2025年新高考数学复习压轴题讲义：概率与统计下的新定义（五大题型）

专题03概率与统计下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：二项式定理新定义

题型二：排列组合新定义

题型三：概率新定义

题型四：统计方法新定义

题型五：信息端问题

【方法技巧与总结】

解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题.总

之，解决此类问题，取决于己有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践

和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题.

【典型例题】

题型一：二项式定理新定义

【典例1-1】（2024•湖南衡阳•二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数”都可以

被唯一表示为有限个质数的乘积形式：九=可席…优（左为”的质因数个数，P，为质数，

=例如：90=2X32X5>对应1=3,R=2,%=3,2=5,==1，2=2,，=1.现对任意

l,n=l

〃eN*,定义莫比乌斯函数〃⑺=<（一球，4=4=,,,=〃=1

0,存在01

⑴求〃（78）,〃075）；

（2）若正整数%〉互质，证明：〃（孙）=〃（耳〃（耳；

⑶若〃>1且〃（〃）=1，记〃的所有真因数（除了1和"以外的因数）依次为如出，…，4”，证明：

〃（《）+〃（出）+…+〃（％）=—2•

【解析】（1）因为78=2x3x13,易知左=3,0=2,p2=3,p3=13,z;=1,^=1,^=1,

所以〃（78）=（—1）3=—1；

又375=3x53,因为5的指数3>1,所以〃（375）=0；

⑵①若x=l或。=1,因为〃⑴=1,所以〃（孙）=

②若尤,ywi,且存在质数。，使得x或y的质因数分解中包含//（厂>1）,则w的质因数分解中一定也包含

p'，

所以〃（孙）==°，

③若羽ywl,且不存在②中的P,可设x=“02…=…%,

其中P1，P2…口1,4"％…%均为质数，则»=P|P?…040…4，

因为尤,y互质，所以Pi，p『5""%…p互不相等,

所以M孙)=(一1户=(T>(T)'=〃(*)〃(y)，

综上可知M盯)=〃(力〃3

(3)由于〃(")=1,所以可设“="。2…P”k为偶数,

”的所有因数，除了1之外都是R，P2,…，"中的若干个数的乘积，从％个质数中任选《，=1,2,…,女)个数的

乘积一共有C；种结果，

所以〃⑴+〃(％)+4(%)+…+4(4)+〃(〃)

=〃(l)+[〃(Pl)+〃(〃)+…+〃(〃)]+[〃(。1。2)+〃(。2。3)+…+〃(PlPj]+…+〃(〃)

=I+C1(T)+C(T)2+…+优(一1广+(一以=(1一1)*=。，

所以…=O_"(l)_M(n)=—2.

【典例1-2】(2024.安徽合肥・一模)“4-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意

〃cN*,定义“4-数”(叽=1+4++/T利用“4-数”可定义“4-阶乘"("/二⑴涅山(初，且(0儿=1.和

“4—组合数”，即对任意上eN,附eN*,kW力

⑴计算:

(2)证明：对于任意左,〃wN*,左+1«〃,

n+m+l\(〃\C

⑶证明：对于任意％,加£N,〃6N*,左+1<〃，

【解析】(1)由定义可知，

[5)=⑸!2⑴2⑵2⑶式4)2(5)2

【31一(3)!2(2)C[(1)2(2)2(3)2][(1)2(2)2]

_(4)式5)2_(1+2+22+23乂1+2+22+23+2，).⑶

⑴2⑵21X0+2))

(矶5)/(1/

(左)!“〃一女儿[k}\q{n-k)\q

n-1n-1n八5

+qk♦q+•q

k-1k传T)!“〃_女儿。儿("%T儿

qq

=(小

kklknkx

又(k)q+q\n-k)q=l+q++q~+q(\+q++q~~)

=l+q++/i=(心

所以m+1

（3）由定义得:

对任意keN,weN*,后

结合（2）可知

n+m+1n+m\n+m-kn+m

所以

z+1k+1k

qqq

n+m

\Jn+m-\\=,_Jn+m-1

k+1k

k+1[I)qI

上述加+i个等式两边分别相加得：

（[n+%m+1+l\（n「孕工’Ink+i:\

【变式1-1]（2024•高三.江苏苏州•阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为

”,若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变

量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量

4的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量”的值为这两

条棱的夹角大小（弧度制）.

（1）比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据

arctan^5«0.3661,arctan«0.2677,arctan2^2«0.3918）

（2）现单独研究棱长"，记（x+l）x（x+gjx+且〃eN*）,其展开式中含x项的系数为S“，含

f项的系数为T”.

①若*a/+b"+c，对"=2,3,4成立，求实数b,c的值;

②对①中的实数。，b,c用数字归纳法证明：对任意〃22且“eN*，3=M2+加+。都成立.

【解析】（1）如图所示：

由题意设。/为正四棱锥。-ABCE的高，G为A3中点，

由于正四棱锥的底面边长和高都是2,

所以AC=BE=2&,£>B=2,所以=

由对称性以及三线合一可知DG=后斤=V5，

若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,

则X的所有可能取值为]x2x2=2，x2x岔=6，x2&x2=2近，

222

且P（X=2）="=|,尸（X=2码=,.中=&）=卷=|,

所以个）=（>2+“应+|x如=4+22+2占>4+2X；+2X2=2,

若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条,

则4的所有可能取值为"I，。,arctan君,arctan]g,arctan272,

厂/八714c22

E<)=—x-----i-Ox-----1-arctan一+arctan2^2x

v7228282828

代入参考数据arctan#i®0.3661,arctanX0.2677,arctan2V2«0.3918,得1.0890,

M

若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条,

则力的所有可能取值为1TT*TT0,

兀187112c613KY……

矶〃)=—x-----1——x-----FOX——=——«1.1345

2363363636

所以E(X)＞矶叼〉E©.

(2)①因为(x+l)x[x+g]xx[x+)]中x项的系数为S",

一般地，从(x+l)x(x+；卜x[x+：]中的第七个因式中取一个x,其余因式中取常数即可得到一个x

项，

知在k1+2++nn(n+1)

而这一项的系数为一；，S=---------------=———-)

n\nn\2-nl

因为(尤+l)x(x+g)x+中f项的系数为T“，

一般地，从(x+l)x[x+g]xx[x+：]中的第个因式中各取一个x,其余因式中取常数即可得到

一个/项,

,，]

而这一项的系数为之，从而Eij,

n\^\<i<j<n

2x333x44x55

从而S==1,S4=

22x2!22x3!2x4!"12?

旦1X2+1X3+2X3JIx2+lx3+lx4+2x3+2x4+3x435

22!33!644!"24

4a+2b+c=—=—

S23

由题意中+3"W解得“4,八-5c=J

16a+4b+c=—=—

邑2

—T,3ra2-n-2+Z

②用数学归纳法证明：“22且〃eN*时，-^=an2+bn+c=---=~卷——

7^__j__2_

--

当〃=2时，s233-4126，故结论对〃=2成立，

2

假设结论对n=k22,keN*成立,即今=合炉=（1譬+2）,

、k1/iz

k\Tk/x

几I+_%!看+信+1）（1+2++%）_人工+化+1"！&_听+1+）

IJI11=----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

加优+1）!加（左+1）!%45+优+1）1+A±1

黑+化+1）--1）"+2）+%+1

k+i-_

i+---------------i+—

1+2+…+左k

_（"0（3左+2）+12左+12_3/+11）+10_信+2乂3左+5）

[（A+1）-1工3（左+1）+2]

12

所以结论对〃=左+1也成立，

故?=。〃2+bw+c=^---------------,对任意"22,”eN”成立.

S.12

题型二：排列组合新定义

【典例2-1】（2024.高三.北京.阶段练习）设"为正整数，集合A={a|a=外,*{01},左=1,2,,n.

对于集合A中的任意元素£=（玉,々，…,％）和分=定义

1（%月）=|%一乂|+卜一对++\xn-yn\-

⑴当”=4时，若以=（0,1,0,1）,若=（1,1,0,1）,直接写出所有使d（a，7）=2,d（Q,7）=3同时成立的A的元素

⑵当〃=3时，设3是A的子集，且满足：对于3中的任意两个不同元素a,回北％夕）22.求集合3中元素

个数的最大值；

⑶给定不小于2的“，设8是A的子集，且满足：对于3中的任意两个不同的元素以£,〃（0,022,写出

一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.

【解析】⑴•.«=（0,l,0,l）,J（a,y）=2

•••满足条件的/有

a0101

Y0000

ye｛（0,0,0，。），（0,0，1，1），（0，1，1，0）｝（2）列出集合4的元素

000

001

010

011

100

101

110

111

B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素a,p,d（a,£巨2

满足条件的集合8的元素的个数的最大值为4.

001

010

100

111

(3).d(a,夕巨2

•••8中的元素应该含有奇数个1

若"=2,则含有奇数个1的元素有C；=2个；

若n=3,则含有奇数个1的元素有1+优=4个；

若n=4,则含有奇数个1的元素有《+优=8个；

若"=5,则含有奇数个1的元素有《+《+隽=16个；

当〃=3时，B={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1))

【典例2-2】(2024・高三・浙江・开学考试)一般地，〃元有序实数对(％,%，,、耳)称为“维向量.对于两个〃维

向量。=(4，出，，%),6=(4也，也)，定义：两点间距离d=J(4-aJ?+色一的J+…+(X-%利用

“维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个

标准点的距离4，，与哪个标准点的距离4最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，

得到业务能力分值(卬)、管理能力分值(%)、计算机能力分值(%)、沟通能力分值(%)(分值

%eN*,^e{l,2,3,4}代表要求度，l分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：

业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分

岗位

(4)(%)3)(%)值

会计⑴215412

业务员

523515

⑵

后勤⑶235313

管理员

454417

(4)

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

"=的四个坐标.

(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方力均小于20的应聘者才能被招录.

⑴小刚测试报告上的四种能力分值为4=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业

123、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；

(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率(0分别为

而14石13石9‘热7(?"行"试d2求小明]的各项能力分信

【解析】⑴将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12,13,15,17,

又,="0=4x0.75=3,所以这组数据的第三四分位数为号2=16.

(2)⑴由图表知，会计岗位的样本点为4=(2』,5,4),则叶=(2-4)2+(1-3)2+(5-2)2+(4-5)2=18,

业务员岗位的样本点为分=(5,2,3,5),则d；=(5-4>+(2-3>+(3-2)2+(5-5)2=3,

后勤岗位的样本点为凤=(2,3,5,3),则d；=(2-4>+(3-3>+(5-2f+(3-=17,

管理员岗位的样本点为力,=(4,5,4,4),则/=(4-4)2+(5-3)2+(4-2>+(4-5)2=9,

所以&<&<&<4,故小刚最适合业务员岗位.

⑪四种职业1234的推荐率⑺分别为m，。且。"力+小〜厂

力14

，

14T幺+++

d；+d；+d；+d：43-

43

d；_1341332逍4

=一I+++

+d；++d；4343

9

所以■j2,得到

虏

一d&

dl9-+++

d；+d；+d；+d：4343

7

4T成d2*

d；_7-++3+

d；+d；+d；+d；4343

又d：(ne{1,2,3,4})均小于20,所以#+召+存+或<80,且/eN*(海{1,2,3,4}),

故可得到片=14,以=13,据=9,或=7,

设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为a,》,Gd,且a,b,c,deN*,

l<a,b,c.d<5,

依题有(〃-2)2+(b—I)?+(c-5)2+(d-4)2=d；=14①，

(a-5)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-5)2=dl=13(2),

(a-2y+S-3y+(c-5y+(d-3>=d；=9③，

(a—4/+S—5)2+(c—4/+(d—4)2=d：=7④，

由①一③得，

(a-2)2+(Z?-1)2+(c-5)2+(rf-4)2-[(a-2)2+(b-3)2+(c-5)2+(^-3)2]=14-9=5,

整理得：2b—d=3,

b=2,d=l

故有<0=3,d=3三组正整数解,

b=4,d=5

对于第一组解，代入④式有(a-4)2+9+(c-4)2+9=7,不成立；

对于第二组解，代入①式有(。-2)2+(c-5)2=4,

缶=4[a—1

解得「或。，代入②④式均不成立；

[c=51c=3

对于第三组解，代入②式有5-5)2+(c-3)2=9,

4=2

\a=1…………b=4

解得，，代入①②③④均成立，故,;

[c=3c=3

d=5

故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.

题型三：概率新定义

【典例3-1】(2024・浙江・一模)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检

测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混

管检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为

目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数/(Xjut+XX,这里X指该组样本N

个人中患病毒的人数.

⑴证明：E[〃X)]Z2JF.N；

(2)若OvpvlOr104KW20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人

为阳性.

【解析】⑴由题意可得X满足二项分布XB(N,p),

由E(aX+6)=aE(X)+。知，E\_f(X)l=—+K-E(X)=—+K-pN>2^-N,当且仅当，=&时取等

KKK

号；

(2)记A=p(混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性)，

4=p(混管中恰有i例阳性尸C，KP’(1一p广，i=0,1,,K,

令/z(x)=e-_2/]0-3<彳<2乂]0-3,

则=

当xe(-2xl(F3,0)时，/z(x)为单调递减，

当xe(0,2x10-3)时，〃")>o,为单调递增，所以〃(x)N〃(O)=O,

2xlo-3-32xl-3

且〃(-2x10-3)=e--(-2xlO^-l-O,/z(2xl0)=e°-(2x10^)-1~0,

所以当—2xl(f3<x<2xl(f3,e，-尤—IBO即e，~x+l,两边取自然对数可得％句110+1),

所以当0<P<1()Y,10WKV20时,

所以(1_?>=6.。切®e7Kp®1—Kp，

4_"(1-广&[1-伍一1)同

贝”=

i-]-(1-域Kp

故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.

【典例3-2】(2024•辽宁・模拟预测)条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对

随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X,Y是

离散型随机变量，则X在给定事件丫=》条件下的期望为

P(X=x^Y=y｝(、

E(XW=y)=,P(X=尤/y=y)=>再■l'，其中｛4%,…,当｝为X的所有可能取值集合,

i=li=lrv-y)

p(X=x,y=y)表示事件“x=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目

标的概率均为p(0<〃<l),射击进行到击中目标两次时停止.设J表示第一次击中目标时的射击次数，"表

示第二次击中目标时的射击次数.

⑴求尸仁=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求E(的=5),22).

【解析】(1)由题设，P值=2,〃=5)=(1—。>,(1一。>(1—。)/=(1一。)3/,

尸何=5)=C(1一。只/=纵1一pFp2.

(2)由题设，夙目〃=5)=1[%><?(J=x,，〃=5)

i=l尸(〃=5)

P(〃=5)4442

同(1),PS=n)=2P2=(n_1)(1_pr-2p2，P(Ji〃=")=(i_pyTp2,

x

3尸(《，〃=〃)12n-25T厂l+D

所以项目"")?印〉P(L)^^+百+…+”产

22

【变式3-1](2024.福建漳州.一模)在数字通信中，信号是由数字。和1组成的序列，发送每个信号数字之间

相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.

⑴记发送信号变量为x,接收信号变量为「且满足P(X=O)=；,p(y=i|x=o)=|,

p(y=0|X=l)=|,求尸(y=0)；

an

(2)当发送信号0时，接收为0的概率为J,定义随机变量7的“有效值”为“(〃)=-=x,)lgP(〃=x;)

4z=i

(其中天是〃的所有可能的取值，，=1，2,…发送信号“000”的接收信号为“％力%”，记4为%，%，%

三个数字之和，求4的“有效值”.(1g3«0.48,1g2«0.30)

i2

【解析】⑴由题意可知：p(x=i)=i-p(x=0)=-,p(y=oix=o)=i-p(y=i|x=o)=-,

所以尸(y=o)=尸(y=0|X=0)尸(x=o)+尸(y=0|X=l)尸(X=l)=gx：+；x；=H

(2)由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为3:，接收为1的概率为1:，

44

可知：4的可能取值有0，1，2,3,

则尸("°)=03=葛尸(9)=叫

…心盗[吟吟3)二审$,

—小片山—+〃/八(27、2727.279.9

'/16464646464646464)

54QA-|45

=——(31g3-61g2)+—(21g3-61g2)-—1g2=——-Ig3+61g2

_o4o4o4Jlo

45

«——x0.48+6x0.30=0.45,

16

即J的“有效值”约为0.45.

题型四：统计方法新定义

【典例4-1](2024•全国・模拟预测)某校20名学生的数学成绩％0=1,2,.,，20)和知识竞赛成绩%。=1,2,,20)

如下表：

学生编号i12345678910

数学成绩W100999693908885838077

知识竞赛成绩B29016022020065709010060270

学生编号i11121314151617181920

数学成绩X,75747270686660503935

知识竞赛成绩％4535405025302015105

20

计算可得数学成绩的平均值是元=75,知识竞赛成绩的平均值是9=90,并且元)丁6464

Z=1

2020

£(X-J)2=149450,£(x,.-x)(y,-y)=21650.

上1Z=1

(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01).

(2)设NeN*,变量x和变量丁的一组样本数据为｛(%,»)1，=1,2,,,N｝,其中x,(i=l,2,,N)两两不相同，

%(i=l,2,,N)两两不相同.记尤，在卜|“=1,2,,N｝中的排名是第4位，%在旧旧=1,2,,N｝中的排

名是第S,位，1=1,2,,N.定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数，，(记为夕)为变量x的排名和变量y的

排名的样本相关系数.

6N

⑴记4=4f,i=i,2,,N.证明:N(N?一余与.

(ii)用⑴的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0。1).

(3)比较(1)和(2)(ii)的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.

ZU-元n

i=ln(n+l)(2n+l)

注：参考公式与参考数据.；ILK=；76464x149450»31000.

£(^-^)2£(x-y)2k=l6

/=1Z=1

【解析】(1)

由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为

20

Z&-元)(y-9)

2165021650…

i=l«--------«0.70

2020

£(x..-x)2£(x-y)276464x1495031000

i=li=l

(2)⑴证明：因为｛4｝和｛Sj都是1,2,LN的一个排列，所以

fN44Ns,.=N(N+1)

Z=1Z=12

NNN(N+1)(2N+1)

=£s；=

1=11=16

N+l

从而｛«｝和｛S｝的平均数都是R=S=2

NQNNNN2N(N+1)(2N+1)N(N+1yN(N+1)(N-1)

因此，f(K-R)=£&-2应史=^R；-NR

i=lZ=1«=1Z=16412

N_

2N(N+1)(N-1)

同理可得E(s,-«y=

Z=112

NcN

NNcR,_R)_(S「用2

由于fd；本(R「s)-==2(兄-R)+2(E-s可-2t(6-Q(s,「子)

1=1Z=1Z=1i=\«=1

N

一2±(4一用母一目,

12i=l

NWV+IXN-l)」0

-司(E-于)

126lNx；

i=l2日—i_

所以夕二=(

N(N+1)(N—1)NN2-1)Z=1

12

(ii)由题目数据，可写出与与S,的值如下:

同学编号i12345678910

数学成绩排名%12345678910

知识竞赛成绩排名S/p>

同学编号i11121314151617181920

数学成绩排名&11121314151617181920

知识竞赛成绩排名S,12141311161517181920

N

所以N=20,并且£力=9xO2+4xl2+3x22+2x32+lx42+lx82=114.

i=l

因此这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是

p=\——7—-~~X114~O.91

20(202-1)7

(3)答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系

数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；

答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有

关.如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关

系.

【典例4-2】(2024•全国•模拟预测)冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜

爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表

(m<40,/7/eN).

喜爱不喜爱

男生80-m20+m

女生60+m40-m

(1)当相=0时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中

随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为求4的分布列与数学期望.

(2淀义/=Z(%一%)(2ViV3,2V其中％为列联表中第i行第，列的实际数据，如

%

为列联表中第i行与第•;列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如4.2=8。­"，

功,2=黑乂黑x200=70.基于小概率值a的检验规则：首先提出零假设变量X,F相互独立)，然后

计算六的值，当K?、五时，我们推断“0不成立，即认为X和y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

否则，我们没有充分证据推断“。不成立，可以认为X和y独立.根据K2的计算公式，求解下面问题:

①当机=0时，依据小概率值1=0.005的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？

②当机<10时，依据小概率值&=0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少

名男生喜爱冰雪运动？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【解析】(1)当m=0时，用分层抽样的方法抽取的不喜爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4人,

由题意可知，J的可能取值为1,2,3.

「2cl3

2信=1）=罟.1，%=2）=罟=|3,P（1）=罟c°C1

(2)①零假设为H。：性别与是否喜爱冰雪运动独立，即性别与是否喜爱冰雪运动无关联.

当m=0时，42=80,B22=70,43=20,B23=0.5x0.3x200=30,

A32=60,B32=0.5x0.7x200=70,A33=40,B33=0.5x0.3x200=30,

（4,2一区2,2）+（4,3-82,3）+（4,2-员,2）+（&3-四,3）

K2=

°2,243员2B33

22

（80—70）2（20—30）2（60-70）（40-30）200八…

=-----x9.524•

70-3070-3021

9.524>7.879=x0005,

,根据小概率值。=0.005的独立性检验，我们推断“。不成立，即认为性别与是否喜爱冰雪运动有关联,

此推断犯错误的概率不超过0.005.

②如_（80一机―70『+.（J+机—30）2+（60+机一70）2+（40-m-30）2_2（10-m）2

'—70307030—21

由题意可知，>2,706,整理得（10-帆）2228.413.

又m<10,m<4,加的最大值为4.

X80-4=76,，至少有76名男生喜爱冰雪运动.

【变式3(2024.高三北京.期末)在测试中‘客观题难度的计算公式为月吟，其中为第i题的难度,

(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X,求X的分布列和数

学期望;

⑶定义统计量5=匕(尸；-6)2+(只-£)2++(尸；-月,沟，其中P'为第i题的实测难度，耳为第i题的预估难度

n1

。=1,2,,〃).规定：若S<Q05,则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预

估是否合理.

【解析】(1)因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为4=0.2,

所以估计240人中有240x0.2=48人实测答对第5题.

(2)X的可能取值是0,1,2.

C1C132C23

p（X=l）=^A=2_.P（X=2）=W=3

C；o9595

⑶第1题的实测难度为*0.8,同理可得：第2题的实测难度为*0.8,

1414

第3题的实测难度为三二0.7,第4题的实测难度为三二0.7,第5题的实测难度为0.2,

故S=J(0.8-0.9)2+(0.8-0.8)2+(0.7-0.7)2+(0.7-0.6)2+(0.2-0.4)2]=0,012.

因为5=0.012<0.05,

所以，该次测试的难度预估是合理的.

题型五：信息燧问题

【典例5-1】(2024.高三.河北•阶段练习)信息燧是信息论之父香农(S/2G"[o〃)定义的一个重要概念，香农在

1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息

量称为“信息蜡”，并给出了计算信息嫡的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n(neN*),

且尸(X=i)=p,>0(』,2,-,*£p,=1,定义X的信息嫡H(X)=-J>JogzP,.

i=li=l

(1)当”=1时，计算a(x)；

⑵若口J(i=l,2,.判断并证明当〃增大时，"(X)的变化趋势；

n

(3)若"=2〃M"[eN*),随机变量¥所有可能的取值为1,2.加，且尸(¥=/)=0+。2,=1,2,,m),证

明：H(x)>H(r).

【解析】⑴当〃=1时,则i=l,R=l,所以〃(X)=_(lxlog21)=0

⑵”(X)随着"的增大而增大.

当口=1,2,㈤，则H(X)=-(L]og2qx〃=_k>g2，=log2"，

n\nnJn

设/⑺=log2〃，〃£N*,则/(n+l)-/(n)=log2(n+l)-log2n=log2^l>0,

n

因此a(X)随着n的增大而增大.

(3)证明：若九=2m(meN*),随机变量y所有可能的取值为1,2,,根，且

P(y=力=Pj+P2m+l-jU=1，2,,m).

2m2mi

“(X)=-£p,•1唯Pi=£P,」题2—

z=li=lPi

i1i1i1i1

+

=Pl.l°g2—+夕2.l°g2—++P2fn-1•l°g2----P21n,---.

PlPlPlm-XPim

]

HK

()=(A+P2nl).l°g2---+(0+必m-1).l°g2---------++(P"+Pm+i>bg2

+

A+PirnP”P2mTP,nPm+1

因为0<P,+P2,“+iT<l(i=l,2m),故l°g2丁一---->0

Pi十Plm+l-i

故H(y)>P「l°g2---+。2.10g2---------+-+必m-1.l°g2---------+Pzjlogz-'—

Pl+P2,nPl+Plm-lPl+Plm-XP/Pl"

/、11八

由于p,，0(i=l,2,,2m),所以一>二------>0,

PiPi+Plm+\-i

,1,1,11

所以l°g2—>logo----------,所以P,Tog?一〉p,•log?----------，

++

PiPiP2,n+l-iPiPiPlm+X-i

所以刀(x)>H(y).

【典例5-2】(2024・高三•河北•期末)在信息论中，崎(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又

被称为信息燧、信源嫡、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(嫡最好理

解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源