2025年重庆市中考数学摸底预测试卷（附答案解析）

2025年重庆市中考数学摸底预测试卷

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的

1.（4分）—壶的相反数是（）

11

A.2025B.-2025C.D.-------

20252025

A.检测重庆的空气质量

B.了解嘉陵江的水质情况

C.调查某批次汽车的抗撞击能力

D.调查我校九年级（1）班本次体考成绩

4.（4分）估计（3V2+2V3）x的值应在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

5.（4分）如图，在四边形A8C。中，AB//CD,添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABC。是平行

四边形的是（）

B.AD=BC

C.ZA=ZCD.ZB+ZC=180°

6.（4分）如图，△048为等腰三角形，AB^OB,反比例函数y=-（fc0）过点B,若SAAOB=4,则K

为（)

7.（4分）如图，第1图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点,

第3个图中有30个黑点和24个白点，以此类推…，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差

为（）

①②③

A.7B.28C.252D.63

8.（4分）如图，AB是圆。的直径,CD为圆。的弦，且CD平分NAC2,若AC=2,BC=1,则CD的

长为（）

A.2B.|C.V2D.—

22

9.（4分）如图，正方形A8CQ中，点E,尸分别为AO,A8上两点，AE=BF,连接OF,CE交点、G,H

为CE上一点，且G/f=GR连接切，BH,BH=FH,^ZADF^m,则N2//F可以表示为（）

2

10.（4分）多项式+2x-3x+5x-7中，现对其中2x,-3x,5x,-7这四个单项式进行以下操作，选择相

（2WMW4）个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，

77

比如对+2x与+5尤变号，则多项式为|-2x-3尤-5x-7|,当x2-e时，化简结果为10x+7,当x<-击

时，化简结果为-10x-7,以下结论：

①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式+2尤-3x+5龙-7一样；

%2+2%+7

②当机=4,多项式|-2x+3x-5x+7|W13时，且使得--------为整数，则符合整数尤的值共有4个；

x+1

③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果.

其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）

11.（4分）计算：2sin30°+（-2）-2=.

12.（4分）170000用科学记数法表示为.

13.（4分）如图所示的正五边形ABCDE,连接BZXAD,则的大小为.

14.（4分）桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：疯，狂，的，数，学，把这

五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字放回，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上汉字可以

组成“数学”的概率是.

15.（4分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧,

分别交AC,AB于点。，E,则图中阴影部分的面积为（结果保留it）.

16.（4分）如图，矩形A2CD连接AC,AE平分交于点E,过点E作EHLAC交于点R

BE=\,EC=3,则线段EF为.

D

C

T77I[（10—2、（

17.（4分）已知关于x的分式方程——--=-的解为正数，关于y的不等式组2、—有且仅

x-33-x2[y-2<0

有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为.

18.（4分）若四位数m=丽满足各位数字均不为0,千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及

个位数字的和刚好等于150,则称该四位数为“数学满分数”，比如：5298,（5+9）X10+2+8=150,则

5298是“数学满分数”，定义F（m）=赤-d,对于四位数N=1000x+100y+150+107"+2"（1W〉W8,0

XA-TiT

W%W4,1W〃W4,无，加，》〃均为正整数）是“数学满分数”，则-----为,在此条件下，若

y+2n-------

F（N）能被7整除，则符合题意的N最大值与最小值的差为.

三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必

要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）

19.（8分）计算：

（1）x（x-2y）+（x+y）2；

20.（10分）如图，在△ABC中，C£>为△A8C的角平分线.

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段CD的垂直平分线EF,分别交AC、8c于点E、F,垂足为O.连

接DE、DF.（保留作图痕迹）

（2）小明利用（1）所作的图形，证明四边形。ECE是菱形.请根据他的思路完成下面的填空.

证明：平分/AC8,

EF垂直平分CD,

ZACD=ZEDC,

DE//BC,

同理，DF//AC,

'：EC=ED,

平行四边形。Eb是菱形.

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边

的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么.

21.（10分）某校为了解学生对重庆历史文化的了解程度，举办了历史文化知识问答竞赛.现从八、九年

级中各随机抽取20名学生的知识竞赛分数（满分100分，分数用x表示，共分成四组：A.95^x^100,

B.90《尤＜95,C.80W尤＜90,D.0Wx＜80）进行整理、描述、分析，其中分数不低于90分为优秀，

下面给出部分信息：

八年级随机抽取20名学生的知识竞赛成绩分数是：65,80,81,84,87,88,90,90,91,91,92,

92,92,97,97,98,98,99,100,100.

九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、。两组数据个数相等，B、C两组的数据是：

88,90,91,92,92,92,92,92,93,93,94,94.

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级八年级九年级

平均数90.690.6

中位数91.5a

众数9292

优秀率70%/7%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)直接写出上述图表中a=,b-,n—；

(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好？请说明

理由(一条理由即可)；

(3)若该校八年级有1200人，九年级有1500人参加了此次知识问答竞赛，估计两个年级知识问答竞

赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

22.(10分)某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然

后从折返点沿原路线返回起点(起点即终点).假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小

时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点

到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟.

(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？

(2)某参赛运动员8骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到

终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？

23.(10分)如图1,△ABC中，AC=BC=5,AB=6,动点P沿A/C/8按每秒1个单位长度运动，动

点。以相同的速度沿BfC-A运动，P,。两点同时运动，当点尸运动到点2时，停止运动，点。也

停止运动，在运动过程中，连接尸。，记尹=尸。，运动时间为f秒.

(1)直接写出尹与f的函数关系，并注明自变量f的取值范围；

(2)如图2,在给定的平面直角坐标系中画出yi的函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，若函数"=公-左+1与yi的图象有两个交点，直接写出左的取值范围.

24.(10分)如图，小明家A与商店C与小刚家。在一条直线上，点8为学校，学校8在小明家北偏东

15°方向.在商店C北偏西30°,且刚好在小刚家西北方向,AC=4千米(参考数据/«1.4,V3«1.7,

V6-2.5).

(1)求小明家到学校的距离(答案保留整数)；

(2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打

车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按

25妊///沿路线DB直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为40妊/〃(等待车的时间

忽略不计，两次打车速度相同)，谁先到学校？并说明理由.

25.(10分)如图，抛物线y=/+6x+c交无轴于点A(-3,0),点3(1,0)交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，连接AC,BC,点P为线段AC下方抛物线上一动点，过点尸作PQ〃y轴交AC于点。,

过点。作QH//X轴交BC于点H,求PQ+QH的最大值以及点P的坐标；

(3)将二次函数沿射线AC平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点(1,-4),记平移后的点

C对应点为C,连接AC,点G为平移后新抛物线上一动点，若满足NACG=NOCB,直接写出符合

题意所有点G的横坐标.

26.(10分)如图，△ABC为等腰RtZ\,90°,4B=2C,点。为平面内一点，连接将AD绕

点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接EC,CD.

(1)如图1,若点。在△ABC内部，且/A£»C=135°,A£>=3,8=4,求线段CE的长；

(2)如图2,若点。在△ABC左侧，点G为CZ)的中点，连接8G,猜想BG与CE的数量关系以及位

置关系，并证明你的猜想；

1

(3)如图3,若力。=^AC=6,点G为CE中点，将CG绕点C顺时针旋转60°,得至UCQ,连接BQ,

2025年重庆市中考数学摸底预测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的

1.（4分）—壶的相反数是（）

1

A.2025B.-2025C.一茄D.

【解答】解；-义的相反数是白，

20252025

故选：D.

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

3.（4分）以下调查中，最适合采用普查方式的是（）

A.检测重庆的空气质量

B.了解嘉陵江的水质情况

C.调查某批次汽车的抗撞击能力

D.调查我校九年级（1）班本次体考成绩

【解答】解：A、检测重庆的空气质量适合抽样调查，不符合题意；

2、了解嘉陵江的水质情况适合抽样调查，不符合题意；

C、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；

。、调查我校九年级（1）班本次体考成绩适合普查方式，符合题意.

故选：D.

4.（4分）估计（3V2+2V3）xJ号的值应在（

)

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【解答】I?：(3V2+2V3)x=3+V6.

V2<V6<3,

.\5<3+V6<6,

(3V2+2V3)x的值应在5和6之间.

故选：B.

5.(4分)如图，在四边形A8CQ中，AB//CD,添加下列一个条件后，一定能判定四边形A3CD是平行

四边形的是()

D,-----------------------7c

A.AB=BCB.AD=BC

C.ZA=ZCD.ZB+ZC=180°

【解答】解：一定能判定四边形ABC。是平行四边形的是NA=NC,理由如下：

VAB//CD,

ZA+ZZ)=180°,

•IZA=ZC,

：.ZC+ZD=180°,

：.AD//BC,

^：AB//CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

故选：C.

6.(4分)如图，△OA8为等腰三角形，AB=OB,反比例函数y=，(k40)过点8,若以AOB=4,则K

为()

C.-2D.-8

.1

・.S^BOM=kAOB=2.

又•.,点B在反比例函数y=1的图象上,

••—z,

2

则因=4

・・,反比例函数的图象位于第二、四象限，

：.k=-4.

故选：A.

7.（4分）如图，第1图中有5个黑点和4个白点，第2个图中有15个黑点和12个白点，

第3个图中有30个黑点和24个白点，以此类推…，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差

为（）①②③

A.7B.28C.252D.63

【解答】解：由所给图形可知，

第1个图形中黑点个数与白点个数之差为：5-4=1；

第2个图形中黑点个数与白点个数之差为：15-12=3=1+2；

第3个图形中黑点个数与白点个数之差为：30-24=6=1+2+3；

所以第n个图形中黑点个数与白点个数之差为：1+2+3+…+〃=嘤曲;

当〃=7时，

n（n+l）7X8

——28,

22

即第7个图形中黑点个数与白点个数之差为28.

故选：B.

8.（4分）如图，A3是圆。的直径，CD为圆O的弦，且CO平分NAC8,若AC=2,BC=1,则CO的

长为（）

33V2

A.2B.-C.V2D.——

22

【解答】解:作_LCA于凡作。G_LC8于点G,垂足/在C3的延长线上.

c

W'-

D

•・・CD平分NAQ5,

：.AD=BD,DF=DG,

在RtAADF和RtABDG,

(AD=BD

WF=DG'

ARtAAFD^RtABGD(HL),

：.AF=BGf

同理：RtACDF^RtACDG(HL),

：.CF=CG,

U：AB是直径，

AZACB=90°,

9：AC=2,BC=L

：.AB=y/AC2+BC2=V5,

A1+AF=2-AF,

：.AF=.

3

:・CF=J,

•・・CD平分NAC3,

ZAC£>=45°,

・・・4CDF是等腰直角三角形，

CD=y/2CF=竽.

故选：D.

9.（4分）如图，正方形ABC。中，点E,尸分别为AD,AB上两点，AE=BF,连接。凡CE交点、G,H

为CE上一点，且GH=GF,连接PH,BH,BH=FH,^ZADF=m,则厂可以表示为（)

AED

mrn

A.45°-mB.—C.90°-2mD.45。一勺

2

【解答】解：:四边形ABC。为正方形，

：.AB^BC=CD=ADfZA=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,

9

：AE=BFf

：.AD-AF=AB-BF,

：.AF=DF,

在△A。尸和△OCE中，

AD=DC

Z.A=乙ADC=90。，

AF=DF

：.AADF^ADCE(SAS),

・•・/ADF=/DCE=m,

VZADF+ZFDC=ZADC=90°,

；・NDCE+/FDC=90°,

ZDGC=90°,

即DF工CE,

,:GH=GF,

・・・ZXGFH为等腰直角三角形，

：.ZGFH=ZGHF=45°,

在RtZiAZ)/中，/ADF=m,

ZAFD=90°-m,

：.ZHFB=18Q°-(NAFD+/GFH)=180°-(90°-m+45°)=45°+m,

■:BH=FH,

：・NHBF=NHFB=45°+m,

：.ZBHF=180°-(/HBF=/HFB)=180°-2X(45°+m)=90°-2m.

故选：C.

10.(4分)多项式+2x-3x+5x-7中，现对其中2%,-3%,5x,-7这四个单项式进行以下操作，选择相

(2WmW4)个单项式进行变符号，再对整个多项式加绝对值化简，称这个操作为“变号绝对操作”，

比如对+2x与+5无变号，则多项式为|-2x-3x-5尤-7|,当x2—m时，化简结果为10x+7,当x<—击

时，化简结果为-10x-7,以下结论：

①至少存在2种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式+2尤-3尤+5龙-7一样；

久2+2%+7

②当机=4,多项式|-2x+3x-5x+7|W13时，且使得--------为整数，则符合整数尤的值共有4个；

x+1

③所有“变号绝对操作”的化简结果共有13种不同的化简结果.

其中正确结论的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：当m=4时，多项式为|-2x+3尤-5x+7|=|-4x+7|,

当时，化简结果为4x-7,当时，化简结果为-4x+7；

当机=3时，多项式有4种情况，当机=2时，多项式有6种情况，分别进行计算，共得到13种不同的

化简结果：

7；

77

当时，化简结果为©-7,当了〈五时，化简结果为-4x+7；

77

当壮—夕寸，化简结果为4尤+7,当尤V—/时，化简结果为-4尤-7；

77

当工之工时，化简结果为6冗-7,当x时，化简结果为一6%+7;

□6

77

当工之时，化简结果为当时，化简结果为；

—Z66%+7,6z-6x-7

77

当x>而时，化简结果为10x-7,当无〈而时，化筒结果为-10x+7；

77

当x>—而时，化简结果为10x+7,当尤V—而时，化简结果为-10x-7；

因此，③正确；

只有1种“变号绝对操作”的化简结果与原多项式+2尤-3尤+5x-7一样，故①错误；

|-2x+3尤-5x+7|W13,

解出尤的取值范围为：-L5W尤W5,其中整数有-1、0、1、2、3、4、5,

X2+2X+7（X+1）2+66

==x+H—万,

x+1-----x+1---------%+l

符合该式子为整数的x的值有0、1、2、5,共有4个，故②正确;

故选：C

二,填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）

C5

11.（4分）计算：2sin30°+（-2）-2=一.

-4—

【解答】解:2sin30°+（-2）-2

5

=4'

故答案为：f.

4

12.（4分）170000用科学记数法表示为1.7义1。5.

【解答】解：170000=1.7X105

故答案为：1.7义1。5.

13.（4分）如图所示的正五边形ABCDE,连接3。、AD,则/AQB的大小为36°

【解答】解：在正五边形A2C0E中，

,:AE=DE=BC=CD,NE=NEDC=NC=108°,

在△AOE与△BOC中，

AE=BC

Z-E—zC,

DE=CD

：.△ADEQABDC,

1

AZADE=ZBDC=(180°-108°)=36°,

ZADB=10S°-36°-36°=36°.

故答案为：36°.

14.（4分）桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：疯，狂，的，数，学，把这

五张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字放回，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上汉字可以

组成“数学”的概率是4-

【解答】解：列表如下：

疯狂的数学

疯（疯，疯）（疯，狂）（疯,的）（疯，数）（疯，学）

狂（狂，疯）（狂，狂）（狂,的）（狂，数）（狂，学）

的（的，疯）（的，狂）（的,的）（的，数）（的,学）

数（数，疯）（数，狂）（数,的）（数，数）（数,学）

学（学，疯）（学，狂）（学，的）（学，数）（学，学）

共有25种等可能的结果，其中两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的结果有：（数，学），（学，数），

共2种，

两次抽取卡片上汉字可以组成“数学”的概率为二.

25

2

故答案为：—.

15.（4分）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧,

2_

分别交AC,AB于点DE,则图中阴影部分的面积为―产-b―（结果保留ir）.

【解答】解：连接CE,

VZA=30°,

：.ZCBA=90°-ZA=60°,

•；CE=CB,

•••△C3E为等边三角形，

：.ZECB=60°,BE=BC=2,

.022X60TT2

=

•,3扇形CBE_25Q=可冗,

:SABCE=^-BC2=V3,

2

阴影部分的面积为不-遍.

3

2

故答案为：-n-V3.

16.（4分）如图，矩形A3CO,连接AC,AE平分N84C交5C于点E,过点后作交A0于点尸,

3

BE=1,EC=3,则线段所为一.

一2一

：・NBAE=NHAE,

・・•四边形ABCD是矩形,

：.ZB=90°,

VEH±AC,

AZAHE=ZB=90°,

'：AE=AE,

：./\ABE^/\AHE(AAS),

：.EH=BE=1,AH=AB,

：.CH=y/CE2-EH2=2&,

,：AB2+BC2=AC2,

：.Affi+(1+3)2=(AH+2V2)2,

：.AH=V2,

'：AD//BC,

XAFHsXCEH,

.FHAH

••一,

HECH

.FHV2

AT=运

：.FH=I，

13

:・EF=EH+FH=\+^=I，

3

故答案为：

mil,1瓶—2、q

17.(4分)已知关于x的分式方程一；一「=;的解为正数，关于y的不等式组2'—一]？1有且仅

3-%2[y—2<0

有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为-10.

【解答】解：解分式方程，去分母，得：2m+10=x-3,

解得元=2徵+13,

・・•方程的解为正数，

.\2m+13>0

解得：m>—

•・,当％=3时是方程的增根，

2m+10^0.

解得mW-5.

12

・'・根〉—2"mW-5.

解不等式组，由y-2W0,

解得yW2.

.1m—2j

由5y--1NI,

解得竿.

•.•此不等式组有且仅有3个整数解,

m+4

1-3~<0.

・•・-3<m+4^0.

/.-7<m^-4.

又m>—-且相力一5,

・•・所有符合条件的整数机的值有：-6,-4.

・•・所有符合条件的整数机的和为：-6-4=-10.

故答案为：-10.

18.(4分)若四位数根=丽满足各位数字均不为0,千位数字与十位数字的和的十倍加上百位数字以及

个位数字的和刚好等于150,则称该四位数为“数学满分数”,比如：5298,(5+9)X10+2+8=150,则

5298是“数学满分数”，定义F(zn)=赤一d,对于四位数N=1000x+10Qy+150+10帆+2〃(lWy<8,0

x-\-Tn

WmW4,1W"W4,x,m,y,"均为正整数)是“数学满分数”，则-----为1,在此条件下，若尸

y+2n-----

(N)能被7整除，则符合题意的N最大值与最小值的差为2376.

【解答】解：".'N=1000x+100y+150+10/7?+2n=lOOO-x+lOO(y+1)+10(5+M+2n,

•••N的千位上的数字为：x,百位上的数字为：y+l,十位上的数字为：5+m个位上的数字为：2”,

■:N是“数学满分数”，

(x+5+加)X10+y+l+2〃=150,

(x+m)X10+50+(y+2m)+1=150,

10(x+m)=99-(y+2〃)，

x+m=99-心),

•「lWyW8,1W〃W4,且％,m,y,〃均为正整数,

当y+2几=9时,x+m=9；

当y+2〃=19时，x+m=8；

y+2〃最大为：8+2X4=16,

y+2〃=9,x+m=9.

x+m9

--------———।

y+2n9

y+2〃=9,x+m=9,

y=9-2n,x=9-m,

F(N)=100x+10(y+1)+(5+m)-2〃=100x+10y+10+5+m-2〃，

F(N)=100(9-m)+10(9-2n)+15+机-2n=900-100m+90-20n+15+m-2n=1005-99m-22〃,

F（N）能被7整除,

1005-99m-22n

为整数,

7

1005-99TM-22TI1001-91?TI—2171+(4-4—8TTI-TL

==143-13m-3nH刁------1〈九W4,

7------------------------7---------------------------------------------------7

当机=0时，〃=4,此时x=9,y=l；

当机=1时，〃=3,此时冗=8,y=3；

当机=2时，n=2,止匕时x=7,y=5；

当机=3时，〃=1,此时冗=6,y=7,

.'.m=0,〃=4,x=9,y=l时N的值最大，此时N=1000・x+100(y+1)+10(5+m)+2〃=9258；

m=3,n=\,x=6,y=7时N的值最小，此时N=1000・x+100(y+1)+10(5+m)+2〃=6882.

・•・符合题意的N最大值与最小值的差为9258-6882=2376.

故答案为：1,2376.

三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必

要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）

19.（8分）计算:

(1)x(x-2y)+(X+y)2；

3m-m25

(2)-+(in-2—).

m2+2mm+2

【解答】解：(1)x(%-2y)+(x+y)2

-2盯+冗2+>2+2孙

=2/+y2；

3m-m25

(2)--+(jn—2—)

m2+2mm+2

_m(3—m).m2—4—5

-m(m+2)m+2

_3—m.(m+3)(m—3)

-m+2'm+2

_m+2

僧+2(m+3)(m-3)

_____1_

—m+3*

20.(10分)如图，在△ABC中，。。为△ABC的角平分线.

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段8的垂直平分线成，分别交AC、BC于点、E、F,垂足为O.连

接。石、(保留作图痕迹)

(2)小明利用(1)所作的图形，证明四边形。ECb是菱形.请根据他的思路完成下面的填空.

证明：平分NACB,

・•・/ACD=/BCD,

・・・EF垂直平分CD,

・•・EC=ED,

・•・/ACD=/EDC,

・•・/BCD=/EDC,

:・DE〃BC,

•・,同理，DF//AC,

・・・四边形DECT为平行四边形，

■:EC=ED,

・・・平行四边形OEC尸是菱形.

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边

的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么这个四边形是菱形.

【解答】(1)解：如图所示.

E'

O

-------------------DB

（2）证明：：C£>平分NACB,

ZACD=ZBCD,

：EE垂直平分CD,

：.EC=ED,

：.ZACD=ZEDC,

：./BCD=ZEDC,

C.DE//BC,

:同理，DF//AC,

：.四边形DECF为平行四边形，

；EC=ED,

平行四边形。EC「是菱形.

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边

的交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么这个四边形是菱形.

故答案为：ZACD=ZBCD；EC=ED；ZBCD=ZEDC；四边形。ECT为平行四边形；这个四边形是

菱形.

21.（10分）某校为了解学生对重庆历史文化的了解程度，举办了历史文化知识问答竞赛.现从八、九年

级中各随机抽取20名学生的知识竞赛分数（满分100分，分数用x表示，共分成四组：A.95WxW100,

B.90Wx<95,C.80Wx<90,D.0Wx<80）进行整理、描述、分析，其中分数不低于90分为优秀，

下面给出部分信息：

八年级随机抽取20名学生的知识竞赛成绩分数是：65,80,81,84,87,88,90,90,91,91,92,

92,92,97,97,98,98,99,100,100.

九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、。两组数据个数相等，B、C两组的数据是：

88,90,91,92,92,92,92,92,93,93,94,94.

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

年级八年级九年级

平均数90.690.6

中位数91.5a

众数9292

优秀率70%b%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)直接写出上述图表中a=92,b=75,n=198；

(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好？请说明

理由(一条理由即可)；

(3)若该校八年级有1200人，九年级有1500人参加了此次知识问答竞赛，估计两个年级知识问答竞

赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

【解答】解：(1)•••九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、。两组数据个数相等,

：.B,C两组的数据的中位数即为九年级20名学生的知识竞赛成绩分数的中位数，

；B、C两组的12个数据是:88,90,91,92,92,92,92,92,93,93,94,94,

:九年级随机抽取20名学生的知识竞赛分数中，A、。两组数据个数相等，

20-12

.二A组数据有=4(个)，

又•••2组数据为90,91,92,92,92,92,92,93,93,94,94,有11个,

.•力％=^ixl00%=75%,即6=75.

组数据有11个，

11

1^X36O=198.

故答案为:92；75；198；

(2)九年级学生对重庆历史文化知识掌握得更好，理由:

九年级学生知识竞赛分数的中位数大于八年级学生知识竞赛分数的中位数(或九年级学生知识竞赛分数

的优秀率大于八年级学生知识竞赛分数的优秀率).

(3)1200X70%+1500X75%=1965(人).

答：估计两个年级知识问答竞赛活动成绩优秀的学生人数是1965人.

22.(10分)某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然

后从折返点沿原路线返回起点(起点即终点).假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小

时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点

到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟.

(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？

(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到

终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？

【解答】解：(1)设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是龙千米，y千米，

y

根据题意，得［工-

25y

-

V2025

解得国5，

答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米，15千米；

(2)运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，则运动员B骑行时的下坡速度是2a千米/小时，

根据题意，得三--=—>

a2a60

解得。=15,

经检验，a=15是原方程的根，

.,.原方程的根为。=15,

答：运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时.

23.(10分)如图1,△ABC中，AC=2C=5,A8=6,动点P沿A/C/2按每秒1个单位长度运动，动

点。以相同的速度沿8—C-A运动，P,。两点同时运动，当点尸运动到点8时，停止运动，点。也

停止运动，在运动过程中，连接尸。，记yi=尸。，运动时间为f秒.

(1)直接写出yi与f的函数关系，并注明自变量f的取值范围；

(2)如图2,在给定的平面直角坐标系中画出yi的函数图象，并写出该函数的一条性质；

(3)结合函数图象，若函数”=公-左+1与yi的图象有两个交点，直接写出左的取值范围.

【解答】解：(1)当点尸在AC上，0W/W5,

由题意可知AP=BQ,

：AC=BC,

\CP=CQ,

.CPCQ

9CA~CB'

：ZC=ZC,

\APCO^AACB,

pQ尸c

---

aB4-c

丝5-

--

65

p6T

-(55

6

-

5

当点尸在8c上时，5V/W10,同理可得，2。=>=会一6,

一耳t+6(0<t<5)

・=

*y|t-6(5<t<10)

(2