2025年新高考数学一轮复习：指、对、幂数比较大小问题【八大题型】（新高考专用解析版）

指、对、幕数的大小比较问题【八大题型】

►题型归纳

【题型1利用函数的性质比较大小】............................................................2

【题型2中间值法比较大小】...................................................................3

【题型3特殊值法比较大小】...................................................................4

【题型4作差法、作商法比较大小】............................................................6

【题型5构造函数法比较大小】.................................................................7

【题型6数形结合比较大小】...................................................................9

【题型7含变量问题比较大小】................................................................12

【题型8放缩法比较大小】....................................................................14

►命题规律

1、指、对、塞数的大小比较问题

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、基数

的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以

及指数函数、对数函数和塞函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函

数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.

►方法技巧总结

【知识点1指、对、塞数比较大小的一般方法】

1.单调性法：当两个数都是指数幕或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幕函数的函数值,

然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：

①底数相同，指数不同时，如d和a演，利用指数函数了=优的单调性；

②指数相同，底数不同时，如X：和甘，利用募函数y=x"单调性比较大小；

③底数相同，真数不同时，如log”再和log.%,利用指数函数x单调性比较大小.

2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其

它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.

4.估算法：

(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；

(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.

5.构造函数法：

构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规

律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.

6、放缩法：

(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；

(2)指数和幕函数结合来放缩；

(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.

►举一反三

【题型1利用函数的性质比较大小】

【例1】(2024•湖南衡阳•模拟预测)已知口=3。3,6=0.33,c-]Og033,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.

【解答过程】a=303>3。=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,.-.a>b>c.

故选：A.

【变式1-1](2024•四川自贡•三模)已知a=log2gb=1.202,c=0.521,则a,6,c的大小关系是

()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.

【解答过程】因为y=log2》在乂e(0,+8)上单调递增，

所以a=log21<log2l=0即a<0；

因为y=1.2》为增函数，故6=1.20-2>1.2°=1即6>1；

因为y=0.5工为减函数，故0<0.52」<0.5°=1即0<c<1,

综上Q<c<b.

故选：A.

【变式1-21（2024・贵州贵阳•三模）已知a=403力=（log4a州,c=log4（log4Q）,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1,利用指对运算和指数函数单调性得到0<bV1,利用对数函

数单调性得到c<0,则比较出大小.

0344

【解答过程】因为a=4->4°=1力=（Iog4a）=0.3<1,且0.34>0,则0<b<l,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故选：A.

a

【变式1-3]（2024•山东泰安・模拟预测）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,则a,瓦c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】利用对数函数的单调性求得a力的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.

【解答过程】因为y=logo.2%在（。，+8）上单调递减，所以logo.21Vlogo.20.3Vlogo.20.2,即0<。<1,

因为y=In%在（0,+8）上单调递增，所以lna<lnl,即匕<0,

因为y=2%在R上单调递增，所以2a>2。，即c>l,

综上，c>a>b.

故选：D.

【题型2中间值法比较大小】

【例2】（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e。」，b=l-21g2,c=2-log310,贝a,b,c的

大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0,1,分析判断即可.

【解答过程】由题意可得：a=e01>e°=l,

b=1—21g2=1—lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,则0<b<1,

因为log310>log39=2,贝!Jc=2—log310<0,

故选：B.

i

【变式2-1]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知a=G）\b=log65,c=log56,贝!!（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解题思路】取两个中间值1和右由。=正>看b<log66=l,l=log55VcV和可比较三者大小.

【解答过程】。=02=五>*b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故选：C.

【变式2-2](2024•山东潍坊•二模)已知a=eT,b=Iga,c=e。，贝(j()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.

【解答过程】a=e-16(0,1),b=\ga=Ige-1=—Ige<0,c=e0=1,

所以力<a<c,

故选：A.

【变式2-3](2024•天津北辰•三模)已知a=0.531,b=logo,gO-3,c=logij,则a,b,c的大小关系为

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值三,1”分析大小即可.

【解答过程】因为y=0,5，在R上单调递减，贝股53-1<0.51=即a<|；

又因为y=logos》在(0,+8)上单调递减，则logo.9().3>log090.9=1,即b>1；

可得c=logij=log32,且y=logs”在(0,+8)上单调递增，

则:=log3V3<log32<log33=1,即T<c<1；

综上所述：a<c<b.

故选：D.

【题型3特殊值法比较大小】

【例3】(2024・陕西商洛•模拟预测)设a=logo.50.6,b=0.49-。%c=0.6-。巴则a,b,c的大小关系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解题思路】利用黑函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.

【解答过程】因为y=logos%在(0,+8)上单调递减，所以logo.51<logo.50.6<logo,50,5,即0<a<l.

因为y=也6在(0,+8)上单调递增，又0.49-Q3=0.7-°-6=律)06,O.6-06=(|)0'6,

又所以(|广6>e)°.6>1。.6,故C>6>1,所以c>6>a.

故选：A.

b

【变式3-1](23-24高二下•云南玉溪•期中)已知实数满足2。+。=2,2+b=V5,c=log163,贝lj

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解题思路】由对数函数单调性得c<,构造函数=2,+x,xeR,由函数的单调性得：<a<b及，即

可得出判断.

11

【解答过程】由对数函数单调性得，c=log163<log164=log1616i=I，

构造函数/(%)=2X-\-x,xeR,贝(j/(a)=2a+a=2,/(h)=2。+b=巡

因为y=2久和y=X单调递增，所以/(%)单调递增，

因为2<而，即/(a)Vf(b)，所以aVb,

又发)=2、六警<2,所以八砌>6)，即a>?,

所以c<a<b,

故选：A.

4

【变式3-2](2024•宁夏银川•二模)若a=log",b=(1),c=log34,d=；则()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.

11o

434

【解答过程】因为a=logiZ=log3>log3=1,④<(1)<④=>1<h<1,

3J

1

1

log34<logs=One<0,

所以a>b>d>c.

故选：A.

【变式3-3](2024•天津和平一模)设(£f=2,6=log53—log/c=G)3,则有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0,可得a最小，再利用〃>c3得出b,c大小.

【解答过程】由=2可得a=logi2<logil=0,

7/33

_1

3

b=logi3—logi9=logij=log23>1,c=0=25=V2>0,

下面比较瓦c,

因为32>②丫=8,所以3>

3o

所以b=log23>log222=

而c3=（虑）3=2<（|）=芸，故C<|,所以c<b,

综上，b>c>a.

故选：B.

【题型4作差法、作商法比较大小】

1

【例4】（2023•四川成都一模）若a=3",6=（|）?c=logif,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<aVI,0<h<l,O1,再作商比较a力的大小，从而可

求解.

【解答过程】因为0<a=3七<3。=1,0<b=（I）-7<（|）°=1,

3-41.1111/11\12/1\12/1\12o11

令卫a=-T=3~+3x2-=3五X2~,而（3五X2~）=（3五[x[2~）=3x2-4=—<1,即3五X2~

（5）

<1,所以a<b,

又因为c=logij=log舄>log扁>logi|=1,所以c>b>a.

故选：D.

【变式4-1]（2023•贵州六盘水•模拟预测）若口=殍，6=詈，，=今，贝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a力和a,c的大小关系，即可判断出a,b,c

的大小关系.

【解答过程】因为b—a=殍—竽=也泮=喂竺>0,所以6>a；

mMln5ln221n5—51n2ln25—ln32_r-...

又因为c—a=F——-=---=---<0,所r以a>c；

综上所述：c<a<b.

故选：C.

【变式4-2](2024・四川成都・二模)若。=1口26/=41112・1113,。=(1+1113)2,贝必,瓦c的大小关系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解题思路】作差法比较。力的大小，利用对数的性质比较兄。的大小.

【解答过程】a-In26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因为ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=In26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

则a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即匕<a,

所以b<a<c.

故选：D.

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)若a=204/=3S25,c=logo.70.5,则a,瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断见。范围，比较它们的大小；利用作商法比

较。力的大小，即可得答案.

【解答过程】因为函数y=2久在R上单调递增，所以。=20-4<2。・5=V2.

111

又"第=(募旷=医尸=(急尸>L所以b<a(也

因为0.52=o25<0.343,故0.5<V0343=0.7(y=log。?尤在(。,+8)上单调递减,

3o

所以logo.70.5>logo,7。万=2>V2,所以a<c,

所以实数a,b,c的大小关系为6<a<c,

故选：B.

【题型5构造函数法比较大小】

【例5】(2024•全国•模拟预测)已知a=吗，/?=ln7Xln2,c=书|,则()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】根据0<ln2<1得至ijc的值最大，然后构造函数f(x)=(1-ln2)lnx-ln2,根据f(x)的单调

性和/'(8)<0得到a<b.

【解答过程】因为0<ln2<l,所以a=ln7—ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比较a,b的大小.

构造函数/(%)=Inx—ln2—In%-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

显然/(%)在(0,+8)上单调递增.

因为/(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=/(7)</(8)<0,所以

a<b,所以a<b<c.

故选：C.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)设a=5"c=log45,则a,b,。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.

【解答过程】先比较。和b,构造函数y=/在上(o,+8)单调递增，

刊)4=5>黑=©)'.一>a即a>b；

44

又,：4b=5,4c=41og45=log45,且4、=4x256>5=625,

45

4c=log45<log44=5=4bf>c,

.,.a>b>c.

故选：A.

【变式5-2](2024•天津和平•一模)已知a=log。？。.?力=logojOZc=log23,则a,瓦c的大小关系为()

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得.

【解答过程】V0<a=logo_20.3<1,b=logo.30.2>1,c=log23>1,

又g=logo.30.2-log32=匿,詈=g5g，

2

因为函数/■(%)=/-%=(万一3-i,在(0,3上单调递减，且/'(0)=0,又因为：>lg3>lg2>0,

所以f(lg3)</(lg2)<0,所以能^<L即骷|<1，所以g<l，

••・b<c,BPa<b<c.

故选：C.

_/7

【变式5-3](2023•河南♦校联考模拟预测)已知实数a,仇c满足M+log2a=0,2023=log2023^c=log7

V6,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.

【解答过程】设/Q)=N+10g2X,八为在(0,+8)上单调递增,

又府)=-1<0,/(1)=1>0,所以?<a<1;

设以吗=(右y

一l°g2023%，9(%)在(0,+8)上单调递减,

1(1、2023

又9(1)=康>0,9(2023)=(/)-K0,所以1<b<2023,

因为C=10g7V^V10g7A/7=51，所以CV5.1

综上可知，c<a<b.

故选：B.

【题型6数形结合比较大小】

【例6】(2024•河南•模拟预测)已知a=Imr力=log37T,c=VSn2,则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解题思路】

利用对数函数和指数函数，幕函数的性质求解.

【解答过程】e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>6>1,

•••a—InTr=ln(V^)2,c=S?ln2=ln2匹

下面比较(、/元)2与2爪的大小，构造函数y=%2与y=2X,

由指数函数y=2元与募函数y="的图像与单调性可知，

当％£(02)时,x2<2X；当％W(2,4)时,x2>2x

由％=SFW(0,2),故(SF)2<2近,故In"V1口2小，即a<c,

所以b<a<c,

故选：A.

【变式6-1](2023•江西赣州•二模)若log3%=log4y=log5Z<-1,则()

A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

【解题思路】设log3%=log4y=log5Z=m<-1,得到久=3m,y=4m,z=5m,画出图象，数形结合得到答

案.

【解答过程】令log3%=log4y=log5z=m<-1,则％=3m,y=4m,z=5m,

3x=3m+1,4y=4^+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5X,

Jy=5：

771+1OX

故5z<4y<3%

故选：D.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)己知a=g),(；)=logaha。=log4,则实数a,hc的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a力,CE(0,1),得到log/?<1=loga。,

求出6>a,根据单调性得到c=(I)"<(I)"=a,从而得到答案.

【解答过程】令f⑸=G)"—%，其在R上单调递减，

又f(0)=1>0,/(1)=1-1=-|<0,

由零点存在性定理得ae(0,1),

则y=logN在(0,+8)上单调递减，

画出力=(|)与y=10ga%的函数图象，

可以得到be(0,1),

又丫2=a"在R上单调递减，画出丫2=a久与丫3=log”的函数图象,

因为G)<G)=1，故log/<1=loga。，故b>a,

因为a,ce(0,1),故a。>a1=a,

由a，=logic<,c=(|)<Q)=a.

综上，c<a<b.

故选：D.

【变式6-3](2024•广东茂名•统考一模)已知居y,z均为大于0的实数，且2、=3〃=logsz,则x,y,z大小关

系正确的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2，,y=3\y=logs^与直线y=t>1的交点的横坐标的关系,

再作出图像，数形结合求解即可.

【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，

y

所以2*-3-log5z=t>1,

进而将问题转化为函数y=2x,y=3x,y=logs%与直线y=t>1的交点的横坐标的关系,

故作出函数图像，如图，

由图可知z>x>y

故选：C.

【题型7含变量问题比较大小】

【例7】（23-24高三上•天津滨海新•阶段练习）设a」、c都是正数，且4。=6b=9%则下列结论错误的是

（）

171

A.c<b<aB.ab+be=acC.4b•9b=4°•9°D.-c=7b—-a

【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,瓦c,再利用换底公式和对数运算，判断选项.

111

【解答过程】设4a=6b=9c=k>l,所以a=log4k=即，b=log6k=再，c=log9k=（，

A.由对数函数的单调性可知，0<log"Vlog%6<log%%可知cVb<a,故A正确;

B.b（a+c）=彘岛+康）=康logk36_______1_2.6

log/c41og/c9—logk6log/c4-log/c9

2ac,故B错误;

logk41ogfc9

C.4a-9c=（6"2=36b=（4.9）b=空.故c正确.

112121

D.-+-=logfe4+logfc9=logk36=21ogfc6=贝叮=石一]故D正确.

故选：B.

【变式7-1]（2024•江西•模拟预测）若ae°=blnb（a>0）,则（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.无法确定

【解题思路】令aea=61nb=k,fc>0,构造函数，作出函数图象，即可比大小.

【解答过程】因为a>0,

所以ae。>a>0,

因为ae°=b\nb,

所以blnb>0,可得b>1,

令ae。=b\nb=k,/c>0,

所以e。=-a,lnb=b

设/(%)=ex,g(%)=Inx,/i(x)=

作出它们的图象如图：

故选：A.

【变式7-2](2023•全国•模拟预测)已知见瓦c均为不等于1的正实数，且Inc=a\nb,\na=bine,则a,仇c的

大小关系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【解题思路】分析可知，Ina、Inb、Inc同号，分a、b、cE(0,l)和a、b、cE(1,+8)两种情况讨论，结合

对数函数的单调性可得出匹氏c的大小关系.

【解答过程】・・Tnc=a\nb,\na=bine且a、b、c均为不等于1的正实数,

则Inc与Inb同号，Inc与Ina同号，从而Ina、Inb、Inc同号.

①若a、b、c6(0,1),则Ina、In/?、Inc均为负数，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=alnb>In/j,可得c>b,此时a>c>b；

②若a、b、cG(1,+oo),贝ijlna、Inb、Inc均为正数，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=a\nb>Inh,可得c>b,止匕时a>c>b.

综上所述，a>c>b.

故选：D.

【变式7・3】(2024•全国•模拟预测)已知正实数a,b,c满足e。+e-2a=/+。，b=log23+log86,

c+log2c=2,贝!!q,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解题思路】根据所+e-2a=m+e—。可得M—e-c=ea-e-2%由此可构造函数/(%)=e*—根据外)

的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2

变形为log2c=2—C,利用函数y=log2%与函数y=2—%的图象可判断两个函数的交点的横坐标C的范围,

从而判断b与。的大小.由此即可得到答案.

【解答过程】ec+e~2a=ea+e-c=>ec—e~c=ea—e-2a,

故令/(%)=ex-e-x,则/(c)=ec-e-c,/(a)=ea-e-a.

易知y=-e-x=-2和y=心均为(0,+8)上的增函数，故/(%)在(0,+8)为增函数.

ve-2a<e-a,故由题可知，ec—e~c=ea—e~2a>ea—e-a,即f(c)>/(a),则c>a>0.

易知b=log23+log2V6=log23V6>2,log2c=2-c,

作出函数y=log2%与函数y=2—%的图象，如图所示，

・•・c<b,

a<c<b.

故选：B.

【题型8放缩法比较大小】

【例8】（2024・陕西西安・模拟预测）若。=0.311・5力=38312々=10826坦=7|,则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【解题思路】由题意首先得0VQVl,d=J—|<0,进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,从而我们只需要比较Iog34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即

可比较.

【解答过程】a=0.311-5<0.31°=1,所以0<a<<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

又因为蛔=In4」n2(则罗丫=(ln2口院]

乂口力1唯3In3.ln3<-ln3.ln3(ln3)z'

所以Z?<c,即d<a<b<c,

故选：B.

i

4

【变式8-1](2023•河南郑州•模拟预测)已知a=log35,b=2(|),c=31og72+log87,贝|()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【解答过程】因为a=log35=|log325<|log327=|,

1111

R("<(整=欧所以1(守>却<2,

c=31og72+log87=log78+log87>Z^/logyS-log87=2,

所以c>b>a.

故选：B.

【变式8-2］（2023上•安徽•高二校联考阶段练习）已知a=g—VT7力=6T,c=log53—§og35,则

()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到。<b<c.

271

【解答过程】因为。=旧—旧=7^<7^

4f

7111111皿Zii\

b=6，=后>需=7而〈而=]故

c=log53-|log35=|log527-|log325>|log525-|log327=

所以a<b<c.

故选：A.

【变式8-3](2024•全国•模拟预测)已知a=log8.i4,b=log3,ie,c=\n2.1„则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解题思路】先证明b>0,c>0,利用比商法结合基本不等式证明c<b,再根据对数运算性质，结合对数

函数性质证明a<c即可得结论.

【解答过程】因为b=log3,ie>0,c=ln2.1>0,

所%=鼠=ln2.1xln3.1<(1^^丫=(等丫=(lnV6^T)\

Xe2«7.389,所以-6.51於e,所以1nA/6.51<Ine=1,

所以(V1,故cVb,

因e为a=ilog844A=,ln4=a21n2=调ln2，

又e2七7.389,所以8.1>e2,所以In倔T>1,

所以Q<ln2,又ln2<ln2.1=c,

所以a<c,

所以a<c<b,

故选：A.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)设a=log62,b=log123,c=log405,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】取到数计算得器=1+鬻，；=1+翟，作差法比较的大小，即可得到瓦C大小，利用中间

uigQCDC

值梆可比较a,c大小.

【解答过程】•.,=Iog312=1+log34=1+胃=1+鬻，7=1嗨40=1+log58=1+鲁=1+鬻，

1121g231g221g2xlg5-31g2xlg3lg2⑵g5—31g3)Ig2(lg25-lg27),八

•，bc~lg3lg5-Ig3xlg5-Ig3xlg5-Ig3xlg5'U,

.••b7<c又b>0,c>0,：.b>c.

1--------3r2

=1+log58<1+log5V125=1+log552=：.c>-；

1352

v-=log26=1+log23>1+log2V8=1+log222=：.a<

.,.a<c.

：.a<c<b,

故选：D.

2.(2024•安徽宿州•一模)已知37n=4,a=2m-3,b=4m-5,贝1J()

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得10g23>10g34>10g45,即

可判断大小.

【解答过程】由3m=4=>巾=log34,

2

Ig23-lg2-lg4Ig23_(!g2±ig4)=41g23Tg28=]g29-]g28

log23-log34-Jg-Jg=>0,

Ig21g3ig2.ig3-41g21g3-41g2-lg3

_lg4_lg5_1g24Tg3-lg5*_(!史穿丫_41g24Tg2151g216Tg215

1唯4-log541g3-lg4；U

4-lg3-lg4-Ig31g4lg3.ig4-41g3-lg4

.・.log23>log34>log45,

;.b=4m-5>410g45-5=0,a=2m-3<210^3-3=0,

.,.b>0>a.

故选：B.

3.(2024•贵州毕节•一模)已知a=31og83,b=—1logil6,c=log43,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解题思路】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简见瓦c,并判断范围，采用作差法结合基本不

等式可判断Q即可得答案.

【解答过程】由题意可得a=310g83=3X雳=log23>1,

11log316

b=—Rg?6=-5X=log34>1,0<c=log43<1,

又log23700g034=修_兽=嘴弊,

/u乙lg2lg31g21g3

由于lg2>0,lg4>0,lg2*lg4,Ig21g4<(思笋<=(lgV8)2<(lg3)2,

故log23-log34>0,a>b,

综合可得Q>b>c,

故选：A.

4.(2023•内蒙古赤峰•模拟预测)设。=(|),6=(1)，c=%(log34),则()

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1,让其和a,b,c进行比较，从而得出结果.

【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y=在R上单调递增，故a=(|)°，>(|)°=l；

由y=(|)"的值域，且在R上单调递增可知，o<匕=(|)07<(|)°=1；

根据对数函数的单调性，y=log3%在(。,+8)上单调递增，故log34>log33=1,由丫=logy在(0,+8)上

4

单调递减，故C=log3(log34)<log31=0.结合上述分析可知：c<0<b<l<a.

44

故选：A.

1

5.(2024・云南昆明•模拟预测)已知a=e"b=ln2,c=log32,则a力,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【解题思路】引入中间变量1,再利用作差法比较hc的大小，即可得答案；

1

【解答过程】a=e3>e°=1,b=ln2<Ine=1,c=log32<log33=1

•••a最大，

b-c=ln2-log32=Jf—詈=lg2.岛一表)>0,b>c,

・•・a>b>c,

故选：B.

6.(2024•陕西宝鸡•一模)已知实数Q,hc满足三=詈=?=2,则()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

【解题思路】先应用指对数转换求出见瓦c,再转化成整数累比较即可.

【解答过程】因为詈=9=?=2,所以e2a=4,e3b=6,eSc=10,

即得2a=ln4,3b=ln6,5c=InlO得a=ln2,b=lnV6,c=InVlO,

因为y=In%是(0,+8)上的增函数，比较2,痣树的大小关系即是a力,c,的大小关系，

2,连,国同时取15次幕，因为幕函数y=%*在(0,+8)上是单调递增的，比较2巧,65,103即可，

因为215=524288,65=7776,19=iQOO所以2*>103>65

即2>祗>遍，即得a>b>c.

故选：A.

11

7.(2023•湖南永州•一模)已知a=log3n力=两二pc=二丽，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】先利用对数函数单调性求出ae(1,1.5),从而确定b>2,ce(i,2),作差法判断出a<c,从而

求出答案.

【解答过程】a=log3n>log33=1,

3___3

因为35=V27>n,所以a=log3n<log332=1.5,

所以ae(1,1.5),

Iog3n-1G(0,0.5),故b=^zi>2,

2—log3Tte(0.5,1),故c=^^e(l,2),

令a—c=log3n_=21嗝；-心啕寸-1=-(詈3A止<0

rbJ2-log3n2-log37T2-log3-rt

所以a<c<b,

故选：D.

8.(2023•陕西西安•一模)已知函数f(x)=—2久，若2a=log2%=c,则()

A.f(b)</(c)</⑷B.f(a)</(b)<f(c)

C./(a)</(c)<f(b)D./(c)</(b)</(a)

x

【解题思路】在同一坐标系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的图像，得到a<c<b,借助/'(%)=—2%的单调

性进行判断即可.

【解答过程】/(x)=-2刀在R上单调递减，

x

在同一坐标系中作y=c,y=2,y=log2x,y=》的图像，如图：

所以a<c<b,故/(b)</(c)</(a),

故选：A.

二、多选题

9.(2024•河南洛阳•模拟预测)下列正确的是()

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2TT-1

01

c.logi,85<logi,75D.log33.01>e-0

【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B,C；由对数函数的性质可得log3

3.01>1,由指数函数的性质可得e-OQi<1,即可判断.

【解答过程】解：对于A,因为—0.01<—0.001,所以所以A错误；

对于B,因为logzK〉log2、=log2n-l，所以B正确：

对于C,因为log"5>OJogi7>0,所以log[85=W<品=log175,所以C正确；

-001

对于D,因为log33.01>log33=1£一Ve°=1,filftllog3