2025年中考数学大题专练：几何中的最值问题（5大题型）（原卷版）

中考大题07几何中的最值问题

考情分析•直击中考

在中考数学中，几何最值问题的考察，在小题中通常是选择或者填空题的压轴问题；在解答题中偶尔

也会作为压轴题中的第2个小问题出，难度比较大，是对学生探究能力的综合考察。在中考数学中常见的

几何最值问题是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以

也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

琢题突破•保分必拿

将军饮马模型

胡不归问题

几何中的最值问题费马点

瓜豆原理

阿氏圆

题型一：将军饮马模型

龙能>大题典例

1.（2023,湖北鄂州,中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=a/（a>0）型抛物线图

象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点尸到定点F（0,a）的距离PG始终等于它到定直线/：

y=—；的距离PN（该结论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，

y=—总叫做抛物线的准线方程-准线/与了轴的交点为〃其中原点。为尸”的中点，FH=2OF=^.例

如，抛物线y=2H其焦点坐标为F（o,J准线方程为/：y=-1,其中PF=PN,FH=2OF，

【基础训练】

⑴请分别直接写出抛物线y=%2的焦点坐标和准线/的方程：,；

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=》上一点P（xo，yo）（xo>0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐

标；

【能力提升】

⑶如图3,已知抛物线y=52的焦点为尸，准线方程为/.直线%:y=/—3交y轴于点C,抛物线上动点

P到x轴的距离为由，到直线m的距离为d2,请直接写出小+d2的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线、=女2缶〉0）平移至）7=矶%—八）2+依£1〉0）.抛物线y=a

（x—h）2+k（a>0）内有一定点+J,直线/过点—9且与X轴平行.当动点尸在该抛物线上

运动时，点P到直线/的距离PP1始终等于点P到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线y=2

（x-1）2+3上的动点P到点尸（1,金的距离等于点P到直线1：y=1的距离.

请阅读上面的材料，探究下题：

⑷如图4,点D（—1,|）是第二象限内一定点，点尸是抛物线y=#—1上一动点，当PO+PD取最小值时,

请求出△POD的面积.

2.（2023•四川宜宾,中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形4BC的直角顶点《3,0）,

顶点/、B（6,巾）恰好落在反比例函数y=§第一象限的图象上.

⑴分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在一点尸，使△ABP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由

将军饮马模型

将军饮马问题概述：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营巡视，应该怎样走才能使路程最短?

原理问题模型最

A

•

线段垂直平

分线上的点在直线L上求一点P,

到线段两端求PA-PB的最小值

距离相等......4

P

变

变

式

式

求AB

一

七

线

段

段

线

点

两

和

的

差三角形两边在直线L上求一点P,

间

之

大

最

的之差小于第求PA-PB的最大值

段

线

最

值三边

短

最

变

变

小在直线AB和BC上分别

式

式

值取一点M、N,求4

二

PMN周长的最小值八

（一动两定）

线段在直线可

变

加MNL

在直线AB和BC上分别

又移动，当移动到

式MN

取一点、求四边

式MN,

什么位置时，求

九

三形PQNM周长的最小

AM+MN+NB最小

值（两动两定）

移

平平行四边形值

最

类的性质+两

值

小点之间线段

最短

变

变

求在直线AB和BC上分别A,B是河两侧的定

式

式

线取一点M、N,求点，怎样造桥，可

四

十

段PM+PN的最小值以让总路程最短

和

垂线

的

最

短

小

变在直线和上分别

值ABBC

式取一点M、N,求

五PM+PN的最小值（―

定两动）

龙A笠式训绻

1.(2023•山东济南•一模)如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=5(>:>0)经过8、C两点，△4BC为直

角三角形，ACIIx轴,4B||y轴，4(8,4),47=3.

⑴求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)点朋r是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；

①求MB+MC的最小值；

②点N是反比例函数y=5(x>0)的图像上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形，求所

有满足条件的点N的坐标.

2.(2023•甘肃陇南•三模)(1)如图①，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点。是边上任意

一点，贝UCD的最小值为.

(2)如图②，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值；

(3)如图③，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,点E是48边上一点，且AE=2,点F是BC边上的任意一

点，把aBEF沿EF翻折，点B的对应点为点G,连接4G、CG,四边形4GCD的面积是否存在最小值？若存在,

求出四边形AGCD面积的最小值；若不存在，请说明理由.

题型二：费马点

鹘粤例

(2023•湖北随州•中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上

的三个点aB,c,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利

给出了分析和证明，该点也被称为"费马点"或"托里拆利点"，该问题也被称为"将军巡营”问题.

⑴下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从"直角"和"等边"中选择填空,

②处从“两点之间线段最短"和"三角形两边之和大于第三边"中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点)

当△NBC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到连接PP,

由PC=P£,^PCP'=60°,可知△PCP，为①三角形,故PP，=PC,又P4=P4故PA+PB+PC=P4

+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',/在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为4B,此时的

尸点为该三角形的"费马点”，且有乙4PC=Z.BPC="PB=⑶；

已知当△A8C有一个内角大于或等于120。时，"费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若AB2C2120。，

则该三角形的"费马点”为包点.

(2)如图4,在△4BC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点P为△ABC的“费

马点”，求24+P8+PC的值；

CBCB

图4

(3)如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知力C=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.现欲

建一中转站尸沿直线向B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄/,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,四。元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含。的式子表示)

茏龙》解黄揖号.

【基础】费马点常见结论：

1）对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点；

2）对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度，即当A,A',P,P'四点共线时取最小值.

【进阶】加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是I,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.

已知：在RtZUBC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,AABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最DACAP绕点C顺时针旋转60°得ACDE

小值二BD长度即为所求，在RtZkBCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得ACDE

最小值此时△PCE为等腰直角三角形，即PE力?PC

因此原式=PA+PB+◎C=ED+PB+PE,则当B、P、E、D

BF6四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD中

3也工丁/3有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

%

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120。得ACDE

最小值此时APCE为等腰三角形且NPCE=120°,即PE=V5PC,

SlttJ?^=PA+PB+V3PC=ED+PB+PE,贝！]当B、P、E、D

B\3Q"0

/四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD中

有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=J60+30v3

求思路：原式=2(PA4PB+遗PC)

2PA+PB+V3PC

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PF_L.CE于点

最小值

下F,则PF=[PC;2)泗利用三角形中位线来处理；3)PA前

的系数是1,不需要转化，所以旋转4PCB.

过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过点

DP作PF1CE于点F,此时APCE为等边三角形，即

PF=^pC,过点F作FG"DE,贝i]FG=；PB,贝恺A、P、

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在RtA

ACT中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=用,原式=2

(PA+ipB+—PC)=2734

22

过程：4ACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE.然后过点

P作PF1CE于点F,此时APCE为等边三角形，即

PF争C,过点F作FG//DE,则FG=加，则当B、P、

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在RtA

BCG中有勾股定理可得BG=VCG+4C2=7.5,原式=4

（^PA+PB+yPC）=26

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

蔻3处要式训级

1.（2023・贵州遵义・三模）（1）【问题发现】如图①，在△04B中，若将△OAB绕点。逆时针旋转120。

得至连接BB，；求4OBB'=_；

（2）【问题探究】如图②，己知△ABC是边长为4仃的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD,P

为△4BC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60。，点P的对应点为点Q.

①求证：ADCQ三4BCP；

②求P4+PB+PC的最小值；

（3）【实际应用】如图③，在矩形4BCD中，48=600,AD=800,P是矩形内一动点=2S^BC，Q

为△?!£）2内任意一点，是否存在点P和点0,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，请

说明理由.

2.（2022•山东德州•一模）若一个三角形的最大内角小于120。，则在其内部有一点所对三角形三边的张角

均为120。，此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当△/8C三个内角均小于120。时，费马点「在4

ABC内部，止匕时N4PB=NBPC=NCP4=120。，PA+PB+PC的值最小.

AA

E

A

(1)如图2,等边三角形48c内有一点P,若点尸到顶点/,B,C的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度

数.为了解决本题，小林利用"转化"思想，将△ZAP绕顶点/旋转到△ACP，处，连接PP,此时△2CP，

三△4BP,这样就可以通过旋转变换，将三条线段P/,尸8,PC转化到一个三角形中，从而求出乙4PB=

(2)如图3,在图1的基础上延长8尸，在射线8P上取点D,E,连接4B,AD.使2D=AP,

^DAE=^PAC,求证：BE=PA+PB+PC.

⑶如图4,在直角三角形4BC中,AABC=90°,AACB=30°,AB=1,点尸为直角三角形4BC的费马点,

连接/P,BP,CP,请直接写出24+PB+PC的值.

3.(2019•山西•一模)请阅读下列材料，并完成相应的任务：

费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为"业余数学家之王"，他独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理.

费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于120°时，在三角形内有一点P,使得

^APB=AAPC=ABPC=120°,且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被称为费马点.

图①图②

证明：如图②，把△4PC绕4点逆时针旋转60°得到连接PPI则NP4P=60°,

・•.△APP为等边三角形.

•••AP=PP'.P'C=PC,

PA+PB+PC=PP'+PB+P'C,

点。可看成是线段4C绕4点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长，

・••当B、P、P二。四点在同一直线上时，PA+P8+PC最小，

这时NBP4=180°-^APP'=180°-60°=120°,

AAPC=^AP'C=180°-^AP'P=180°-60°=120°,

乙BPC=360°-A.BPA-/.APC=360°-120°-120°=120°.

任务：(1)横线处填写的条件是；

(2)已知正方形4BCD内一动点E到4B、C三点的距离之和的最小值为近+迎，求此正方形的边长.

题型三：阿氏圆

茏麓》大题典例

1.(2023•山东烟台•中考真题)如图，抛物线y=ax?+b%+5与%轴交于a,B两点，与y轴交于点

C.AB=4.抛物线的对称轴久=3与经过点4的直线y=kx—1交于点D,与x轴交于点E.

(1)求直线及抛物线的表达式；

⑵在抛物线上是否存在点M,使得△力DM是以4。为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；

若不存在，请说明理由；

1

⑶以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+y2的最小值.

2.(2021・四川宜宾・中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于/、3两点，与了轴

交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结2C、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断△BCE的形状，并说明理由;

(3)如图2,以C为圆心，夜为半径作。C,在。C上是否存在点尸，使得尸的值最小，若存在，

请求出最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2

茏塞》解黄揖号.

对于阿氏圆而言：当系数k<l的时候，一般情况下，考虑向内构造。

当系数k>l的时候，一般情况下，考虑向外构造。

【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；

当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.

茏塞》矍式训级

1.(2023•广东深圳•模拟预测)【模型由来】"阿氏圆"又称"阿波罗尼斯圆"，已知平面上两点/、8,则所

有满足(k>0且kHl)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿

氏圆

【模型建立】如图1所示，圆。的半径为「，点/、8都在圆。外，P为圆。上一动点，已知r=连

接尸/、PB,则当"PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

AAA

图1图2图3

第1步：一般将含有左的线段依两端点分别与圆心。相连，即连接。5、0P；

第2步：在08上取点C,使得。。2=。。。8,即黑=器，构造母子型相似△OCPs△OPB（图2）；

第3步：连接/C,与圆。的交点即为点P（图3）.

【问题解决】如图，。。与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N,。。半径为3,点4（0,2）,点B

WPA+2PB的最小值是多少？

（2）请求出（1）条件下，点P的坐标.

2.（2020・山西•模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga）,古

希腊人（公元前262〜190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了

圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点P与两定点48的距离之比等于

定比m：7i,则点P的轨迹是以定比41）内分和外分线段4B的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称

如图1,点4B为两定点，点P为动点，满足器=：,点M在线段4B上，点N在4B的延长线上且黑=缁=:

rDriMDIND

居T，则点P的运动轨迹是以MN为直径的圆.

下面是“阿氏圆"的证明过程(部分)：

过点B作BD〃4P交PM的延长线于点D.

：.^A=^ABD,乙APM=^BDM.

：.AAPM〜ABDM.

.PA_MA

**~BD-~MB'

P..MA_m_P71

乂*~MB~n~港'

,PA_PA

**~BD~~PB'

：.BD=BP.

:•乙BPD=(BDP.

:•乙APD=^BPD.

如图2,在图1(隐去MD,BD)的基础上过点B作BE〃PN交2P于点E,可知篇=臆，……

任务：

(1)判断PN是否平分NBPC,并说明理由；

(2)请根据上面的部分证明及任务(1)中的结论，完成"阿氏圆"证明的剩余部分；

(3)应用：如图3,在平面直角坐标系xOy中，4(—2,0),PA=2PB,则点P所在圆的圆心坐标为

题型四：胡不归问题

龙麓》大题典例

(2019•湖南张家界•中考真题)已知抛物线y=a/+b久+c(aR0)过点4(1,0),B(3,0)两点，与了轴交于点

C,OC=3.

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点/作2M_L8C,垂足为求证：四边形4D8M为正方形；

⑶点尸为抛物线在直线2c下方图形上的一动点，当4PBe面积最大时，求点尸的坐标；

⑷若点。为线段OC上的一动点，问：力Q+额。是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，

请说明理由.

茏皿解黄揖号.

【解题关键】在求形如“BC+kAC”的式子的最值问题中，关键是构造与kAC相等的线段，将“BC+kAC”

型问题转化为“BC+CE”型.（若k>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）.

蔻塞》.变式训级

1.（2021•四川绵阳•三模）如图，在平面直角坐标系中，直线》=营+2与x轴交于点/,与y轴交于点

C.抛物线>=办2+乐+。的对称轴是X=—5且经过/、C两点，与X轴的另一交点为点8.

⑴求二次函数y=aN+6x+c的表达式；

⑵点尸为线段45上的动点，求/尸+2PC的最小值；

⑶抛物线上是否存在点过点M作垂直x轴于点N,使得以点/,M,N为顶点的三角形与△N3C

相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(23-24九年级下•江苏南通•阶段练习)在平面直角坐标系》。了中，抛物线y=a久2一2a久一3a与x轴交于

A,B两点,若AB=函数y=a/—2ax—3a的最小值为n,且m+n=0.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵如果将该抛物线在x轴下方的部分沿龙轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G.当函数为

=kx-l+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求k的取值范围；

⑶在(2)的条件下，当k取最大值时，函数月=依一l+2k的图象与图形G的对称轴交于点P,若过P作平

行于x轴的直线交图形G于点Q,过点Q作y轴的平行线交函数yi=依+1—2k的图象于点R,D为线段RQ上

的一点，动点C从点R出发，沿RD-DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为遥单位长度每秒，在DP

上运动的速度为1单位长度每秒.求当点C运动的时间最短时，对应的点。的坐标.

题型五：瓜豆原理

龙变》大题典例

在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD,将8。绕点8逆时针旋转90。，得到BE,连接OE与4B相交于

点尸.

(1)如图1,若。为AC的中点，ABAC=90。，4C=4,BD=V29,连接4日求线段4E的长；

(2)如图2,G是线段84延长线上一点，。在线段4C上，连接DG,EC,若N8AC<90。，EC1BG,

乙ADE=LDBC,乙DBC+乙G=KEBF,证明=24。+DC；

(3)如图3,若△4BC为等边三角形，AB=6五，点M为线段4C上一点，且2cM=4M,点尸是直线BC上的

动点，连接EP,MP,EM,请直接写出当EP+MP最小时aEPM的面积.

龙皿莫其训等

1.(2020九年级•全国•专题练习)如图1,在△4BC中，^ACB=90°,AC=2,BC=2痘,以点8为圆心,

8为半径作圆.点P为08上的动点，连接PC,作PC1PC,使点P落在直线BC的上方，且满足PC:PC=1:

V3,连接BP,AP'.

图1图2备用图

(1)求乙44c的度数，并证明〜△BPC；

【问题探究】

(2)如图2,已知△ABC是边长为4仃的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD,P为△ABC内一点,

连接4P,BP,CP,将aBPC绕点C逆时针旋转60。，得△DQC,求PA+PB+PC的最小值；

【实际应用】

(3)如图3,在长方形4BCD中，边4B=10,AD=20,尸是BC边上一动点，。为△4DP内的任意一点，

是否存在一点尸和一点0,使得2Q+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长，若不存在，请说明

理由.

（2）若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PFlx轴，交直线BC于点F,当线段PF取得最大值时,

求此时点P的坐标.

⑶若取线段BC的中点E,向右沿久轴水平方向平移线段BE,得到线段BE,当C夕+CE，取得最小值时，求此

时点夕的坐标

5.（2021九年级•全国•专题