2025年中考数学分类专项复习之二次函数

2025年中考数学考点分类专题归纳

二次函数

知识点一、二次函数的定义

一般地，如果y=ox2+6x+c（a,b,c是常数，a手0）,那么y叫做x的二次函数.

备注：

如果丁=。f+":+。（a,b,c是常数，a¥0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了,

但b、c可分别为零，也可以同时都为零.

a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

知识点二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

©y=ax2；（2）y=ax2+k；®y=a^x-li^；@y=+k,

b4f一

其中//=----,k=--------；©y=ax2+bx+c.（以上式子a手0）

2a4（7

几种特殊的二次函数的图象特征如下:

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0(y轴)(0,0)

y-ax2+兀尤=0（丁轴）(0,k)

当a>0时

y=a(x-A)2开口向上x=h仍，0）

当a<0时

y-1一及y+kx=h3,k)

开口向下

bbAac-b2

y=ax2+bx+cx=———9

2a(2a4a)

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

（1）a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下;

1

(2)平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

3.抛物线丁=翻2+乐+c(a*o)中，a,b,c的作用：

(1)a决定开口方向及开口大小；

b

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=/+96x+c的对称轴是直线％=——，

2。

bb

故：①b=0时，对称轴为y轴；②一>0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③一<0(即a、b异

aa

号)时，对称轴在y轴右侧.

(3)c的大小决定抛物线y=g2+6x+c与y轴交点的位置.

当x=0时，y=c,.,.抛物线y=以2+6x+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

4.用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：y^ax-+bx+c(a丰0).已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-h)1+k(a丰0).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成丁=。好的图象平移后所对应的函数.)

(3)交点式：已知图象与x轴的交点坐标右、xz,通常选用交点式：

bc

y=ci(x—x2)(aHO).(由此得根与系数的关系：%+%2=—।xl,x2=—).

aa

知识点三、二次函数与一元二次方程的关系

函数y=ox2+Z?x+c(a/0),当y=0时，得到一元二次方程G?+法+。=。(a手0),那么一元二次方程

的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情

况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时八二廿―4ac>0,则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时八二廿―4ac=0,则方程有两个相等实根；

2

⑶当二次函数的图象与X轴没有交点，这时A=/—4ac<0,则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

知识点四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内

含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变

量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

备注：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问

题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

_b

1.(2024山东青岛)已知一次函数yQx+c的图象如图，则二次函数y=ax?+bx+c在平面直角坐标系中的

图象可能是()

3

2.若满足2xW1的任意实数x,都能使不等式2x-x2-mx>2成立，则实数m的取值范围是（）

A.m<-1B.m2一5C.m<-4D.mW-4

3.（2024山东德州）如图，函数j/=a/-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a手0）在同一平面直角坐标系

4.（2024湖南岳阳）抛物线y=3（x-2）45的顶点坐标是（)

A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)

5.抛物线y=x?-2x+2的顶点坐标为（）

A.(1,1)B.(-1,1)0.(1,3)D.(-1,3)

6.已知二次函数y=ax?+bx+c（a丰0）的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b>0；③b'-dacX）；

@a-b+c>0,其中正确的个数是（）

4

7.（2024甘肃兰州A）如图，已知二次函数y=ax?+bx+c（a¥0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc

>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m（am+b）（mf1的实数）.其中正确结论的有（）

A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤

8.（2024黑龙江绥化）抛物线y=ax?+bx+c（a大0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0）,

抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：

①abc>0；

②2a+b=0；

③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0）；

⑤若点A（m,n）在该抛物线上，则am2+bm+cWa+b+c.

其中正确的有（）

A.5个B.4个0.3个D.2个

9.（2024山东日照）已知二次函数y=ax?+bx+c（a丰0）图象如图所示，下列结论:

5

2

①abcVO；②2a-bV0；③b?>(a+c)；④点(-3,y,),(1,y2)都在抛物线上，则有yi>yz.

其中正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

10.（2024辽宁抚顺）已知抛物线y=ax，bx+c（0V2aWb）与x轴最多有一个交点.以下四个结论：

①abc>0；

②该抛物线的对称轴在x=-1的右侧；

③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；

Q+b+C

----->

④b2.

其中，正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2024四川资阳）已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含

4ac-b2

有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4a1；②ac+b+1=0；③abc>0；@a-b+c>0.其中正

确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

12.（2024山东省烟台）如图，二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交于点A（-1,0）,B（3,0）.下列结

论：①2a-b=0；②（a+c）2Vbl③当-1<xV3时，y<0；④当a=1时，将抛物线先向上平移2个

单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x-2）2-2.其中正确的是（）

6

A.①③B.②③C.②④D.③④

13.（2024湖北恩施）抛物线y=ax?+bx+c的对称轴为直线x=-1,图象过（1,0）点，部分图象如图所示,

下列判断中：

①abc>0；

@b2-4ac>0；

③9a-3b+c=0；

④若点（-0.5,yO,（-2,y2）均在抛物线上，则y—2；

⑤5a-2b+c<0.

其中正确的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

14.（2024湖北荆门）二次函数y=ax?+bx+c（a#=0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2,-9a）,下

列结论：①4a+2b+c>0；②5a-b+c=0；③若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根和X2,xi<x2,

PllJ-5<XI<X2<1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-4.其中正确的结论有（）

7

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.（2024湖南衡阳）如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,n）与y轴的交

2

<--

点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1Wa-3；③对于任意实数m,

a+b'anAbm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为

()

2个C.3个D.4个

16.（2024甘肃白银）如图是二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a羊0）图象的一部分，与x轴的交

点A在点（2,0）和（3,0）之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；

④a+b》m（am+b）（m为实数）；⑤当-1<xV3时，y>0,其中正确的是（）

C.②③④D.③④⑤

17.（2024山东滨州）如图，若二次函数y=ax?+bx+c（a丰0）图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与

x轴交于点A、点B（-1,0）,则

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<0；

8

@b2-4ac<0；

④当y>0时，-1VxV3・其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

1

18.把抛物线丫一一勾?向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（）

—__1—_1_

22

A.v2X+2B.y2（x+2）

11

-2

C.y2X-2D.y—5（x-2）2

19.将抛物线y=x，2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（）

A.（0,3）或（-2,3）B.（-3,0）或（1,0）

C.（3,3）或（-1,3）D.（-3,3）或（1,3）

20.（2024贵州黔西南州）已知：二次函数"=〃2+—+。图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如

表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是

X…-1012

y0343

21.（2024湖北黄冈）当aWxWa+1时，函数y=x?-2x+1的最小值为1,则a的值为（）

A.-1B.2C.0或2D.-1或2

22.（2024山东潍坊）已知二次函数y=-（x-h）?（h为常数），当自变量x的值满足2Wx<5时，与其

对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为（）

A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6

23.（2024贵州贵阳）已知二次函数y=-x?+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿

x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=-x+m与新图象

有4个交点时，m的取值范围是（）

9

C.-2<m<3D.-6<m<-2

24.（2024广西玉林）如图，一段抛物线y=-x、4（-24W2）为G,与x轴交于A。，Ai两点，顶点为D”

将G绕点Ai旋转180。得到Cz,顶点为Dz；C与&组成一个新的图象，垂直于y轴的直线I与新图象交

于点Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）,与线段DR交于点P3（x3,ys）,设x”x2,X3均为正数，t=x1+xz+x3,则

t的取值范围是（）

A.6<tW8B.6WtW8C.10<t^12D.10WtW12

25.（2024四川巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当

球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高度

为3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

1

-2

A.此抛物线的解析式是y-5X+3.5

B.篮圈中心的坐标是（4,3.05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）

10

D.篮球出手时离地面的高度是2m

26.(2024江苏连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表

达式h=-t?+24t+1.则下列说法中正确的是()

A.点火后9s和点火后13s的升空高度相同

B.点火后24s火箭落于地面

C.点火后10s的升空高度为139m

D.火箭升空的最大高度为145m

27.(2024黑龙江哈尔滨)抛物线y=2(x+2)44的顶点坐标为________.

28.(2024江苏淮安)将二次函数y=x?-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式

是.

29.(2024湖北孝感)如图，抛物线y=ax?与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),

30.(2024辽宁沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已

知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m时，矩形土地ABCD的面积最大.

31.(2024浙江湖州)已知抛物线y=ax，bx-3(a10)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.

1

32.(2024宁夏)抛物线y——gx:bx+c经过点A(3乔，0)和点B(0,3),且这个抛物线的对称轴为直线

I,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接AB、AC、BC,求AABC的面积.

II

33.某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商

品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为

72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设该护肤品的日销售利润为w（元），当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利

润是多少？

34.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发

现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售…304050

价X（元）

每天的销售量1008060

V（个）

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

35.某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件.经过市场调查，发现这种

商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获

利润V元.

（1）求y与X之间的函数解析式（不必写出自变量X的取值范围）

（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？

36.工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一

个正方形.（厚度不计）

（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方

分米时，裁掉的正方形边长是多少？

12

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，

侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费

用最低，最低费用为多少元？

37.近期，第八届“重庆车博会“在会展中心盛大开幕，某汽车公司推出降价促销活动，销售员小王提前

做了市场调查，发现车辆的销量y（辆）与售价（万元/辆）存在如下表所示的一次函数关系：

售价x（万元/辆）—2019.819.619.419.219■­■

销量y（辆）-5678910-­■

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每辆车的成本为11万元，在每辆车售价不低于15万元的前提下，每辆车的售价定为多少万元时,

汽车公司获得的总利润W（万元）有最大值？最大值是多少？

38.服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数

量X（件）（X为正整数）之间所满足的函数关系如图所示.

（1）求y与X之间所满足的函数关系式，并写出X的取值范围；

（2）设服装厂所获利润为w（元），若10WxW50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获

得利润最大？最大利润是多少元？

39.（2024贵州贵阳）六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下,

测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示.

滑行时间x/s0123

13

滑行距离y/m041224

(1)根据表中数据求出二次函数的表达式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m,他需要

多少时间才能到达终点？

(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表

达式.

40.某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次

函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表:

销售单价X(元)8595105115

日销售量y(个)17512575m

日销售利润W(元)87518751875875

(注：日销售利润=日销售量X(销售单价-成本单价))

(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;

(2)根据以上信息，填空:

该产品的成本单价是元,当销售单价x=元时,日销售利润w最大，最大值是,兀；

(3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在

(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单

价应不超过多少元?

41.(2024福建A卷)空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已

知木栏总长为100米.

(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平

方米.如图1,求所利用旧墙AD的长;

(2)