2025年中考数学大题与几何压轴题：三角形压轴（讲练）（解析版）

专题10三角形压轴

目录

一、考情分析

二、知识建构

考点三角形压轴

【真题研析•规律探寻】

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

题型02与三角形有关的平移问题

题型03与三角形有关的翻折问题

题型04与三角形有关的旋转问题

题型05与三角形有关的全等/相似问题

题型06与三角形有关的最值问题

题型07与三角形有关的动点问题

题型08与三角形有关的新定义问题

题型09与三角形有关的阅读理解问题

题型10与三角形有关的存在性问题

题型11三角形与几何图形综合

题型12三角形与函数综合

【核心提炼•查漏补缺】

【好题必刷•强化落实】

考点要求命题预测

在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以

三角形压轴选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.

考点三角形压轴题

・真题研析-规律探寻

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

1.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与延长

线上的点0重合.DE交BC于点F,交延长线于点£.DQ交BC于点尸，DM148于点XM=4,则下

列结论，①DQ=EQ,②BQ=3,@BP=^,@BD||FQ.正确的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折叠性质和平行线的性质可得NQDF=NCDF=NQEF,根据等角对等边即可判断①正确；根据

等腰三角形三线合一的性质求出MQ=4M=4,再求出BQ即可判断②正确；由△CDPBQP得益=端=

求出BP即可判断③正确；根据靠力差即可判断④错误.

【详解】由折叠性质可知：NCDF=NQD£CD=OQ=5,

■：CD\\AB,

：.Z-CDF=Z.QEF.

.,.Z-QDF=Z.QEF,

:.DQ=EQ=5.

故①正确；

-DQ=CD=AD=5,DMLABf

：.MQ=AM=4.

•••MB=ZB—AM=5—4=1,

：.BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正确；

-CDWAB,

△CDPFBQP.

CPCD5

：,~BP=BQ=3*

•：CP+BP=BC=S,

・•・BP=|BC=洋

故③正确；

-CDWAB,

・•・△CDFBEF.

_C£_CD__5__5

,•茄~~BE~BQ+QE~?+5-8,

EF_8

"DF"13'

QE_5

EFQE

・•.△EFQ与△ED8不相彳以.

:,乙EQF丰（EBD.

・・・8。与尸Q不平行.

故④错误；

故选A.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱

形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键.

2.（2023•四川宜宾•中考真题）如图，△力8c和△20E是以点2为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE

以4为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点.若4B=g,AD=1.以下结论：

①BD=CE；@BD1C£；

③当点E在B4的延长线上时，MC=与金

④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为《

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】证明△BAD三△SE即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明WCMsNECA得出词=

个，即可判断③；以4为圆心，4D为半径画圆，当CE在。力的下方与04相切时，MB的值最小，可得四

边形4EMD是正方形，在Rt△MBC中MC=7BC2—MB2=鱼+1,然后根据三角形的面积公式即可判断

④.

【详解】解：•••△ABC和△40E是以点4为直角顶点的等腰直角三角形，

：.BA=CA,DA=EA,^BAC=/.DAE=90°,

：.Z.BAD=Z.CAE,

・•.△BAD=△CAE,

.-.AABD=^ACE,BD=CE,故①正确；

设A4BD=AACE=a,

:•乙DBC—45°—a,

・・/EMB=Z.DBC+乙BCM=乙DBC+乙BCA+^ACE=45。-a+45。+a=90°,

'-BD1CE,故②正确；

当点E在84的延长线上时，如图所示

•・•乙DCM=^ECA,ADMC=^EAC=90°f

•ZDCM-z_ECA

MC_CD

'~AC~~EC

-AB=V3,AD=1.

•♦.CD=AC—AD=V3-1,CE=yjAE2+i4C2=2

^£_V3-1

...MC=三，故③正确；

"BMC=90°,

.•.当CE在04的下方与04相切时，MB的值最小，ZADM=Z.DAE=AAEM=90°

四边形AEMD是矩形，

又力E=4D,

二四边形4EMD是正方形，

.-.MD=AE=1,

'''BD—EC-y/AC2—AE2-V2,

:.MB=BD—MD=V2-1,

在RtzXMBC中，MC=y/BC2-MB2

・•.PB取得最小值时，MC=7AB2+旧C2—MB2=^3+3-(72-1)2=V2+1

:,SABMC=5MBxMC=式—1)(V2^+1)=5

故④正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形

的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

3.(2023•湖北•中考真题)如图，△瓦4&2\。斯和44第都是等腰直角三角形，

NBAC=NDEB=NAEF=90。，点E在△ABC内，BE>AE,连接DF交力E于点G,DE交力B于点H,连接CF.给

出下面四个结论：①乙DBA=^EBC；②乙BHE=4EGF；@AB=DF；@AD=CF.其中所有正确结论的

序号是.

D

A

BC

【答案】①③④

【分析】由题意易得aB=4C/4BC=45°=NDBE,AE=EF,DE=BE,Z.DEB=/.AEF=Z.BAC=90°,

则可证aaEB三△FED(SAS),然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解.

【详解】解：••・△84；必理8和4他尸都是等腰直角三角形，

：.AB=AC./-ABC=45°=^DBE,AE=EF,DE=BE,ADEB=AAEF=^BAC=90°,

■■■/.DBA=Z.DBE—乙ABE,乙EBC=乙ABC—乙ABE,Z.AEB=Z.AED+乙DEB,乙FED=Z.AEF+Z.AED,

...乙DBA=£EBC,乙AEB=LFED,故①正确；

△AEBm△FED(SAS),

.-.AB=DF=AC,/-ABE=Z.FDE,/.BAE=/.DFE,故③正确；

■:/.ABE+Z.BHE=90°,^EFD+Z.EGF=90°,Z_BAE+NE4C=90°,BE>AE,

:.乙BHE手乙EGF,/.EGF=/.EAC-,故②错误；

:.DF||AC,

■:DF=AC,

四边形acFC是平行四边形，

.■.AD=CF,故④正确；

故答案为①③④.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟

练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键.

4.(2022•黑龙江牡丹江•中考真题)如图，在等腰直角三角形/8C和等腰直角三角形ADE中，

N8aC=N£ME=90。，点。在8C边上，与/C相交于点RAH1DE,垂足是G,交BC于点、H.下列

结论中：①4C=CD；@/2AD2=BC-AF-,③若AD=3而，DH=5,则BD=3；@AH2=DH-AC,正确

的是.

A

【答案】②③/③②

［分析】先证明AB=AC=当BQB=乙ACB=乙4DE=^AED=45°,AD=AE,△BAD^△CAE,再证明

ND4G=N瓦4G=45。,。6=EG,若AC=CD,可得AC平分与题干信息不符，可判断①不符合题意；再

证明△力DFs^aCD,可得禁=装而AC=¥B&可判断②符合题意；如图，连接E8,求解DE=3V^X鱼

=3V10,设BD=CE=x,CH=y,再建立方程组｛,十伊+52=9闻)?,可判断③符合题意；证明

△HADHBA,可得业=DH-HB,^AH2=DH-AC,贝i|HB=4C,与题干信息不符，可判断④不符合题

意；从而可得答案.

【详解】解：■■■/.BAC=^DAE=90°,

"BAD=Z.CAE,

•••等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形/DE,

.'.AB=AC=争QB=4ACB=乙ADE=Z.AED=450Mo=AE,

BAD=△CAE,

：.^ACE=45。/BCE=90°,BD=CEf

-AH1DE,AD=AEf

.・Z/X4G=Z.EAG=45。必=EG,

・•・Z,EAC+乙CAH=45。，

若ZC=CD,

・•・^CDA=/.CAD=|(180°-45°)=67.5。，

.-.^CAH=67.5°一45°=22.5°=/-CAE,

・・・/C平分乙瓦4”,与题干信息不符，故①不符合题意；

'.^ADE=AACB=45°,^DAF=^CAD,

△ADFACD,

AD_AF

,•茄―布

.-.AD2=AC-AF,而"=争&

：.aAD2=BC•AF,故②符合题意；

如图，连接EH,

A

由力H1DE,DG=EG,

：.DH=EH=5,

-,-AD=3V5=AE.Z.DAE=90°,

-'-DE=3V5xV2=3V10,

设BD=CE=x,CH=y,

x2+y2=25

...r__2

+(5+y)2=(3^/10)

解得：即囱)=3,故③符合题意；

^^LDAH=Z.B=45O/AHD=乙AHB,

•••AHAD“△HBA,

.HA_DH

"HB~AH'

•••AH2=DH-HB,

^AH2=DH-AC,则HB=AC,与题干信息不符，故④不符合题意；

故答案为：②③

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形

的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键.

题型02与三角形有关的平移问题

I.(2023•四川攀枝花•中考真题)如图1,在aABC中，4B=BC=24C=8,△ABC沿BC方向向左平移得

到△DCE,4、C对应点分别是D、E.点尸是线段BE上的一个动点，连接力F,将线段4F绕点/逆时针旋转

至线段4G,使得=N凡4G,连接FG.

(1)当点尸与点C重合时，求尸G的长；

(2)如图2,连接BG、DF.在点尸的运动过程中：

①8G和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；

②当BF的长为多少时，a/lBG能构成等腰三角形？

【答案】⑴2小

(2)①DF=BG；②BF的长为14或11或8或0

【分析】(1)根据平移的性质可得四边形4BC。、四边形4CED是平行四边形，再由已知推导出48是NC4G

的平分线，由等腰三角形的性质可得2B1CG,过B点作BH14C交于H点，求出BH=2瘠，再由sin/B4C=

争=咨，所以CG=FG=2VB；

84

(2)①证明△48G三△aOF(SAS),贝!]DF=BG；

②过点4作力N，BC交于N,由等积法可得《X4X2V^=T><84N,求出4N=VH,分三种情况讨论：当

4G=4B时，AG=4F=8；当尸点与B点重合时，AF=8,此时BF=0,当BF=2BN时，AF=8,AABN

中，BN=7,可得BF=14；当2G=BG时，DF=AF,过点尸作FM_L4D交于M,所以2M=FN=4,能求

出CN=1,CF=3,贝=当B4=BG时，DC=DF,当尸点在BE上时，CD=DF,此时C点与F点重

合，此时BF=BC=8.

【详解】(1)解：当P点与C点重合时，AF=AC,

由平移可知，CD=AB,CD||AB,

•••四边形4BC0、四边形4CED是平行四边形，

•••AD=BC,AD||BC,

•・•乙BAD=Z-FAG,

•••Z-DAF=Z.BAG,

•・•AB=BC,

••Z-BAC=乙ACB,

vZ-DAC=Z.ACB,

Z.DAC=Z-BAC=Z-BAG,

・•・48是NG4G的平分线，

-AC=AG,

AB_LCG,

如图1,过B点作交于”点,

G

图1

•・•AB=BC=2AC=8,

•••BH=2-/15,

・•・sin^BAC=品运=注

84

CG=FG=2V15;

(2)解：①DF=BG,理由如下：

如图2,•••AG=AF,Z.DAF=^BAG,AB=AD,

.,.△ABG三△ADF(SAS),

；.DF=BG；

②如图2,过点4作4NLBC交于N,

图2

由①可知gx4x2V15=|x871JV,

•1•AN=V15,

当4G=AB时，

vAB=BC=8,

AG=8,

-AG=AF,

AF=8,

当F点与B点重合时，4F=8,此时BF=O,

当BF=2BN时，AF=8,在RtZkABN中，BN=、64—15=7,

•••BF=14；

当4G=BG时，AF=BG,

•:DF=BG,

••・DF=AF,

过点F作FM1Z0交于M,

・・.4M=DM=4,

vFMLAD,ANIBCf

.・.AM=FN=4,

•・•BN=7,

CN=1,

・•.CF=3,

BF=11；

当=时，

••・DF=BG,

・•.AB=DFf

vAB=CD=BC=AD,

：.DC=DF,

当F点在BE上时，CD=DF,此时C点与尸点重合，

.・.BF=BC=8；

综上所述：B尸的长为14或11或8或0.

【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及

性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

2.(2022・广西贵港•中考真题)已知：点C,。均在直线/的上方，2C与BD都是直线/的垂线段，且8。在

AC的右侧，BD=2AC,力。与BC相交于点。.

图1图2图3

(1)如图1,若连接CD,则△BCD的形状为,笔的值为;

(2)若将BD沿直线/平移，并以4。为一边在直线I的上方作等边△4DE.

①如图2,当力E与4c重合时，连接。E,若=a求。E的长；

②如图3,当〃CB=60。时，连接EC并延长交直线/于点R连接。F.求证：OF14B.

【答案】(1)等腰三角形，!

⑵①OE=2V7；②见解析

【分析】（1）过点C作CH1AD于〃，可得四边形/AffC是矩形，即可求得进而可判断△BCD

的形状，AC,80都垂直于/,可得A40C-ABO。，根据三角形相似的性质即可求解.

（2）①过点E作EF14D于点凡AC,5。均是直线/的垂线段，可得2C〃BD,根据等边三角形的性质可

得乙BAD=30°,再利用勾股定理即可求解.

②连接CD,根据力C〃BD,得NCBD=N4CB=60。，即△BCD是等边三角形，把△ABD旋转得

/.ECD=^ABD=90°,根据30。角所对的直角边等于斜边的一般得到崂=?=；,则可得△40F“△4DB,

/ioADJ

根据三角形相似的性质即可求证结论.

【详解】（1）解：过点C作CH1AD于H如图所示：

"ACll,DBU,CHA.BD,

:.乙CAB=UBD=「CHB=9Q°,

二四边形是矩形，

：.AC=BH,

又,；BD=2AC,

：.AC=BH=DH,MCH1BD,

△BCD的形状为等腰三角形，

■.■AC,2。都垂直于/,

.-.AC//BD,

：2OCFBOD,

AOACAC1__cs

'.而=而=而=于即nn。。=240,

.AO_40_A0__1

'''AD~AO+DO-3^40-3f

故答案为：等腰三角形，

（2）①过点£作EFLAO于点”，如图所示:

AB

图2

-AC,均是直线/的垂线段，

.-.AC//BD,

•・•△/0E是等边三角形，且4E与/C重合，

・44。=60。,

：.Z.ADB=AEAD=60°,

"AD=30°,

在RgAOB中，AD=2BD,AB=WBD,

又•:BD=2AC,AC=

：.AD=6,AB=3-/3,

.•.4H=DH=/D=3,AE=6

在Rt△4EH中，EH=，旃_4H2=yj62_32=3近,

又由（1）知哈=g

.-.AO=^AD=2,贝IJOH=1,

.•.在Rt^EOH中，由勾股定理得：OE=7EH2+OH2=2回

②连接CD,如图3所示：

图3

■■AC//BD,

:/CBD=Z.ACB=60°,

•.•由（1）知△BCD是等腰三角形，

.•.△BCD是等边三角形，

又•••△4DE是等边三角形，

△48。绕点。顺时针旋转60。后与△ECD重合,

:.Z.ECD=4ABD=90°,

又-"BCD=^ACB=60°,

.-.AACF=乙FCB=乙FBC=30°,

.-.FC=FB=2AF,

AF_AO_1

"~AB~~AD~3f

X^OAF=^DAB,

.•・△/OF〜△408,

・・・44/0=Z.ABD=90°,

.,.OF1AB.

【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理

的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键.

3.2023•湖北宜昌•中考真题)如图，已知4(0,2)凤2,0).点£位于第二象限且在直线丫=-2x±,Z.EOD=90°,

OD=OE,连接AB,DE,AE,DB.

⑴直接判断aaoB的形状：△力。8是三角形；

(2)求证：4AOEm4BOD；

(3)直线£/交x轴于点C(t,0),t>2.将经过8,C两点的抛物线yi=a/+6久一4向左平移2个单位，得到

抛物线及.

①若直线R4与抛物线yi有唯一交点，求f的值；

②若抛物线丫2的顶点尸在直线瓦4上，求t的值；

③将抛物线及再向下平移，许I个单位，得到抛物线若点。在抛物线为上，求点。的坐标.

【答案】(1)等腰直角三角形

(2)详见解析

⑶①t=3；②t=6；③。

【分析】(1)由4(0,2),8(2,0)得到。4=。3=2,又由乙4。8=90。，即可得到结论；

(2)由Z_EOD=90。，4408=90。得至1"40£'=48。。，又有4。=。8,OD=OE,利用SAS即可证明

△AOEmABOD；

(3)①求出直线2C的解析式和抛物线yi的解析式，联立得/-(t+3)x+3t=0,由△=(t+3)2-4x3t=

(t—3)2=0即可得到/的值；

②抛物线yi=一%+1(t+2)x-4向左平移2个单位得到抛物线丫2=—为一与邛+嗜,则抛物线外的

顶点P件,”|E),将顶点P殍,好)代入"1c=-|%+2得到/-6t=0,解得打=0/2=6,根据t>2即可

得到f的值；

③过点E作EM，x轴，垂足为过点。作DNlx轴，垂足为N,先证明△ODN三△EOM(AAS),贝U

tot

ON=EM,DN=OM,设EM=2OM=2取由CM||EM得到。C:CM=OA:EM,^\—=而,求得爪=大■，得到。

(gM)，由抛物线丫2再向下平移备个单位，得到抛物线丫3=-评+为―2)%-熹，把D(gM)代

入抛物线%+缶-2)x-消声得到3t2-19t+6=0,解得ti=疑2=6,由t>2,得£=6,即可得到点

D的坐标.

【详解】(1)证明：・・・/((),2)同2,0),

：.OA=OB=2,

,：Z-AOB=90°,

.・.△408是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形

(2)如图，

•・2EOD=90。，44。8=90。，

・♦・Z-AOB-Z-AOD=Z.DOE-Z.AOD,

AZ-AOE=乙BOD,

'.,AO=OB,OD=OE,

•••△40EwZ\800(SAS)；

(3)①设直线/C的解析式为y=k久+b,

・・・4(0,2),C(t,0),

(b=2

"tfct+b=0'

2.

•••'"=一了+2Q，

将C(t,0),B(2,0)代入抛物线yi=ax2+bx-4得，

fO=at2+bt—4

l0=4a+2b-4'

解得a=—5b=F(t+2),

2

...y1=—|x+|(f+2)x—4,

直线=-|%+2与抛物线%=—评+|(t+2)x-4有唯一交点

•••联立解析式组成方程组解得/—(t+3)久+3t=0

:.△=(t+3)2—4x3力=(t-3)2=0

・"=3

②••・抛物线yi=—+|(t+2)%—4向左平移2个单位得到、2,

・•・抛物线及=一-争+年泠

将顶点P殍,嗜)代入y4c=—色+2,

2

・•・t—6t=0,解得〃=0,t2=6,

,:t>2,

•••t=6；

.'./.EMO=(OND=90°,

vZ-DOE=90°,

・•.乙EOM+乙MEO=乙EOM+乙NOD=90°,

・・.4ME。=乙NOD,

•；OD=OE,

AOD/V=AEOM(AAS),

：.ON=EM,DN=OM,

,•,OE的解析式为y=—2x,

・••设EM=2OM=2m,

；.DN=OM=m,

vEM1久轴，

.'.OAWEM,

・•・△CAO-△CEM,

AOC\CM=OA'.EM,

._t___

"t+m2m?

・,・山=占

.•.EM=ON=2OM=2m=二，DN=OM=m=三,

・・•哈w），

2

••・抛物线，2再向下平移77手个单位，得到抛物线乃，

•,・抛物线为=一32+|(t-2)久-涓*,

•••D(三,M)代入抛物线％=-|%2+|(t_2)x__A_5

・••3t2—19t+6=0,

解得ti=*2=6,

由t>2,得t=6,

2t_12_12t_6_6

At^l-6^1--6^1-5J

【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定

系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，

综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键.

题型03与三角形有关的翻折问题

I.(2022・浙江绍兴•中考真题)如图，在AJ8C中，ZJSC=4O°,乙4c8=90。，4E平分乙84c交BC于点、

E.尸是边3c上的动点(不与5,C重合),连结/P,将A4PC沿/P翻折得A4P。，连结。C,记

Z-BCD=a,

备用图

(1)如图，当P与£重合时，求a的度数.

(2)当尸与£不重合时，记乙BAD=0,探究a与/的数量关系.

【答案】(1)25°

(2)①当点尸在线段5E上时，2a—0=50。；②当点尸在线段CE上时，2a+/=50。

【分析】(1)由48=40。，乙4cB=90。，得乙B/C=50。，根据NE平分N84C,P与E重合，可得乙4C。，

从而a=^ACB-^ACD；

(2)分两种情况：①当点尸在线段上时，可得乙4OC="CD=90o-a,根据A4OC+乙

L.BCD,即可得2(/-夕=50。；②当点尸在线段CE上时，延长40交3c于点尸，由乙4。。=乙4c0=90。-外

Z-ADC=ZAFC+a=AABC+/LBAD+a可得90°-a=40°+a+夕，即2a+P=50。.

【详解】（1）解：,・23=40。，4c3=90°,

."/C=50°,

与E重合，/£平分必/C,

二。在48边上，AE1CD,

.-./.ACD=65°,

；.a=UCB—UCD=25°；

（2）①如图1,当点尸在线段BE上时，

图1

■■■^ADC^^ACD=90°-a,AADC+乙BAD=£B+乙BCD,

.•.90°—a+£=40°+a,

；.2a—£=50°；

②如图2,当点P在线段CE上时，

图2

延长/。交2C于点

••♦zADC=UCZ）=90°—a,ZXDC=2L4FC+a=ZJ5C+z5/Z>+a=40°+a+H，

.•.90°—a=40°+a+£,

.■-2a+^=50o.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解

题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质.

2.（2023•宁夏・中考真题）综合与实践

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.

探究发现

如图1,在△4BC中，Z4=36°,AB=AC.

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边B力上，点C的对应点是点E,折痕交力C于点D,连接DE,

DB,则NBDE=°,设4c=1,BC=x,那么ZE=（用含％的式子表示）；

（2）进一步探究发现：髓=年，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：髓=年；

月安HLZ牍HLZ

拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的△力BC是黄金三角

形.如图2,在菱形A8CD中，^BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.

图2

【答案】（1）72°,l-x（2）证明见解析，拓展应用：等

【分析】（1）利用等边对等角求出N4BC/4CB的长，翻折得至I］乙4BD=NCBD=、4BC,

==利用三角形内角和定理求出，/.BDC,AEAB-BEAB-BC,表示出4E即可;

（2）证明△BDC”△力BC,利用相似比进行求解即可得出慧=早；

拓展应用：连接2C,延长4D至点E,使4E=AC,连接CE,得到△4CE为黄金三角形，进而得到案=与1

求出力C的长即可.

【详解】解：(1)•-24=36。，AB=AC,

■.^ABC="=1(180°-36°)=72°,

•.•将△ABC折叠，使边BC落在边B4上，

.-.Z.ABD=乙CBD=l^ABC=36°,4BDC=/.BDE.BC=BE=x,

:/BDC=Z.BDE=180°-4CBD一4C=72°,AEAB-BEAB-BC1-X；

故答案为:72°,l-x；

(2)证明："DC=72°="，

••.BD=BC=%,

vz.i4=Z-CBD=36°,乙。=Z.C,

•••△BDCFABC,

BC_CD

''~AC~~BC,

-Z.ABD=乙CBD=^A=36°,

.,.AD=BD=BC=x,

••.CD=1—x,

X_lr

•,•T—,

1x

整理，得：x2+x-l=0,

解得：%=^i(负值已舍掉)；

经检验》=等是原分式方程的解.

底BC_g1

,,腰4c厂;

拓展应用：

如图，连接ac,延长4。至点E,使4E=4C,连接CE,

E

•.•在菱形ABC。中，NBA。=72。，AB=1,

：.^CAD=AACD=36°,CD=AD=1,

；/EDC=Z.DAC+^ACD=72°,^ACE=^AEC=|(180°-ADAQ=72°,

；/EDC=乙AEC,

.・.CE=CD=1,

・•・△/CE为黄金三角形，

.CE_V5-1

"AC~f

.・.4：=高=亨.即菱形的较长的对角线的长为空.

V5-122

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质.解题的关键是理解

并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为与.

3.（2023•辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知力B=4C,N4>90。，点E为4c上一动点，将△4BE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探

究：

独立思考：小明：“当点。落在BC上时，NEDC=2乙4CB.”

小红：“若点E为2C中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长.”

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，48=4&乙4>90。,43。石由4485翻折得到.

（1）如图1,当点。落在8C上时，求证：NEDC=2N&CB；

（2）如图2,若点E为力C中点，AC=4,CD=3,求BE的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成乙4<90。的等腰三角形，可以将问题进一

步拓展.

问题2：如图3,在等腰中，Z/1<90°fAB=AC=BD=4,2zD=^ABD.若CD=1,则求BC的长.

【答案】（1）见解析；（2）土咨；问题2：8C=V1U

【分析】（1）根据等边对等角可得乙48C=NC,根据折叠以及三角形内角和定理，可得N8DE=N力

=180。—2“，根据邻补角互补可得4EDC+NBDE=180。，即可得证；

（2）连接4。，交BE于点、F,贝怩F是△4DC的中位线，勾股定理求得根据BE=BF+EF即可求解;

问题2：连接4。，过点B作于点M,过点C作CG，8M于点G,根据已知条件可得则四边形

CGMD是矩形，勾股定理求得2D,根据三线合一得出MQCG,根据勾股定理求得BC的长，即可求解.

【详解】（1）・・・等腰中，/8=/&乙4>90。,48。£由448£1翻折得至1」

：./.ABC=ZC,4BDE=4A=180°-2ZC,

・・・4EDC+NBOE=180。,

.,.Z.EDC=2/.ACB；

（2）如图所示，连接力D,交BE于点尸，

图2

折叠，

.-.EA=ED,AF=FD,AE=^AC=2,ADIBE,

・••E是AC的中点，

：.EA=EC,

•・封=豺=1，

在RtaaEF中，7F=7AE2_EF2=P_（1）2=亨，

在Rt△4BF中，BF=7AB2—旃=J42_=浮，

.-.BE=BF+EF=亚鱼；

2

问题2：如图所示，连接4。，过点8作BM，40于点M,过点C作CG1BM于点G,

图3

,：AB—BD,

1

.-.AM=MD,£.ABM=乙DBM=-Z.ABD,

•；2乙BDC=乙ABD,

:.乙BDC=Z-DBM,

.'.BMWCD,

.-.CDLAD,

又CG1BM,

四边形CGMD是矩形，

贝|JCD=GM,

在Rt△力CD中，CD=LAD=4,AD=>JAC2-CD2=V42-I2=V15,

.-.AM=MD=^-,CG=MD=叵

22

在Rtz\BDM中，BM=VBZ)2-DM2=J42-(^p)=|,

75

；.BG=BM—GM=BM—CD=《T=：,

在RtZkBCG中，BC=、BG2+g=J©+殍J=祗

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

题型04与三角形有关的旋转问题

1.(2023•辽宁丹东•中考真题)在△ABC中，^BAC=90°,乙4BC=30。，4B=6,点。是BC的中点.四

边形DEFG是菱形CD,E,F,G按逆时针顺序排列)，N£DG=60。，且。E=2,菱形DEFG可以绕点。旋

转，连接4G和CE,设直线4G和直线CE所夹的锐角为a.

DECB

(1)在菱形DEFG绕点。旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出4G与CE的数量关系及a

的值；

(2)当菱形DEFG绕点。旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；

若不成立，请说明理由；

(3)设直线4G与直线CE的交点为P,在菱形DEFG绕点。旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，

请直接写出△4PC的面积.

【答案】(1)4G=CE,a=60°；

(2)(1)中结论成立，证明见解析；

或

【分析】

(1)根据2G=aD—GD=2g—2,CE=CD-DE=2V3-2=AG,即可得出答案；

(2)证明△4DG三△CDE(SAS),即可求解；

(3)证明△BDE、△DGC均为等边三角形，证明/、M、P、G共线，由(1)、(2)知，

NMPC=Z71DM=60°,则PM=1^=1,在等边三角形4CD中，AC=2近,贝iMM=4Qsin60。=3,则

AP=AM+MP=3+1=4,进而求解；当B、尸重合时，也符合题意，由(1)、(2)知，

APA.2

/.MPA=/.ADC=60°,根据tanZTlCE=左==石，在△4PC中，用解直角三角形的方法即可求解.

【详解】(1)

解：AG=CE,a=60°,理由如下：

在△4BC中，N84C=90°,/.ABC=30°,AB=6,

则AC=力Btan30°=2通,BC=2AC=4四，

•・•点。是的中点，

BD=CD=AD=2V3,

则4G=2D—GD=2V^—2,CE=CD-DE=2^-2,

：.CE=AG,

•••△4DC为等边三角形，

•••^.ADC=60°=a；

(2)解：(1)的结论成立，理由：

证明：延长4G交CD于点7,交CE于点N,

•­•Z.ADG+/.GDC=60°=4GDC+乙CDE,

•••Z.ADG=Z-CDE,

•••AD=CD,GD=ED,

•••△/OGwZ\COE(SAS),

AG=CEf乙DCE=^DAN,

•••4ATD=Z.CTN,

・•.Z.ANC=Z.ADC=60°,

•••a=60°；

(3)解：当B、E、尸共线时，如下图，连接ZD,

A

根据图形的对称性，当2、E、尸共线时，且点。是BC的中点，

则尸、G、C共线，分别过点G、£作BC的垂线，垂足分别为"M,GM交CE于点尸,

•••NEDG=60",

则NBDE=Z.CDG=60°,

贝壮乙EBH=Z.HDE=Z.MCG=60°,

即△8DE,aOGC均为等边三角形，

BH=HD=DM=CM=：BC=V3,

由（1）知△4DC为等边三角形，

则4MJ.CD,则/、M,P、G共线，

由（1）、（2）知，^MPC=^ADM=60°,

则加=蒜=1，

在等边三角形4co中，AC=2V3,

则aM=4C-sin60°=3,

AP=AM+MP=3+1=4,

SAAPC=|xCM-71P=|X4XV3=2V3;

当B、尸重合时，也符合题意，如下图：

在RtzXABC中，AC=2^3,AE=AB-BE=6-2=4,

AE42

•••tanZ-ACE=—=-~p，

AC2VF3=V3

由(1)、(2)可知，NMP4=Z71£)C=60",

•••tan60°=1^=V3,

设2M=V^x，贝iJPM=x,

AMV3x3

:.CM=----------==-%,

tan-CE行2

•・・AC2=AM2+CM2,

即12=3/+2

4

4

解得：%=厉,

S^APC=|xAM.PC=gxV3xx(%+1%)=

综上，△ape的面积为：竿或2VJ.

【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目

难度很大，分类求解是本题解题的关键.

2.(2023•湖南益阳•中考真题)如图，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，AC>BC,点。在边AC上，将线段

绕点。按顺时针方向旋转90。得到D4,线段D4交力B于点E,作4F14B于点尸，与线段4C交于点G,连接

FC,GB.

A

(1)求证：△ADE三△4DG；

(2)求证:AF-GB=AG-FC；

(3)若4C=8,tan4=当4G平分四边形DCBE的面积时，求4。的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3噌

【分析】(1)根据旋转的性质可得£M=D4,乙4D4=4GD4=90。，再根据AF1AB,可得乙4=44,即

可；

(2)根据NBFG=乙ACB=90°,可得点3,C,G,尸四点共圆，从而得到NCBG=Z.CFG,AABC+乙CGF=180°,

从而得至IjNAGF=N4BC,进而得至!]N4CF=N4BG,可证明△ABG”△4CF,即可；

(3)连接EG,根据4c=8,tanA=可得8c=4,4。=4。=2DE,A'F=2EF,AB=4V5,设

DE=DG=x,则4。=2D=2x可得ZE=4G=代%,A'E=x,CG=8-3x,EF=^x,A'F=^-x,FG=

,

今务，BF=4V5—再由4G平分四边形DCBE的面积，可得S/^DEG+S/^FEG=S^BFG+S^BCG，从而得

到关于x的方程，即可求解.

【详解】(1)证明：・•・线段绕点。按顺时针方向旋转90。得到。4,

.'.DA=04,乙404=^LGDA'=90°,

：.Z-A+Z-AED=90°,

-A'FIAB,即乙4'FE=90。，

+/AEF=90。，

-：Z-AED=Z.AEF,

.••44=

在△40E和△AOG中，

•・・NZ=DA=DA'.Z-ADA'=^LGDA'=90°,

.'.AADE=AArDG；

(2)证明：^^.BFG=Z.ACB=90°,

.,点B,C,G,产四点共圆，

工乙CBG=^CFG,AABC+Z.CGF=180°,

vZi4GF+zCGF=180°,

：.Z-AGF=乙ABC,

-Z.AGF=乙CFG+AACF^ABC=^ABG+乙CBG,

：.Z-ACF=Z-ABG,

•：Z-A=Z.A,

・••△ABG-AACF,

AG_BG

：，~AF~~CFf

即ZF•GB=4G•FC；

(3)解：如图，连接EG,

vAADE=AA'DG,

：.DE=DG,AE=A'G,

'：AC=8,tan?l=1,

aBCDE1…EF1

而=，

••.tan4=^=5tan”=—29

：.BC=^fA'D=AD=2DE,A'F=2EF,

：-AB=4V5,

设DE=DG=K,则40=40=2%,

.t.AE=A'G=V5x,A'E=x,CG=8—3x,

.-.EF=争,4/=等x,

；.FG=哈，BF=4再一等％,

••,4G平分四边形。C8E的面积，

:*s4DEG+S&FEG=^ABFG+S&BCG，

.-.^DEXDG+^EFxFG=^BCXCG+,BFXFG,

即I•久2+gx等x竽尤=[x4(8—3x)+14西一等x)X竽X,

解得：％=喑(负值舍去)，

：.AD=2x=逅.

13

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理

等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

3.(2022•山西・中考真题)综合与实践

问题情境：在MA48C中，4B4c=90°,48=6,AC=8.直角三角板EOF中立£。尸=90。，将三角板的直角顶

点。放在放A48C斜边8c的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。尸分别与边N8,AC

交于点M,N,猜想证明:

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边48的中点时,试判断四边形/MW的形状，并说明理

由;

问题解决：

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当NB=NMDB时，求线段CN的长；

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段NN的长.

【答案】⑴四边形/MW为矩形；理由见解析；⑵CN=票(3)AN=^-.

【分析】(1)由三角形中位线定理得到MDII4C,ffi^A=^AMD=AMDN=90°,即可证明结论；

(2)证明aNDC是等腰三角形，过点"作旅?!"？于点G,证明△CGNsaC/8,利用相似三角形的性质

即可求解；

(3)延长ND,使DH=DN,证明△8。8三△CZW,推出5/7=CN,3BH="J,证明rMBH=90。，设

AM=AN=x,在必△切侬中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.

【详解】解：(1)四边形为矩形.

理由如下：•.•点河为45的中点，点。为5c的中点,

.-.MDWAC,

山Affl+"=180。，

・4=90。，

­./.AMD=90°,

“EDF=90°,

山=乙4MD=