2025年中考数学大题专练：几何中的最值问题（5大题型）（解析版）

中考大题07几何中的最值问题

考情分析•直击中考

在中考数学中，几何最值问题的考察，在小题中通常是选择或者填空题的压轴问题；在解答题中偶尔

也会作为压轴题中的第2个小问题出，难度比较大，是对学生探究能力的综合考察。在中考数学中常见的

几何最值问题是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以

也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。

琢题突破•保分必拿

将军饮马模型

胡不归问题

几何中的最值问题费马点

瓜豆原理

阿氏圆

题型一：将军饮马模型

龙能>大题典例

1.（2023,湖北鄂州,中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=a/（a>0）型抛物线图

象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点尸到定点F（0,a）的距离PG始终等于它到定直线/：

y=—；的距离PN（该结论不需要证明）.他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，

y=—总叫做抛物线的准线方程-准线/与了轴的交点为〃其中原点。为尸”的中点，FH=2OF=^.例

如，抛物线y=2H其焦点坐标为F（o,J准线方程为/：y=-1,其中PF=PN,FH=2OF，

【基础训练】

⑴请分别直接写出抛物线y=%2的焦点坐标和准线/的方程：,；

【技能训练】

（2）如图2,已知抛物线y=》上一点P（xo，yo）（xo>0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐

标；

【能力提升】

⑶如图3,已知抛物线y=52的焦点为尸，准线方程为/.直线%:y=/—3交y轴于点C,抛物线上动点

P到x轴的距离为由，到直线m的距离为d2,请直接写出小+d2的最小值；

【拓展延伸】

该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线、=女2缶〉0）平移至）7=矶%—八）2+依£1〉0）.抛物线y=a

（x—h）2+k（a>0）内有一定点+J,直线/过点—9且与X轴平行.当动点尸在该抛物线上

运动时，点P到直线/的距离PP1始终等于点P到点尸的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线y=2

（x-1）2+3上的动点P到点尸（1,金的距离等于点P到直线1：y=1的距离.

请阅读上面的材料，探究下题：

⑷如图4,点D（—1,|）是第二象限内一定点，点尸是抛物线y=#—1上一动点，当PO+PD取最小值时,

请求出△POD的面积.

【答案】（1）（0,1）,y=—l；

（2）（V2,|）；

⑶1

9

⑷0

【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可;

（2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得益2=8加2+2处—1,然后根据加二%。?，求出火，进

而可得Xo，问题得解；

（3）过点P作PE1直线加交于点E,过点P作PG1准线/交于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=PF=*

+1,PE=d2,根据两点之间线段最短可得当尸，P,E三点共线时，di+d2的值最小；待定系数法求直线PE

的解析式，求得点P的坐标为（2而—4,9—4而），根据点E是直线PE和直线机的交点，求得点E的坐标为

即可求得心和d2的值，即可求得；

（4）根据题意求得抛物线y=%2_i的焦点坐标为尸（0,0）,准线/的方程为y=—2,过点P作PG，准线咬

于点G,结合题意和（1）中结论可知PG=PF,贝/。+P。=「6+/5£）,根据两点之间线段最短可得当£）,

P,G三点共线时，PO+PQ的值最小；求得P（—3―即可求得△P。。的面积.

【详解】（1）解：•••抛物线y=/中a=；,

.11V

••备=L4一五=-L

抛物线y=32的焦点坐标为（0,1）,准线I的方程为y=—1,

故答案为：（0,1），y=-1；

（2）解：由（1）知抛物线y=的焦点厂的坐标为（0」），

,/点P（%o，yo）（xo>0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，

:.JXO2+（y°—=3yo,整理得：%o2=^yo2+2yo—1>

又=%）2,

**•4yo—8y（）2+2y0—1

解得：出=3或口）=一5（舍去），

...点p的坐标为（vx，；

（3）解：过点P作PE，直线m交于点E,过点P作PG1准线2交于点G,结合题意和（1）中结论可知

PG-=PF=d1+l,PE=d2,如图：

若使得询+为取最小值，即PF+PE—1的值最小，故当尸，P,E三点共线时，PF+PE-1=EF-1,即

此刻心+£?2的值最小;

直线PE与直线小垂直，故设直线PE的解析式为y=-2%+b,

将F(O,1)代入解得：6=1,

直线PE的解析式为y=—2x+1,

:点P是直线PE和抛物线y=#的交点，

令32=—2%+1,解得：%1=2V5—4,x2=—2V5—4(舍去)，

故点尸的坐标为(2西一4,9-4V5),

心=9—4V

•・,点E是直线PE和直线m的交点，

令-2%+1=、-3,解得：x=|,

故点E的坐标为6,一日)，

2

・•・d2=J(2V5-4-1)+(9-4V5

d]+d，2~—1.

即④+的最小值为|\用一1.

-1-1

(4)解：：抛物线丫=/2—1中a=[,

44

・1«14

••瓦=L一瓦=-1，

，抛物线y=#—1的焦点坐标为尸(0,0),准线/的方程为y=-2,

过点P作PGJ.准线I交于点G,结合题意和(1)中结论可知PG=PF,则PO+PD=PG+PD,如图:

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D,P,G三点共线时，PO+PD=PG+PD=DG,即

此亥炉。+PD的值最小；如图：

•••点D的坐标为（一1,|）,DGL准线

二点P的横坐标为一1,代入y=—1解得y=_1

即OP=I+1=*

则△P。。的面积为SAPOD=-Zx-x1=-o

【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一

次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.

2.（2023・四川宜宾・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形4BC的直角顶点43,0）,

顶点/、B（6,

⑴分别求反比例函数的表达式和直线力B所对应的一次函数的表达式；

（2）在x轴上是否存在一点尸，使a/lBP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】（i）y=§y=-+4

⑵在X轴上存在一点P(5,0),使△4BP周长的值最小，最小值是2迷+4V2.

【分析】(1)过点/作4E1X轴于点£,过点8作BD1久轴于点。，证明△4CE三△CBD(AAS),则

CD=AE=3,BD=EC=m,由。E=3—m得到点/的坐标是(3—巾,3),由/、F(6,6)恰好落在反比例函

数y=5第一象限的图象上得到3(3—m)=6m,解得爪=1,得到点/的坐标是(2,3),点8的坐标是(6,1),

进一步用待定系数法即可得到答案；

(2)延长AE至点4,使得E4=4E,连接4B交无轴于点尸，连接力P,利用轴对称的性质得到AP=4P,

4(2,—3),贝lMP+PB=4B,由4B=2而知AB是定值，it匕时△ABP的周长为2P+PB+=4B+4B最

小，利用待定系数法求出直线4B的解析式，求出点尸的坐标，再求出周长最小值即可.

【详解】(1)解：过点/作4E_L久轴于点E,过点8作轴于点。，

贝！U2EC=4CDB=90°,

,点43,0),B(6,m),

OC=3,OD=6,BD=m,

：.CD=OD—OC=3,

•・・是等腰直角三角形，

：./LACB=90°fAC=BC,

'：Z-ACE+乙BCD=乙CBD+乙BCD=90°,

：.Z.ACE=Z.CBD,

：.△ACE=△CBO(AAS),

CD=AE=3,BD=EC=m,

OE=OC—EC=3—m,

点/的坐标是(3-m,3),

-：A,B(6,吗)恰好落在反比例函数y=-

.'.3(3—m)=6m,

解得m=1,

工点力的坐标是(2,3),点5的坐标是(6,1),

k=6m=6,

反比例函数的解析式是y=(

设直线4B所对应的一次函数的表达式为y=px+q,把点/和点B的坐标代入得,

1

2p+q-3p-

得-

解-

6-12

p+qq*4

:.直线4B所对应的一次函数的表达式为y=-jx+4,

(2)延长4E至点4,使得E4=4E,连接4B交x轴于点尸，连接力P,

...点/与点4关于x轴对称，

：.AP=A'P,4(2,—3),

•：AP+PB=A'P+PB=A'B,

：.AP+PB的最小值是4B的长度，

'：AB=7(2-6)2+(3-1)2=2V5,即48是定值，

此时△ABP的周长为4P+PB+AB=AB+4B最小,

设直线4B的解析式是y=nx+t,

则常*摩3，

解得｛之二,

直线4B的解析式是y=x—5,

当y=0时，0=x—5,解得x=5,

即点P的坐标是(5,0),

此时4P+PB+AB=AB-[-A'B=2V5+7(2-6)2+(-3-l)2=2V5+4V2,

综上可知，在X轴上存在一点P(5,0),使aABP周长的值最小，最小值是2遍+4立.

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求

两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关

键.

莪塞》型;去揖号

将军饮马模型

将军饮马问题概衿：将军每天从军营A中发，先到河边饮马，然后再去河界同侧埠B地军亨巡牛应该怎样专才能使路程最短？一

求线

基

变线段垂直平

差

本

段

AB式分线上的点在直线上求一点

最

模LP,

的

六到线段两端求的最小值

值

型PA-PB

\距离相等

在直线L上求一点M,求

AM+BM的最小值

变

变

式

式

求A

一

B,七

线

段

线段

点

两

和

差

的三角形两边在直线L上求一点P,

间

之

最

的

大之差小于第求PA-PB的最大值

段

线

最三边

短

最

变

变

小在直线AB和BC上分别

式

式

值取一点M、N,求4

二

PMN周长的最小值八

(一动两定)

线段在直线可

变

加MNL

在直线AB和BC上分别

又移动，当移动到

取一点、求四边PQ+式MNA'B

式MN,

什么位置时，求

九

三形PQNM周长的最小P'Q'M

AM+MN+NB最小

值(两动两定)

移

平平行四边形值

最

类的性质+两

值

小点之间线段

最短

变

变

求在直线和上分别是河两侧的定

式

ABBC式A,BA'E

线取一点、求PN点，怎样造桥，可

四MN,

十M

段PM+PN的最小值以让总路程最短

和

的垂线

段最

最

短

小

变

值在直线AB和BC上分别

式取一点M、N,求

P'N

五PM+PN的最小值(―

定两动)

茏麓》笠型喳.

1.(2023•山东济南•一模)如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=5(>:>0)经过8、C两点，△4BC为直

角三角形，ACIIx轴,4B||y轴，4(8,4),47=3.

⑴求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)点朋r是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；

①求MB+MC的最小值；

②点N是反比例函数y=5(x>0)的图像上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形，求所

有满足条件的点N的坐标.

【答案】(i)y=§,(8,|)

⑵①等；②N偿，9)或纵-2+2后2+2V6)

【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知

识.

(1)求出C(5,4),用待定系数法可得反比例函数的表达式为y=§，令x=8得B的坐标为(8,|)；

(2)①作C关于y轴的对称点。，连接交y轴于M,此时MB+MC最小，由C(5,4),B(8,|),可得0(—5,

4),BC=J(8+5)2+(|—4『=等,即可得到答案；

②设M(0,m),N(n,§)，分两种情况：当C为直角顶点时，过C作TK||y轴，过N作NT17K于T,过M作

4—7n=5—71

5=20_4,即可解得

{n

_20.

2071--n--4

N(-f9)；当N为直角顶点时，过N作RSly轴于S,过C作CR1RS于R,同理可得卜o匚，解得

v---m=5—n

Af(2*\^6—2,2V6+2).

【详解】(1)打⑹4),AC=3,

・••C(5,4),

将C(5,4)代入y=E得：

.k

4-

解得％=20

・••反比例函数的表达式为y=§,

on彳

在'=昼中，令久=8得y=5，

・•.B的坐标为(8,|)；

(2)①作C关于y轴的对称点。，连接BC咬y轴于M,此时MB+MC最小，如图:

.-.MB+MC=MB+MC,

当B,M,。共线时，MB+最小，即MB+MC最小，最小值为的长度,

由(1)知C(5,4),8(8,|),

4),

BC=](8+5)2+(|-4)2=等，

MB+MC的最小值是第；

②设M(0,m),Ng等，

当C为直角顶点时，过C作TK||y轴，过N作NTJ.7K于T,过M作MKLTK于K,如图:

CM=CN,乙MCK=90。一乙NCT=^CNT,

•:乙K=90°=ZT,

・•・△CMKzANCT(AAS),

ACK=NT,MK=CT,

4—m=5—n

5=--4'

{n

解得

，N常，9)；

当N为直角顶点时，过N作RSly轴于S,过C作CRLRS于R,如图:

解得九=2前一2或？i=—2瓶一2(舍去)，

*'•N(2yf6—2,2V^+2)；

综上所述，N的坐标为常，9)或(2伤—2,2V6+2).

2.(2023・甘肃陇南•三模)(1)如图①，在RtaABC中，zC=90°,AC=3,BC=4,点D是4B边上任意

一点，贝UCD的最小值为.

(2)如图②，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上,求CM+MN的最小值；

(3)如图③，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,点E是AB边上一点，且AE=2,点F是BC边上的任意一

点，把aBEF沿EF翻折，点8的对应点为点G,连接4G、CG,四边形4GCD的面积是否存在最小值？若存在,

求出四边形AGCD面积的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)■y;(2)黄；(3)存在，当

【分析】

本题考查四边形综合应用，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满

足条件的点的位置，题目综合性较强.

(1)根据垂线段最短，利用用三角形的面积即可得出结论；

(2)先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF,进而求出CE,最后用三角函数即可求出

CM+MN的最小值；

(3)先确定出EG14C时，四边形4GCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到4C的距离，最后用面积

之和即可得出结论.

【详解】

解：(1)过点C作CD14B于D,如图：

C

ADB

根据垂线段最短可知此时CD最小,

在Rt△力BC中，AC=3,BC=4,

：.AB=7AC2+BC2=存+42=5,

\'^ACxBC=^ABxCD,

ACxBC3x412

-,-CD=^^=—=^

故答案为：?；

(2)如图，作出点C关于8。的对称点E,过点E作ENJ.BC于N,交8。于M,连接CM,

此时CM+MN=EM+MN=EN最小；

四边形4BCD是矩形，

•••Z.BCD=90°,CD=AB=3,

二BD='BC2+CD2=V32+42=5,

VCE1BD,

■.^BDxCF=^BCxCD,

「

CFL=-B-C--x-C--D-=-4--x-3=——12,

BD55，

:点C与点E关于BD对称，

24

・•・CE=2CF=—,

rp王Q

在RtZiBCF中，coszFCF=—=T=-,

DC45

4

・••sinZ-BCF=

24496

在Rt/XCEN中，EN^CE-sinzBCE=yx-=—；

•1•CM+MN的最小值为去；

(3)四边形2GCD的面积存在最小值，最小值为自，理由如下:

如图，连接4C,

四边形48co是矩形，

.-.CD=AB=3,AD=BC=4,NABC=ND=90°,

：.AC=7AB2+BC2=<32+42=5,

AB=3,AE=2,

•••点F在BC上的任何位置时，点G始终在4c的下方，

设点G到4C的距离为h,

S四边形AGCD=SAACD+^AACG=%。xCD+|xcxh=^x4x3+1x5xh=|/i+6,

二当四边形4GCD的面积最小时，无最小，

,/把△沿EF翻折，点B的对应点为点G,

：.EG=BE=AB-AE=1,

...点G轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆在矩形4BC0内部的一部分上的点，

EG1ac时，八最小，

由折叠知NEGF=乙ABC=90°,

延长EG交"于H,贝IJEHIAC,

DfA

在ABC中，sin/BAC”,

在中，AE=2,sinNB2C=要=±

AE5

-,-EH=lAE=l'

h=EH—EG=1-1=I，

•1•S四边形4GCD最小=|h+6=IX9+6=/

题型二：费马点

龙麓»大题典例

（2023・湖北随州•中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上

的三个点B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利

给出了分析和证明，该点也被称为"费马点"或"托里拆利点"，该问题也被称为"将军巡营”问题.

⑴下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从"直角"和"等边"中选择填空,

②处从“两点之间线段最短"和"三角形两边之和大于第三边"中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点）

当△ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将绕，点C顺时针旋转60。得到连接PP,

由PC=P£,APCP'=60°,可知△PCP，为①三角形,故PP'=PC,又P4=P4故PA+PB+PC=P4

+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P,,/在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为4B,此时的

P点为该三角形的"费马点”，且有N4PC=NBPC=LAPB=⑶；

已知当aABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点〃为该三角形的某个顶点.如图3,若2120。，

则该三角形的"费马点"为点.

⑵如图4,在△4BC中，三个内角均小于120。，且47=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点。为△ABC的〃费

马点”，求24+P8+PC的值；

A1A

图4iH5

（3）如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,N4CB=60。.现欲

建一中转站尸沿直线向/,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄/,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含。的式子表示)

【答案】⑴①等边；②两点之间线段最短；③120。；④4

(2)5

(3)2V13a

【分析】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将△力PC绕，点。顺时针旋转60。得到△4PC,即可得出可知当2,P,P',/在同

一条直线上时，PH+PB+PC取最小值，最小值为4B,在根据乙4。3=30°可证明=

+NBCP+NPCP=90。，由勾股定理求48即可，

(3)由总的铺设成本=。(「力+。8+迎「。)，通过将△APC绕，点C顺时针旋转90。得到△APK,得到等

腰直角得到鱼PC=PP1即可得出当2,P,P',“在同一条直线上时，P7T+PB+PP取最小值,

即PA+PB+我PC取最小值为AB,然后根据已知和旋转性质求出48即可.

【详解】(1)W：-：PC=P'C,APCP'=60°,

/.△PCP为等边三角形；

/.PP'=PC,4P，PC=^PP'C=60°,

又P4=PA,故P4+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P',/在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，

最小值为4B,此时的P点为该三角形的"费马点"，

J./-BPC+/.P/PC=180°,/.A'P'C+^PP'C=180°,

/.ZBPC=120°,AA'P'C=120°,

又：AAPC=AA'P'C,

：.Z.APC=/.AP'C=120°,

：.^APB=360°-^APC-ABPC=120°,

：.Z.APC=Z.BPC=4APB=120°；

•：ABAC>120°,

：.BC>AC,BOAB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

.♦•三个顶点中，顶点/到另外两个顶点的距离和最小.

又：已知当△4BC有一个内角大于或等于120。时，"费马点"为该三角形的某个顶点.

...该三角形的"费马点”为点

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；④4

(2)将△APC绕，点C顺时针旋转60。得到△4PC,连接PP,

由(1)可知当8,P,P,,/在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，最小值为4B,

A'

/力

VZ71CP=Z.ACP',

J.^ACP+/.BCP=Z.A'CP'+Z.BCP=/.ACB=30°,

又：NPCP'=60°

/.BCA'=Z.A'CP'+Z.BCP+Z.PCP'=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

J.A'B=VBC2+A'C2=442+32=5,

.••PA+PB+PC最小值为5,

(3);总的铺设成本=PA-a+PB-a+PC啦a=a(PA+PB+V2PC)

.•.当PH+PB+鱼PC最小时，总的铺设成本最低，

将△4PC绕，点C顺时针旋转90。得到△4PC,连接PP,A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,/.PCP'=^.ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

：.PP'=>/2PC,

：.PA+PB+>J2PC=P'A'+PB+PP',

当B,P,P,,4在同一条直线上时，P0+P8+PP，取最小值，即/54+「3+7^5。取最小值为48,

A'

B0H

过点4作4HlBC,垂足为H,

'：AACB=60°,AACA'=90°,

：./.A'CH=30°,

：.A'H=^A'C=2km,

：.HC=7AC2-4H2=742-22=2®km),

BH=BC+CH=2V3+2g=4g(km),

：.A,B=7AH2+BH2=J(4V3)2+V=2V13(km)

PA+PB+鱼PC的最小值为2VI^km

总的铺设成本=PA-a+PB-a+PC-y[2a=a(PA+PB+V2PC)-2V13a(元)

故答案为：2后a

【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股

定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键.

龙卷》鲤去揖号.

【基础】费马点常见结论：

1)对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120。的点；

2)对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

(注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120。)

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度，即当A,A',P,P’四点共线时取最小值.

【进阶】加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是I,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.

问题求解图形作法

求PA+PB+PC最DACAP绕点C顺时针旋转60°得ACDE

小值二BD长度即为所求，在RtZkBCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

求PA+PB+V2PC△CAP绕点C顺时针旋转90°得ACDE

最小值此时△PCE为等腰直角三角形，即PE力?PC

因此原式=PA+PB+◎C=ED+PB+PE,则当B、P、E、D

BF6四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD中

3也工丁/3有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

%

求PA+PB+V3PCE△CAP绕点C顺时针旋转120。得ACDE

最小值此时APCE为等腰三角形且NPCE=120°,即PE=V5PC,

SlttJ?^=PA+PB+V3PC=ED+PB+PE,贝！]当B、P、E、D

B\3Q"0

/四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD中

有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=J60+30v3

求思路：原式=2(PA4PB+遗PC)

2PA+PB+V3PC

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PF_L.CE于点

最小值

下F,则PF=[PC;2)泗利用三角形中位线来处理；3)PA前

的系数是1,不需要转化，所以旋转4PCB.

过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过点

DP作PF1CE于点F,此时APCE为等边三角形，即

PF=^pC,过点F作FG"DE,贝i]FG=；PB,贝恺A、P、

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在RtA

ACT中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=用,原式=2

(PA+ipB+—PC)=2734

22

过程：4ACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE.然后过点

P作PF1CE于点F,此时APCE为等边三角形，即

PF争C,过点F作FG//DE,则FG=加，则当B、P、

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在RtA

BCG中有勾股定理可得BG=VCG+4C2=7.5,原式=4

(^PA+PB+yPC)=26

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

蔻3处要式训级

1.(2023・贵州遵义・三模)(1)【问题发现】如图①，在△04B中，若将△OAB绕点。逆时针旋转120。

得至连接BB，；求4OBB'=_；

(2)【问题探究】如图②，己知△ABC是边长为4仃的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD,P

为△4BC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60。，点P的对应点为点Q.

①求证：ADCQ三4BCP；

②求P4+PB+PC的最小值；

(3)【实际应用】如图③，在矩形4BCD中，48=600,AD=800,P是矩形内一动点=2S^BC，Q

为△?!£)2内任意一点，是否存在点P和点0,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)30°；(2)①见解析；②12；(3)存在，4008+400

【分析】(1)根据旋转的性质得出。/=。8,4BOB'=120°,根据等腰三角形的性质求出结果即可；

(2)①根据等边三角形的性质证明全等即可；

②连接PQ,得到是等边三角形，由两点之间线段最短得aP+DQ+PQNA。，求出4。即可得解；

(3)过点P作EFIIA。交28于点E,交CD于点将△4DQ绕点/逆时针旋转60。得△4OQ，，连接DD1QQ，

,D'P,设。P交4D于点G,由SapAonZSkBc可得=进而求得4E=400,当。PlEF时，0P有最

小值，运用勾股定理可求解.

【详解】（1）解：・・・将△048绕点。逆时针旋转120。得到△。49,

・・・。9=。8=3,48。夕=120。，

:•乙OBB'=2OB'B=3b。，

故答案为：30°；

(2)①证明：•・・△BOC是等边三角形,

:・CD=CB,Z.DCB=60°,

由旋转得乙PCQ=60。，PC=CQ,

:.(DCQ=^BCP,

在△DCQ和△BCP中，

(CD=CB

](DCQ=乙BCP,

ICQ=CP

：.ADCQ^AFCP(SAS)；

②连接PQ,

•；PC=CQ,Z.PCQ=60°,

・・・△（:~?是等边三角形，

：.PQ=PC,

*：ADCQ三ABCP,

；・PB=DQ,

：.PA+PB+PC=PA+QD+PQ,

由两点之间线段最短得/P+DQ+PQ>AD,

：.PA+PB+PC>ADf

J当点4、尸、。、。在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，为/。的值,

延长/C,作交ZC的延长线于点E,

・・・△ZBC是边长为4百的等边三角形，

：.AC=CD=CB=4V