2025年中考数学大题专练：数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）（原卷版）

大题01数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）

考情分析•直击中考

数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简

单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而

丢分.

琢题突破•保分必拿

解一元一次不等式组

根与系数关系和根的判别式综合应用

新定义问题

比较大小问题

题型一：实数与根式的计算

龙A△鹘奥例.

1.（2023,湖南张家界,中考真题）计算：|——（4—7T）°—2sin60。+Q）.

2.（2023・湖北宜昌•一模）已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示.

—1--------------------\-----1~~>

cb0a

（1）若@=网，则a+b=,三=.

⑵化简：G+，(a+b)3—|c—勿,

茏龙》解:去揖号.

1

1)a°=l(aWO),a^n=—(aWO,n为正整数)

2)®|a-b|=a-b<S>a>b②|a-b|=O0a=b③|a-b|=b-a0a<b

3)特殊的三角函数要记牢.

4)在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

茏变》要壁喳.

1.(2022•湖南娄底•中考真题)计算：(2022-TT)°+(|)-1+|1-V3|-2sin60°.

2.(2023・湖北宜昌•一模)已知a,6满足必兀+g—1|=。，求a2。22+次023一4帅的平方根.

3.Q3-24九年级上•四川眉山,阶段练习)已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：V^-\a+c\+

J(c—6)2——a)2.

_________III1A

ca0b

题型二：代数式的混合计算

龙麓》大题典例

1.(2023•青海西宁•中考真题)计算：(2a—3)2-(a+5)(a-5).

2.(2023•湖北襄阳•中考真题)化简：(1—右)+怒.

3.（2024•黑龙江大庆•一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整

式.

（1）求整式P

⑵将整式P因式分解.

（3）P的最小值为

董皿弹：去揖号

1）事的运算

鬲的运算公式补充说明

am.an=am+n1.逆用公式：am+n=am-an

同底数鬲相乘

(m,n都是整数)

2.【扩展】am.a'aP=am+"P（m,n,p都是正整数）

1.负号在括号内时，偶次方结果为正,奇次方为负负号在括号外结

(am)n=amn果都为负.

鬲的乘方

(m,n都是整数)

2.逆用公式：amn=（am）n

3.【扩展】（（am）n）p=amnp（m,n,p都是正整数）

(ab)n=anbn1.逆用公式：anbn=(ab)n

积的乘方

(n为整数)

2.(abc)n=anbncn

1.关键：看底数是否相同,指数相减是指被除式的指数减去除

am^-an=am-n式的指数.

同底数鬲相除

(a^O,m,n都为整数)

2.逆用公式：am-n=am-an（a#0,m、n都是正整数）.

3.【扩展】am-an^ap=am-n-P（a^O,m,n,p都是正整数）.

2）乘法公式

乘法公式基础变形

平方差公式(a+b)(a—b)=a2—b2

1.通过移项变形

①a2+b2=(a+b)2-2ab②2ab=(a+b)2-(a2+b2)

用法：已知a+b、ab>a?+b2中的两项求另一项的值(知二求一).

2.a+b与a-b的转化

①(a+b)2=(a-b)2+4ab②(a-b)2=(a+b)2-4ab

③(a+b)2-(a-b)2=4ab④(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

(a±b)2=a2±2ab+b2用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值(知二求一).

完全平方公式口诀：首平方，尾平方，3.特殊结构

二倍乘积放中央.①(x+*=X2+2+3②x?+W=(x+32-2

XX2X2X

③(x--)2=X2-2+^④x2-V=(x--)2+2

XX2X2X

4扩.展

①(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

②(a+b+c)3=a2+b2-l_c2+2ab+2ac4_2bc

3)因式分解

基本

提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)

方法

①运用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

公式法

②运用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

进阶

【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.

方法十字相乘法

【特殊】因式分解：ax2+bx+c

①若a+b+c=0,则必有因式x-1②若a-b+c=0,则必有因式x+1

分组分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.

换元法例：因式分解(x?+5x+2)(X2+5X+3)T2,设x?+5x+2=t

则原式=t(t+l)T2=(t-3)(t+4)=(x+2)(x+3)(x2+5x-l)

1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式；

一般②为三项时，考虑完全平方公式；

步骤③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

3)检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”.

龙皿莫其训等

1.(2024,重庆•模拟预测)计算:

(l)(a+2b)(a—2b)+(a—Z?)2

（2）（久一1一京

2.（2024・湖南•模拟预测）已知整式4=4炉+轨一24.

⑴将整式4分解因式；

（2）求证：若x取整数，贝必能被4整除.

题型三：化简求值

1.（2023•山东淄博•中考真题）先化简，再求值：（%-2y）2+%（5y-x）-4y2,其中“=亨，y=怨.

2.（2。23・辽宁丹东・中考真题）先化简，再求值：（各一4）十言，其中、=Q厂+（-3）。.

茏变》解黄揖号.

化简求值常见方法汇总：

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.

2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.

3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它

们成倍分关系.

③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值.

4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这

是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值.

5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值.

例如：①若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0

②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.

6.利用“无关”求值：

①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；

②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关.

7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数

的性质来确定字母的值，从而求得结果.

8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的

符号.

9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况

进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分

简单.

10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可.

11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可

能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值.

12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一

个字母来表示另一个字母.

13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值.

茏塞》要其训级

1.（2024•广西桂林•一模）先化简，再求值：（小人—2ab2—匕3）+b—（Q+—5），其中万，

b=2.

2.（2024,山东滨州•一模）先化简再求值：（三—三）+占，其中x=（国—1）°+（I）-1+

3.（2024・四川广元・二模）先化简，再求值：*+G+l—岑），其中x是不等式组

Xz-1\X-1/

^2x+4>l-i的整数解・

4.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）先化简，再求代数式（志—母寿）+用的值，其中

x=2（tan45°—cos30°）.

题型四：解方程（组）相关计算

龙A2娶兽例.

1.解关于X的一元一次方程：平—1=等.

2.（2023,江苏连云港•中考真题）解方程组｛交f

3.（2023•江苏连云港・中考真题）解方程：然=等一3.

4.（2023•广东广州•中考真题）解方程：x2—6x+5=0.

莪摩》f轮去揖号.

1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为1;

2）一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的解法选择：

①当a=l,b为偶数，cWO时，首选配方法；

②当b=0时，首选直接开平方法；

③当c=0时，可选因式分解法或配方法；

④当a=l,b#0,cWO时，可选配方法或因式分解法；

⑤当a#l,bWO,cWO时，可选公式法或因式分解法.

3）解分式方程时易错点：

①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的

根.

④解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

⑤分式方程有增根与无解并非是同一个概念.分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去

分母后的整式方程无解.

治能》受型唾

（2023•浙江,一模）解方程：弩_1=?

1.36

f-"=1,①

2.（2023•陕西西安•二模）解方程组:

4x—y=8.②

3.（2023•江苏连云港•模拟预测）解下列方程:

(1)511.

7x-22-久'

(2)%2—4%+3=0.

题型五：解一元一次不等式组

鹘典

f4-x—840,

（2023•江苏・中考真题）解不等式组卜+x+I,把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.

I--―<X十

11111

-2-1012

茏塞》属黄揖号.

1）不等式的性质

基本性质1若a>b,贝!Ja±c>b土c

若a<b,贝!|a±c<b±c

基本性质2若a>b,c>0,则ac>bc（或（>|）

基本性质3若a>b,c<0,则ac<bc（或

2）不等式组解集的确定有两种方法：

①数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

②口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了.

3）解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出不等式组中各不等式的解集.

②将各不等式的解决在数轴上表示出来.

③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

蔻麓》要型喳.

f2（x+2）>x+30

1.（2023・山东济南・中考真题）解不等式组：二<江②，并写出它的所有整数解.

题型六：根与系数关系和根的判别式综合应用

茏卷》大题典例

1.（2023•湖北襄阳•中考真题）关于x的一元二次方程*2+2%+3—k=0有两个不相等的实数根.

⑴求k的取值范围；

（2）若方程的两个根为a,0,且H=aS+3k,求k的值.

2.（2023•四川南充・中考真题）已知关于x的一元二次方程/—（2m—l）x—3m2+m=0

⑴求证：无论加为何值，方程总有实数根；

（2）若巧，冷是方程的两个实数根，且葭+£=—今求〃?的值.

人1人2Z

茏龙》属黄揖号.

1）根的判别式

①求根公式的使用条件：aWO且△》（）.

②使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值.

③利用判别式可以判断方程的根的情况，反之，当方程：1）有两个不相等的实数根时，A>0;

2）有两个相等的实数根时，A=0;

3）没有实数根时,A<0.

④一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根.

2）一元二次方程根与系数的关系

2

①如果方程x+px+q=O的两个根为X“X2,那么打+支2=-p,%i»x2=q.

②以两个数X],X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2-（Xi+%2）X+X1•久2=0.

③一元二次方程根与系数关系的使用条件：a》0且△NO.

④用根与系数的关系求值时的常见转化：

已知一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的两个根4,x?

2

1）平方和xj+xj=（Xi+X2）—2X1X2

2）倒数和”X十X老A1詈A2

2Xx2

3)差的绝对值IX[-x2|=7(Xt-x2)=7(1+2)-4XXX2

4)生+至二%—+冷？_(%I+%2)2-2%I%2

)久2X1Xi%2Xi%2

5)(%i+1)(%2+1)=%1%2+(%1+%2)+1

蔻塞〉至式训级

1.(2023,湖北襄阳•一模)已知关于x的方程A/+(2k+l)x+2=0.

⑴求证：无论先取任何实数时，方程总有实数根.

⑵是否存在实数人使方程两根的倒数和为2?若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

2.(2023,江西新余•一模)关于x的方程/—(2k+l)x+fc2=0.

⑴如果方程有实数根，求左的取值范围；

(2)设和久2是方程的两根,且好+好=6+如%2,求左的值.

题型七：新定义问题

龙变》大题典例

(2023•山东枣庄•中考真题)对于任意实数a,b,定义一种新运算：住6=｛。£/6版瑞，例如:

3X1=3—1=2,5X4=5+4—6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

(1)4X3=,(―1)※(-3)=；

(2)若(3%+2)※(久一1)=5,求x的值.

茏龙》解:去揖号.

新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并

结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.

一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念.这类试

题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与己学知识联

系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

蔻变式训级

1.（2023•河北沧州•模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b,规定aXb=ab2+a/）+a,例如：

2X5=2x52+2x5+2=62.

⑴求5※（-2）的值.

（2）若（m—衣）派2>14,求m的取值范围.

2.（2023•江苏盐城,一模）定义：若两个分式的和为〃（"为正整数），则称这两个分式互为"N㊉分式

例如.分式W与三互为"三㊉分式

（1）分式与____互为"六㊉分式"；

（2）若分式/与一互为"一㊉分式"（其中a,6为正数），求ab的值；

⑶若正数X,y互为倒数，求证：分式且与品互为"五㊉分式

3.（2023•河北沧州•模拟预测）定义新运算：对于任意实数加、〃都有机仝九二小九一？?!，例如

2=4x2—3x2=8—6=2,请根据上述知识解决下列问题.

{1}x^2>4,求x取值范围；

（2）若=3,求x的值；

⑶若方程x☆口=久—6,口中是一个常数，且此方程的一个解为x=l,求口中的常数.

4.(22-23九年级上•河北石家庄•期末)在实数范围内定义新运算其规则为：a4b=a2—ab,根据

这个规则，解决下列问题：

⑴求(x+2)45=0中x的值；

(2)证明：(x+m)△5=0中，无论"2为何值，x总有两个不同的值.

题型八：比较大小

茏麓》大题典例

(2023•江苏盐城•中考真题)课堂上，老师提出了下面的问题：

已知3a>b>0,M=l，N=震，试比较M与N的大小.

小华：整式的大小比较可采用"作差法".

老师：比较N+1与2%—1的大小.

小华：(x2+1)-(2x-1)=x2+1-2x+1=(%-I)2+1>0,

/.x2+1>2x—1.

老师：分式的大小比较能用"作差法"吗？

⑴请用"作差法"完成老师提出的问题.

(2)比较大小：||(填""或"<")

DO----------------------------------------OJ

皿细黄揖号

1)实数比较大小的6种基础方法:

1.数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

2.类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

3.作差比较法：若a,b是任意两个实数，则

①a-b>O<=>a>b；②a-b=OOa=b；③a-b〈OOa〈b

4.平方比较法：①对任意正实数a,b,若aDUOaAb

②对任意负实数a,b,若a?>b23a〈b

5.倒数比较法:若l/a>l/b,ab>0,则a〈b

6.作商比较法：1）任意实数a,b,a/b=lOa=b

2）任意正实数a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意负实数a,b,a/b>l4>a<b,a/b<l<z>a>b

茏塞》要也临

1.（2023•浙江温州•模拟预测）观察下面的等式：==「亚白=A……

3N。431Z34ZUt）5DU

⑴按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）.

⑵请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

，-、、*cnr、，I1,-20222021—20212020,,,

⑶请用以上规律比较荻^一五五与三於一无五的A大小.

2.（22-23九年级下•河北保定•阶段练习）观察以下10个乘积，回答下列问题.

11x29：12x28；13X27；14x26；15x25；16x24；17x23；18x22；19x21；20X20.

探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式.

例如：11x29-x2-y2=（x+y）（x—y）,列出方程组，解x,y的值即可.

按照以上思路写出"将11x29写成平方差的形式”的完整过程；

探究：观察以上10个乘积，当a+6=40时，ab202；（比较大小）

拓展：当a+6=zn时，比较好与（学2的大小，并说明理由.

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一*模）（1）计算：（一3）+V—8+2|+4sin6。。+?+陋

（2）分解因式：一2a=3+12Q%2—i8a%.

2%+1<30

2.（2024•江苏扬州•一模）解不等式组:^+上把〈通，并求出它的所有整数解的和.

.24

3.（2。24・江西吉安•一模）先化简：$+£）+.,再从一2,一1，°，1,2中选

一个合适的数作为a值代入求值.

4.（2024•陕西西安•二模）解方程：兰1=1—2.

5.（2024•江苏南通•模拟预测）（1）化简：品喜

（2）解方程：x（2x-5）=5-2x.

6.（2023・贵州遵义•模拟预测）对任意一个两位数小，如果根等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数

加为"平方和数"，若m=a2+b2（a、6为正整数），记4（?n）=a6.例如：29=22+52,29就是一个“平方

和数”，则4（29）=2x5=10.

(1)判断13是否是“平方和数"，若是，请计算2(13)的值；若不是，请说明理由;

(2)若k是一个"平方和数"，

①设k=/+y2,贝i]4(k)=；

②当4(k)="|一18,求k的值.

7.(2024・四川南充•模拟预测)已知关于x的方程为/一2(机+2*+m2+4=0.

⑴若方程有两个实数根，求实数加的取值范围；

(2)设方程的实数根为治，久2，求丫=君+好的最小值.

8.(2024・贵州遵义•一模)作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法.

作差：首先计算两个数或代数式的差，即4-B.

变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易

判断的形式.

定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数/大于3若差式为负

数，则原数/小于脱若差式为零，则/等于反

结论：根据变形和定号的结果得出结论，即4〉8或力<B.

例：比较/+1与2x—1的大小.

.-.(%2+1)-(2%-1)=