2025年中考数学大题与几何压轴题：三角形压轴（讲练）（原卷版）

专题10三角形压轴

目录

一、考情分析

二、知识建构

考点三角形压轴

【真题研析•规律探寻】

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

题型02与三角形有关的平移问题

题型03与三角形有关的翻折问题

题型04与三角形有关的旋转问题

题型05与三角形有关的全等/相似问题

题型06与三角形有关的最值问题

题型07与三角形有关的动点问题

题型08与三角形有关的新定义问题

题型09与三角形有关的阅读理解问题

题型10与三角形有关的存在性问题

题型11三角形与几何图形综合

题型12三角形与函数综合

【核心提炼•查漏补缺】

【好题必刷•强化落实】

考点要求命题预测

在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以

三角形压轴选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.

考点三角形压轴

真题研析-规律探寻

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

1.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与延长

线上的点0重合.DE交BC于点F,交延长线于点£.DQ交BC于点尸，DM148于点XM=4,则下

列结论，①DQ=EQ,②BQ=3,@BP=^,@BD||FQ.正确的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

2.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，△力BC和△2DE是以点4为直角顶点的等腰直角三角形，把△4DE

以4为中心顺时针旋转，点M为射线B。、CE的交点.若AB=VI,AD=1.以下结论：

①BD=CE；@BD1CE；

③当点E在B4的延长线上时，MC=与&

④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为《

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023•湖北•中考真题）如图，△a4&2\。斯和44第都是等腰直角三角形，

^BAC=乙DEB=^AEF=90。，点E在△力8c内,BE>AE,连接DF交2E于点G,DE交4B于点H,连接CF.给

出下面四个结论：①乙DBA=4EBC；②4BHE=4EGF；@AB=DF；（4）AD=CF.其中所有正确结论的

序号是.

4.（2022•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在等腰直角三角形A8C和等腰直角三角形ADE中，

AB2C=4D4E=90。，点。在8c边上，与/C相交于点足AHIDE,垂足是G,交BC于点、H.下列

结论中：@AC=CD；@y[2AD2=BC-AF；③若AD=3再，DH=5,则BD=3；（4）AH2=DH-AC,正确

的是.

题型02与三角形有关的平移问题

1.（2023•四川攀枝花•中考真题）如图1,在△ABC中，AB=8C=24C=8,△ABC沿BC方向向左平移得

到△DCE,4、C对应点分别是D、E.点F是线段BE上的一个动点，连接力F,将线段4F绕点/逆时针旋转

至线段4G,使得NB4D=NF4G,连接FG.

(1)当点尸与点C重合时，求FG的长；

(2)如图2,连接BG、DF.在点尸的运动过程中：

①BG和DF是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；

②当BF的长为多少时，a/lBG能构成等腰三角形？

2.(2022•广西贵港•中考真题)已知：点C,。均在直线/的上方，AC与BD都是直线/的垂线段，且8。在

力C的右侧，BD=2AC,AD与BC相交于点。

(1)如图1,若连接CD,则△BCD的形状为,而的值为;

(2)若将BD沿直线I平移，并以力D为一边在直线/的上方作等边△ADE.

①如图2,当4E与AC重合时，连接。E,若4C=*求OE的长；

②如图3,当乙4cB=60。时，连接EC并延长交直线/于点/，连接。F.求证：。尸128.

3.2023•湖北宜昌•中考真题)如图，已知4(0,2),8(2,0).点£位于第二象限且在直线y=-2x±,乙EOD=90°,

OD=OE,连接AB,DE,AE,DB.

图1图2

⑴直接判断△力OB的形状：△力。B是三角形；

(2)求证：△AOEmABOD；

⑶直线E4交x轴于点C(t,0),t>2.将经过5,C两点的抛物线%=a/+6久—4向左平移2个单位，得到

抛物线九.

①若直线及4与抛物线yi有唯一交点，求f的值；

②若抛物线丫2的顶点尸在直线瓦4上，求f的值；

2

③将抛物线>2再向下平移，用百个单位，得到抛物线若点。在抛物线为上，求点。的坐标.

kL-1-7

题型03与三角形有关的翻折问题

1.(2022•浙江绍兴•中考真题)如图，在A48C中，乙48。=40。，乙4c3=90。，4E平分乙B4c交BC于点、

E.尸是边3C上的动点(不与B,C重合),连结/P,将△NPC沿NP翻折得A4PO,连结。C,记

Z-BCD=a.

备用图

(1)如图，当尸与E重合时，求a的度数.

(2)当尸与E不重合时，记乙BAD=B，探究a与尸的数量关系.

2.(2023•宁夏•中考真题)综合与实践

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.

探究发现

如图1,在△4BC中，ZX=36°,AB=AC.

A

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边B力上，点C的对应点是点E,折痕交力C于点D,连接DE,

DB,则=°,设4C=1,BC=x,那么4E=（用含x的式子表示）；

（2）进一步探究发现：慧=浮，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：黑=浮；

/ALZ牍ALZ

拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的△4BC是黄金三角

形.如图2,在菱形4BCD中，/.BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.

图2

3.（2023•辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知23=4&乙4>90。，点E为4C上一动点，将a/lBE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探

究：

独立思考：小明：“当点。落在BC上时，4EDC=2乙ACB.”

小红：“若点E为AC中点，给出力C与DC的长，就可求出BE的长.”

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答：

图3

问题1：在等腰△A8C中，48=4。,乙4〉90。,2\3£>£1由448£1翻折得至1].

(1)如图1,当点。落在BC上时，求证：乙EDC=24ACB；

(2)如图2,若点E为力C中点，AC=4,CD=3,求BE的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成乙4<90。的等腰三角形，可以将问题进一

步拓展.

问题2：如图3,在等腰△ABC中，ZX<90°,AB=AC=BD=4,2zZ)=AABD.若CD=1,则求BC的长.

题型04与三角形有关的旋转问题

1.(2023•辽宁丹东•中考真题)在△48C中，ABAC=90°,乙48。=30。，AB=6,点。是8C的中点.四

边形DEFG是菱形(D,E,F,G按逆时针顺序排列)，^EDG=60°,且DE=2,菱形DEFG可以绕点。旋

转，连接4G和CE,设直线4G和直线CE所夹的锐角为a.

DECB

(1)在菱形DEFG绕点。旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出力G与CE的数量关系及a

的值；

(2)当菱形DEFG绕点。旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；

若不成立，请说明理由；

(3)设直线4G与直线CE的交点为P,在菱形DEFG绕点。旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，

请直接写出△NPC的面积.

2.(2023•湖南益阳•中考真题)如图，在Rt^ABC中，乙4cB=90。，4C>BC,点。在边4C上，将线段

绕点。按顺时针方向旋转90。得到D4,线段D4交力B于点E,作4F1AB于点尸，与线段4C交于点G,连接

FC.GB.

DGC

(1)求证：△ADE三△4DG；

(2)求证:AFGB=AG-FC；

(3)若力C=8,tan4=",当4G平分四边形DCBE的面积时，求4D的长.

3.(2022•山西・中考真题)综合与实践

问题情境：在瓦A43C中，NA4c=90。，48=6,AC=8.直角三角板皮>尸中乙矶）尸=90。，将三角板的直角顶

点。放在必A43C斜边2C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边DE,。厂分别与边AB,AC

交于点M,N,猜想证明：

E

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点加•为边48的中点时,试判断四边形/MDN的形状，并说明理

由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当NB=NMOB时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段NN的长.

4.（2022•湖南湘潭•中考真题）在△力BC中，ZBXC=90°,AB=AC,直线I经过点4过点B、C分别作/的

垂线，垂足分别为点。、E.

⑴特例体验：

如图①，若直线4IBC,AB=AC=正,分别求出线段BD、CE和DE的长；

⑵规律探究：

①如图②，若直线I从图①状态开始绕点4旋转a（0<a<45。），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明

理由；

②如图③，若直线1从图①状态开始绕点/顺时针旋转吹45。<&<90。），与线段8c相交于点H,请再探线

段80、CE和。E的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：

在图③中，延长线段BD交线段力C于点F,若CE=3,DE=1,求S刈FG

题型05与三角形有关的全等/相似问题

1.（2023・四川成都•中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

在近△ABC中，ZC=90°,4C=BC,。是4B边上一点，且铁一("为正整数)，E是2C边上的动点，过点

Dun

D作DE的垂线交直线BC于点F.

图1图2图3

【初步感知】

(1)如图1,当n=l时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=^-AB,请写出证明过程.

【深入探究】

(2)①如图2,当n=2,且点尸在线段BC上时，试探究线段4E,BF,48之间的数量关系，请写出结论并证

明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,4B之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证

明)

【拓展运用】

(3)如图3,连接EF,设EF的中点为若AB=2a,求点E从点/运动到点C的过程中，点〃运动的路

径长(用含〃的代数式表示).

2.(2023•福建•中考真题)如图1,在△A8C中，NB2C=90。/8=4C,D是48边上不与4B重合的一个定

点.力。1BC于点。，交CD于点£DF是由线段。。绕点。顺时针旋转90。得到的，FQC2的延长线相交于点M.

(1)求证：LADEFFMC；

⑵求N2BF的度数；

(3)若N是2F的中点，如图2.求证：ND=NO.

3.(2023•湖北黄冈•中考真题)【问题呈现】

△G4B和△CDE都是直角三角形，ZXCB=^DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,BE,探究力D,BE

的位置关系.

图1图2备用图

(1)如图1,当m=l时，直接写出AD,BE的位置关系：；

(2)如图2,当m力1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

(3)当巾=旧/8=477,。5=4时，将△CDE绕点C旋转，使4。,E三点恰好在同一直线上，求BE的长.

题型06与三角形有关的最值问题

1.(2023・湖北随州•中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直

线上的三个点B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里

拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三

角形的某个顶点)

当△4BC的三个内角均小于120。时，

如图1,将△4PC绕，点C顺时针旋转60。得到△儿「£,连接PP,

由PC=P£,/-PCP'=60°,可知为①三角形,故PP，=PC,又P4=P4,i^PA+PB+PC=PA'

+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P1,/在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为4B,此时的

P点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=Z-BPC=UPB=③；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NB力CN120。,

则该三角形的“费马点”为⑷点.

(2)如图4,在△力BC中，三个内角均小于120。，且4c=3,BC=4,^ACB=30°,已知点尸为△48的中费

马点”，求P4+PB+PC的值；

AA

A

(3)如图5,设村庄/,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向/，B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,鱼。元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含。的式子表示)

2.(2023•重庆・中考真题)如图，在等边△ABC中，4D1BC于点D,E为线段力。上一动点(不与4。重

合)，连接BE,CE,将CE绕点C顺时针旋转60。得到线段CF,连接4F.

(1)如图1,求证：乙CBE=£CAF；

(2)如图2,连接BF交力C于点G,连接DG,EF,EF与DG所在直线交于点“，求证：EH=FH；

⑶如图3,连接BF交4c于点G,连接DG,EG,将△4EG沿4G所在直线翻折至△ABC所在平面内,得至IJ△APG,

将△DEG沿OG所在直线翻折至△4BC所在平面内，得到△DQG,连接PQ,QF.若AB=4,直接写出PQ+QF

的最小值.

3.(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系工。了中，已知点对于点P给出如下定义：将点P向右

(a20)或向左(a<0)平移⑷个单位长度，再向上(b20)或向下(6<0)平移网个单位长度，得到点P',点P'

关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

⑴如图，点点N在线段OM的延长线上，若点P(—2,0),点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段。N于点T,求证：NT=|0M;

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段0M上，且。N=t&<t<1),若P为。。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点“在。。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表

示).

4.(2022•江苏徐州•中考真题)如图，在△yiSC中，4BAC=90°,4B=NC=12,点尸在边上，D、E

分别为BC、PC的中点，连接。E.过点E作8C的垂线，与BC、NC分别交于尸、G两点.连接DG,交

PC于点、H.

备用图

⑴&DC的度数为二

(2)连接尸G,求A4PG的面积的最大值；

(3)PE与。G存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由;

(4)求箸的最大值.

题型07与三角形有关的动点问题

1.(2023•辽宁鞍山•中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,ABAC=a，点。是射线BC上的动点(不与

点、B,C重合)，连接2D,过点。在4D左侧作DE14D,使AD=kDE,连接4E,点、F,G分别是4E,BD

的中点，连接DF,FG,BE.

图2

备用图

(1)如图1,点。在线段BC上，且点。不是BC的中点，当a=90。，k=l时，AB与BE的位置关系是

FG_

-----------------''CD~------------------

(2)如图2,点D在线段BC上，当a=60。，k=g时，求证：BC+CD=2^3FG.

(3)当a=60。，k=g时，直线CE与直线AB交于点N.若BC=6,CD=5,请直接写出线段CN的长.

2.(2023•湖南郴州•中考真题)己知△ABC是等边三角形，点。是射线上的一个动点，延长BC至点E,

使CE=AD,连接DE交射线2C于点F.

(1)如图1,当点。在线段48上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；

(2)如图2,当点。在线段48的延长线上时，

①线段CF与8。的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,连接4E.设4B=4,若乙AEB=LDEB,求四边形BDFC的面积.

3.(2022•重庆•中考真题)如图，在锐角△A8C中，乙4=60。，点D,E分别是边AB,4C上一动点，连接8E

交直线CD于点F.

图1图2备用图

(1)如图1,若力B>AC,且BD=CE,乙BCD=LCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若4B=2C,且B0=4E,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线段CM,连接MF,

点N是MF的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你

的猜想；

(3)若且BD=4E,将△ABC沿直线A8翻折至△力BC所在平面内得到aaBP,点H是4P的中点,

点K是线段P尸上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到△QHK,连接PQ.在点D,E运

动过程中，当线段PF取得最小值，且QK1PF时，请直接写出震的值.

题型08与三角形有关的新定义问题

1.(2022•山东青岛•中考真题)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在△4BC和夕O中，分别是BC和边上的高线，且4。=4。，则△ABC和

△4BC是等高三角形.

图①图②图③

【性质探究】

如图①，用S^BC，SMBC分别表示△ABC和夕。的面积.

则S"BC=］BC•AD,S—^B'C-A'D',

■:AD=A'D'

-'-^AABC-^AA,B'C=BC'.B'C.

【性质应用】

（1）如图②，。是△ABC的边8C上的一点.若BD=3,DC=4,贝IJSA4BO：S"DC=；

（2）如图③，在△力BC中，D,£分别是BC和4B边上的点.若BE:48=1:2,CD-.BC=1-.3,SAABC=1,贝U

SABEC—，SACDE—；

（3）如图③，在aABC中，D,E分别是BC和边上的点，若BE:4B=1:机，CD-.BC=l-.n,S^ABC=a,贝|

S^CDE=-

2.（2021•山东东营・中考真题）已知点O是线段的中点，点尸是直线/上的任意一点，分别过点/和

点2作直线/的垂线，垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.

（1）［猜想验证］如图1,当点尸与点。重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和。。的数量关系

是.

（2）［探究证明］如图2,当点P是线段上的任意一点时，“足中距”OC和。。的数量关系是否依然成立,

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）［拓展延伸］如图3,①当点尸是线段R4延长线上的任意一点时，“足中距”OC和。。的数量关系是否

依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若4。。。=60。，请直接写出线段/C、BD、。。之间的数量关系.

D,DD

O

B

(P)

图1图2图3

题型09与三角形有关的阅读理解问题

I.(2022・吉林・中考真题)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线川七，ZiABC与△D8C的面积相等吗？为什么？

图①

解：相等.理由如下：

设与%之间的距离为八，贝!JSA4B2SADBC=qBC•h.

•'△ABC=SADBC-

【探究】

(1)如图②，当点。在k，6之间时，设点4D到直线％的距离分别为h，h',则瓷=£

图②

证明：：SA4BC_

S^ABCAM

(2)如图③，当点D在%之间时，连接力。并延长交％于点则:

M,S4DBCDM

图③

证明：过点/作AEIBM,垂足为E,过点。作。FIBM,垂足为F,则乙4EM==90。，

：.AE\\_.

・•.△AEM〜

AE_AM

''~DF~~DM'

由【探究】（1）可知产=，

、ADBC~

S&ABC_ZM

,,S4DBCDM'

（3）如图④，当点。在％下方时，连接4D交%于点E.若点4E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,

的值为

图④

2.（2022•贵州黔东南•中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:

如图，△48。和43。石都是等边三角形，点4在。5上.

求证：以4E、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.

⑴【探究发现】小明通过探究发现：连接DC,根据已知条件，可以证明DC=4E,乙4DC=120。，从而得

出△2DC为钝角三角形，故以4E、AD.4C为边的三角形是钝角三角形.

请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.

⑵【拓展迁移】如图，四边形48CD和四边形BGFE都是正方形，点4在EG上.

F

E

D

G

BC

①试猜想：以AE、AG,AC为边的三角形的形状，并说明理由.

②若人员+/G?=10,试求出正方形的面积.

题型10与三角形有关的存在性问题

1.（2020・湖南湘潭・中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点。，求aOBC与△ABC的面积.

（2）性质探究：如图（二），己知△ABC的重心为点0,请判断穿、衿些是否都为定值？如果是，分别求

出这两个定值：如果不是，请说明理由.

（3）性质应用：如图（三），在正方形力BCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线2C于点M.

①若正方形力BCD的边长为4,求EM的长度；

②若CME=1,求正方形A8CD的面积.

2.（2023•四川甘孜•中考真题）如图，在RtaABC中，力。=8。=3鱼，点。在48边上，连接CD,将CD绕

点C逆时针旋转90。得到CE,连接BE,DE.

（1）求证：△CAD^△CBE；

（2）若4。=2时,求CE的长;

⑶点。在2B上运动时，试探究力。2+B/）2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在,

请说明理由.

3.(2023・北京・中考真题)在△4BC中、NB=NC=a(0。<a<45。)，4M1BC于点M,。是线段MC上的

动点(不与点M,C重合)，将线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段。民

图1图2

(1)如图1,当点£在线段4C上时，求证：。是MC的中点；

(2)如图2,若在线段BM上存在点尸(不与点3,M重合)满足DF=DC,连接4E,EF,直接写出N4EF的

大小，并证明.

4.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在△4BC和△4EF中，AB=AC,AE=AF,^BAC=AEAF=30°,连接BE,CF,

延长BE交CF于点0.则BE与CF的数量关系：,乙BDC=°；

(2)类比探究：如图2,在△4BC和△4EF中，AB=AC,AE=AF,Z.BAC=AEAF=120°,连接BE,CF,

延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及NBDC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,△4BC和aaEF均为等腰直角三角形，ABAC=^EAF=90°,连接BE,CF,且点B,

E,F在一条直线上，过点4作力MlBF,垂足为点M.贝CF,2M之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形A8CD中，AB=2,若平面内存在点P满足NBPD=90。，PD=1,贝心。"=

题型11三角形与几何图形综合

1.(2023•江苏镇江・中考真题)【发现】如图1,有一张三角形纸片4BC,小宏做如下操作:

图1图2图3

(1)取48,AC的中点。，E,在边BC上作MN=DE；

(2)连接EM,分别过点。，N作DG1EM,NH1EM,垂足为G,H；

(3)将四边形BDGM剪下，绕点。旋转180。至四边形2DPQ的位置，将四边形CEHN剪下，绕点£旋转180。

至四边形力EST的位置；

(4)延长PQ,ST交于点F.

小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：

①点0,A,T在一条直线上；

②四边形尸PGS是矩形；

③△FQ7三△HMN；

④四边形FPGS与△4BC的面积相等.

【任务11请你对结论①进行证明.

【任务2］如图2,在四边形力BCD中，ADWBC,P,0分别是AB,CD的中点，连接PQ.求证：PQ=|

(XD+BC).

【任务3］如图3,有一张四边形纸ABCD,ADWBC,AD=2,BC=8,CD=9,sin/DCB=今小丽分别取

AB,CD的中点尸，Q,在边BC上作MN=PQ,连接MQ,她仿照小宏的操作，将四边形4BCD分割、拼成了

矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的长.

2.(2022•浙江金华・中考真题)如图，在菱形4BCD中，=10,sin8=g，点E从点8出发沿折线B—C—D

向终点。运动.过点£作点£所在的边(BC或C。)的垂线，交菱形其它的边于点凡在EF的右侧作矩形

EFGH.

⑴如图1,点G在4c上.求证：FA=FG.

(2)若EF=FG,当EF过AC中点时，求4G的长.

(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G,C,X为顶点的三角形与△BEF相似

(包括全等)？

3.(2023・贵州•中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在

等腰直角三角形4BC中，C4=CB/C=90。，过点B作射线BD14B,垂足为B,点P在CB上.

(1)【动手操作】

如图②，若点P在线段CB上，画出射线P4并将射线24绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,根据题意在图

中画出图形，图中NP8E的度数为.度;

(2)【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段P4与PE的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若点P在射线CB上移动，将射线P4绕点P逆时针旋转90。与BD交于点E,探究线段之间的

数量关系，并说明理由.

题型12三角形与函数综合

1.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图，抛物线y=—N+6%+c上的点N,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点3,点M

为y轴负半轴上一点，且。"=2,连接AC,CM.

(1)求点Af的坐标及抛物线的解析式；

(2)点尸是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接4P,CP,当SAP4C=S》CM时，求点尸的坐标；

(3)点。是线段BC(包含点2,。上的动点，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。，交直线CM于点N,若

以点Q,N,C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点0的坐标；

(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点/的对应点为点4,点C的对应点为点在抛物线平

移过程中，当M4+M。的值最小时，新抛物线的顶点坐标为,M4+MO的最小值为.

2.(2022•辽宁沈阳•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=卜％+6的图象与x轴交于点/,

与y轴交于点B(0,9),与直线OC交于点C(8,3).

(1)求直线N8的函数表达式；

(2)过点C作CDlx轴于点。，将△4CD沿射线C8平移得到的三角形记为△4。。，点/,C,。的对应点

分别为4,C,D',若△40。与△B。。重叠部分的面积为S,平移的距离。。=小，当点4与点8重合时停

止运动.

①若直线C7T交直线OC于点£,则线段(7E的长为(用含有加的代数式表示)；

②当0＜小＜争寸，S与加的关系式为；

③当S=g时，m的值为.

3.(2022•贵州黔东南•中考真题)如图，抛物线y=a/+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点4B

(3,0),与y轴交于点C,连接4C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM1x轴，垂足为点M,DM交直线BC于点N,是

否存在这样的点N,使得以4C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在,

请说明理由;

⑶已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点B、C、E、尸为顶点的四边形为矩形,

若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2023・湖南益阳・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，直线=a(x+2)(a>0)与x轴交于点力,与抛

物线=a久2交于B,C两点(8在C的左边).

⑴求/点的坐标；

⑵如图1,若8点关于x轴的对称点为夕点，当以点/,B',C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a

的值；

(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(一2,1),(2,0)等均为格点.如图

2,直线/与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个，求。的取值范

围.

・核心提炼•查漏补缺

一、全等三角形的判定

找第三边sss

判找夹角SAS

已知两边

定找直角HL

两

个

三一边为角的对边找另一角AAS

角找夹角的另一边SAS

形己知一边、一角

一边是角的邻边找夹角的另一角ASA

全

等找边的对角AAS

的

思

找夹边ASA

路

已知两角1找其中一角的对边AAS

二、相似三角形的性质与判定

相似三角形的判定方法：

1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2）两个三角形相似的判定定理：

①三边成比例的两个三角形相似；

②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

③两角分别相等的两个三角形相似.

④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3）相似三角形周长的比等于相似比.

4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：

1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；

2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；

3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；

4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.

1.（2023•北京•中考真题）如图，点/、B、C在同一条线上，点8在点C之间，点。，£在直线NC

同侧，AB<BC,乙4=/。=90。，AEAB=ABCD,连接。£,设48=a,BC=b,DE=c,给出下面三个

结论：@a+b<c；@a+b>y/a2+b2；0V2(a+b)>c；

E

D

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.（2023・四川遂宁•中考真题）如图，在△4BC中，AB=10,BC=6,AC=8,点尸为线段4B上的动点,

以每秒1个单位长度的速度从点/向点3移动，到达点2时停止.过点尸作PM1AC于点M、作PN1BC

于点N,连接MN,线段MN的长度》与点尸的运动时间f（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E

的坐标为（）

A.（5,5）B.（6,令C.e，令D.怎,5）

3.（2023•湖北鄂州•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。8=3追，点（:为平面内一

动点，BC=-,连接AC,点M是线段ZC上的一点，且满足CM:MZ=1:2.当线段。M取最大值时，点M的坐

标是（）

A.(|.|)B.(|星司C.然)D.(|V5,^V5)

4.（2023•湖北武汉•中考真题）如图，DE平分等边△ZBC的面积，折叠△得至!J△FDE/C分另lj与。尸万尸

相交于G,”两点.若DG-m,EH=n,用含血刀的式子表示G”的长是

A

F

5.（2023•浙江嘉兴•中考真题）一副三角板ABC和DEF中，zC=zD=90°,Z5=30°,NE=45。，

BC=EF=12.将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与4B相交于点G（如图1）,此时线段CG的长

是，现将绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2）,边EF与力B相交于点连结在旋

转0。到60。的过程中，线段扫过的面积是.

6.（2023•黑龙江•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，aABC的顶点/在直线A：y=空x上，顶点3

在x轴上，4B垂直无轴，且。B=2调，顶点C在直线Z2：y=gx上，BUI%;过点力作直线G的垂线，垂足为

G，交x轴于%,过点为作垂直x轴，交八于点40连接4G，得到第一个△4道忑1；过点占作直线

%的垂线，垂足为C2,交x轴于4,过点%作力2B2垂直x轴，交人于点42,连接22c2,得到第二个△/I2B2

。2；如此下去，...，则△"202382023c2023的面积是-

7.（2023•黑龙江大庆•中考真题）如图，在△ABC中，将4B绕点/顺时针旋转a至4B，，将4c绕点/逆时

针旋转0至4C'（0°<a<180。,0。<。<180。），得到使NBAC+=180。，我们称△4BC是

△ABC的“旋补三角形”，△4q。的中线4D叫做AABC的“旋补中线”，点工叫做“旋补中心”.下列结论正

确的有

B'、

D

C

a

BC

①△ABC与△ABC面积相同；

@BC=2AD；

③若AB=AC,连接B夕和C。,贝！U/BC+NCC，B'=180。；

④若4B=4C,AB=4,BC=6,则BC=10.

8.(2023・重庆・中考真题)如图，