,求函数为的表达式及△PGH的面积；

（2）当a、加在满足a＞机＞0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；

（3）试判断直线PH与BC边的交点是否在函数及的图像上？并说明理由.

2.（2023•江苏连云港•中考真题）【问题情境建构函数】

（1）如图1,在矩形4BCD中，4B=4,M是CD的中点，AE1BM,垂足为E.设BC=x/E=y,试用含x的

代数式表示y.

【由数想形新知初探】

（2）在上述表达式中，y与英成函数关系，其图像如图2所示.若支取任意实数，此时的函数图像是否具有

对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像.

【数形结合深度探究】

（3）在依取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随尤的增大而增大；@

函数值y的取值范围是一4五＜y＜4鱼；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点

4、B、C、D,使得四边形力BCD是平行四边形.其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【抽象回归拓展总结】

（4）若将（1）中的“4B=4”改成"4B=2k"，此时y关于x的函数表达式是；一般地，当k片。,x

取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3

条即可).

3.(2022•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y="+mx+ri的图象交点为/(-1,0),B(4,5).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为」

(3)点。为抛物线位于线段4?下方图象上一动点，过点。作DElx轴，交线段于点E,求线段长度

的最大值；

(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点尸为直线48上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点

C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

核心提炼•查漏补缺

1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质

四边形边角对角线对称性

平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称

矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称、中心对称

菱形对边平行且四条对角相等两条对角线互相垂直平分，且每轴对称、中心对称

边都相等一条对角线平分一组对角

正方形对边平行且四条四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，且每轴对称、中心对称

边都相等一条对角线平分一组对角

3平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

四边形边角对角线

平行四边形1）两组对边分别平行两组对角分别相等两组对角线互相平分

2）两组对边分别相等

3）一组对边平行且相等

矩形1）平行四边形+一直角平行四边形+两条对角线相等

2）四边形+三直角

菱形1）平行四边形+一组邻边相等平行四边形+两条对角线互相垂

2）四边形+四条边都相等直

正方形矩形+一组邻边相等菱形+一直角两条对角线互相垂直平分且相等

的四边形

一、单选题

1.（2023・广西•中考真题）如图，过y=§（久＞0）的图象上点分别作x轴，y轴的平行线交y=—：的图

象于8,。两点，以4B,4。为邻边的矩形A8CD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S0S2,S3,

S4,若S2+S3+S4=|,贝冰的值为（）

x

A.4B.3C.2D.1

2.（2023•山东泰安・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZkAOB的一条直角边。B在x轴上，点/的

坐标为（—6,4）；Rt^COD中，ZCOZ）=90°,0D=4V3,ND=30。，连接BC,点M是BC中点，连接

AM.将RtaC。。以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段4M的最小值是（）

A.3B.6V2-4C.2V13-2D.2

3.（2023・四川遂宁•中考真题）如图，在△ABC中，4B=10,BC=6,4c=8,点P为线段4B上的动点,

以每秒1个单位长度的速度从点/向点3移动，到达点3时停止.过点尸作PM1AC于点V、作PN1BC

于点N,连接MN,线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E

的坐标为（）

A.（5,5）B.（6,当C.（第,管）D.仔,5）

二、填空题

4.Q023•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在正方形4BCD中，K在边CD上，BE交对角线4C于点RCM1.BE

于跖NCME的平分线所在直线分别交CD,AC于点N,P,连接FN.下列结论：®SANPF-.SANPC=FM-.MC；

②CM=PN；@ENCD=EC-CF-④若EM=1,MB=4,贝!|PM=VL其中正确的是.

5.（2023•浙江台州•中考真题）如图，点C,。在线段4B上（点C在点4。之间），分别以4。，8c为边向

同侧作等边三角形4DE与等边三角形CBF,边长分别为a,b.CF与DE交于点〃，延长4E,BF交于点G,AG

长为c.

（1）若四边形EHFG的周长与的周长相等，则a,b,c之间的等量关系为.

（2）若四边形EHFG的面积与△0£）//的面积相等，则a,b,c之间的等量关系为.

三、解答题

6.（2023•广东深圳・中考真题）（1）如图，在矩形力BCD中，E为4。边上一点，连接BE,

①若BE=BC,过C作CF1BE交BE于点F,求证：AABEmAFCB；

②若S矩形ABCD=20时，则BE•CF=.

…-1

（2）如图，在菱形ZBCD中，cos?l=-,过C作交AB的延长线于点E,过E作EF1AO交40于点F,

若S菱形/BCO=24时,求E77-BC的值，

（3）如图，在平行四边形4BCD中，乙4=60。，AB=6,力D=5,点E在CD上，且CE=2,点尸为8c上一点,

连接EF,过E作EG1EF交平行四边形力BCD的边于点G,若EF•EG=7遮时，请直接写出4G的长.

备用图

7.（2023・湖南•中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在

正方形48CD的边BC上任意取一点G,以8G为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点8顺时针旋

图①图②图③

特例感知：

（1）当BG在BC上时，连接DF,4C相交于点P,小红发现点P恰为。尸的中点，如图①.针对小红发现的

结论，请给出证明；

（2）小红继续连接EG,并延长与DF相交，发现交点恰好也是。尸中点尸，如图②，根据小红发现的结论，

请判断aaPE的形状，并说明理由；

规律探究：

（3）如图③，将正方形BEFG绕点3顺时针旋转a,连接DF,点尸是DF中点，连接4P,EP,AE,4APE

的形状是否发生改变？请说明理由.

8.（2023・吉林长春•中考真题）如图①.在矩形力BCD.AB=3,AD=5,点E在边BC上，且BE=2.动

点P从点E出发，沿折线EB—B4—力。以每秒1个单位长度的速度运动，作"EQ=90。，EQ交边4。或边DC

于点Q,连续PQ.当点Q与点C重合时，点P停止运动.设点P的运动时间为t秒.（t>0）

AQDAPD

图①图②

（1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为；

（2）当点Q和点。重合时，求tan/PQE；

（3）当点P在边4。上运动时，的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由；

（4）作点E关于直线PQ的对称点尸，连接PF、QF,当四边