2024-2025学年人教A版高二数学同步训练：等差数列的概念

第02讲4.2.1等差数列的概念

01学习目标

k

课程标准学习目标

①理解等差数列的定义.会推导等差数列的

通项公式，能运用等差数列的通项公式解决

能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列

一些简单的问题.掌握等差中项的概念。

的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质

②能根据等差数列的定义推出等差数列的

解决与等差数列相关的问题

常用性质.能运用等差数列的性质解决有关

问题。

02思维导图

一般地，如果T数歹囚第2项起,每一项与它的前一项的爰等于同T谭凯那么这个数歹憎叫做等翱列

H这个段叫做等差数列的公差通常解母d表示.

等差数列的概念

03知识清单

知识点01：等差数列的有关概念

一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列,

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母1表示.

知识点02：等差中项

由三个数。，Z,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，Z叫做。与b的等差中项.这三个

数满足关系式2A=a+b.

【即学即练。（24-25高二上•全国•随堂练习）若。，6是方程X?-2x-3=0的两根，则。，6的等差中项

为（）

33

A.—1B.—C.1D.一

22

【答案】C

【知识点】等差中项的应用

【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可.

【详解】因为。+6=-彳=2,

所以的等差中项为4=1.

故选：C.

知识点03：等差数列的通项公式

首项为q,公差为d的等差数列｛4｝的通项公式为%=%+(〃-l)d.

(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量q,d和〃的表达式,所以由首项为和公差d可以求出数列中的

任意一项.

⑵等差数列的通项公式可以推广为%=%,+(〃-制)应由此可知，已知等差数列中的任意两项，就可以求

出其他的任意一项.

【即学即练2](24-25高二上,全国•随堂练习)已知等差数列-5,-2,1,则该数列的第20项为()

A.52B.62C.-62D.-52

【答案】A

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】由题意先求出等差数列的首相和公差，可求出等差数列的通项公式，令〃=20即可得出答案.

【详解】由题意设等差数列的首相和公差分别为qH,

所以q=—5,d=—2—(—5)=3,

所以%=%—5+3(«-1)=3«-8,

所以出。=3x20-8=52.

故选：A.

知识点04：等差数列与一次函数

等差数列一次函数

f(x)=kx+b(kw0)

an=%+(〃一l)d

表达式：

n+(q-d)

①定义域N**.

不同点②图象是一系列均匀分布在同一①定义域为R.

直线上的孤立的点.②图象是一条直线.

①当dw0时,等差数列的通项公式与一次函数的

解析式都是关于自变量的一次式.

相同点②等差数列中的q,d,〃，氏四个量中知三求一和

一次函数中求左，b的方法都是解方程(组).

知识点05：等差数列的单调性

①当d〉0,等差数列｛4｝为递增数列

②当d<0,等差数列｛4｝为递减数列

③当d=0,等差数列｛4｝为常数列

【即学即练3](23-24高二上•安徽马鞍山•期中)设｛与｝是公差不为0的无穷等差数列，则"｛%｝为递减数

歹『'是"存在正整数黑，当〃〉既时，。，<0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】充要条件的证明、等差数列的单调性

【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

【详解】令｛6｝公差为d且d/0的无穷等差数列，且=4|+("-1)(/=赤+(q-4),

若｛%｝为递减数列，则"<0,结合一次函数性质，

不论4为何值，存在正整数或，当〃>乂时为<0,充分性成立；

若存在正整数乂，当"〉乂时。“<0,由于dwO,即｛。“｝不为常数列，

故%=加+(%-4)单调递减，即d<0,所以｛%｝为递减数列，必要性成立；

所以“｛%｝为递减数列"是“存在正整数或，当">乂时，。"<0”的充分必要条件.

故选：C

知识点06：等差数列的四种判断方法

(1)定义法4+1—4=d(或者%=d(〃22))(d是常数)=｛%,｝是等差数列.

(2)等差中项法：2an=an_x+an+1(«>2)(〃eN*)=｛%｝是等差数列.

(3)通项公式：%=2"+](P应为常数)=｛%｝是等差数列.“可以看做关于〃的一次函数)

(4)前〃项和公式：S“=2〃2+8"(45为常数)=｛%｝是等差数列.(S.可以看做关于〃的二次函数，但

是不含常数项C)

提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法

知识点07：等差数列的性质

a

①%=m+(〃-

②若n+m=p+q,则(特别的，当〃+机=22，有%+%=2%)

③若｛an｝是等差数列,公差为d,贝曙々J也是等差数列,公差为2d.

④若｛4｝是公差为d的等差数列，则纵，ak+m,冬+2m，…（左，机eN*）组成公差为机d的等差数列.

⑤若数列也J为等差数歹U,公差为d,则仅为+m]（%机为常数）是公差为/W的等差数列.

⑥若｛%｝,也｝分别是以4,d2为公差的等差数列，则｛pa,,+qbn｝是以pel】+qd2为公差的等差数列.

【即学即练4]（24-25高二上•全国•课前预习）在等差数列｛厮｝中，/+%+2%5=40,求生o.

【答案】10

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算

【分析】方法一：由等差数列的通项公式展开即可；方法二：由等差数列的性质计算即可.

【详解】方法一：设数列｛册｝的公差为d.

贝a3+%+24]5=aI+2d+at+6d+2[aA+14d）

=4al+36d=4（q+9d）=4a10=40,所以为=10.

万1：因6/3+07+2。]5=%+Q7+%5+。15=2a9+2%]—4。]。—40,

所以4o=1。.

04题型精讲

题型01等差数列的判定

【典例1]（23-24高二上・广东深圳•期末）若数列｛%｝是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（）

A.｛|«„|）B.｛a„+l-a„]

C.｛pa„+q｝为常数）D.｛2%+〃｝

【答案】A

【知识点】判断等差数列

【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解.

【详解】因为数列｛an｝为等差数列，设公差为1，可得

对于A中，例如：等差数列则同=1,卜2|=0,同=1，|。4|=2,

此时数列｛瓦|｝不是等差数列，所以A符合题意；

对于B中，数列｛4「%｝中，可得知+所以数列｛%+「与｝为常数列，

所以数列｛%,+「％｝一定是等差数列，所以B不符合题意；

对于C中，数列｛网”+劣中,可得（0。“+|+4）-（0。“+4）=0（。“+1-。“）=浓（常数）,

所以数列｛p%+4｝一定是等差数列，所以C不符合题意；

对于D中,数列｛20"+〃｝中,可得(2%+1+”+1)-(2%+〃)=2(%+1-％)+1=24+1,

所以数列｛2«„+n｝一定是等差数列，所以D不符合题意.

故选：A.

【典例2](23-24高二上•江苏•课前预习)设S“为数列｛%｝的前〃项和，log2(5„+l)=w+l.

⑴求q及%;

(2)判断这个数列是否是等差数列.

[3,H=1

【答案】⑴％=3,。“=

[2,n>2

⑵不是

【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项

【分析】(1)求出S,，再利用%求％即可，注意验证外;

(2)直接通过2a2。%来判断.

【详解】(1)由1暇0+1)=〃+1得S〃+l=2向，即必=2向-1,

当〃N2时，％=S〃—=2计]—1—(2〃—1)=2〃，

又〃=1时，%=22-1=3,不符合%=2〃，

(2)由(1)得q=3,4=4,〃3=8,

则2a2wq+〃3，

故数列｛%｝不是等差数列.

【变式1](23-24高二上・吉林・期末)已知｛%｝为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是()

A.[JB.｛也｝C.｛anan+｝]D.｛阮｝

【答案】B

【知识点】判断等差数列

【分析】令等差数列通项公式为4=",根据等差数列定义依次判断各项.

【详解】若等差数列通项公式为见=",此时,=La„a„+i=«(«+1)>kan=kn,弧=小,

a„n

iiii_r11

-----------=1一-不为常数，所以一不是等差数列；

«„+ia,n+\n[an\

。“+。+2-44+1=("+1)("+2)-〃("+1)=2(〃+1)不为常数，所以｛%%｝不是等差数列，

履用-也=坳+1-〃)=左为常数，所以｛版」是等差数列,

向-]鼠=而1-6不为常数，所以｛阮｝不是等差数列.

故选：B

【变式2](24-25高二上•全国•课前预习)判断下列数列是否为等差数列:

(1)«„=3«-1；

【答案】(1)是等差数列

(2)不是等差数列

【知识点】判断等差数列

【分析】(1)根据等差数列的定义判断；

(2)根据等差数列的定义判断.

【详解】(1)当“22时，an-an_x=3W-1-(3M-4)=3,

所以这个数列是等差数列.

(2)由通项公式%=<1知q=1,&T，%=2.

[n-l,n>2

a2-ax^a3-a2,所以该数列不是等差数列.

题型02等差数列的通项公式及其应用

【典例1](23-24高二下•河南郑州)已知数列｛%｝满足％=1,且一匚-L=；("21),则％$等于()

an+\an2

1118

A.-B.-C.-D.—

87315

【答案】A

【知识点】利用定义求等差数列通项公式

【分析】由题可知数列，-14是等差数列，首项为，=i,公差为!，由此可以求出数列的通项，进而

%2[an\

得到｛%｝的通项.

【详解】因为一

aa

„+in2

所以知数列,I是等差数列，首项为工=1,公差为:，

〔44%2

11/1、IH+l

所以一=1+("-1)、3=丁，

%22

2

an=---；，

77+1

故选：A.

【典例2］（24-25高二上•全国•随堂练习）已知在数列｛%｝中，q=5,a“=%+3（”22）,则数列｛叫的

通项公式。，=.

【答案】3〃+2,3（〃+1）/2+3〃

【知识点】利用定义求等差数列通项公式

【分析】根据等差数列的定义，结合题目中的递推公式，找出数列的首项和公差，利用等差数列的通项公

式，可得答案.

【详解】由““=%_1+3（”22）,可得%-的=3（心2）,则数列｛%｝是等差数列，即公差〃=3,

由数列首项％=5,则。“=%+（〃-l）d=3〃+2.

故答案为：3〃+2.

【典例3］（23-24高二下•广东汕尾•阶段练习）已知数歹叫。“｝的前〃项和S"="+〃+c（其中。为常数，

ceR）,写出使｛七｝为等差数列的一个通项公式。，=.

【答案】2〃

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项

【分析】利用%=S,-Si（〃22）可得答案.

【详解】"=1时，a1=l2+3l+c=2+c,

2

心2时，an=Sn-Sn_x=7：+H+c-（w-1）--（H-1）-C=2n,

所以%=2〃（〃>2）是首项为&=4,公差为2的等差数列,

若｛an｝为等差数列,则％=2即c=0,

此时=2«（«>1）.

故答案为：2n.

【变式1］（24-25高二上•全国•课后作业）在数列｛an｝中，％=5,3%=3%-2（”e2）,则知等于（）

217217217217

A.-n-\----B.——n-\C.——n------D.—n-----

33333333

【答案】B

【知识点】利用定义求等差数列通项公式

2

【分析】根据等差数列的定义知｛即｝为首项为5,公差为的等差数列，进而求出通项公式.

22

【详解】依题意％=5,3%+［=3a“-2（〃eN+）,所以%+|=%-鼠即々用

3,

222217

所以数列｛册｝是首项为5,公差为的等差数列，所以%=-§〃+5+§=-

故选：B

2

【变式2］（24-25高二上•全国•课后作业）在数列｛an｝中，。用=武丁，«i=＞则的）=.

2

【答案】—

【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式

a11r

【分析】对。用一n取倒数得—=—+3,利用等差数列定义判断并求出其通项公式，从而求出。2。.

1+3。“％an

【详解】对%+1=1?取倒数得」~=」~+3,-----=3,

1+3%an+1anan+ian

是为:首项，3为公差的等差数列.

2

H5

2

故答案为：五不

【变式3］（23-24高二下•河南驻马店•期末）已知等差数列｛%｝满足。i=l,a2+fl4=2a5-4,则｛%｝通项

公式为—,

【答案】an=n

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,解出公差由等差数列的通项公式求解即可.

【详解】设等差数列｛叫的公差为d,q=1,g+/=2%-4,

所以2%+4d=2%+84-4,解得"=1,所以=%+（〃一l）d=1+〃-1=〃.

故答案为：an=n

题型03等差数列通项公式基本量计算

【典例1】（2024•广东佛山•模拟预测）已知数列｛%｝是等差数列，若出+%+2%=24,则%=（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】B

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算

【分析】根据等差数列的通项公式即可得解.

【详解】设公差为d,则：出+为+2/=4+〃+/+3d+2（%+6d）=4q+16d=24,

%+4d=%=6.

故选：B.

【典例2】（23-24高二下•甘肃庆阳•期中）在数列｛%｝中,=5,。8=10.若为等差数列，则％2=

【答案】-30

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算

【分析】设数列的公差，由4=5,6=1。求得公差，再由的通项公式求得结果.

r11,,iiii11

【详解】设一的公差为（所以纭=------=高一£=一高，所以1=-白，

a

[an\%5I。51030

所以-^='+4"=[+4><[-5]=-：，解得％2=-30.

〃1210V30J30

故答案为：-30.

【典例3】（2024・四川•模拟预测）已知数列｛%｝中，%=1，且满足an+2+%=an+\+2,若｛%,｝的前3项构

成等差数列，则%。。=.

【答案】3

【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】由“〃+2+an=an+\+2,得。〃+3+。〃+1=。〃+2+2,然后两式相加，进而相减得到。〃+6=%求解.

【详解】解：由％+2+。〃=%+1+2,得a〃+3+4+1=%+2+2,

两式相力口得。〃+3=4,故。〃+6+。〃+3=4,

两式相减得。升6=a〃,

所以数列｛册｝是以6为周期的周期数列，

所以=。7=1，则％=4-。7=4-1=3,/00=。4=3.

故答案为：3

【变式1]（2024•辽宁大连•一模）数列｛%｝中，4=5,%=9,若数列｛。"+/｝是等差数列，则｛七｝最大

项为（）

45

A.3B.3或4C.——D.11

4

【答案】D

【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】根据等差数列的基本量确定数列｛见+/｝的首项与公差，从而可得通项4,作差。向“确定差的

符号，从而确定数列｛6｝的单调性，从而可得最大项.

【详解】若数列｛。,+/｝是等差数列，则数列的首项为%+俨=6,公差为（g+22）-（4+F）=7,

所以q+“2=6+（“-1）x7=7“-1,则a“=-n2+7w-l,

所以%+i_a„=[―(〃+1)+7(〃+1)-]]—(―"2+7〃—1)=—2n+6,

则当"=1,2,3时,an+l-an>0,则%=%>%;

当〃24时，。“+1-%<0,故此时数列｛6｝单调递减，则%，…

综上，｛%｝最大项为名=。4=11.

故选：D.

【变式2](24-25高二上•全国•课堂例题)若关于x的方程尤2-尤+加=0和x2-x+〃=0(S,”R且

m2的四个根组成首项为;的等差数列，则数列的公差d=，加+〃的值为.

【答案】713=1

672

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的应用

【分析】设X?-X+心=0的根为网户2'X?-X+〃=0的根为工3,苫4,由韦达定理得X]+X?=X3+X4=1,根据等

差数列的性质可得以及马,匕，结合韦达定理求私“，即可得结果.

【详解】设X。-X+7”=0的根为尤1，工2,/-X+"=0的根为鼻,匕，

贝I]X]+%=X3+X4=1(1—4机>0,1-4/Z>0).

设数列的首项为为，

则根据等差数列的性质，数列的第4项为无2.

13

由题意知玉=工，则马=；,数列的公差.441；

44-4-1-6

所以数列的中间两项分别为9+)=2，2+

461212612

35735

nT得1YYl—Xs'X-)—--,J2=X-i'=-X—=---,

1216341212144

所以加+〃=二3+335=j3.1

1614472

131

故答案为：-;777-

672

【变式3](24-25高二上•全国•随堂练习)三个数成等差数列，这三个数的和为6,积为-24,则这三个数

为.

【答案】-2,2,6或6,2,-2

【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算

【分析】先根据等差数列设出三个数，再根据条件得出方程计算即可.

【详解】设这三个数分别为由题意可得

(Q—d)+q+(a+d)=6,

(〃-d)a(a+d)=-24,

故所求三个数为-2,2,6或6,2,-2.

故答案为：-2,2,6或6,2,-2.

题型04等差中项及其应用

【典例1］（24-25高二上•全国•课前预习）已知加和2”的等差中项是4,2加和"的等差中项是5,则2加-〃

和2〃-加的等差中项是（）

A.8B.6C,4.5D,3

【答案】D

【知识点】求等差中项、等差中项的应用

【分析】运用等差中项概念及性质可解.

【详角星】m+2n=S,2m+n=10,

二.3加+3〃=18,:.m+n=6,

八力入山口（2加一〃）+（2〃一加）m+n-

2m―〃和277—1TI的等差中项----------------=-----=3.

22

故选：D.

【典例2］（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为加,

a,4m,b,则，等于（）

b

5111

A.—B.—C.-D.4

1154

【答案】A

【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算

【分析】根据等差数列的性质可得仇加的等式关系，再计算/即可.

b

【详解】因为加，。,4m,b为等差数列，所以2a=加+4加，Sm=a+b,

5m11ma5

所以a=＜，6=--,所以

22b11

故选：A.

【典例3］（23-24高二下•贵州铜仁•阶段练习）已知a=6-26,c=6+26.若〃，b,c成等差数列，则

b-.

【答案】6

【知识点】等差中项的应用

【分析】用等差中项的性质求解即可.

【详解】因为4=6—2g，b,c=6+2后成等差数歹U,

所以26=（6-26）+（6+26）=12,解得6=6.

故答案为：6

【变式1］（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）己知等差数列｛6｝的前3项分别为a+1,2a+3,则

此数列的通项为（）

A.2n—5B.2〃一3C.2n-\D.2〃+1

【答案】B

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差中项的应用

【分析】根据等差中项解得。=0,可得等差数列｛%｝的首项为-1,公差为2,进而可得通项公式.

【详解】因为。-1,a+1,2a+3为等差数列，

则2（a+1）=（a-1）+（2a+3）,解得a=0,

可知等差数列｛为｝的前3项分别为-1,1,3,即首项为-1,公差为2,

所以此数列的通项为%=-1+2（〃-1）=2〃-3.

故选：B.

【变式2】（23-24高一下•上海,期末）若等差数列｛%｝的前三项依次为1,a+1,。+3,则实数。的值为.

【答案】2

【知识点】等差中项的应用

【分析】根据等差中项的性质计算可得.

【详解】因为1,a+\,。+3为等差数列｛aj的前三项，

所以l+a+3=2（a+l）,解得a=2.

故答案为：2

【变式3］（23-24高二下•上海•期中）若3+a与a的等差中项为18,则实数a的值为.

33

【答案】y/16.5

【知识点】等差中项的应用

【分析】根据等差中项的定义计算即可.

【详解】由已知得3+a+a=2x18,

故答案为：—.

题型05等差数列性质的应用

【典例1】（2024・山西运城•三模）已知数列｛%｝是等差数列，（。3-%=2,则%+%«-/=（）

A.4B.-2C.-4D.-8

【答案】C

【知识点】利用等差数列的性质计算

【分析】利用下标和性质计算可得.

【详解】因为:。3-。5=2,则。3-2。5=4,又2a5=4+。7，则〃3-（〃3+%）=4,

解得的=-4,

a

所以〃5+40—=%+—〃8=i--4.

故选：C

【典例2】（2024•全国•模拟预测）在数列｛%｝中，己知2a„+1=a„+an+2（neN*）,且%+%=16,则q+a?+...+仆=

（）

A.256B.196C.144D.96

【答案】D

【知识点】利用等差数列的性质计算

【分析】由已知，｛an｝为等差数列，所以由等差数列的性质即可得到答案.

【详解】由2%=%+%+2,得%+1-％=%+2-*+1,则为等差数列，

又氏+%=16,所以由等差数列的性质知％+。2+…+/=6（%+3=96.

故选：D.

【变式1］（23-24高一下•上海闵行,期末）在等差数列｛%｝中％94。=1940吗。2+%922=2024,贝.

【答案】84

【知识点】利用等差数列的性质计算

【分析】由等差数列的性质，有%94。+/4=%。2+%922,结合己知，即可求得.

【详解】等差数列｛%｝中，％94。=1940吗。2+%922=2024,

因为。1940+084=%02+%922=2024,

所以％4=84.

故答案为：84.

【变式2】（23-24高二上•西藏拉萨•期末）在等差数列｛七｝中，出+&+%。=120,则&=,

【答案】40

【知识点】利用等差数列的性质计算

【分析】根据等差数列的性质，有出+%+%。=3&=120,然后求解即可.

【详解】由题意有出+&+%0=34=120,得6=40.

故答案为40.

题型06等差数列的单调性

【典例1］（23-24高三上•北京•阶段练习）己知等差数列｛%｝单调递增且满足/+俶=6,则4的取值范围

是（）

A.（-oo,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+co）

【答案】C

【知识点】等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算

【分析】设出公差，根据单调递增，得至IJd>0,结合等差数歹U的性质得至1」％+。8=2&-3"=6,变形为

24-6=3d>0,解不等式求出答案.

【详解】因为｛。“｝为等差数列，设公差为d,

因为数列｛%｝单调递增，所以d>0,

所以q+/=牝+。6=2a6—3d=6,

则2a6-6=32〉0,解得：a6>3,

故选：C

【典例2】（23-24高三上•四川•阶段练习）在正项等差数列｛%｝中，%=2,则公差d的取值范围是

【答案】［0,1）

【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】利用题给条件列出关于d的不等式，解之即可求得d的取值范围.

【详解］依题意可得％=/_2d=2_2d>0,则d<l

又等差数列｛%｝各项为正，则dZO,所以04d<l.

故答案为：［0,1）

【变式1】（2024•广东广州）首项为-21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是

（）

777

A.d>3B.d<—C.3<d<—D.3VdV—

222

【答案】D

【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】根据从第8项起开始为正数，可得。7支，。8>0,利用"4,d”法求解.

【详解】an=-21+（n-1）d.

・•・从第8项起开始为正数，

■■.a7=-21+6c/<0,a8=-21+7d>0,

7

解得3Vd4引

故选：D.

【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

【变式2］（23-24高二上•吉林长春。在公差为d的等差数列｛。"｝中，"">1"是"｛%｝是递增数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】等差数列的单调性、判断命题的充分不必要条件

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定

【详解】若4>1,则V〃eN*,an+l-a„=d>l>0,所以，｛5｝是递增数列；

若｛aj是递增数列,则V为eN*,an+l-an=d>0,推不出d>l,

贝>1"是"｛an｝是递增数列"的充分不必要条件，

故选：A.

题型07等差数列中的最大（小）项

【典例1］（23-24高二上•上海浦东新•期中）在等差数列｛%｝中，％=17且Q=2%+1,S”是数列｛%｝前〃

项的和，若S“取得最大值，贝1］“=

【答案】9

【知识点】求等差数列中的最大（小）项

【解析】求出公差，与通项公式%,由%20可得使国取得最大值时的"值.

【详解】设公差为"，贝|4=2%+1得17+3d=2（17+6"）+l,解得"=-2,

a,=17+（M-1）X（-2）=19-2H,

19

由。“=19一2〃20,H<—,即。9>0,%0<0,

•••S"取得最大值时，〃=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查等差数列的前〃项，考查前〃项和的最值问题.

S”是等差数列的前"项和，q>0,d<0时，求其最大值的两种方法：

（1）若*0,an+1<0,则S"最大;

（2）可利用二次函数的性质求得最大值.

【典例2］（23-24高一•全国•课后作业）设等差数列｛%｝的通项公式为%=10-且

ai+a2+...+am=\ai\+\a2\+...+\am\,则正整数m的最大值是

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算

【分析】根据题目所给含有绝对值的式子分析可知绝对值等于本身，故即10-2mN0,mW5,由此

得到最大的心的值.

【详解】根据题意可知，%是非负数，故册=10-2加20,“45,故加的最大值为5.所以选反

【点睛】本题主要考查对题目所给还有绝对值的式子进行分析，得到关键点是数列中为非负数的项.根据数

列的通项公式可求得加的最大值.

【典例3］（23-24高三上•浙江绍兴）已知公差为2的等差数列｛an｝,且《，%，生成等比数列.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）若数列值|｝的前"项和为S",求数列的最小项.

【答案】⑴（2）最小项为第7项为彳29.

【知识点】求等差数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算

【解析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列的通项公式；

（2）当时，由®|=11-2”得出S,，由二次函数的性质得出数列的最小项，当〃>6时，由

%=2”-11得出S"结合导数数列的最小项.

【详解】（1）由题知：贝!］（12+%）2=%.（%+8）得：4=-9

即%=%+(〃-1)(7=2H-11

..Q11_

2

(2)当“W5时，\an\=l\-2n,Sn=---------XH=l0n-n

则2=10"-"2=10一〃,即〃=5时，(邑］=5

nnI〃7min

1+2W2

当时，a„=2«-11,=55+--x(；7-5)=H-10/7+50,贝彦=〃+亚-10

2nn

人々50［八、么ri(\150x2—50

令f(%)=%■1----10,x>6,f(x)=1—-=---z—

xxx

当6Vx<50时，/'(x)<0,当x>50时，>0

即函数在(6,5也)上单调递减，在卜近,+oo)上单调递增

r,(sy29

即〃=7时，——=—

k"min7

29

最小项为第7项为万

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论的正负，从而确定｛,“|｝的通项公式，进而得出

S„,最后由二次函数的性质以及导数得出数列，的单调性，由此得出最小值.

【变式1］（23-24高二下•江西宜春・开学考试）等差数列｛%｝中，设S“为其前"项和，且可>0,53=5n,

则当“为时，S“最大.

【答案】7

【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、求等差数列中的最大（小）项、等差数列的单调性

【分析】方法一:因为公差不为零的等差数列的前〃项和S,是关于〃的二次函数，由S3=配可知对称轴为

〃=7,又开口向下，即可得出结果.

方法二:由$3=%,%>0可得的+%=。,"<0,则%>。，即可得出结果.

【详解】解法一：由于/（x）=ax2+bx是关于x的二次函数，且（",S"）在二次函数/（X）的图象上，由

53=几,可知〃》）=1+法的图象关于直线工=等=7对称.由2%+134=0,可知。=弓=一看<0,故当

x=7时J（%）最大，即当”=7时,S”最大.

解法二：由邑=%，可得2%+13d=0,

即（％+6d）+（%+7d）=0,

故%+。8=°，又由％>0,$3=用可知4<0,

所以的>0,。8<°，所以当"=7时，S"最大.

故答案为：7.

【点睛】本题考查了等差数列前〃项和的性质等差数列单调性的综合应用.等差数列性质的简单应用.属于基

础题.

【变式2】（2024,安徽）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题："今有物不知其数，三

三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，

同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三"的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,则该数列最大项

和最小项之和为.

【答案】196

【知识点】求等差数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式

【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大

项和最小项之和即可.

【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列，

则%=8+15（〃-1）=15«-7,

令15〃一7W200,解得〃K13.8,

则数列｛对｝的最大项为15x13-7=188,

所以该数列最大项和最小项之和为188+8=196.

故答案为：196.

【变式3】(23-24高二上•全国•课后作业)已知等差数列-4.2,-3.7,-3.2,...的前"项和为S"，S”是否

存在最大(小)值？如果存在，求出取得最值时〃的值.

【答案】5“存在最小值，w=9

【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列中的最大(小)项、等差数列的单调性、利用定义求

等差数列通项公式

【分析】由己知可求得数列的通项公式%=0.5〃-4.7,令%>0,可知">9且“eN*,可知数列的前9项

都是负数，第10项为正数，即值S”存在最小值.

【详解】由已知可知等差数列的首项%=-4.2,公差1=-3.7+4.2=0.5

a=a

则数歹U的通项公式为n\+(〃—l)d=—4.2+(H—1)x0.5=0.5H—4.7

令%>0,即0.5及一4.7>0,又neN*,.二〃>9且〃EN*

即数列的前9项都是负数，第10项为正数，

故当〃=9时，S”存在最小值.

题型08构造等差数列

【典例1](23-24高二下•广西桂林•期末)己知数列｛%｝的各项均不为0,%=1,--—=3,则%=

an+lan

()

1111

A.—B.—C.—D.—

20212223

【答案】C

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差

数列

【分析】为公差为3的等差数列，求出%=代入求解即可.

l«„J3n-2

【详解】由二-一，=3,可知为公差为3的等差数列，且首项为'=1,

a

。〃+1n[an\%

故1+3(〃—1)=3〃—2,

工乙111

故"〃=Qo，­T=二•

3〃一224-222

故选：C

【典例2](23-24高二下•辽宁大连•阶段练习)己知数列｛%,｝满足5+1”用-("+2”"=5+1)("+2乂”€4

。2=3,贝。2025=（）

A.2024B.2025C.20242-!D.20252-l

【答案】D

【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中

的项

【分析】先利用条件得&-47=1,再根据［气］为等差数列求解即可.

n+2n+l1H+1J

【详解】由（”+1）--（"+2"“=（"+1）（"+2）得%一4=1,

n+2n+1

所以［卫」为公差为i的等差数列，又3=1，

L//+1J2+1

所以出025=—+（2025-2）x1=